均值不等式的证明

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均值不等式的证明篇一:均值不等式（AM-GM不等式）是数学中常用的一种不等式关系，它说明了算术平均数和几何平均数之间的关系。

具体表达式为：对于任意非负实数集合{a1,a2,an}，有(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)其中，等号成立当且仅当所有的非负数都相等。

下面，我们将给出AM-GM不等式的证明。

证明：首先，我们可以假设所有的a1,a2,an都是正实数。

因为AM-GM不等式对于非负实数也是成立的，所以我们可以通过限制条件来放缩实数集合。

考虑对数变换。

定义函数f(x) = ln(x)，其中x>0。

因为ln(x)在整个定义域都是凸函数，所以根据对数函数的性质，我们有：f((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(f(a1)+f(a2)+.+f(an))即，ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(ln(a1)+ln(a2)+.+ln(an))这是因为凸函数的定义是在一条直线上任取两个点，它总是在两点的连线上方。

继续推导，根据ln的性质，我们有：ln(a1 a2 .*an) = ln(a1) + ln(a2) + . + ln(an)将上述不等式代入这个等式中，得到ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ ln(a1 a2 .*an)^(1/n)移项化简得到(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)即AM-GM不等式得证。

最后，我们来说明等号成立的条件。

根据对数函数的性质，等号成立当且仅当所有的非负数的对数都相等，即a1 = a2 = . = an。

至此，我们完成了AM-GM不等式的证明。

总结： AM-GM不等式是数学中常用的一种不等式关系。

它表明算术平均数大于等于几何平均数，并且等号成立的条件是所有的非负数相等。

该不等式的证明可以通过对数变换和凸函数的性质进行推导得到。

篇二:在数学中，均值不等式是一类用于比较多个数的重要不等式。

均值不等式的几种证法

均值不等式的几种证法如果n个正数a1，a2，…，an的算术平均和几何平均分别是An=和Gn=a1a2…an，那么Gn≤An。

其中等号成立的充要条件是a1=a2=…=an。

证法1：数学归纳法n=1时，a1=a1，不等式成立。

n=2时，由=+a1a2≥a1a2即≥a1a2，不等式显然成立。

假设n=k(k≥2,k∈N)时不等式成立，则当n=k+1时，从而Ak+1≥a1a2…ak·ak+1·Ak+1，化简，得Ak+1≥a1a2…akak+1。

当且仅当a1=a2=…=ak=ak+1=Ak+1时，不等式取等号。

证法2：逐步调整法对于n个正数a1，a2，…，an有A(a)≥G(a)①其中A(a)=，G(a)=a1a2…an。

证明：不妨设a1≤a2≤…≤an，若a1=a2=…=an，则①取等号。

若ai（i=1,2,…,n）不全相等，则a1<an。

令bj=aj(j=2,3,…,n-1), b1=A(a)，bn=(a1+an)-A(a)。

a1<b1<an，a1<bn<an，那么b1bn>a1an。

事实上，若有A+B=A`+B`，A＜B，|A`-B`|＜|A-B|，A`＞A，B`＞A,总有A`B`-AB=A`B`-A[(A`+B`)-A]=(A`-A) (B`-A)＞0。

于是，A(b)=A(a),G(b)＞G(a)，且bi(i=1,2,…,n)中至少有一个b=A(a)。

若b2,b3,…,bn这(n-1)个数都相等，显然命题成立。

否则仍不妨设b2≤b3≤…≤bn，b2＜bn。

再令C1=b1 =A(a)=A(b)，C2=A(b)，Cn=(b2+bn)-A(b)，Ck=bk(k=3,4,…,n-1)。

又可得A(c)=A(b)，G(c)＞G(b)，且Ci(i=1,2,…,n)中至少有二个A(b)。

这样的调整至多重复(n-1)次，最终必将出现新数组中各正数均相等。

假定第s次时新数组中各数相等，那么A(a)=A(b) =A(c)=…=A(s)，G(a)＜G(b)＜G(c)…＜G(s)。

均值不等式几何证明

均值不等式几何证明均值不等式的几何证明可以通过使用几何图形来说明。

首先，我们考虑一个简单的例子：三角形的周长和面积之间的关系。

假设三角形的三边长度分别是a、b、c，则周长为a+b+c，面积为s。

我们知道，根据海伦公式，三角形的面积可以表示为：s = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s是三角形周长的一半，也称为半周长。

我们可以通过对面积进行变换来证明均值不等式。

由于s是三角形的半周长，所以s大于等于任意一条边的一半，即s≥a/2，s≥b/2，s≥c/2。

然后，我们取两个包含s的不等式的平方根，得到：√(s) ≥ √(a/2) = √(a)/√(2)√(s) ≥ √(b/2) = √(b)/√(2)√(s) ≥ √(c/2) = √(c)/√(2)我们将上述三个不等式相加，并利用复合不等式性质，得到：√(s) + √(s) + √(s) ≥ √(a)/√(2) + √(b)/√(2) + √(c)/√(2)简化上述不等式，我们得到：3√(s) ≥ (√(a) + √(b) + √(c))/√(2)再对上述不等式两边都平方，我们得到：9s ≥ (a + b + c)/2由于我们已知s = (a + b + c)/2，所以上述不等式可以简化为：9s ≥ 2s则得到：s ≥ 0上述结论表明，三角形的面积s必须是非负数。

这正是我们所希望的结果，因为面积应该是一个非负数。

这个简单的例子展示了如何通过几何的方法来证明均值不等式。

实际上，我们可以使用类似的方法来证明更复杂的均值不等式，只需要根据具体情况选择合适的几何图形和变换方法即可。

均值不等式证明

均值不等式证明均值不等式是一个非常重要的数学定理，它被广泛应用于数学、物理、经济等学科中。

均值不等式的证明是数学证明中的一种非常重要的方法，通过均值不等式的证明，我们可以体会到数学证明的思路和方法。

本文将详细介绍均值不等式的证明，让读者更深入地了解这个重要的数学定理。

首先，我们来介绍一下均值不等式的概念。

均值不等式是指对于n个实数a1，a2，……，an，它们的算术平均数和它们的几何平均数之间有如下关系：(a1+a2+……+an)/n ≥ (a1×a2×……×an)^(1/n)其中“≥”表示大于等于的关系。

这个不等式告诉我们，对于一组实数，它们的算术平均数一定大于等于它们的几何平均数。

并且，当这组实数中每个数都相同时，这个不等式取等。

这就是均值不等式，它是一个非常重要的不等式。

接下来，我们将介绍均值不等式的证明方法。

首先，我们来证明一个简单的均值不等式，即两个数的均值不小于它们中的较小值。

假设a和b是两个实数，不妨假设a≥b，那么它们的算术平均数是(a+b)/2，它们的几何平均数是(a×b)^(1/2)。

我们需要证明(a+b)/2 ≥ (a×b)^(1/2)。

我们先把等式两边平方，得到：(a+b)^2/4 ≥ a×b化简后得到：a^2+b^2+2ab/4 ≥ a×b即：a^2+b^2 ≥ 2ab这个不等式显然成立，因为它等价于(a-b)^2 ≥ 0。

因此，我们证明了两个数的均值不小于它们中的较小值。

接下来，我们来证明n个数的均值不等式。

我们先不妨假设这n个数是正实数，否则我们可以通过取绝对值来获得正实数的情况。

假设a1，a2，……，an是n个正实数，它们的算术平均数是A，几何平均数是G。

则有：A = (a1+a2+……+an)/nG = (a1×a2×……×an)^(1/n)接下来，我们需要证明A≥G。

均值不等式

均值不等式xx年xx月xx日contents •均值不等式的定义•均值不等式的性质•均值不等式的证明方法•均值不等式的扩展•均值不等式的应用实例目录01均值不等式的定义•均值不等式（Mean Inequality）是指在实数范围内，任何一个数的平方与它的算术平均数的平方之差，等于0。

也就是说，对于任意实数x，有x^2=(x-x)^2=0。

什么是均值不等式•均值不等式的常见形式是：对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。

这个不等式表示，当a和b都是非负实数时，a的算术平均数大于等于b的几何平均数。

均值不等式的形式•均值不等式的证明方法有多种，其中一种是利用微积分中的积分函数。

设f(x)=x^2，则f'(x)=2x，令f'(x)=0，得x=0，则f(x)在x=0处取得极小值0。

因此，对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。

均值不等式的证明02均值不等式的性质算术平均数与几何平均数之间的关系：$AM \geq GM$均值的不等式性质：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$均值不等式的形式二次幂和不等式当且仅当a=b时，均值不等式取等号。

一次幂和不等式当且仅当a+b为定值时，均值不等式取等号。

均值不等式的条件算术平均数的几何意义：长度为a和b的两线段的中点。

几何平均数的几何意义：面积的算术平均数。

均值的几何意义03均值不等式的证明方法总结词微积分方法证明均值不等式是通过研究函数的单调性和极值，证明在不同情况下，变量的和至少等于其平均值。

详细描述首先，定义一个实值函数 $f(x)$，并设其最小值 $m$ 和最大值 $M$ 存在。

由极值定理可知，对任意 $x_1, x_2$ 有 $[f(x_1) + f(x_2)]/2 \geq m$。

由此得出，对任意正整数 $n$，都有 $[f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)]/n \geq m$利用微积分知识证明矩阵相乘的性质证明均值不等式是通过利用矩阵相乘的顺序无关性，将矩阵相乘转化为向量点积，再利用柯西不等式证明。

均值不等式的多种证明方法许兴华数学

均值不等式是数学中常见的一类不等式，它指出了一组数的平均值和它们的其他性质之间的关系。

在本文中，我们将介绍均值不等式的多种证明方法，并以许兴华数学中的相关内容为例加以说明。

1. 均值不等式的定义均值不等式是数学中一类具有广泛应用的不等式定理，它描述了数列的平均值与其他性质之间的关系。

一个常见的均值不等式是算术平均数与几何平均数之间的关系，即对于任意非负实数集合，它们的算术平均数大于等于几何平均数。

2. 均值不等式的证明方法均值不等式的证明方法有多种，其中比较常见的方法包括数学归纳法、几何法、代数法等。

下面我们将分别对这些方法进行介绍，并结合许兴华数学中的相关例题进行说明。

2.1 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它通常用于证明对于一切自然数n成立的命题。

在均值不等式的证明中，数学归纳法可以用于证明一些形如An≤Bn的不等式，其中n为自然数。

对于n个非负实数的情况，可以使用数学归纳法证明它们的算术平均数不小于几何平均数。

许兴华数学中的例题：证明n个非负实数的算术平均数不小于几何平均数。

解：首先证明n=2的情况成立，即对于两个非负实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。

然后假设对于n=k的情况成立，即对于k个非负实数成立均值不等式，即(k个非负实数的算术平均数不小于几何平均数)。

那么对于n=k+1的情况，我们可以通过考虑第k+1个数与前面k个数的平均值的大小关系，来证明均值不等式对于n=k+1的情况也成立。

2.2 几何法证明几何法是另一种常用的证明方法，它通常通过在平面几何图形上进行推理，来证明一些数学定理。

在均值不等式的证明中，几何法可以用于证明一些形如a²+b²≥2ab的不等式。

在许兴华数学中，可以通过在平面上绘制平行四边形、三角形等几何图形，来证明一些均值不等式。

3. 结语以上，我们介绍了均值不等式的多种证明方法，并结合许兴华数学中的相关内容进行了说明。

均值不等式作为数学中的重要概念，在不同的数学领域都有着重要的应用，它的证明方法也有很多种。

均值不等式的证明方法

均值不等式的证明方法第一篇：均值不等式的证明方法柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong（数学之家）本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。

一般的均值不等式我们通常考虑的是An≥Gn: 一些大家都知道的条件我就不写了x1+x2+ (x)n≥x1x2...xn我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：二维已证，四维时：a+b+c+d=(a+b)+(c+d)≥2ab+2cd≥4八维时:(a+b+c+d)+(e+f+g+h)≥4abcd+4efgh≥8abcdefghabcd=4abcd这样的步骤重复n次之后将会得到x1+x2+ (x2)n≥nx1x2...x2n令x1=x1,...,xn=xn;xn+1=xn+2= (x2)nx1+x2+ (x)n=A由这个不等式有nA+(2-n)Ann≥nx1x2..xnA2-nn=(x1x2..xn)2An1-n2n即得到x1+x2+ (x)n≥nx1x2...xn这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：例1：n若0<ai<1(i=1,2,...,n)证明∑i=111-ai≥n1-(a1a2...an)n例2：若ri≥1(i=1,2,...,n)证明∑i=11ri+1≥n1+(r1r2...rn)n这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：给出例1的证明：当n=2时11-a1+11-a2≥⇔(1--a1-a2)≥2(1-a1)(1-a2)设p=a1+a2,q=⇔(1-q)(2-p)≥2(1-p+q)⇔p-2q+pq≥2q⇔p(1+q)≥2q(q+1)⇔p≥2q，而这是2元均值不等式因此11-a1≥+11-a22n+11-a3+11-a4≥+此过程进行下去n≥因此∑1-ai1-(a1a2...a2n)2n令an+1=an+2=...=a2n=(a1a2...an)n=Gn有∑i=1n11-ai11-ai+(2-n)n11-G≥nn2-nn=n1-(GG≥n1-Gn)n1-G即∑i=1例3：已知5n个实数ri,si,ti,ui,vi都>1(1≤i≤n),记R=T= nn∑r,Sii=1nn∑sii1nn∑t,Uii=1nn∑uii,V=1nn∑v，求证下述不等式成立：ii∏i=1（risitiuivi+1risitiuivi-1)≥（RSTUV+1RSTUV-1)n要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式其实由均值不等式，以及函数f(x)=ln因此e+1e-1xx是在R上单调递减RSTUV≥=（RSTUV+1RSTUV-1)≤n我们要证明：n∏(rstuvi=1iiiirisitiuivi+1i-1)≥证明以下引理：n∏(xi=1xi+1ix2+1x2-1n-1)≥n=2时，⇔(令A=x1+1x1-1)（）≥2⇔A(x1x2+1+x1+x2)+(x1+x2+1+x1x2)-2A(x1x2+x1+x2+1)≥A(x1x2+1-x1-x2)+(1+x1x2-x1-x2)+2A(x1x2+1-x1-x2)⇔(A+1)(x1x2+1)≥2A(x1x2+1)显然成立2-nnn因此∏（i=1xi+1xi-1n)•（G+1G-1)2-nn≥（GGGGnnnn+1-12-n2n)，G=n=（G+1G-1n)因此∏（i=1xi+1xi-1n)≥所以原题目也证毕了这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:f(x1)+f(x2)≥f（x1+x2)，则四维：f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)≥2f（x1+x2)+2f（x3+x4)≥4f（x1+x2+x3+x4)一直进行n次有f(x1)+f(x2)+...+f(x2n)n≥f（x1+x2+ (x2)n),令x1=x1,...,xn=xn;xn+1=xn+2= (x2)nx1+x2+ (x)nn=A有f(x1)+...+f(xn)+(2-n)f(A)nn≥f（nA+(2-n)An)=f(A)所以得到f(x1)+f(x2)+...+f(xn)n≥f（x1+x2+ (x)n)所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件第二篇：常用均值不等式及证明证明常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤QnΛ、ana1、a2、∈R+，当且仅当a1=a2=Λ=an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a,b>0>2ab(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)a2+b2≥2ab≥0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2+b2+c2≥ab+bc+aca+b+c≥abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

数学均值不等式的证明方法

数学均值不等式的证明方法一、凸函数的性质法：凸函数是指曲线所在区间上的任意两点连线的部分都位于曲线的上方。

我们可以证明，如果函数f(x)在区间[a,b]上是凸函数，则有如下均值不等式成立：f((a+b)/2) ≤ (1/(b-a)) ∫[a,b] f(x) dx ≤ (f(a) + f(b))/2通过利用凸函数的性质，我们可以推广到更一般的形式：f((a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxₙ)/(a₁+a₂+...+aₙ))≤(a₁f(x₁)+a₂f(x₂)+...+aₙf(xₙ))/(a₁+a₂+...+aₙ)其中，a₁,a₂,...,aₙ是非负实数，且满足a₁+a₂+...+aₙ≠0，x₁,x₂,...,xₙ是函数f(x)的定义域上的任意n个值。

二、Cauchy-Schwarz不等式的证明法：Cauchy-Schwarz不等式是数学中最常用的不等式之一，它的一般形式可以写为：(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)，≤√((a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²))其中，a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ是任意实数。

利用这个不等式，我们可以证明数学均值不等式中的特例。

例如，我们可以通过Cauchy-Schwarz不等式来证明算术平均数大于等于几何平均数的不等式：(a₁+a₂+...+aₙ)/n≥√(a₁a₂...aₙ)三、归纳法和递推法：在证明数学均值不等式时，可以利用归纳法和递推法构造一些递推关系式，从而推导出不等式的成立。

例如，在证明幂平均不等式时，我们可以先证明对于n=2的情况成立，即:(a²+b²)/2≥(√(a²)+√(b²))/2然后，通过递推关系式：(a₁^n+a₂^n)/2≥(√(a₁^n)+√(a₂^n))/2(a₁^(n+1)+a₂^(n+1))/2≥(√(a₁^(n+1))+√(a₂^(n+1)))/2不断迭代，可以得到幂平均不等式在任意正整数n下成立。

均值不等式公式四个及证明

均值不等式公式四个及证明1.算术均值-几何均值不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1*a2*...*an)证明：当n=2时，不等式成立。

因为(a1+a2)/2≥√(a1*a2)，即a1+a2≥2√(a1*a2)。

假设当 n=k 时，不等式成立，即(a1+a2+...+ak)/k ≥√(a1*a2*...*ak)。

现在考虑 n=k+1 的情况，即要证明(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) ≥ √(a1*a2*...*ak*ak+1)。

根据已知条件，我们有：(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) = [(a1+a2+...+ak)/k]*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1)由归纳假设，(a1+a2+...+ak)/k ≥ √(a1*a2*...*ak)。

因此，上式可以表示为：(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) ≥ (√(a1*a2*...*ak))*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1)根据加权平均不等式，我们有：(√(a1*a2*...*ak))*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1) ≥√(a1*a2*...*ak*ak+1)因此，不等式成立。

2. 广义均值不等式（Cauchy不等式）：对于非负实数 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p) * (b1^q+b2^q+...+bn^q)^(1/q) ≥ a1*b1+a2*b2+...+an*bn其中，p和q是正实数，满足1/p+1/q=1证明：当n=2时，不等式成立。

因为(a1^p+a2^p)^(1/p)*(b1^q+b2^q)^(1/q)≥a1*b1+a2*b2假设当 n=k 时，不等式成立，即 (a1^p+a2^p+...+ak^p)^(1/p) * (b1^q+b2^q+...+bk^q)^(1/q) ≥ a1*b1+a2*b2+...+ak*bk。

数学均值不等式的证明方法

数学均值不等式的证明方法数学均值不等式的证明方法均值不等式是数学的公式，经常拿来证明一些题目的。

下面就是店铺给大家整理的均值不等式的证明内容，希望大家喜欢。

均值不等式的证明方法一设a1,a2,a3...an是n个正实数，求证(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要简单的详细过程，谢谢你会用到均值不等式推广的证明，估计是搞竞赛的把对n做反向数学归纳法首先归纳n=2^k的情况k=1 。

k成立 k+1 。

这些都很简单的用a+b>=√(ab) 可以证明得到关键是下面的反向数学归纳法如果n成立对n-1，你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)然后代到已经成立的n的式子里，整理下就可以得到n-1也成立。

所以得证均值不等式的证明方法二=2^k中k是范围k是正整数第一步先去归纳2，4，8，16，32 ... 这种2的k次方的数一般的.数学归纳法是知道n成立时，去证明比n大的时候也成立。

而反向数学归纳法是在知道n成立的前提下，对比n小的数进行归纳，指“平方平均”大于“算术平均”大于“几何平均”大于“调和平均”我记得好像有两种几何证法，一种三角证法，一种代数证法。

请赐教!sqrt{[(a1)^2+(a2)^2+..(an)^2/n]}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)证明：1.sqrt(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n两边平方,即证((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n 均值不等式的证明方法三(1) 如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：柯西不等式变式：a1^2/b1 + a2^2/b2 +...an^2/bn ≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn)当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可(2)柯西不等式(a1^2 + a2^2 +...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^2[竞赛书上都有证明：空间向量法;二次函数法;是赫尔德不等式的特例]2.(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)(1)琴生不等式: 若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)令f(x)=lgx 显然，lgx在定义域内是凸函数[判断凸函数的方法是二阶导数<0,或从图象上直接观察]nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg[(a1+a2+..an)/n]≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an也即lg[(a1+a2+..an)/n]≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn 次根号(a1a2..an)f(x)在定义域内单调递增，所以(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2..an)(2)原不等式即证：a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an先证明a^n+b^n≥a^(n-1)b+b^(n-1)a 做差(a-b)(a^(n-1)-b^(n-1))[同号]≥02*(a1^n+a2^n+...an^n)≥a1^(n-1)a2+a2^(n-1)a1+a2^(n-1)a3+a3^(n-1)a2...an^(n-1)a1+a1^a(n-1)an=a2(a1^(n-1)+a3^(n-1))+a3(a2^(n-1)+a4^(n-1))...≥a2a1^(n-2)a3+a2a3^(n-2)a1+...[重复操作n 次]≥...≥2na1a2...an即a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an(3)数学归纳法:但要用到 (1+x)^n>1+nx这个不等式，不予介绍3.n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)原不等式即证：n次根号(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n 左边=n次根号[a2a3..an/a1^(n-1)]+n次根号+[a1a3a4..an/a2(n-1)]+n次根号[a1a2a4...an/a3^(n-1)]+...n次根号[a1a2a3...a(n-1)/an^(n-1)]由2得和≥n*n次根号(它们的积) 所以左边≥n*n次根号(1)=n所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)证毕【数学均值不等式的证明方法】。

均值不等式的证明(精选多篇)

均值不等式的证明(精选多篇)常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足hn?gn?an?qn?、ana1、a2、?r?，当且仅当a1?a2???an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a222?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)， a,b?0?2ab(4)对实数a,b，有a?a-b??b?a-b?a2?b2?2ab?0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2?b2?c2?ab?bc?aca?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。

当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点，设f?x??lnx，f?x?为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）均值不等式证明一、已知x,y为正实数，且x+y=1求证xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2当且仅当xy=1/xy时取等也就是xy=1时画出xy+1/xy图像得01时，单调增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：证xy+1/xy≥17/4即证4(xy)?-17xy+4≥0即证(4xy-1)(xy-4)≥0即证xy≥4，xy≤1/4而x,y∈r+，x+y=1显然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得证法三：∵同理0xy+1/xy-17/4=(4x?y?-4-17xy)/4xy=(1-4xy)(4-xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】那么1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0三、1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足hn≤gn ≤an≤qn的式子即为均值不等式。

均值不等式的证明方法

均值不等式的证明方法一、几何证明方法：对于非负实数a和b，我们可以将其表示在坐标平面上的点A(a,0)和B(b,0)上。

那么，两点之间的距离AB可以表示为：AB=√[(a-b)²+0²]=√[(a-b)²]=，a-b接下来，我们要证明的是：当a ≠ b 时，有 AM > GM。

M 是 AB 线段上的一点，对应着实数 m。

设 M 的坐标为 (m,0)，则 AM 和 GM 分别为，a - m，和√(am)。

根据几何直观，我们可以发现 AM > GM 可以转化为AM² > GM²，即，a - m，² > am 或者 (a - m)² > am。

我们将不等式 (a - m)² > am 展开，得到a² - 2am + m² > am。

化简得到a² - am + m² > 0，再进一步得到 a(a - m) + m² > 0。

由于 a > 0（即a ≠ 0），所以 a(a - m) > 0。

结合m² > 0（任何实数的平方都大于 0），我们可以得到 a(a - m) + m² > 0。

综上所述，当 a ≠ b 时，有，a - m，² > am，即 AM > GM。

因此，我们证明了均值不等式在几何意义下的正确性。

二、代数证明方法：我们可以使用代数证明方法来推导均值不等式的一般形式。

首先，我们定义两个非负实数a和b的算术平均数（AM）为：AM=(a+b)/2定义它们的几何平均数（GM）为：GM = √(ab)我们要证明的是AM≥GM。

我们可以对AM和GM进行平方，得到：AM²=(a+b)²/4GM² = ab接下来，我们使用等价变形和代数运算，来证明AM²≥GM²：AM² - GM² = (a + b)² / 4 - ab= (a² + 2ab + b²) / 4 - ab= (a² + ab + ab + b²) / 4 - ab= (a² + 2ab + b²) / 4 - 2ab / 4= (a + b)² / 4 - 2ab / 4= (a + b)² - 2ab / 4= a² + 2ab + b² - 2ab / 4= a² + ab + ab + b² - 2ab / 4= (a² + ab + ab + b² - 2ab) / 4= (a² - ab - ab + b²) / 4= (a² - 2ab + b²) / 4=(a-b)²/4根据等价变形，我们可以推出AM²-GM²=(a-b)²/4≥0。

高中四个均值不等式

高中四个均值不等式在高中数学中，均值不等式是一组重要的不等式，包括算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数。

本篇文章将详细介绍这四个均值不等式的定义、特点、证明以及应用。

一、算术平均数不等式算术平均数不等式也称为平均值不等式，是指对于任意非负实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdotsa_n}$$等号成立的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。

算术平均数不等式的特点是，它是一组相对简单但应用广泛的不等式。

证明方法有多种，如引入柯西-施瓦茨不等式、引用对数函数的性质等。

同时，算术平均数不等式与几何平均数不等式、调和平均数不等式和平方平均数不等式共同构成均值不等式的四大基石。

应用方面，算术平均数不等式可以用于证明其他不等式，如根据其性质证明柯西-施瓦茨不等式、夹逼定理等；还可以用于优化问题的求解，如求解简单平均数、加权平均数等。

二、几何平均数不等式几何平均数不等式是指对于任意正实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$$\sqrt[n]{a_1a_2\cdotsa_n}\leq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$等号成立的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。

几何平均数不等式的特点是，它是一组与比例有关的不等式，反映了乘法的稳定性。

它可以通过对数函数的性质、证明柯西-施瓦茨不等式等方法进行证明。

应用方面，几何平均数不等式可以用于处理带有乘方项的优化问题，如优化几何平均数、加权几何平均数等；还可以用于证明其他不等式，如证明柯西-施瓦茨不等式的基本形式。

三、调和平均数不等式调和平均数不等式是指对于任意正实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a _n}}\leq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$等号成立的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。

均值不等式的证明

均值不等式的证明什么是均值不等式在数学中，均值不等式是关于算术平均数、几何平均数、调和平均数和根数之间的关系不等式。

均值不等式的形式有很多种，这里主要介绍算术平均数和几何平均数之间的均值不等式。

算术平均数和几何平均数在介绍均值不等式之前，我们先来了解一下算术平均数和几何平均数的概念。

算术平均数算术平均数是一组数的和与数的个数之商。

例如，对于数列a1,a2,...,a n，它们的算术平均数为：$$\\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$$几何平均数几何平均数是一组数的乘积的 n 次方根，即：$$\\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$$例如，对于数列a1,a2,...,a n，它们的几何平均数为：$$\\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$$均值不等式的证明我们现在来证明算术平均数和几何平均数之间的均值不等式：$$\\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\\ge\\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$$证明过程我们可以使用数学归纳法来证明均值不等式。

当n=2时，即对于数列a1,a2，我们要证明的是：$$\\frac{a_1+a_2}{2} \\ge \\sqrt{a_1a_2}$$将左边平方得：$$\\frac{(a_1+a_2)^2}{4}\\ge a_1a_2$$化简得：$$a_1^2+2a_1a_2+a_2^2 \\ge 4a_1a_2$$移项得：$$(a_1-a_2)^2\\ge0$$这个不等式显然成立。

所以当n=2时，均值不等式成立。

假设当n=k时均值不等式成立，即：$$\\frac{a_1+a_2+...+a_k}{k}\\ge\\sqrt[k]{a_1a_2...a_k}$$现在我们要证明当n=k+1时均值不等式仍成立，即：$$\\frac{a_1+a_2+...+a_k+a_{k+1}}{k+1}\\ge\\sqrt[k+1]{a_1a_2...a_ka_{k+1}}$$ 将式子左边的分数拆开，得：$$\\frac{a_1+a_2+...+a_k}{k+1}+\\frac{a_{k+1}}{k+1}$$根据归纳假设，我们有：$$\\frac{a_1+a_2+...+a_k}{k}\\ge\\sqrt[k]{a_1a_2...a_k}$$所以：$$\\frac{a_1+a_2+...+a_k}{k+1}\\ge\\sqrt[k]{a_1a_2...a_k}\\cdot\\frac{k}{k+1} $$对于右边的部分：$$\\sqrt[k+1]{a_1a_2...a_ka_{k+1}}=\\sqrt[k]{a_1a_2...a_k}\\cdot\\sqrt[k+1]{a_ {k+1}}$$因为 $k+1 \\ge 2$，所以根据两个数的均值不等式，有：$$\\frac{\\sqrt[k]{a_1a_2...a_k}+\\sqrt[k+1]{a_{k+1}}}{2}\\ge\\sqrt[k+1]{a_1a _2...a_ka_{k+1}}$$即：$$\\sqrt[k+1]{a_{k+1}}\\ge\\sqrt[k]{a_1a_2...a_k}\\cdot\\frac{2}{k+1}$$所以：$$\\frac{a_1+a_2+...+a_k}{k+1}\\ge\\sqrt[k]{a_1a_2...a_k}\\cdot\\frac{k}{k+1} \\ge\\sqrt[k]{a_1a_2...a_k}\\cdot\\frac{2}{k+1}$$把左边和右边的不等式相加，得：$$\\frac{a_1+a_2+...+a_k}{k+1}+\\frac{a_{k+1}}{k+1}\\ge\\sqrt[k]{a_1a_2...a_k }\\cdot\\frac{2}{k+1}+\\sqrt[k]{a_1a_2...a_k}\\cdot\\frac{k+1}{k+1}$$ 化简得：$$\\frac{a_1+a_2+...+a_k+a_{k+1}}{k+1}\\ge\\sqrt[k+1]{a_1a_2...a_ka_{k+1}}$$ 所以当n=k+1时均值不等式也成立。

均值不等式的证明

均值不等式的证明首先，我们来说明均值不等式的基本形式。

设有n个实数a1，a2，...，an。

根据算术平均数的定义，它们的算术平均数为：M1 = (a1 + a2 + ... + an) / n。

根据几何平均数的定义，这n个实数的几何平均数为：M2 = (a1 × a2 × ... × an)^(1/n)。

M1≥M2下面，我们来证明这一不等式。

首先，我们要证明一个引理：对于任意的正实数x1，x2，...，xn，有：(x1 + x2 + ... + xn) / n ≥ (x1 × x2 × ... × xn)^(1/n)。

这个引理可以通过应用一些基本的数学原理得到：首先，我们设一个函数f(t) = ln(t)，其中t是一个正实数。

由于f’(t) = 1/t > 0，所以f(t)在（0，+ ∞）区间上是单调递增的。

根据数学分析中的中值定理，对于任意的t1，t2（t1 < t2），有f(t2) - f(t1) = f’(c)(t2 - t1)，其中c介于t1和t2之间。

将t1设为a1 × a2 × ... × an，t2设为a1 + a2 + ... + an，则有：ln(a1 × a2 × ... × an) - ln(a1 + a2 + ... + an) ≥ 0。

根据ln的性质，这个不等式可以变形为：ln(a1 × a2 × ... × an) ≥ ln(a1 + a2 + ... + an)。

再将上述不等式两边取指数，得到：a1 × a2 × ... × an ≥ a1 + a2 + ... + an。

这就证明了引理。

接下来，我们来证明均值不等式。

假设a1，a2，...，an是n个实数。

由引理可知：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ (a1 × a2× ... × an)^(1/n)。

均值不等式成立的条件

一正：数字必须大于零，两个数字为正；
二定：数字之间可以通过加法或乘法出现定值，乘积为定值——可以不是具体的数字，但标题中必须是常量；
三相等：检查是否得到等号，并当且仅当两个数相等时，不等式的等号成立。

一般来说，第三步容易被忽略，所以这也是均值不等式的一个易出错点。

均值不等式
均值不等式，又称均值不等式、均值不等式，是数学中的一个重要公式。

公式内容为HN ≤GN≤an≤QN，即调和平均值不超过几何平均值，几何平均值不超过算术平均值，算术平均值不超过平方平均值。

证明均值不等式的方法有很多，如数学归纳法（第一数学归纳法或逆归纳法）、拉格朗日乘子法、Jenson不等式法、秩不等式法、Cauchy不等式法等。

均值不等式证明的推导方法

均值不等式证明的推导方法均值不等式证明的推导方法均值不等式是数学的公式，这类的公式是怎么证明的呢?证明的过程是的呢?下面就是店铺给大家整理的均值不等式证明内容，希望大家喜欢。

均值不等式证明方法一已知x,y为正实数，且x+y=1 求证xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2当且仅当xy=1/xy时取等也就是xy=1时画出xy+1/xy图像得01时，单调增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的`方法为不是用均值不等式证的均值不等式证明方法二证xy+1/xy≥17/4即证4(xy)²-17xy+4≥0即证(4xy-1)(xy-4)≥0即证xy≥4，xy≤1/4而x,y∈R+，x+y=1显然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得证∵同理0xy+1/xy-17/4=(4x²y²-4-17xy)/4xy=(1-4xy)(4-xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4均值不等式证明方法三已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】那么1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0三、1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

常用均值不等式及证明证明

常用均值不等式及证明证明常用的均值不等式有以下几个：1.算术均值-几何均值不等式：对于任意非负实数$a_1,a_2,...,a_n$，有$\dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}$证明：设 $S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$，则 $a_1 + a_2+ ... + a_n = nS$。

由均值不等式 $a_1 + a_2 + ... + a_n \geq n \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$，将等式两边同时除以 n 得到$S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$2.二次均值不等式（柯西-施瓦茨不等式）：对于任意实数$a_1,a_2,...,a_n$和$b_1,b_2,...,b_n$，有$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2$证明：设$x=(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$，$y=(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$。

对于任意非零实数$t$，考虑函数$f(t)=t^2y-x$。

由于 $f(t)$ 是一个二次函数，且 $f(t) \geq 0$，则 $f(t)$ 的判别式不大于 0。

即 $4y(a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 - 4y(a_1^2 +a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \leq 0$。

简化之后得到 $(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2+ ... + b_n^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 \geq 0$，即所证明的不等式。