反三角函数与简单三角方程

1、反三角函数：

概念：把正弦函数sin y x =,,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦

时的反函数,成为反正弦函数,记作x y arcsin =. sin ()y x x R =∈,不存在反函数.

含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦

；sin x α=. 反余弦、反正切函数同理,性质如下表.

其中：

1． 符号arcsin x 可以理解为－

2π,2π上的一个角弧度,也可以理解为区间－2π,2π上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为0,π上的一个角弧度,也可以理解为区间0,π上的

一个实数；

2． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈－

2π,2π, y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈0, π, 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；

3．恒等式sinarcsin x ＝x , x ∈－1, 1 , cosarccos x ＝x , x ∈－1, 1,

arcsinsin x ＝x , x ∈－2π,

2π, arccoscos x ＝x , x ∈0, π的运用的条件； 4． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π

, arctan x ＋arccot x ＝2

π的应用;

2、最简单的三角方程

其中：

1．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程;解三角方程就是确定三角方程是否有解,如果有解,求出三角方程的解集；

2．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础,要在理解三角方程的基础上,熟练地写出最简单的三角方程的解；

3．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；

如：若sin sin αβ=,则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=,则2k απβ=±；

若tan tan αβ=,则a k πβ=+；若cot cot αβ=,则a k πβ=+；

4．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论; 例题精讲

例1. 函数，，的反函数为（）y x x =∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥sin ππ232

分析与解： π

π232

≤≤x 例4. 函数，，的图象为（）y x x =∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥arccos(cos )ππ2

2 分析与解：

例5. 函数，，的值域为（）y x x =∈-arccos(sin )()π

π323

分析与解： 欲求函数值域，需先求，，的值域。u x x =∈-sin ()π

π323

例6.使arcsin arccos x x >成立的x 的取值范围是

分析与解：

该题研究不等关系,故需利用函数的单调性进行转化,又因为求x 的取值范围,故需把x 从反三角函数式中分离出来,为此只需对arcsinx,arccosx 同时取某一三角函数即可,不妨选用正弦函数;

例7. []若，则（）022<<+⎡⎣⎢⎤⎦⎥++=αππαπαarcsin cos()arccos sin()

分析与解：这是三角函数的反三角运算,其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内;

例8. 求值：13sin 2arcsin 5⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣

⎦ 211tan arccos 23⎛⎫ ⎪⎝⎭ 分析：arcsin()arcsin()sin --⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-352

235表示，上的角，若设，则易得ππαα =-35

2，原题即是求的值，这就转化为早已熟悉的三角求值问题，解决此类sin α问题的关键是能认清三角式的含义及运算次序,利用换元思想转化为三角求值;

解：（）设，则13535

arcsin()sin -==-αα 例9.知函数2()arccos()f x x x =-

1求函数的定义域、值域和单调区间；2解不等式：()(21)f x f x <+

解：1由112≤-≤-x x 得251251+≤≤-x 又]1,4

1[41)21(22-∈--=-x x x ∴)(x f 的定义域为]251,251[+-,值域为]4

1arccos ,0[-π 又∵]2

1,251[-∈x 时,x x x g -=2)(单调递减,x y arccos =单调递减,从而)(x f 递增 ∴)(x f 的单调递增区间是]21,251[-,同理)(x f 的单调递减区间是]2

51,21[+

2)]2

12()212arccos[()arccos()212()(22+-+<-+

14arccos()arccos(22-<-x x x ∴⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧->-≤-≤-≤-≤-41414141112222x x x x x x 解不等式组得6121<<-x ∴不等式的解集为)61,21(- 简单的三角方程

例1.写出下列三角方程的解集

1sin()82

x π-=; 22cos310x +=

; 3cot 3= 解集{x|x=k π+arctg32,k ∈Z}

例2.

求方程tan(3)4

x π

+=[]0,2π上的解集. 说明 如何求在指定区间上的解集1先求出通解,2让k 取适当的整数,一一求出在指定区间上的特解,3写指定区间上的解． 例3.

解方程22sin 10x x ++=

解：方程化为22cos 30x x -=

说明 可化为关于某一三角函数的二次方程,然后按二次方程解．

例4.解方程①3sin 2cos 0x x -=