2-3 分块矩阵及其运算.ppt
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2-3分块矩阵及其运算
λ A11 L λ A1 r M . λA = M λA L λ Asr s1
(3 ) 设 A 为 m × l矩阵 , B 为 l × n 矩阵 , 分块成
A11 A= M A s1 L L A1 t M A st , B 11 B = M B t1 L L B1 r M B tr ,
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
1 0 0 1 , 4 1 2 0
1 解 把 A, B 分块成 0 A = −1 1
0 1
0 0 0 0 2 1 0 1 0 1
E O = , 1 A E
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
第三节、 第三节、分块矩阵及运算
一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算规则
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵A，为了 简化运算，经常采用分块法 分块法， 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是： 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵， 子块， 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子 分块矩阵. 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
例
a 0 A= 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 A1 0 = A2 , 1 A3 b
即
A
A 1 = A2 A3
A = (a 1 0 0) 1
0 a 0 0 A2= 0 1 1 b
其中 Ai (i = 1,2, L s )
A1 都是方阵 , 那末称 A 为 O A2 分块对角矩阵 . A= , O O A = diag A1 , A2 ,L , As . As
(3 ) 设 A 为 m × l矩阵 , B 为 l × n 矩阵 , 分块成
A11 A= M A s1 L L A1 t M A st , B 11 B = M B t1 L L B1 r M B tr ,
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
1 0 0 1 , 4 1 2 0
1 解 把 A, B 分块成 0 A = −1 1
0 1
0 0 0 0 2 1 0 1 0 1
E O = , 1 A E
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
第三节、 第三节、分块矩阵及运算
一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算规则
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵A，为了 简化运算，经常采用分块法 分块法， 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是： 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵， 子块， 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子 分块矩阵. 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
例
a 0 A= 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 A1 0 = A2 , 1 A3 b
即
A
A 1 = A2 A3
A = (a 1 0 0) 1
0 a 0 0 A2= 0 1 1 b
其中 Ai (i = 1,2, L s )
A1 都是方阵 , 那末称 A 为 O A2 分块对角矩阵 . A= , O O A = diag A1 , A2 ,L , As . As
分块矩阵及其运算
第二章
矩阵及其 运算
1
第二章 矩阵概念及其运算
第三节 分块矩阵(Block matrix) 及其运算
分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 问题与思考
2
一、分块矩阵的概念
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小 矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵.
例如矩阵:
a11 a12 a13 a14
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
B
1 1
2 0
Байду номын сангаас
0 1 4 1
1 1 2 0
1 1 2 0
1 0 1 0
B
A a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24
a34
记为 A11
A21
其中
A11
a11 a21
a12 a22
a13 a23
;
A12
a14 a24
;
A12
A22
A21 a31 a32 a33 ;
A22 a34
3
注: 任一矩阵A有多种分块方法,较特殊的分块有:
1)将矩阵A视为一个子块的分块矩阵; A
k 1
7
3.分块矩阵的转置
设矩阵A分块如下:
A11
矩阵及其 运算
1
第二章 矩阵概念及其运算
第三节 分块矩阵(Block matrix) 及其运算
分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 问题与思考
2
一、分块矩阵的概念
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小 矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵.
例如矩阵:
a11 a12 a13 a14
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
B
1 1
2 0
Байду номын сангаас
0 1 4 1
1 1 2 0
1 1 2 0
1 0 1 0
B
A a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24
a34
记为 A11
A21
其中
A11
a11 a21
a12 a22
a13 a23
;
A12
a14 a24
;
A12
A22
A21 a31 a32 a33 ;
A22 a34
3
注: 任一矩阵A有多种分块方法,较特殊的分块有:
1)将矩阵A视为一个子块的分块矩阵; A
k 1
7
3.分块矩阵的转置
设矩阵A分块如下:
A11
第三章3分块矩阵
n1列 n2列
m1 m2 m s m , n1 n2 nt n.
5
A11 B11 A12 B12 A21 B21 A22 B22 A B As1 As1 As 2 As 2 kA11 kA12 kA21 kA22 kA kAs1 kAs 2
A12 . A22
a13 a14 a11 a12 A11 , , A12 a21 a22 a23 a24 A21 (a31 a32 ), A22 (a33 a34 ),
3
经常把矩阵的行或列作为子块.
2 a21 a22 a23 1 a31 a32 a33 j a1 j
§3分块矩阵
一 矩阵的分块 二 分块矩阵的运算 三分块矩阵的应用举例
1
一、矩阵的分块 在理论研究和实际应用中往往需要把大的矩 阵分成若干个小矩阵，这些小矩阵称为原矩 阵的子阵或子块，原矩阵则称为分块矩阵. 例如矩阵 1 0 0 0 0 1 0 0 3 2 A , A1 , 3 2 1 0 1 2 1 2 0 1
2 0 0 0
其实更简单,分块计算只是为了认识一下矩 阵分块,并且说明直接计算和分块计算结果 是一样的.
10
2.分块矩阵的乘法 我们知道A和B相乘，必须A的元素的列 数等于B的元素的行数；对应地，分块相 A 乘时，A的块的列数必须等于B的块的行 数,并且A的每块元素的列数必须等于B的 每块的元素的行数.
A 1 a2 j
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24 , a a32 a33 a34 31 1 a11 a12 a13 a14 ,
2.3 分块矩阵
(3) 按行分块
a11 a12 a1n β1 a a a β2 21 22 2n A am1 am 2 amn βm
矩阵的分块
7/24
注 究竟选择哪种分块方法, 这取决于矩阵的特点和问 题的需要, 应尽可能使得更多的子块成为零矩阵、
A22 As 2
, Ass
A22
矩阵的分块
9/24
的分块矩阵依次称为分块上三角矩阵, 分块下三角矩阵, 分块对角矩阵, 其中 Aii 都是方阵, i 1,2,, s. 分块上三角矩阵和分块下三角矩阵统称为分块三角矩阵. 上述分块对角矩阵记作 diag(A11, A22, , Ass) .
矩阵的分块
21/24
a11 a12 a a22 21 增广矩阵 A am1 am1 [A [ A | b], 或 A 记为 A
a1n a2 n amn
b] .
b1 b2 , bm
注 1861年, Smith 引进了增广矩阵 . 对方程组做初等变换时 , 只是对系数和常数项进行了
矩阵的分块
10/24
2.3.2 分块矩阵的运算
(1) 分块矩阵的加法
设
A11 A1t B11 B1t , B , A As1 Ast Bs1 Bst A11 B11 A B As1 Bs1 A1t B1t . Ast24
在 mn 线性方程组 Ax b 中, 将未知量向量 x 换成 ns 未知量矩阵 X 、常数项向量 b 换成 ms 矩阵 B, 就得到 所谓的矩阵方程 AX B, 并且称 [A B] 为增广矩阵.
a11 a12 a1n β1 a a a β2 21 22 2n A am1 am 2 amn βm
矩阵的分块
7/24
注 究竟选择哪种分块方法, 这取决于矩阵的特点和问 题的需要, 应尽可能使得更多的子块成为零矩阵、
A22 As 2
, Ass
A22
矩阵的分块
9/24
的分块矩阵依次称为分块上三角矩阵, 分块下三角矩阵, 分块对角矩阵, 其中 Aii 都是方阵, i 1,2,, s. 分块上三角矩阵和分块下三角矩阵统称为分块三角矩阵. 上述分块对角矩阵记作 diag(A11, A22, , Ass) .
矩阵的分块
21/24
a11 a12 a a22 21 增广矩阵 A am1 am1 [A [ A | b], 或 A 记为 A
a1n a2 n amn
b] .
b1 b2 , bm
注 1861年, Smith 引进了增广矩阵 . 对方程组做初等变换时 , 只是对系数和常数项进行了
矩阵的分块
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2.3.2 分块矩阵的运算
(1) 分块矩阵的加法
设
A11 A1t B11 B1t , B , A As1 Ast Bs1 Bst A11 B11 A B As1 Bs1 A1t B1t . Ast24
在 mn 线性方程组 Ax b 中, 将未知量向量 x 换成 ns 未知量矩阵 X 、常数项向量 b 换成 ms 矩阵 B, 就得到 所谓的矩阵方程 AX B, 并且称 [A B] 为增广矩阵.
《矩阵分块法》课件
矩阵分块法的优缺点
矩阵分块法具有降低计算规模、提高计算效率和减少内存 占用的优点，但同时也存在分块方式选择不当可能导致计 算精度下降的缺点。
分块法未来的研究方向
优化分块算法
并行化与分布式计算
针对不同的应用场景，研究更加高效和稳 定的分块算法，以提高计算精度和效率。
利用并行化和分布式计算技术，实现大规 模矩阵分块计算的快速求解，以满足大规 模科学计算和工程应用的需求。
《矩阵分块法》 PPT课件
目录
• 引言 • 矩阵分块法的基本原理 • 矩阵分块法的算法实现 • 矩阵分块法的应用实例 • 矩阵分块法的优化与改进 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
什么是矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分 解为若干个小矩阵的数学方法。
通过将矩阵进行适当的分块，可 以简化计算过程，提高计算效率
03
CATALOGUE
矩阵分块法的算法实现
分块矩阵的存储方式
二维数组
将分块矩阵存储为一个二维数组 ，每个元素代表一个子矩阵。
稀疏矩阵格式
对于稀疏矩阵，可以使用特殊的 存储格式，如COO、CSR等，以 节省存储空间。
分块矩阵的算法步骤
分块
将原始矩阵按照一定的规 则划分为多个子矩阵。
计算子矩阵
对每个子矩阵进行所需的 操作，如求逆、求特征值 等。
简化计算
对于某些特殊类型的矩阵，如稀疏矩阵或结构矩阵，分 块法可以进一步简化计算，提高计算效率。
分块法可以将大型矩阵的特征值问题分解为若干个小矩 阵的特征值问题，简化计算过程。
分块法还可以用于预处理步骤，通过将大型矩阵分解为 小矩阵，可以更好地应用特征值计算的迭代方法。
分块法在图像处理中的应用
矩阵分块法具有降低计算规模、提高计算效率和减少内存 占用的优点，但同时也存在分块方式选择不当可能导致计 算精度下降的缺点。
分块法未来的研究方向
优化分块算法
并行化与分布式计算
针对不同的应用场景，研究更加高效和稳 定的分块算法，以提高计算精度和效率。
利用并行化和分布式计算技术，实现大规 模矩阵分块计算的快速求解，以满足大规 模科学计算和工程应用的需求。
《矩阵分块法》 PPT课件
目录
• 引言 • 矩阵分块法的基本原理 • 矩阵分块法的算法实现 • 矩阵分块法的应用实例 • 矩阵分块法的优化与改进 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
什么是矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分 解为若干个小矩阵的数学方法。
通过将矩阵进行适当的分块，可 以简化计算过程，提高计算效率
03
CATALOGUE
矩阵分块法的算法实现
分块矩阵的存储方式
二维数组
将分块矩阵存储为一个二维数组 ，每个元素代表一个子矩阵。
稀疏矩阵格式
对于稀疏矩阵，可以使用特殊的 存储格式，如COO、CSR等，以 节省存储空间。
分块矩阵的算法步骤
分块
将原始矩阵按照一定的规 则划分为多个子矩阵。
计算子矩阵
对每个子矩阵进行所需的 操作，如求逆、求特征值 等。
简化计算
对于某些特殊类型的矩阵，如稀疏矩阵或结构矩阵，分 块法可以进一步简化计算，提高计算效率。
分块法可以将大型矩阵的特征值问题分解为若干个小矩 阵的特征值问题，简化计算过程。
分块法还可以用于预处理步骤，通过将大型矩阵分解为 小矩阵，可以更好地应用特征值计算的迭代方法。
分块法在图像处理中的应用
第五讲矩阵的分块、矩阵的初等变换.
第五讲 矩阵的分块、矩阵的初等变换教学目的：1. 介绍矩阵分块时的代数运算；2.讲解矩阵的初等变换及其应用;教学内容：第二章矩阵§2.3分块矩阵；§2.4初等变换与初等矩阵; 教材相关部分：§2.3 分块矩阵把一个规格较大的矩阵划分成若干小块，用分块方式来处理，把大矩阵的运算转化为小矩阵的 运算，不仅能使运算较为简明，更重要的是使运用微型计算机组合来计算大矩阵成为可能。
A11A21、矩阵的分块：定义2.9 用一些纵、 各个小矩阵称为 分块矩阵, 横虚线将矩阵 A 的子块。
A 分割成若干小矩阵，以这些小矩阵为元素的矩阵称为其中 A11也可以按行分块: 或按列分块: an A21A22a 21am1 a 11 a12 a 1na21 a22a2nA A 2am1am2amna 12 a 22 a m2a 1n a 2namnB B 2B n、分块矩阵的运算：对分块矩阵进行运算时, 可以把每一个子块当作矩阵的一个元素来处理,但应保证运算的可行。
重点是初等变换的过程和应用A 221.分块矩阵的加法、数乘、转置：定义2.10设矩阵A、B是两个同规格矩阵，且分块法一致，即:A 11 A 12 A1rB11B 12 B1rA21A22A 2r,B21 B22B 2r，A 21JB 21As1As2AsrBs1Bs2Bsr其中每一 A ij 与 B ij 的规格都对应相同，则规定加法为：AA 11 A21B 21B11 B21A 12B 12 A22 B22A 1rA2r B1rB 2r；；(2.26)As1Bs1As2Bs2AsrB srA11 A 12A1r设 为数，则规定数乘为：AA21A22A 2r；；(2.27)As1As2AsrA 1T 1A 2T 1A s T 1此外，规定转置为：A TA 1T 2 A 2T 2A s T 2。
(2.28)A 1T rA 2T rA s T r2.分块矩阵的乘法：定义2.11 设A 是mn 矩阵， B 是np 矩阵。
分块矩阵ppt课件
X X4 2
A11 X A 122 X A 312 X3
A11 X A 222 X A 412 X4
E 0
0 E
A11 X 1 A12 X 3 E
得到4个矩阵方程组
A11 A22
X X
2 3
A12 X 0
4
0
A22 X 4 E
求解该方程组，得
X4
A 1 22
X3 0
X 1 A1T1
Ax1 = b1, Ax2 = b2, …, Axt = bt 其中B = ( b1, b2, …, bt )， X = ( x1, x2, …, xt )
例3. 求解下列矩阵方程
1 2 3 1 1 1 X 2 2
A1B1B111B21
E A1B22
又 A1B11B21 11 1 2 11 0 2 11 01
03
2411
01
2 1
4 1
1 A1B221
1 22 4
1 0
3 3
3 1
于是 ABA1B1B111B21 A1EB22
1 0 1 0
1 2 1
4 4 1
0 3 3
1
3 1
说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程
r
C uw A uB vvw (u1 , ,s;w 1 , ,t) v 1
注. 分块矩阵乘积AB中，每个子块：
r
（1）作为分块阵元素参与运算Cuw AuvBvw v1
（2）作为矩阵也要满足乘法条件 AuvBvw
例1. 用分块矩阵法求AB
1
A
0 1 1
0 1 2 1
0 0 1 0
0
0
0 1
矩阵教学课件
例如:
13 2
6 2
5 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2) 只有一行的矩阵 A a1,a2 ,,an ,称为行矩阵(或行向量).
(3) 只有一列的矩阵
a1
B
a2
,
an
称为列矩阵(或列向量).
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
例8: 设列矩阵X = (x1 x2 ···xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位 矩阵, H = E – 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且HHT = E.
证明: 自学 （见P49）
第二章 矩阵
§2 矩阵的运算
五、方阵的行列式 定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位
置不变),称为方阵A的行列式,记作|A| 或det A. 例
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念 §2 矩阵的运算 §3 逆矩阵 §4 分块矩阵 §5 矩阵的初等变换 §6 矩阵的秩
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
一、矩阵的定义 定义: 由m×n个数aij (i = 1,2, ∙ ∙ ∙, m ; j = 1,2, ∙ ∙ ∙, n) 排
成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1、x2、…xn到变量y1、y2、…ym的线性变换，
其中aij为常数。
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
,
x
矩阵及其运算 ppt课件
而b1i，b2i，…，bsi 正好是 BT的第 i 行，
aj1,aj2,…,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT 的第 i 行第 j 列的元素。故
( AB )T = AT BT
6.方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元
素的位置不变)，称为方阵 A 的行列式，记为 | A| 或 det A。 注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它 们的记号也是不同的。
∴ (AＢ)－1=Ｂ－1 A－1
第三节 矩阵的分块
本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的
方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线 与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩
阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上 的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些
小矩阵当做一个数来处理。
a11 a12 a13 a14
A11 A21 ... An1
A*
A12 ...
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊ 伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ：
AA*A*A(detA)E
例 1设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。
如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法: 设有两个同型的 m×n 阶矩阵
A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B，并规定
aj1,aj2,…,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT 的第 i 行第 j 列的元素。故
( AB )T = AT BT
6.方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元
素的位置不变)，称为方阵 A 的行列式，记为 | A| 或 det A。 注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它 们的记号也是不同的。
∴ (AＢ)－1=Ｂ－1 A－1
第三节 矩阵的分块
本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的
方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线 与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩
阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上 的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些
小矩阵当做一个数来处理。
a11 a12 a13 a14
A11 A21 ... An1
A*
A12 ...
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊ 伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ：
AA*A*A(detA)E
例 1设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。
如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法: 设有两个同型的 m×n 阶矩阵
A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B，并规定
2.3矩阵的分块
A11 ⋯ ( 2)设 A = ⋮ A s1 ⋯
A11 ⋯ (3) 设 A为m × l矩阵, A= ⋮ B为l × n矩阵, 分块成 A s1 ⋯
A1t B11 ⋯ B1r ⋮ , B = ⋮ ⋮ , B Ast ⋯ Btr t1
3 0 2 1 B = 0 1 0 0 E 则 AB = 2 01× 2
− 2 0 B 11 = 0 0 2 ×1 1 − 2 E 2 B11 B12 A22 0 2×1 E 2
0 1 0
−2 0 5
0 E2 − 2 = 0 3 1×2
3 1 故 AB = 0
−2 2 5
− 2 − 2 3
1 0 例 2 用矩阵分块的方法 , 求 A = 0 −1
0 1 −1 0
0 1 1 0
1 0 0 1 A= 0 −1 −1 0
0 1 1 0
1 0 A11 A12 1 0 = 其中A11 = , 0 A21 A22 0 1 1 0 1 0 −1 1 0 A12 = , A21 = −1 0 , A22 = 0 1 1 0
1 0 的转置矩阵 AT . 0 1
T A11 于是AT = T A 21
1 0 T 1 A12 0 = T A22 0 − 1 −1 0
0 1 1 0
1 0 这一解法是否正确 ? 0 1
例 3 设 A为三阶矩阵 , α 1 , α 2 , α 3 是线性无关的三维列向 量 , 且 满足 Aα 1 = α 1 + α 2 + α 3 , Aα 2 = 2α 2 + α 3 , Aα 3 = 2α 2 + 3α 3
矩阵的分块25页PPT
矩阵的分块
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
பைடு நூலகம்
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
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