认知无线电中协同频谱估计算法改进

认知无线电中协同频谱估计算法改进摘要：针对认知无线电网络中认知用户接收到频谱信号的决策值，提出了一种协同的分布式平均一致性算法。

通过自动调节步长的大小，并且在迭代过程中结合最速下降法和牛顿法，获得全局最优的估计值集合，同时联合全网用户交换信息做出最优估计，优化了计算的迭代次数以及收敛性。

实验结果表明，联合算法可适应不同规模的系统，在同等条件下其收敛时间缩短了约20%，且具有较好的稳定性能。

关键词：认知无线电；分布式平均一致性；最速下降法；牛顿法0引言“一致性问题”广泛应用于无线通信网络、分布式传感器网络、无人机协调控制等领域。

很多研究都致力于找出一种高效、快速的一致性算法。

俞辉等采用加权平均决策值以增强控制器的灵活性，同时考虑了时间延迟的情况；F.Richard等将分布式协同一致性应用于认知无线电的频谱估计；Olfat等对有向网络拓扑分别在离散时间以及连续时间的情况进行了研究；Xiao.L等提出了运用分布式快速线性迭代法分析一致性问题，并用内点法求解快速线性迭代的问题，并运用最速下降法和牛顿法求解最小均方误差的一致性问题。

由于深衰落、阴影效应及噪声的影响，在认知无线电网络中，由单个认知用户进行频谱估计的准确率较差。

同时在实际网络中，认知用户规模存在差异。

因此，本文提出基于最速下降法和牛顿法的联合算法，以解决不同规模下多智能体系统的分布式一致性问题。

将最速下降法能够快速寻找极小值点的优势，与牛顿法在极小点附近收敛性好、速度快的优点相结合使用。

在保证收敛速度的同时也适用于不同规模下的多智能体系统。

1系统模型系统模型如图1所示，设在一定区域里分布了I个主用户和J个认知用户（简称CR用户），它们的位置是预先定义的，各个CR用户与主用户的距离不同，受到不同的频率选择性衰落、阴影效应等。

每个CR用户将进行本地的频谱判决结果和本地的SNR信息以广播形式发给邻居CR用户，每个CR用户再将接收的SNR与阈值比较，选取最优的合作对象。

然后按照平均一致算法进行判决结果的融合，得到最后检测结果。

图1系统模型假设无线电网络结构G（N，ε）是由结点（CR）集合N={1，…，n}和边集合ε组成，其中边｛i，j｝∈ε，结点i的邻接成员集合表示为Ni={j|{i，j}∈ε}。

Ni的元素的个数表示为|Ni|，并称之为结点i的度。

每个结点i具有一个初始标量值xi（0）∈R，可以将xi（0）看作是分配给结点i的一定的资源量，系统的初始值矢量表示为x（0）=（x1（0），…，xn（0））。

整个网络中结点之间允许通信的条件：当且仅当两结点是邻接点。

对于任意结点i，j∈N，设xi（t）∈R表示不同时刻结点i上的资源量。

对任意i∈N，当且仅当xi=xj时，称结点i和j是一致的。

设x=（x1，…，xn）T表示所有结点的值，总体表达式为：xi（t+1）=Wiixi（t）+∑j∈NiWijxj（t），i=1，…，n（1）其中，t=0，1，2，…是离散时间，Wij是xj在结点i上的权值矩阵，当i=j时，即Wii表示权值矩阵的主对角线元素，是结点i上一时刻值xi（t）对下一时刻值xi（t+1）的影响；当j∈Ni时Wij=0，表示结点j对结点i下一时刻的值没有影响。

将它写成矢量表达式为：X（t+1）=Wx（t）（2）对于稀疏形式的矩阵W有：W∈SS={W∈Rn×n|Wij=0当｛i，j｝∈ε且i≠j}。

为了使整个分布式网络能达到一致性，本文采用算术平均决策函数，即Ave（x）=112n ∑n12i=1xi，这里的xi用它的初值来代替，即xi（0）。

所以，本文中的一致性就是使所有结点通过与邻接点通信，使决策值最终达到（1/n）∑ni=1xi（0）。

2问题描述由（2）式可以得到：对于所有t，x（t）=Wtx（0），要找到一种权值矩阵W使得对于任意初始向量x（0），x（t）都能收敛到一个平均矢量x=（1Tx（0）/n）1=（（1/n）11T）x（0），即：limt→∞x（t）=limt→∞Wtx（0）=11T12nx（0）（3）也就是要找到一个矩阵W使满足：limt→∞Wt=11T12n（4）满足（4）式的充分必要条件：1TW=1T （5）W1=1（6）ρ（W-11T/n）＜1（7）（5）式表示对所有的时间t，有1Tx（t+1）=1Tx（t），向量1是矩阵W关于特征值1的左特征向量。

结点每一次迭代后的值都将保存下来。

（6）式表示对于任意的输入量，1都是线性迭代中确定的点，式中1是矩阵的右特征向量。

由以上两个条件，得出（7）式表示1为矩阵W的一个特征值，且矩阵的其它所有特征值的大小都必须小于1。

此外定义以下相关因子：渐进收敛因子：γasym（W）=ρ（W-（1/n）11T）相关收敛时间：τasym=112log（1/γasym）单步收敛因子：γstep（W）=‖W-11T/n‖2均方偏差：δss（W）=∑n12i=21121-λi（W）2这里的ρ（·）代表一个矩阵的谱半径。

设A是一个n×n的矩阵，λi是其特征值，i=1，2，…，n。

ρ（A）=max｛｜λi|，i=1，2，…，n｝为A的谱半径，‖A‖表示矩阵A的范数。

由此，可以将分布式线性平均一致性问题描述为如下最小化问题：minρ（W-11T/n）s.tW∈S，1TW=1T，W1=1（8）S=｛W∈Rn×n|Wij=0，当｛i，j｝∈ε且i≠j｝（8）式表明当W∈S，且1既是矩阵W关于1的左特征向量又是其右特征向量的情况下，矩阵W的最大特征值即是所求函数的最小值。

优化变量为W，由于（8）式中的目标函数是一个谱半径的矩阵，不是一个凸函数，不容易计算出它的最小值，可以将其转换为带有单步收敛因子的谱范数最小值的问题：min‖W-11T/n‖2 s.tW∈S，1TW=1T，W1=1（9）当假设网络中的边值矩阵是均匀对称的，即有Wij=Wji，{i，j}∈ε，则（8）式、（9）式可表示为：min‖W-11T/n‖2s.tW∈S，W=WT，W1=1（10）（10）式是一个有约束的优化问题，下面将（10）式转化为无约束问题，具体做法如下：假设整个网络图中有m条边，标示为1，…，m。

对每一条边任意地选择一个方向作为它的参考方向，定义关联矩阵为A∈Rn×n，表示为：Ail=1边l的起始点为i-1边l的终点为i0其它情况拉普拉斯矩阵定义为L=AAT。

均匀权值图中的每条边l具有唯一确定的权重wi=Wij=Wji。

边l 是与结点i，j相关l～（i，j）。

w∈Rm表示边权重的矢量。

由以上的这些关系，将矩阵W转化为如下形式：W=I-Adiag（w）AT（11）矩阵W的这种表达式自动地满足了约束条件：W∈S，W=WT，W1=1。

所以将（10）式表示成为一种无约束的最小值问题：min‖I-Adiag（w）AT-11T/n‖2（12）3分布式平均一致性问题求解在求解一致性问题时，当系统单独使用最速下降法时，最速下降法所选出的最优解通常为离其初始点最近的最优解，它有可能是局部的最优解而非全局的，导致错误收敛。

单独使用牛顿法也有不足之处，牛顿法要求初始点离最优解不远，若初始点选得离最优解太远时，牛顿法并不能保证其收敛。

因此，将两者结合可得到较好的效果。

将（12）式定义为如下形式：minr（w）=‖I-Adiag（w）AT-11T/n‖2这里的r表示的是rasym。

为了方便之后梯度向量g=r（w）和矩阵H=g=2r （w）这两个量的计算，将矩阵W的形式转化为：W=I-Adiag（w）AT=I-∑m12l=1wlalaTl=I-∑m12l=1wl（ei-ej）（ei-ej）Tei表示第i位的标准单位矢量，al=ei-ej，l～（i，j）是关联矩阵A的第l列。

对所有梯度向量的输入编号从0到m，g是关于w的导数。

同样地，也将Hessian矩阵的行和列编号从0到m，也是关于变量w的。

最速下降法速度快慢是由所选取的下降方向和步长决定的。

当与r（w）成180°夹角时此目标函数的下降最快，成为负梯度方向：p=-r （w）。

最优步长为λ=r（w）Tr（w）12r（w）THr（w）具体算法如下所示：第一步：给定初始数据，计算出收敛的理论值ave=（1/n）∑ni=1xi （0），求出梯度向量：g=r（k）（w）k=0，ε=10-3第二步：构造负梯度方向：p（k）=-r（k）（w）；第三步：求出最优步长λk=r（k）（w）Tr（k）（w）12r（k）（w）THr（k）（w），令r（k+1）（w）=r（k）（w）+λkp（k）=r（k）-λkr（k）（w）；第四步：将所求实际值与理论值比较，当｜r（k+1）（w）-ave｜＜ε时转入下一步；否则将k=k+1，转到第一步；第五步：用牛顿法，构造牛顿方向：p（k）=-[2r（k）（w）]-1r （k）（w）=-H-1g第六步：r（k+1）（w）=r（k）（w）+p（k）4仿真结果及分析假设被检测的信道带宽范围为0～200MHz，信道为瑞利信道，通过压缩感知方法得到每个CR用户的检测结果；对于这个结果实行一致性算法，设定其收敛参数为0.19；收敛时间τasym和均方偏差δss分别求得：τasym=112log（1/γasym），δss（W）=∑n12i=21121-λi（W）2情景1：在一个具有8个结点17条边结构的无向网络中检验联合算法的可行性（图2），为验证所提出算法的优越性，将其与另外两种方法进行比较，对比结果如图3、图4。

图2联合算法收敛效果图3三种方法的收敛速度比较由图2可知：在网络结构单一的情况下，运用联合算法能实现一致性，由图3可知在相同结点数的情况下比较其收敛速度，联合算法优于最速下降法，同时优于内点法，在相同条件下收敛时间缩短了约20%。

情景2：在50个结点和600条边结构的智能体系统无向网络中。

对于这50个结点我们按照从1～50均匀取50个值，通过程序筛选的方式使其边数达到500以上。

对此系统架构进行一致性算法的检验如图4所示。

图4在大规模结点数下联合算法的收敛效果由图4看出，在大规模环境下联合算法还是适用的。

证明了联合算法的可移植性比较好，适用范围广。

5结语本文主要讨论了在不同规模下求解一致性问题的方法，为保证在任何规模下一致性算法都能快速无误地进行，提出将最速下降法与牛顿法结合的算法，得到一种新的基于权值矩阵的分布式算法。

该算法优化了迭代次数且收敛结果更为理想，实验结果充分证明其优越性。

由于分布式一致性算法在各种决策值求解中都有应用，所以对其进行深入研究对解决工程中出现的问题很有帮助。

在一致性算法中加入噪声产生的影响、权值矩阵的特征值分布以及根分布情况对收敛效果的影响有待进一步研究。

参考文献：[1]俞辉，蹇继贵，王永冀.多智能体时滞网络的加权平均一致性[J].控制与决策，2007（5）.[2]ZLI，FRYU，MHUANG.Adistributedconsensusbasedcooperativespectrumsensingsche meincognitiveradios[J].IEEETransactionsonVehicularTechnology，2010（1）.[3]ROSABER，JAFAX，RMMURRAY.Consensusandcooperationinnetworkedmultiagentsystems[J ].ProceedingsoftheIEEE，2007（1）.[4]LXIAO，SBOYD.Fastlineariterationsfordistributedaveraging[J].Systems&Control Letters，2004（1）.[5]LXIAO，SBOYD，SJKIM.Distributedaverageconsensuswithleastmeansquaredeviation[J].Jou rnalofParallelandDistributedComputing，2007（1）.[6]ZLI，FRYU，MHUANG.Acooperativespectrumsensingconsensusschemeincognitiveradios[J].Proc.IEEE，2009（9）.。