数学分类讨论的例题

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初中数学专题复习分类讨论(含答案)

专题复习二分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上， ∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）．设反比例函数解析式为my x=．点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】（2005，武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。

以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D. （1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；（3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

人教版数学六上分类讨论题

人教版数学六上分类讨论题
人教版数学六年级上册分类讨论题包括以下几种类型：
1. 分情况讨论题：这类题目需要分不同的情况进行讨论，根据不同的情况得出不同的结论。

例题：某校六年级有120名学生，其中参加篮球比赛的有24人，参加乒乓球比赛的有18人，既参加篮球比赛又参加乒乓球比赛的有3人，参加这两
项比赛的学生共有多少人？
2. 分类计数原理题：这类题目需要使用分类计数原理进行计算，即各类事物独立地被考虑，各类事物之间无影响。

例题：用1、2、3、4四个数字可组成的四位数有（）个。

3. 分类讨论应用题：这类题目需要先对题目中的条件进行分类讨论，再根据不同的情况得出不同的结果。

例题：甲、乙两地相距150千米，小明和小华同时从甲地出发向乙地前进，小明每小时行4千米，小华每小时行5千米，小明到达乙地后立即返回，途中与小华相遇，从出发到相遇一共经过多少时间？
通过以上分类讨论题的练习，可以帮助学生更好地理解分类讨论的思想，提高数学思维能力和解决问题的能力。

中考数学复习《分类讨论问题》专项检测卷(附带答案)

中考数学复习《分类讨论问题》专项检测卷(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．已知等腰△ABC 的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC ≌△A ´B ´C ´，则△A ´B ´C ´中一定有一定有条边等于（）A ．7㎝B ．2㎝或7㎝C ．5㎝D ．2㎝或7㎝2.若等腰三角形的两个角度的比是1:2，则这个三角形的顶角为（）度。

Ａ 30 Ｂ 60 Ｃ 30或90 Ｄ 603．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t 小时两车相距50千米，则t 的值是（）A ．2或2．5B ．2或10C ．10或12．5D ．2或12．54．已知⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 外一点，OP 的长为3，那么以P 这圆心，且与⊙O 相切的圆的半径一定是（）A ．1或5B ．1C ．5D ．不能确定5．若m 为实数，则点P （m －2，m+2）不可能在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．相交两圆公共弦长为6，两圆的半径分别为325，则这两圆的圆心距等于（）A ．1B ．2或6C ．7D ．1或77．如果关于x 的方程210x mx ++=的两个根的差为1，那么m 等于（）A ．2±B ．3C ．5D ．68．平面上A 、B 两点到直线l 的距离分别是2323与则线段AB 的中点C 到直线l 的距离是（）A ．2B 3C ．23D ．不能确定 9．已知22(3)49x m x +-+是完全平方式，则m 的值是（）A ．－3B ．10C ．－4D ．10或－410.方程01892=+-x x 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）Ａ 12 Ｂ 12或15 Ｃ 15 Ｄ不能确定二、填空题1．已知AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是弦，且AB ＝2，AC 2，AD ＝1，则∠CAD ＝＿＿＿＿＿＿＿.A BC 2．已知AB 、CD 是⊙O 的两条平行线，AB ＝12，CD ＝16，⊙O 的直径为20，则AB 与CD 之间的距离为＿＿＿＿＿＿＿＿.3．方程560x x x ⋅-+=的最大根与最小根的积为＿＿＿＿＿＿.4．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于＿＿＿＿＿＿＿＿.5．已知ΔABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以A 和C 为圆心作⊙A 和⊙C ，且⊙C 与直线AB 不相交，⊙A 与⊙C 相切，设⊙A 的半径为r ，那么r 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 6．已知2225,7x y x y +=+=，则x y -的值等于＿＿＿＿＿＿＿.7．在平面直角坐标系内，A 、B 、C 三点的坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A 、B 、C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在第＿＿＿＿＿象限.8.两圆的圆心距d=5,他们的半径分别是一元二次方程0452=+-x x 的两根，判断这两圆的位置关系： .9．已知点Ｐ是半径为2的⊙Ｏ外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，且PA=2，在⊙O 内作了长为22的弦AB ，连续PB ，则PB 的长为10．已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，且PA=2，在⊙O 内作了长为22的弦AB ，连续PB ，则PB 的长为11.=+=-+-a 349332无解，求x x ax x 12． ==--+a 2112无解，求x ax13．若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为_____________.14．一条绳子对折后成右图A 、B, A.B 上一点C ，且有BC=2AC,将其从C 点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为_____三、解答题1．已知实数a ，b 分别满足221122,22,a a b b a b+=+=+求的值. 2．在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm ，宽16cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形上的边上）请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积.3．在钝角△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D 点，且Ad 与DC 的长度为27120x x -+=方程的两个根，⊙O 是△ABC 的外接圆，如果BD 长为(0)a a >.求△ABC 的外接圆⊙O 的面积.ME AB CDN 4．在直角坐标系中，有以A （－1，－1），B （1，－1），C （1，1），D （－1,1）为顶点的正方形，设正方形在直线y ＝x 上方及直线y=－x+2a 上方部分的面积为S ，（1）求12a =时，S 的值.（2）a 在实数范围内变化时，求S 关于a 的函数关系式.5．在直角坐标系XOY 中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点的坐标分别为A （5，0），B （0，4），C （－1，0），点M 和点N 在x 轴上，（点M 在点N 的左边）点N 在原点的右边，作MP ⊥BN ，垂足为P （点P 在线段BN 上，且点P 与点B 不重合）直线MP 与y 轴交于点G ，MG ＝BN. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式.（2）求点M 的坐标.（3）设ON ＝t ，△MOG 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围.（4）过点B 作直线BK 平行于x 轴，在直线BK 上是否存在点R ，使△ORA 为等腰三角形？若存在，请直接写出R 的坐标；若不存在，请说明理由.6．在直角坐标系xoy 中，一次函数32y =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）以原点O 为圆心的圆与直线AB 切于点C ，求切点C 的坐标．（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8.在等腰三角形ABC 中，AB=AC,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个三角形的底边长为：.9:变换例题12，请问是否在x 轴，y 轴上存在点P,使得P,B,C 三点组成的图形为等腰三角形，请说明理由。

初中数学专题“分类讨论”专题练习(含答案)

“分类讨论”专题练习1.已知AB 是圆的直径，AC 是弦，AB ＝2，AC ＝2，弦AD ＝1，则∠CAD ＝．2. 若(x 2－x －1)x ＋2＝1，则x ＝___________．3. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．4.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（） A.2a b+ B.2a b- C.2a b +或2a b- D. a+b 或a-b5.同一平面上的四个点，过每两点画一直线，则直线的条数是（） A.1 B.4 C.6 D.1或4或66. 若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或－1B ．－5或1C ．5或1D ．－5或－1 7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点（1，2）.（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且△ABC 为等边三角形，求b 的值.（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求|a |＋|b |＋|c |的最小值.8．长宽都为整数的矩形，可以分成边长都为整数的小正方形。

例如一个边长2⨯4的矩形：可以分成三种情况：（1）（2）一个长宽为3⨯6的矩形，可以怎样分成小正方形，请画出你的不同分法。

9.已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点．（1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．分成两个正方形，面积分别为4，4分成8个正方形，面积每个都是1分成5个正方形，1个面积为4，4个面积是110.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A C ，在坐标轴上，60cm OA =，80cm OC =．动点P 从点O 出发，以5cm/s 的速度沿x 轴匀速向点C 运动，到达点C 即停止．设点P 运动的时间为s t ．（1）过点P 作对角线OB 的垂线，垂足为点T ．求PT 的长y 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）在点P 运动过程中，当点O 关于直线AP 的对称点O '恰好落在对角线OB 上时，求此时直线AP 的函数解析式；（3）探索：以A P T ，，三点为顶点的APT △的面积能否达到矩形OABC 面积的14？请说明理由．答案：1. 15°或105°2. 2、－1、0、－23. 腰长6底边9或腰长8底边54.C5.D6.C7. 解：⑴由题意，a ＋b ＋c ＝2， ∵a ＝1，∴b ＋c ＝1 抛物线顶点为A （－b 2，c －b 24）设B （x 1，0），C （x 2，0），∵x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝c ，△＝b 2－4c ＞0 ∴|BC|＝| x 1－x 2|＝| x 1－x 2|2＝（x 1＋x 2）2－4 x 1x 2＝b 2－4c ∵△ABC 为等边三角形，∴b 24 －c ＝ 32b 2－4c即b 2－4c ＝23·b 2－4c ，∵b 2－4c ＞0，∴b 2－4c ＝2 3∵c ＝1－b ， ∴b 2＋4b －16＝0， b ＝－2±2 5 所求b 值为－2±2 5⑵∵a ≥b ≥c ，若a ＜0，则b ＜0，c ＜0，a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝2矛盾. ∴a ＞0． ∵b ＋c ＝2－a ，bc ＝4a∴b 、c 是一元二次方程x 2－(2－a )x ＋4a ＝0的两实根．∴△＝（2－a ）2－4×4a≥0，∴a 3－4a 2＋4a －16≥0，即（a 2＋4）(a －4)≥0，故a ≥4. ∵abc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．①若a 、b 、c 均大于0，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾； ②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0, 则|a |＋|b |＋|c |＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2， ∵ a ≥4，故2a －2≥6当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6． 8.分7种情况画图9.解：（1）由()332)1(+⋅=⋅-m m ，得m =-，因此k =（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，BE =，BC =因此30BCE =∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠．当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ，故不符题意．当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ，过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30DAF =∠，设11(0)DF m m =>，则1AF ，12AD m =，由点(1A --，，得点11(1)D m --，．因此()()32323111=+-+-m m ，解之得1m =10m =舍去），因此点6D ⎛ ⎝⎭．此时的长度不等，故四边形ADBC 是梯形．如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ．由于AC BC =，因此30CAB =∠，从而150ACD =∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足，则60DCH =∠，设22(0)CH mm =>，则2DH =，由点(10)C -，，得点22(1)D m -+，因此()323122=⋅+-m m ．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ．此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形．如图3，当过点C 作AB 同理可得，点(2D --，，四边形ABCD 是梯形．综上所述，函数y x=图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D 的坐标为：6D ⎛ ⎝⎭或(1D 或(2D --，．图1图2 图310.解：（1）在矩形OABC 中，60OA =，80OC =，100OB AC ∴===PT OB ⊥，Rt Rt OPT OBC ∴△∽△． PT OP BC OB ∴=，即560100PT t=，3y PT t ∴== 当点P 运动到C 点时即停止运动，此时t 的最大值为80165=．所以，t 的取值范围是016t ≤≤．（2）当O 点关于直线AP 的对称点O '恰好在对角线OB 上时，A T P ，，三点应在一条直线上（如答图2）．AP OB ∴⊥，12∠=∠． Rt Rt AOP OCB ∴△∽△，OP AOCB OC∴=． 45OP ∴=．∴点P 的坐标为(450)，设直线AP 的函数解析式为y kx b =+．将点(060)A ，和点(450)P ，代入解析式，得60045.a b k b =+⎧⎨=+⎩，解这个方程组，得4360.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴此时直线AP 的函数解析式是4603y x =-+．（3）由（2）知，当4595t ==时，A T P ，，三点在一条直线上，此时点A T P ，，不构成三角形．故分两种情况：（i ）当09t <<时，点T 位于AOP △的内部（如答图3）．过A 点作AE OB ⊥，垂足为点E ，由AO AB OB AE =可得48AE =．APT AOP ATO OTP S S S S ∴=--△△△△211160544843654222t t t t t t =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-+．若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -+=，即292000t t -+=．此时，2(9)412000--⨯⨯<，所以该方程无实数根．所以，当09t <<时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．（答图2）（答图1）（ii ）当916t <≤时，点T 位于AOP △的外部．（如答图4）此时2654APT ATO OTP AOP S S S S t t =+-=-△△△△．若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -=，即292000t t --=．解这个方程，得192t +=，2902t -=<（舍去）．由于288162525>=，991722t +∴=>=．而此时916t <≤，所以92t +=也不符合题意，故舍去．所以，当916t <≤时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积也不能达到矩形OABC 面积的14．综上所述，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．。

请给小学生数学编写一个需要分类讨论的问题

请给小学生数学编写一个需要分类讨论的问题
问题：在一批图书中，有若干本是故事书，若干本是科普书，而剩下的是绘本。

已知故事书的数量是科普书数量的两倍，而绘本的数量又比科普书的数量少3本。

如果总共有30本图书，请问每种类型的图书各有多少本？
解答：我们可以通过分类讨论来解决这个问题。

设故事书的数量为x，科普书的数量为y，绘本的数量为z。

根据已知条件，我们可以列出以下方程：
1. 故事书的数量是科普书数量的两倍：x = 2y
2. 绘本的数量比科普书的数量少3本：z = y - 3
3. 图书总数为30本：x + y + z = 30
现在我们可以利用这些方程，解得每种类型的图书的数量。

首先，我们将方程1代入方程3中，得到：2y + y + z = 30，即3y + z = 30。

然后，将方程2代入上面的方程，得到：3y + y - 3 = 30，即4y = 33，解出y = 8.25。

由于y代表科普书的数量，而书的数量应为整数，所以无法得到一个精确的值。

此时，我们可以近似地认为y ≈ 8。

然后，将近似值代入方程1，得到x ≈ 16。

再将近似值代入方程2，得到z ≈ 5。

所以，根据我们近似得到的结果，可能有大约16本故事书，8本科普书和5本绘本。

请注意，这只是根据近似值得到的结果，实际的解可能会有所不同。

中考数学专题复习分类讨论经典例题

以OE为半径画弧EF．P是EF上的一个动点，连接OP，并延长OP交线段BC于点K，过点2018(上)NS数理推演拓展11专题复习（二）分类思想姓名___________班级___________一．基础练习1．半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（）A．10B．430C．10或430D．10或216512．若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）2A、0B、0或2C、2或﹣2D、0，2或﹣23．如图，在平面直角坐标系x Oy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．54．如图，矩形A BCD中，AB=4，BC=43，点E是折线段A-D-C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2B．3C．4D．55．如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，⌒P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G．若BGBM=3，则BK=_______．6．如图，在△Rt ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB＝43．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．（1）当点D运动到线段AC中点时，DE=_______；（2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=____________时，⊙C与直线AB相切．7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B （-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度（0＜α≤180°）得到四边形O′A′B′C′，此时直线OA′、直线′B′C′分别与直线BC相交于P、Q．在四边形OABC旋转过程中，若BP=12BQ，则点P的坐标为_______．8．已知实数a，b满足a-b=1，a2-ab+2>0，当1≤x≤2时，函数y=a(a≠0)的最大值与最小值之差是1，求a的值。

分类讨论的七年级数学题题目

以下是一些适合七年级学生的数学题，这些题目需要使用分类讨论的思维方式来解决：1.有理数的比较大小比较有理数的大小是七年级数学中的一个基本技能。

给定两个有理数，例如a和b，我们可以比较它们的大小。

首先，我们可以将这两个数进行绝对值比较，即比较|a|和|b|的大小。

如果|a|小于|b|，那么a小于b；如果|a|大于|b|，那么a大于b。

如果|a|等于|b|，那么我们需要进一步比较a和b的符号。

如果a和b都是正数，那么a 等于b；如果a和b都是负数，那么a等于b。

如果a和b中一个是正数另一个是负数，那么无法比较它们的大小。

例如，比较-3和2的大小。

首先，我们比较它们的绝对值。

|-3|等于3，而|2|等于2。

因为3大于2，所以-3小于2。

2.分式的约分分式的约分是七年级数学中的一个重要内容。

给定一个分式，例如a/b，我们可以将其约分成最简形式。

首先，我们需要找出分子a 和分母b的最大公约数。

然后，我们将分子a和分母b分别除以这个最大公约数。

这样就可以得到最简形式的分式。

例如，约分36/48。

首先，我们找到36和48的最大公约数是12。

然后，我们将36除以12得到3，将48除以12得到4。

所以，36/48约分成最简形式是3/4。

3.一元一次方程的解法一元一次方程是七年级数学中的一个基本方程形式。

给定一个一元一次方程，例如ax+b=0，我们需要找到它的解。

首先，我们需要确定方程的解的类型。

如果a等于0且b不等于0，那么方程无解；如果a等于0且b等于0，那么方程有无数个解。

如果a不等于0，那么方程有唯一解，这个解可以通过将方程变形得到。

例如，解方程2x+6=0。

首先，我们看到a=2且b=6。

因为a不等于0，所以方程有唯一解。

我们可以将方程变形得到x=-3。

所以，方程2x+6=0的解是x=-3。

4.绝对值的应用绝对值是七年级数学中的一个基本概念。

给定一个有理数，例如a，它的绝对值是|a|。

绝对值的性质包括：如果a小于0，那么|a|=-a；如果a大于或等于0，那么|a|=a。

高考数学----运用分类讨论的思想方法解题课时作业及真题练习

高考数学----运用分类讨论的思想方法解题课时作业及真题练习课时作业一、单选题1．已知()f x 为奇函数，且在上是递增的，若(3)0f −=，则()0xf x >的解集是（）A ．或B ．或C ．或D ．或【答案】B 【解析】()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，()f x ∴在(,0)−∞内是增函数，又(3)0f −=，(3)(3)0f f ∴=−−=，∴当(,3)(0,3)x ∈−∞−⋃时，()0f x <；当(3,0)(3,)x ∈−⋃+∞时，()0f x >；()0x f x ∴⋅>的解集是(,3)(3,).−∞−⋃+∞故选.B2．已知函数若存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．(,4)−∞ B ．1(,)4−∞C ．(,3)−∞D ．(,8)−∞【答案】A【解析】由题意知，2y x ax =−+图象的对称轴方程为.2a x = 当22a<，即4a <时，根据二次函数的性质可知，一定存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得12()();f x f x =(0,)+∞当22a …，即4a …时，由题意知22245a a −+>−，解得12a <，不符合题意．综上所述，(,4).a ∈−∞3．已知角α的终边上一点000(,2)(0)P x x x −≠，则sin cos αα=（） A ．25B ．25±C ．25−D ．以上答案都不对【答案】C【解析】由已知可得角α的终边在第二或第四象限，当角α是第二象限角时，在其终边上取点(1,2)P −，则||OP = 由三角函数的定义得sin 55αα==−，则2sin cos 5αα=−；当角α是第四象限角时，在其终边上取点(1,2)P −，则||OP = 由三角函数的定义得sin 55αα=−=，则2sin cos 5αα=−，综上，2sin cos .5αα=−4．已知函数21,1()4log 1,1a ax x x f x x x ⎧−−⎪=⎨⎪−>⎩…是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（） A ．11[,)42B ．11[,]42C ．1(0,]2D ．1[,1)2【答案】B【解析】①1a >时，()f x 在(1,)+∞上是增函数；()f x ∴在R 上是增函数；显然()f x 在(,1]−∞上不是增函数；1a ∴>的情况不存在；②01a <<时，()f x 在(1,)+∞上是减函数；()f x ∴在R 上是减函数；1121114aa ⎧⎪⎪∴⎨⎪−−−⎪⎩……；解得1142a剟；综上得，实数a 的取值范围为11[,].42故选：.B5．若关于x 的不等式2220ax ax −−<恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ． B ．C ．D ．或0}a …【答案】B【解析】当0a =时，不等式变为20−<恒成立，故0a =满足题意；当0a ≠时，若2220ax ax −−<恒成立，则，即，解得20.a −<<综上，20.a −<… 故选.B 二、多选题6．对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式(1)(1)0ax x −+<的解集可能是（）A ．1{|1}x x a−<<B ．{|1}x x ≠−C ．1{|1}x x a<<− D ．R【答案】AB【解析】由(1)(1)0ax x −+<，分类讨论a 如下．当0a >时，11x a−<<，故A 正确；当0a =时，1;x >− 当10a −<<时，1x a<或1;x >− 当1a =−时，1x ≠−，故B 正确；当1a <−时，1x <−或1.x a> 故选.AB7．3sin 5α=，则的值可能为（）A ．B ．CD ．【答案】BC【解析】34sin ,cos 55αα=∴=±，当4cos 5α=时,cos()cos cos sin sin 444πππααα−=+43252510=+=，当4cos 5α=−时,cos()cos cos sin sin 444πππααα−=+43()55=−= 故答案为.BC8．已知函数，则方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数可能为（）A ．2B ．6C ．5D ．4【答案】ACD 【解析】画出的图象，如图，因为22()2()10f x f x a −+−=，所以2244(1)84a a ∆=−−=−，若a <a >则()f x 不存在，方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为0；若a =22()2()10f x f x a −+−=化为2()2()10f x f x −+=，即()1f x =，结合图象知：方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为2；若1a <<−或1a <<，则()1(0,1)f x =，或()1(1,2)f x =+，则方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为5个；若1a =±，则()0f x =或()2f x =，方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为5个；若11a −<<，则()1[1f x =或()1(2,1f x = 方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为4个．结合选项可知，方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数可能为2个或5个或4个．故选：.ACD9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1(1)(1)(1)(2,)n n nS n S n n n n n N −=++−+∈…，若150S =−，则下列结论正确的有A ．50a >B ．当4n =时，n S 取得最小值C ．当0n S >时，n 的最小值为7D ．当5n =时，nnS a 取得最小值【答案】ABD【解析】由1(1)n n nS n S −=+*(1)(1)(2,)n n n n n N +−⋅+∈…得111n n S Sn n n−−=−+ *21(2,)132S S n n N ∈∴−=…，32243S S −=，，111n n S Sn n n−−=−+，累加得1(1)122n S S n n n −−=+，解得3*25150(2,)n S n n n n N =−−∈…，当1n =时，150S =−满足上式，351502n n n S −−∴=，当2n …时，2133502n n n n n a S S −−−=−=，550a ∴=>，故选项A 正确；当2n …时，233502n n n a −−=单调递增，又1150a S ==−，22122a S S =−=−，{}n a ∴单调递增，且1234560a a a a a a <<<<<<<，∴当4n …时，{}n S 单调递减，当5n …时，{}n S 单调递增，且45S S <， ∴当4n =时，n S 取得最小值，故选项B 正确；又377517503202S −⨯−==−<，388518502702S −⨯−==>，∴当0n S >时，n 的最小值为8，故选项C 错误；当1n =，2，3，4时，0;n n S a >当5n =，6，7时，0;n n S a <当8n …时，0n nSa >， ∴当5n =，6，7时，考虑nnS a 的最小值，又当5n =，6，7时，1na 恒为正且单调递减，n S 恒为负且单调递增，n n S a ∴单调递增，∴当5n =时，n nSa 取得最小值，故选项D 正确，故选.ABD 10．在棱长为1的正方体111ABCD A B C D −中，M 是线段11AC 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A ．四面体1B ACM 的体积恒为定值B ．直线1D M 与平面1AD CC ．异面直线BM 与AC 所成角的范围是[,]32ππD ．当1113A M AC =时，平面BDM 截该正方体所得的截面图形为等腰梯形【答案】ACD 【解析】对于A 选项，根据正方体的特征可得11//AC AC ，因为11AC ⊂/平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C ，所以11//AC 平面1AB C ，即线段11AC 上的点到平面1AB C 的距离相等，又因为1AB C 的面积为定值，M 是线段11AC 上一个动点，所以四面体1B ACM 的体积为定值，故A 选项正确；对于B 选项，设直线1D M 与平面1AD C 所成的角为α，M 到平面1AD C 的距离为d ，则1dsi D Mα=，因为11//AC AC ，11AC ⊂/平面1AD C ，AC ⊂平面1AD C ，所以11//AC 平面1AD C ，所以M 到平面1AD C 的距离与1A 到平面1AD C 的距离相等，连接1AC ，由1111A ACD C AA D V V −−=可得11111133ACD AA D S dS ⨯=⨯，又11sin 602AD CS︒==，11111122AA D S=⨯⨯=，所以d =M 为11AC 的中点时，1DM 最小，为2，此时sin α取得最大值为3，故B 错误；对于C 选项，设异面直线BM 与AC 所成的角为θ，当M 与1A 或1C 重合时，θ取得最小值，为3π，当M 为11AC 的中点时，θ取得最大值，为2π，所以异面直线BM 与AC 所成角的范围是[,]32ππ，故C 选项正确；对于D 选项，过M 作11//EF B D ，分别交11A D ，11A B 于点E ，F ，连接DE ，BF ，设11AC 与11D B 交点为O ，由正方体的性质知11//BD B D ，11BD B D =，因为1113A M AC =，所以1132A M AO =，所以11//EF B D ，1132EF B D =，11ED B F =，所以32EF BD =，//EF BD ，BF DE =，即四边形DEFB 为等腰梯形，故D 正确．故选：.ACD11．已知函数若5[()]2f f a =−，则实数a 的值可能为（） A ．73B ．43−C ．1−D ．116【答案】ACD【解析】令，则当0t …时，5352t −+=−，解得52t =；当0t <时，152t t+=−，解得2t =−或12t =−，令，则当0a …时，5352a −+=，解得56a =；当0a <时，10a a +<，故152a a +=无解．令，则当0a …时，352a −+=−，解得73a =；当0a <时，12a a+=−，解得 1.a =− 令，则当0a …时，1352a −+=−，解得116a =；当0a <时，，当且仅当1a =−时等号成立，故112a a +=−无解，综上，实数a 可能的取值为5711,,1,.636− 故选.ACD 三、填空题12．定义新运算“⊗”，满足对任意的,a b R ∈，有.a b ab b ⊗=+若对x R ∀∈，恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】【解析】由得，，化简得210mx mx −−<对x R ∀∈恒成立，当0m =时，10−<，成立；当0m ≠时，满足，解得40m −<<；故实数m 的取值范围是故答案为：13．已知定义域为R 的函数3()3sin f x x x =+，满足2(1)(1)0f a f a −+−<，则实数a的取值范围是__________．【答案】(,2)(1,)−∞−⋃+∞ 【解析】因为3()3sin f x x x =+，所以3()3sin ()f x x x f x −=−−=−，即()f x 为奇函数，当0x …时，2()33cos f x x x '=+，当[0,]2x π∈时，()0f x '…，当(,)2x π∈+∞时，2233()32x π⨯>…，又33cos 3x −剟，即()0f x '>，所以当0x …时，2()33cos 0f x x x '=+…，所以函数3()3sin f x x x =+在[0,)+∞上为增函数，又()f x 为奇函数，所以函数3()3sin f x x x =+在(,)−∞+∞上为增函数，由2(1)(1)0f a f a −+−<，得22(1)(1)(1)f a f a f a −<−−=−+，所以211a a −<−+，所以(2)(1)0a a +−>，解得2a <−或1a >，故答案为：(,2)(1,).−∞−⋃+∞14．在等比数列{}n a 中，1336a a =，2460a a +=，则公比q =__________．【答案】3±【解析】由等比数列的性质可得213236a a a ==，所以26a =±，又2460a a +=，当26a =时，454a =；当26a =−时，466a =，所以2425496a q a ===，或26611(6q ==−−不可能为负数，舍去)，所以 3.q =± 故答案为 3.±15．若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时，1()()2(2x f x x m m =−+为常数)，则当0x <时__________．【答案】()221xf x x =−−+【解析】根据题意，若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，又由当0x …时，1()()22x f x x m =−+，则(0)10f m =+=，即1m =−，故当0x …时，1()()212x f x x =−−，当0x <时，0x −>，则1()()2()12212x x f x x x −−=−−−=+−，又由()f x 为奇函数，则()()(221)22 1.x x f x f x x x =−−=−+−=−−+故答案为()22 1.xf x x =−−+16．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点M 满足1()(2OM OA OB O =+为坐标原点)，过M 作y 轴的垂线与抛物线交于点P ，若||2PF =，则点P 的横坐标为__________，||AB =__________．【答案】1；8【解析】由于点M 满足1()2OM OA OB =+，所以M 是线段AB 的中点．抛物线的焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为 1.x =− 设00(,)P x y ，由于P 在抛物线上，且||2PF =，根据抛物线的定义得012x +=，所以01x =，则02y =±，不妨设(1,2)P ，若直线l 的斜率不存在，则不妨设(1,2)A ，(1,2)B −，所以(1,0)M ，此时M 的纵坐标和P 的纵坐标不相同，不符合题意，所以直线l 的斜率存在，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为(1)y k x =−，代入抛物线方程并化简得2222(24)0k x k x k −++=，则12242x x k+=+，12 1.x x = 由于M 是线段AB 的中点，所以1212(,)22x x y y M ++，又(1,2)P ，所以1222y y +=，即124y y +=，即1212244(1)(1)()2(2)24k x k x k x x k k k k k−+−=+−=+−==，解得1k =，所以12246x x +=+=，所以(3,2)M ，则点M 到准线1x =−的距离为4，根据抛物线的定义及中位线的性质可知||||||428.AB AF BF =+=⨯=17．已知关于x 的不等式a R ∈)，若1a =，则该不等式的解集是__________，若该不等式对任意的11x −剟均成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】{|11}x x −剟；【解析】当1a =时，(1)(1)0x x −+…，解之得：1 1.x −剟∴该不等式的解集是当1x =−时，不等式(1)(1)0ax x −+…等价于00…，恒成立，当11x −<…时，10x +>，不等式(1)(1)0ax x −+…等价于10ax −…，结合函数1y ax =−的性质可得，解得11a −剟，综上所述，实数a 的取值范围是，故答案为{|11}x x −剟；真题练习题1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln (0)2f x x x x=+>． (1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<−<− ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6e a ax x a −−+<+<−．（注：e 2.71828=是自然对数的底数）【解析】（1）()22e 12e 22xf x x x x −'=−+=，当e02x <<，()0f x '<；当e 2x >，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a '−=−，故方程()()()f x b f x x a '−=−有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫−−−−+= ⎪⎝⎭，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=−−−−+ ⎪⎝⎭，则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x x⎛⎫'=−+−+−−+ ⎪⎝⎭ ()()31e x x a x =−−−，当0e x <<或x a >时，()0g x '<；当e x a <<时，()0g x '>，故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数，因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0g a >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫−−−−+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫−−−−+> ⎪⎝⎭，整理得到：12e a b <+且()e ln 2b a f a a>+=，此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a ⎛⎫⎛⎫−−−<+−+−+=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3e ln 22u a a a =−−，则()2e-202a u a a '=<，故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <−−=，故()1012e a b f a ⎛⎫<−<− ⎪⎝⎭.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫−−−−+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫−−−−+< ⎪⎝⎭，整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<，又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=−+−+，设e t x=，()0,1e a m =∈，则方程2e e 1ln 02a ax b x x +−+−+=即为： 2e ln 0e 2e a a t t t b +−+++=即为()21ln 02mm t t t b −++++=，记123123e e e,,,t t t x x x === 则123,,t t t 为()21ln 02m m t t t b −++++=有三个不同的根，设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<，要证：22132e 112e e 6e 6e a a x x a −−+<+<−，即证13e 2e e 26e 6e a at t a −−+<+<−，即证：13132166m mt t m −−<+<−，即证：131********m m t t t t m −−⎛⎫⎛⎫+−+−+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t −−++−−<+，而()21111ln 02m m t t t b −++++=且()23331ln 02m m t t t b −++++=，故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t −+−−+−=，故131313ln ln 222t t t t m m t t −+−−=−⨯−，故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t −−+−−⨯<−+，即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +−−++>−即证：()()()213121ln 0172m m m k k k −−+++>−，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>−，则()()2112ln 1k k k kk ϕ⎛⎫'=−− ⎪⎝⎭−，设()12ln u k k k k =−−，则()2122210u k k k k k'=+−>−=，所以()()10u k u >=，()0k ϕ'>，故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()1k m ϕϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m −−+−−++++>+−−，记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω−−−+=+<<+，则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω−−−+−+'=>>++，所以()m ω在()0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m −−−++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m −−+++>−，故原不等式得证：2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =−． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <−，求a 的取值范围； (3)设n *∈N21ln(1)n n ++>++．【解析】（1）当1a =时，()()1e x f x x =−，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0∞−，增区间为()0,∞+.（2）设()e e 1ax xh x x =−+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+−，设()()1e e ax xg x ax =+−，则()()22e e ax xg x a a x '=+−，若12a >，则()0210g a '=−>，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=−，与题设矛盾. 若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+−=−，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+−，故()11011x S x x x−'=−=<++，故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立. 由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++−<−=−≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=−+<−+=，所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=. 综上，12a ≤. （3）取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x −+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <−即12ln t t t<−对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n ∈N ，有整理得到：()ln 1ln n n +−<()21ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n n n+>−+−+++−+()ln 1n =+，故不等式成立.3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=−−+．(1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）当0a =时，()1ln ,0f x x x x =−−>，则()22111xf x x x x−'=−=，当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==−；（2）()()11ln ,0f x ax a x x x =−−+>，则()()()221111ax x a f x a x x x −−+'=+−=，当0a ≤时，10ax −<，所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==−<，此时函数无零点，不合题意；当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减；又()110f a =−<，由（1）得1ln 1x x +≥，即1ln 1x x ≥−，所以ln x x x <<当1x >时，11()(1)ln 2((2f x ax a x ax a ax a x x =−−+>−−+>−+则存在2312m a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，使得()0f m >，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x−'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =−=，所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减；此时()110f a =−>，由（1）得当01x <<时，1ln 1xx>−，1>ln 21x ⎛> ⎝，此时11()(1)ln 2(11)1f x ax a x ax ax x x ⎛=−−+<−−+−< ⎝存在2114(1)n a a=<+，使得()0f n <，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为()0,∞+.。

初中数学专题复习分类讨论问题(含解答)

分类讨论问题一、内容提要：分类讨论的主要因素：（1）根据本身就是分类定义；（2）有些性质、公式在不同条件下有不同的结论；（3）一些定义、定理、公式和法则有范围或条件限制；（4）题目的条件或结论不唯一时；（5）解含参数（字母系数）的题目时，必须根据参数（字母系数）的不同取值范围进行讨论；（6）推理过程中，遇到数量的大小不确定，图形的位置或形状不确定的。

四个步骤：（1）确定分类对象（2）进行合理分类（3）逐类讨论，分级进行（4）归纳并作出结论二、例题精选 1．按图形的性质分类例1 如图1，⊙O 是等边ΔABC 的外接圆，D 是 BC上异于B 、C 的一点。

若 BD与 DC 的度数之比是1∶3，⊙O 的半径为1，取点F ，使ΔDCF 为等腰三角形，且顶角为钝角，试指出这时DF 的长或其取值范围。

分析：题目中，没有确定DC 是等腰三角形的底还是腰，所以要分为不同的情况讨论，在不同状态下求DF 。

解：因为 BC为120°， BD 与 DC 的度数的比是1∶3，所以 DC 为90°， DCB AO连结OC、OD，则=①以CD为底边时，如图2，DF可变化，若∠F为直角，则DF=1，而本题∠F为钝角，有<DF<1。

②以CF为底边时，如图3，DF确定，DF＝DC=。

③以DF为底边时，如图4，DF可变化，若∠C=90°，则DF=2，所以∠C为钝角时，DF>2。

又DF<2，所以2<DF<2。

说明：题目中的已知条件只是用来确定DC的长度，而后面的分类讨论内容与圆没有关系，是对等腰三角形的边进行计算，分类讨论注意全面，不要遗漏。

例2、抛物线y=m x2-(3m+)x+4与x轴交于两点A，B，与y轴交于C点，若ΔABC是等腰三角形，求抛物线的解析式。

解：在y=mx2-(3m+)x+4中令x=0, 得到y=4，∴ c(0,4 )令y=0，则m x2-(3m+)x+4=0∵ m≠0, ∴ x1=3, x2=。

分类讨论例题

分类讨论例题
1. 哎呀呀，咱来看看这道题，就像分苹果一样，苹果有大有小，得分情况来分呢！比如说，小明和小红分 10 个苹果，要是小明想拿得多，那小红不就少啦？这就是一个分类讨论的情况呀！
2. 嘿，你想想看，走在路上也有分类讨论呀！比如前面有两条路，一条路近但不好走，一条路远但好走，你咋选呢？就像做数学题一样，不同情况得不同分析呀！比如计算三角形面积，锐角三角形和钝角三角形的算法能一样吗？肯定得分类讨论嘛！
3. 哇塞，分类讨论无处不在啊！好比去超市买东西，你得考虑价格、质量，不同的选择就是不同的分类讨论呢！比如说，有三种饮料，一种便宜但味道一般，一种贵但很好喝，还有一种中等价格和味道，你得根据自己的喜好和钱袋子来选吧，这就是很典型的分类讨论例题呀！
4. 哟呵，这分类讨论可有意思啦！就像一场比赛，不同的队伍有不同的策略，这就是分类呀！举个例子，数学考试里遇到一道题，要分奇数偶数来计算，这不是很明显的分类讨论嘛！
5. 哈哈，分类讨论就像选衣服，不同场合穿不同衣服呀！像是去运动穿运动服，参加派对穿礼服。

做题也一样呀！比如解一个方程，得看参数的大小来分别讨论呀！这道题：已知函数……，哎呀，根据不同情况来分析嘛，多有
趣呀！
6. 天哪，分类讨论太重要啦！就好比挑水果，有的甜有的酸，得按你的口味来选呀！比如算一个图形的周长，正方形和长方形能一样算吗？当然得分类讨论啦！你说对吧？
7. 哎呀呀，分类讨论简直是打开难题大门的钥匙嘛！就像安排行程，晴天和雨天有不同的玩法吧！比如说在解决几何证明题的时候，不同的图形情况就得分开来讨论，这样才能得出准确答案呀！咱可千万不能马虎呀！
我的观点结论是：分类讨论在数学和生活中都超级重要，能让我们更细致地思考和解决问题，一定要掌握好呀！。

数学中的分类讨论问题

一 2.一组数据是6,5, 4, 8，x，这组数的极差为5，那
做
么x = 9或3 .
分情况讨论：
①若分腰情长况为4讨，论则三：边长为4、y4、9，此时
3OB圆合.（（如上）20图的，，不②周，，∠一则综0能若长0当当））在O当个∠上构腰为Px，平x,O动：BP成长2<4综>2AA面是＝≤4点周8三为（Bx时上直经时4（长＝角905≤，角过，，：P为，或形8与则坐O4时22，xxx1）5,2O三标=A==3，故、，,895B边系4-舍或度B三+无5长中度不5去=，点3解为，=3重的94、OA9、9，此时B
1.如图，在数轴上到A点的距离是6个
想单位长度的点表示的正数是 9 .
一想
2.如图，在数轴上到A点的距离是6个
单位长度的点表示的数是 9或-3 .
A 03
3.若等腰三角形的一个底角等于50°，则这个等腰三
角形的顶角的度数为 80° .
4.若等腰三角形的一个内角等于50°，则这个等腰三
角形的顶角的度数为 80°或50°.
6
AO C -6
Bx
作
1.如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4
是一组平行线，相邻2条平行线的距
l1
离都是1个单位长度，正方形ABCD的
业 4个顶点A、B、C、D都在这些平行线
上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，
该正方形的面积是
平方单
l2 l3 l4
位．
2.如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，B的
第三边长是 10或 2 7
.
把上边的几个题目分成两类，你的分类标准是什么？
我
条件的变化会导致问题出现
们了不确定性，有些问题就有可能

分类讨论证明或求函数的单调区间(含参)(教师版)--2024新高考数学导数微专题训练

专题14分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）1．设函数21()sin cos 2f x x x x ax =+-．（1）当12a =时，讨论()f x 在(,)ππ-内的单调性；（2）当13a >时，证明：()f x 有且仅有两个零点．【答案】（1）在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭或,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；（2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出．【详解】（1）当12a =时，21()sin cos 4f x x x x x =+-，11()sin cos sin (cos 22f x x x x x x x x ∴'=+--=-，令()0f x '=，解得0x =或3x π=，3x π=-，当()0f x '<时，解得03x π-<<或3x ππ<<，当()0f x '>时，解得3x ππ-<<-或03x π<<，()f x ∴在(3π-，0)或(3π，)π上单调递减，在(,)3ππ--或(0,)3π上单调递增；（2）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2211()()sin()cos()()sin cos ()22f x x x x a x x x x ax f x -=--+-+-=+-= ，()f x ∴为偶函数，(0)10f => ，()f x ∴有且仅有两个零点等价于()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点，()(cos )f x x x a '=- ，当1a 时，cos 0x a -，()0f x '恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减，2211()sin cos 1022f a a ππππππ=+-=--< ，(0)·()0f f π∴<，()f x ∴在(0,)+∞上有且只有一个零点，当113a <<时，令()(cos )0f x x x a '=-=，即cos x a =，可知存在唯一(0,)2πθ∈，使得cos a θ=，当(0,)x θ∈或(22,22)x k k ππθππθ∈+-++时，k ∈N ，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当(2,22)x k k πθππθ∈++-时，k ∈N ，()0f x '<，函数()f x 单调递减，由tan θ=113a <<，可得0tan θ<<，当k ∈N ，22tan 2(k ππθθπ++->，2221113(22tan )10(22)[(22tan )1][(22tan )1]022626k f k a k k a ππθθππθππθθππθθ++--∴++=-++--+<-++--+=-<，()f x ∴在(0,)+∞上有且只有一个零点，综上所述，当13a >时，()f x 有且仅有两个零点．【点睛】方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．2、用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.2．已知函数2()2ln 2(1)f x mx x m x =-+-．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1x ≠时，求证：2286ln 3521x x x x x x---<-．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先求导，分为0m ≥，1m =-，1m <-和10m -<<四种情形进行分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；（2）等价于3226(1ln )23501x x x x x-+--<-，令()()3261ln 235h x x x x x =-+--，利用当2m =时的结论，根据导数判断()h x 与0的关系，即可证明.【详解】解：()f x 的定义域为(0,)+∞，则22(1)1(1)(1)()22(1)22mx m x mx x f x mx m x x x+--+-'=-+-=⋅=⋅，当0m 时，10mx +>，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，当0m <时，令()0f x '=，解得1x =或1x m=-，当1m =-时，2(1)()2·0x f x x-'=-恒成立，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间，当1m <-时，101m<-<，当1(0,x m ∈-或(1,)+∞时，()0f x '<，当1(x m∈-，1)时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为1(0,)m -或(1,)+∞，单调递增区间为1(m-，1)，当10m -<<，11m ->，当(0,1)x ∈或1(m -，)+∞时，()0f x '<，当1(1,x m∈-时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1)或1(m -，)+∞，单调递增区间为1(1,m．综上所述：当0m 时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，当1m =-时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间，当1m <-时，函数()f x 的单调递减区间为1(0,)m -，(1,)+∞，单调递增区间为1(m-，1)，当10m -<<时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)或1(m -，)+∞，单调递增区间为1(1,)m．（2）证明：要证2286ln 3521x x x x x x---<-，即证3226(1ln )23501x x x x x -+--<-，令32()6(1ln )235h x x x x x =-+--，则22()66ln 6663(22ln 2)h x x x x x x x '=--+-=--，由（1），当2m =时，2()22ln 2f x x x x =--，可得()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，即()h x '的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，()h x h ∴''（1）0=，()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，h （1）6(1ln1)2350=-+--=，∴当01x <<时，()0h x <，210x ->，当1x >时，()0h x >，210x -<，∴3226(1)23501x lnx x x x -+--<-，即22863521x xlnx x x x---<-．【点睛】含有参数的函数单调性讨论常见的形式：（1）对二次项系数的符号进行讨论；（2）导函数是否有零点进行讨论；（3）导函数中零点的大小进行讨论；（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.3．已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈.（1）若1a =，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）答案见解析.【分析】（1）当1a =时，求得()1x f x x-=，利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值；（2）求得()()10ax f x x x-'=>，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间.【详解】（1）当1a =时，()1ln f x x x =--，所以，()()1110x f x x x x-¢=-=>，列表；x1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1(]1,e ()f x '-+()f x 单调递减极小单调递增所以，()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的有极小值()10f =，无极大值；（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=.当0a ≤时，10ax -<，从而()0f x '<，故函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，若10x a<<，则10ax -<，从而()0f x '<；若1x a>，则10ax ->，从而()0f x '>.故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面：（1）求导后看函数的最高次项系数是否为0，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根；（3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.4．已知函数()21()xm x xf x e++=．（1）试讨论()f x 的单调性；（2）若0m ≤，证明：()ln ef x x x +≤．【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对函数进行求导得(1)(1)()xx mx m f x e--'+=-，再对m 分三种情况讨论，即0m =，0m >，0m <三种情况；（2）要证明()ln ef x x x +≤，只需证明 ()ln ef x x x ≤-，而ln 1x x -≥，因此只需证明1()f x e≤，再利用函数的单调性，即可得证；【详解】解析：（1）因为(1)(1)()xx mx m f x e --'+=-，①当0m =时，1()x x f x e-=-'，当1x >时，()0f x '<，当1x <时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当0m >时，1(1)11(),11x m x x m f x e m'⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=--<，当11,1x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,1(1,)x m ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在11,1m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,1,(1,)m ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递减；③当0m <时，111m ->，当11,1x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1(,1)1,x m ⎛⎫∈-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在11,1m ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在1(,1),1,m ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增．（2）要证明()ln ef x x x +≤，只需证明 ()ln ef x x x ≤-，而ln 1x x -≥，因此只需证明1()f x e≤，当0m =时，()x xf x e =，由（1）知()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)f x f e==；当0m <时，()211()xx m x xx f x e e e++=<≤，故()ln ef x x x +≤．【点睛】利用导数研究含参函数的单调区间，要注意先求导后，再解导数不等式.5．已知函数()e x f x ax =，a 为非零常数.（1）求()f x 单调递减区间；（2）讨论方程()()21f x x =+的根的个数.【答案】（1）当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，当0a <时，()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞；（2）当0a >时，原方程有且仅有一个解；当0a <时，原方程有两个解.【分析】（1）求导，对a 分类讨论，利用()0f x '<可解得结果；（2）转化为函数2(1)()exx g x x +=与y a =的图象的交点的个数，利用导数可求得结果.【详解】（1）()(1)e x x x f x ae axe a x '=+=+，由()0f x '=得1x =-，①若0a >时，由()0f x '<得1x <-，所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-；②若0a <时，由()0f x '<得1x >-，所以()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.综上所述，当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-；当0a <时，()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.（2）因为方程2()(1)f x x =+等价于2(1)e x x a x +=，令2(1)()exx g x x +=，所以方程()()21f x x =+的根的个数等于函数2(1)()exx g x x +=与y a =的图象的交点的个数，因为()2222(1)12(1)(1)()()()ex x x x x x x x xe x e xe g x xe x +++-++=-'=，由()0g x '=，得1x =-，当(,1)x ∈-∞-，时，()0g x '>，()g x 在(,1)-∞-上单调递增；当()()1,00,x ∈-+∞ 时，()0g x '<，所以()g x 在()1,0-，()0,∞+上单调递减，又()10g -=，所以当(,1)x ∈-∞-时，()(),0g x ∈-∞；当()1,0x ∈-时，()(),0g x ∈-∞；当()0,x ∈+∞时，()()0,g x ∈+∞.所以，当0a >时，原方程有且仅有一个解；当0a <时，原方程有两个解.【点睛】方法点睛：讨论函数零点(或方程根)的个数的常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，可得方程根的个数；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解6．已知函数()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，()()g x f x '=.（1）判断函数()y g x =的单调性；（2）若(]()0, 2.718x e e ∈≈，判断是否存在实数a ，使函数()g x 的最小值为2？若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）证明：1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>-⎪+⎝⎭ .【答案】（1）答案见解析；（2）存在，2a e =；（3）证明见解析.【分析】（1）先求()()g x f x '=，再对()y g x =求导，对参数a 进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；（2）对参数a 进行讨论确定()y g x =导数的正负，即得函数()y g x =单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；（3）先构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，证明其小于零，即得1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时13ln 13x x >+，再将1nx n =+代入求和即证结论.【详解】解：（1）由()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，知()()ln 1g x f x ax x '==--，0x >，故()11ax g x a x x-'=-=，0x >.当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+为减函数，当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，所以()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0g x '>，所以()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增函数.（2）当0a ≤时，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min 11g x g e ea ==-≤-.故不存在最小值3.当10a e <≤时，1e a≥，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min1ln 2g x g e ea e ==--=，所以4a e=，不合题意，舍去当1a e >时10e a <<，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，函数()g x 单调递减；在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '>，函数()g x 单调递增，由此()min 1111ln 2g x g a a ⎛⎫==--=⎪⎝⎭，所以ln 2a =.解得2a e =故2a e =时，使函数()g x 的最小值为2.（3）构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，则119()3033x h x x x -'=-=>，故1()ln 313h x x x =-+在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上递减，111111()ln 3120232232h x h ⎛⎫≤=-⨯+=--< ⎪⎝⎭，故1ln 3103x x -+<，即1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时13ln 13x x >+，而11,1112n n N x n n *⎡⎫∈==-⎪⎢++⎣⎭，故13ln 1311n n n n >++⋅+，即[]ln(13ln 131)1n n n n ->++⋅+，将n *∈N 依次代入并相加得[]()1ln1ln 12313ln 2ln 3...ln(1)ln 1231ln 4323n n n n n n n ⎛⎫++++>-+-++-+-+ ⎭+⎪+⎝= ，即1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>- ⎪+⎝⎭ .【点睛】本题解题关键在于观察证明式1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>-⎪+⎝⎭ ，构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，以证明13ln 13x x >+，将1n x n =+代入求和即突破难点.用导数解决与正整数n 有关的不等式证明问题，属于难点，突破点就在于观察构造合适的函数，通过导数证明不等式，再将关于n 的式子代入即可.7．已知函数()()21ln ,2f x ax x x b a b R =-⋅+∈，()()g x f x '=.（1）判断函数()y g x =的单调性；（2）若(]()0, 2.718x e e ∈≈，判断是否存在实数a ，使函数()g x 的最小值为2？若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由；【答案】（1）答案见解析；（2）存在，2a e =.【分析】（1）先求()()g x f x '=，再对()y g x =求导，对参数a 进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；（2）对参数a 进行讨论确定()y g x =导数的正负，即得函数()y g x =单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；【详解】（1）由()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，知()()ln 1g x f x ax x '==--，0x >，故()11ax g x a x x-'=-=.当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+为减函数，当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0g x '>，所以()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增函数.（2）当0a ≤时，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min 11g x g e ea ==-≤-.故不存在最小值3.当10a e <≤时，1e a≥，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min1ln 2g x g e ea e ==--=，所以4a e=，不合题意，舍去.当1a e >时，10e a <<，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，函数()g x 单调递减；在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '>，函数()g x 单调递增，由此()min 1111ln 2g x g a a ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以ln 2a =.解得2a e =，故2a e =时，使函数()g x 的最小值为2.【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和最值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，讨论不等式何时()0f x '>和()0f x '<③对应得到增区间和减区间及极值点，进而比较端点和极值点的值确定指定区间的最值即可.8．已知函数()()()ln 1f x x ax a =+-∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性.（2）若()()2112g x x x a f x =--+-，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，求证:()()12152ln 28x g x g -≥-.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先求得()f x 的定义域和导函数()'fx ，对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）求得()g x 的表达式，求得()'g x ，利用根与系数关系得到12,x x 的关系式以及1x 的取值范围，将()()12g x g x -表示为只含1x 的形式，利用构造函数法求得()()12g x g x -的最小值，从而证得不等式成立.【详解】(1)由题意得，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，()11f x a x '=-+.当0a ≤时，()101f x a x '=->+，∴函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增.当0a >时，令()0f x '=，得11x a=-+.若11,1x a ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；若11,x a ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，此时函数()f x 单调递减.综上，当0a ≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在11,1a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递减.(2)()()21ln 12g x x x a x =+-+Q ，0x >，()()11g x x a x '∴=+-+()211x a x x-++=.由()0g x '=得()2110x a x -++=，()240321a a ∆=+⇒-≥>121x x a ∴+=+，121=x x ，211x x ∴=.32a ≥Q ，512a +≥，12x x <111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，解得1102x <≤.()()12x g x g ∴-()()()221121221ln12x x x a x x x =+--+-21121112ln 2x x x⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.设()221112ln 022x h x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22331210x h x x x x x-'=--=-<，∴函数()h x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.∴当112x =时，()min 1152ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.32a ∴≥时，()()12152ln 28x g x g -≥-成立.【点睛】求解含有参数的函数的单调性题，求导后要根据导函数的形式进行分类讨论.9．已知函数()2xf x e ae x =-.（1）讨论()f x 的单调区间；（2）当0a <时，证明：()2ln f x e x >.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；当0a >时，()f x 的减区间为(),2ln a -∞+，增区间()2ln ,a ++∞，（2）证明见解析【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导数，分0a ≤和0a >，分别由导数大于零和小于零，可求得函数的单调区间；（2）要证明22ln x ae x e x e ->，只要证2ln 0x e e x ->，构造函数()2ln xg x e e x =-，然后利用导数求出此函数的最小值即可，或要证明22ln xae x e x e ->，只要证22ln x e x xe x ae ->，构造函数()()20x g x ae x x e =->，然后用导数求其最小值，构造函数()()2ln 0x h x e x x=>，然后利用导数求其最大值，或要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->，构造函数()()()222222ln ln x x g x e e x e x e x e e e e x =-=-++--，令()()220x h x e e x e x =-+>，()222ln m x e x e e x =--，再利用导数求其最小值即可【详解】（1）解：()f x 的定义域为(),-∞+∞，()2x f x e ae '=-．当0a ≤时，()0f x ¢>，则()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间．当0a >时，由()0f x ¢=，得2ln x a =+．当(),2ln x a ∈-∞+时，()0f x ¢<；当()2ln ,x a ∈++∞时，()0f x ¢>，所以()f x 的减区间为(),2ln a -∞+，增区间()2ln ,a ++∞．（2）证明：法一：要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->．设()2ln xg x e e x =-，则()2xg x e e x '=-，()220xg x e xe ''=+>，所以()g x '在()0,+¥上是增函数．又()210g e e '=-<，()2222022e g ee '=-=>，所以存在()01,2x ∈，使得()02000x g e x e x '=-=，即020x e e x =，00ln 2x x =-．所以当()00,x x ∈时，()0g x ¢<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x ¢>，因此()g x 在()00,x 上是减函数，在()0,x +∞上是增函数，所以()g x 有极小值，且极小值为()()022222222000000ln 22220x g x e e x e x e x e e e x e x e =-=--=+->-=．因此()0gx >，即2ln 0x e x -->．综上，当0a <时，()2ln f x e x >．法二：要证明22ln xae x e x e ->，只要证22ln x e x xe x ae ->．设()()20x g x ae x x e =->，则()()21x x e g x x-'=．当01x <<时，()0g x ¢<；当1x >时，()0g x ¢>，所以()g x 在()0,1上是减函数，在()1,+¥上是增函数，所以1x =是()g x 的极小值点，也是最小值点，且()()2min 1g x g e ae ==-．令()()2ln 0xh x e x x =>，则()()221ln x h x xe -'=．当0x e <<时，()0h x '>；当e x >时，()0h x '<，所以()h x 在()0,e 上是增函数，在(),e +∞上是减函数，所以x e =是()h x 的极大值点，也是最大值点，且()()max h x h e e ==，所以当0a <时，()()2g x e ae e h x ≥->≥，即22ln x e x xe x ae ->．综上，当0a <时，()2ln f x e x >．法三：要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->．设()()()222222ln ln xxg x e e x e x ex ee e e x =-=-++--，令()()220xh x e e x ex =-+>，则()2x h x e e '=-，当02x <<时，()0h x '<；当2x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,2上是减函数，在()2,+¥上是增函数，所以2x =是()h x 的极小值点，也是()h x 的最小值点，即()()min 20h x h ==．设()222ln m x e x e e x =--，则()()2221x e m x e x xe-'=-=．当01x <<时，()0m x '<；当2x >时，()0m x '>，所以()m x 在()0,1上是减函数，在()1,+¥上是增函数，所以1x =是()m x 的极小值点，也是()m x 的最小值点，即()()min 10m x m ==．综上，()0h x ≥（当且仅当2x =时取等号），()0m x ≥（当且仅当1x =时取等号），所以()()()0g x h x m x =+>，故当0a <时，()2ln f x e x >．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是将不等式等价转化，然后构造函数，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想，属于较难题10．已知函数2()ln f x x ax x =-+.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意0a <，满足2()ln f x x ax x =-+的图象与直线y kx =恒有且仅有一个公共点，求k 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，在(0,)+∞单调递增；当0a >时，在10,4a ⎛-+ ⎝⎭单调递增，在14a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减；（2）1k ≤或3221k e -+≥.【分析】（1）首先求函数的导数2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>，分0a ≤和0a >两千情况讨论导数的正负，确定函数的单调性；（2）由方程()f x kx =，转化为2ln x ax xk x -+=，构造函数()2ln x ax x h x x-+=，利用二阶导数判断函数的单调性，并分情况讨论()h x '最小值的正负，并结合零点存在性定理，确定函数的性质，根据2ln x ax xk x-+=有唯一解，确定k 的取值范围.【详解】（1）2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>当0a ≤时，恒有'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，令2210ax x -++=，则180a ∆=+>，则10x =，211804x a-=<（舍去），当1(0,)4x a -+∈时，'()0f x >，()f x 在1(0,)4a-+单调递增；当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x在)+∞单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在118(0,)4a -单调递增，()f x 在118()4a-+∞单调递减.（2）原命题等价于对任意0a <，2ln x ax x kx -+=有且仅有一解，即2ln x ax xk x-+=；令ln ()1x h x ax x =-+则21ln '()x h x a x -=-，332(ln )2''()x h x x -=，令''()0h x =得32x e =所以)'(h x 在32(0,)e 上递减，在32(,)e +∞上递增，3232min 331ln 1'()'()2e h x h e a ae e -==-=--当312a e ≤-时，'()0h x ≥，所以()h x 在R 上单调递增，又当0x →时，ln ,0xax x→-∞-→，所以()h x →-∞；当x →+∞时，ln ,xax x→+∞-→+∞，所以()h x →+∞.所以()h x 在R 上必存在唯一零点，此时k ∈R ；当3102a e-<<时，32min '()'()0h x h e =<，同时又当0x →时，21ln ,x a x-→+∞-→+∞，所以'()h x →+∞；当x →+∞时，21ln 0,x a x-→-→+∞，所以'()h x →+∞.所以方程'()0h x =存在两根12,x x ，即2211221ln 1ln 0x ax x ax --=--=且332212(0,),(,)x e x e ∈∈+∞，所以()h x 在1(0,)x 上单调递增，12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以()h x 的极大值为1()h x ，极小值为2()h x 要使有方程2ln x ax xk x-+=唯一解，必有1()k h x >或2()k h x <，又2222222222ln ln 1ln 2ln 1()111x x x x h x ax x x x x --=-+=-+=+，又322(,)x e ∈+∞，则2ln 1()1x x x ϕ-=+，232ln '()0x x xϕ-=<，所以()ϕx 在32(,)e +∞递减，且x →+∞时，2ln 1()11x x xϕ-=+→，所以1k ≤；同理1112ln 1()1x h x x -=+，321(0,)x e ∈，2ln 1()1x x x ϕ-=+在32(0,)e 递增，3322322()()121x e eeϕϕ-<=+=+，所以3221k e -+≥.综上可得，1k ≤或3221k e -+≥.【点睛】思路点睛：本题是一道利用导数研究函数性质，零点的综合应用题型，属于难题，一般利用导数研究函数零点或方程的实数根时，需根据题意构造函数()f x ，利用导数研究函数在该区间上的单调性，极值，端点值等性质，以及零点存在性定理等研究函数的零点.11．设函数223223()3,()33,22a a f x x x ax g x ax x a ⎛⎫=-+=-++-∈ ⎪⎝⎭R .（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数[]()23()()()0,222a x f x g x x x ϕ=--∈在0x =处取得最大值，求a 的取值范围.【答案】（1）当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，()f x 的单调递增区间为93,13⎛-∞- ⎝⎭和9313⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1⎛-+ ⎝⎭；（2）6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【分析】（1）先对()f x 求导，对导函数分3a ≥和3a <两种情况讨论即可.（2）因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值，所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈，利用分离参数法转化为不等式恒成立问题，求函数的最值即可.【详解】解：（1）()22()36313f x x x a x a '=-+=-+-，当3a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，令()0f x '>，得13x <-或13x >+，所以()f x 的单调递增区间为93,13⎛-∞- ⎝⎭和9313⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭令()0f x '<，得1133x -<<+，所以()f x 的单调递减区间为9393133⎛-+ ⎝⎭.综上，当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，()f x 的单调递增区间为,1⎛-∞- ⎝⎭和1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为9393133⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭.（2）由题意得[]322133()(1)3,0,2222x ax a x x a x ϕ=+--+∈.因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值，所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈，即[]3213(1)30,0,222ax a x x x +--∈，当0x =时，显然成立.当(]0,2x ∈时，得()21313022ax a x +--≤，即()()()()()22323232322221+2x x ax xx x x x ++==++-+-+--.令(]22,4t x =+∈，则2()1,(2,4]th t t t =--∈，()2210h t t '=+>恒成立，所以2()1,(2,4]t h t t t =--∈是增函数，5()0,2h t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3625(2)12x x +--+，即65a ，所以a 的取值范围为6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】思路点睛：对含参数的函数求单调区间，根据导函数分类讨论是解决这类题的一般方法；已知函数的最大值求参数的取值范围，往往转化为不等式恒成立问题，如果能分离参数的话，分离参数是解决这类题的常用方法，然后再求函数的最值即可.12．已知函数()()()21ln 1f x x a x x =-+-+（0a >）.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()1ln x xf x x x-'≥在()1+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）02a <≤.【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断函数的单调性即可；（2原不等式化为：ln 2x a x x ≤-在()1+∞，上恒成立，设()ln 2xh x x x=-，()1,x ∈+∞，求出函数的导数，再令()221ln g x x x =-+，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【详解】（1）()()()1121121x f x x a x a x x -⎛⎫⎛⎫'=-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12121a x x a x x xx---=--=，()0,x ∈+∞，令()0f x '=，则2ax =或1x =，当02a <<时，函数()f x 在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在区间,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当2a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，当2a >时，函数()f x 在区间()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；（2）原不等式化为：ln 2xa x x≤-在()1+∞，上恒成立，设()ln 2xh x x x=-，()1,x ∈+∞，()2221ln 21ln 2x x x h x x x--+'=-=，令()221ln g x x x =-+，则()140g x x x '=+>，所以()g x 在()1+∞，上单调递增，()()110g x g >=>，所以()0h x '>，则函数()h x 在()1+∞，上单调递增，且()12h =，02a ∴<≤.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究单调性（含参），考查利用导数研究恒成立问题，解决第（2）问的关键是将原不等式转化为ln 2xa x x≤-在()1+∞，上恒成立，进而利用导数研究函数的单调性，从而得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于常考题.13．已知函数()ln 2ag x x x x=++.（1）讨论()g x 的单调性；（2）当10a e <<时，函数()()222a f x xg x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在其定义域内有两个不同的极值点，记作1x 、2x ，且11x x <，若m 1≥，证明：112m mx x e +⋅>.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数()g x 的定义域，求得()222x x a g x x+-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()g x 的单调递增区间和递减区间；（2）利用分析法得出所证不等式等价于()()()121212121ln0m x x x x x x x mx +-<>>+，令()120,1x t x =∈，构造函数()()()11ln m t h t t t m+-=-+，其中()0,1t ∈，利用导数证明出()0h t <对任意的()0,1t ∈恒成立，由此可证得原不等式成立.【详解】（1）函数()ln 2ag x x x x=++的定义域为()0,∞+，()()222122a x x ag x a R x x x+-'=+-=∈，方程220x x a +-=的判别式18a ∆=+.①当18a ≤-时，0∆≤，()0g x '≥，()g x 在()0,∞+为增函数；②当18a >-时，0∆>，方程220x x a +-=的两根为114x -'=，214x -'=，（i ）当108a -<≤时，120x x ''<≤，对任意的0x >，()0g x '>，()g x 在()0,∞+为增函数；（ii ）当0a >时，120x x ''<<，令()0g x '<，可得20x x '<<，令()0g x '>，可得2x x '>.所以，()g x在1,4⎛⎫+∞⎝⎪⎪⎭为增函数，在10,4⎛⎤- ⎥ ⎝⎦为减函数.综上所述：当0a ≤时，()g x 的增区间为()0,∞+，无减区间；当0a >时，()g x的增区间为1,4⎛⎫+∞- ⎝⎪⎪⎭，减区间10,4⎛⎤- ⎥ ⎝⎦；（2）证明：()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈ ，所以()ln f x x ax '=-，因为()f x 有两极值点1x 、2x ，所以11ln x ax =，22ln x ax =，欲证112mm x x e +⋅>等价于要证：()112ln ln m m x x e +⋅>，即121ln ln m x m x +<+，所以()1212121ln ln m x m x ax max a x mx +<+=+=+，因为m 1≥，120x x <<，所以原不等式等价于要证明121ma x mx +>+.又11ln x ax =，22ln x ax =，作差得()1122lnx a x x x =-，1212ln x x a x x ∴=-，所以原不等式等价于要证明()()112211212212ln11ln x m x x x x m x x x mx x x mx +-+>⇔<-++，令12x t x =，()0,1t ∈，上式等价于要证()()11ln m t t t m+-<+，()0,1t ∈，令()()()11ln m t h t t t m+-=-+，所以()()()()221t t m h t t t m --'=+，当m 1≥时，20t m -<，则()0h t '>，所以()h t 在()0,1上单调递增，因此()()10h t h <=，()()11ln m t t t m+-∴<+在()0,1t ∈上恒成立，所以原不等式成立.【点睛】利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.14．已知实数0a >，函数()22ln f x a x x x=++，()0,10x ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ､()()22,Q x f x (12x x <)处的切线分别为1l ､2l ，且1l ､2l 在y 轴上的截距分别为1b ､2b .若12//l l ，求12b b -的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）对函数求导，按照110a ≥、1010a<<分类，求得()0f x '<、()0f x '>的解集即可得解；（2）由极值点的性质可得1a =，由导数的几何意义可得1b 、2b 及()12122x x x x =+，转化条件为1211212221ln 1x x x b b x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=++，构造新函数结合导数即可得解.【详解】（1）由题意，()()()()222212010ax ax a f x a x x x x+-'=-++=<<，0a > ，010x <<，∴20ax +>，①当110a ≥，即10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x ∴在()0,10上单调递减；②当1010a <<，即1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x ∴在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述：当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在()0,10上单调递减；当1,10a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）∵1x =是()f x 的极值点，∴()10f '=，即()()210a a +-=，解得1a =或2a =-（舍），此时()2ln f x x x x =++，()2211f x x x'=-++，1l ∴方程为()1112111221ln 1y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x =，得1114ln 1b x x =+-，同理可得2224ln 1b x x =+-，12//l l ，221122212111x x x x ∴-++=-++，整理得：()12122x x x x =+，12122x x x ∴=-，又12010x x <<<，则1112102x x x <<-，解得1542x <<，()1212211111211221222221244ln ln ln 1x x x x x x x x xb b x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭∴-=+=+=+++，令12x t x =，则1111211,1224x x t x x -⎛⎫=⋅=-∈ ⎪⎝⎭，设()()211ln ,,114t g t t t t -⎛⎫=+∈ ⎪+⎝⎭，则()()()()222141011t g t t t t t -'=-+=>++，()g t ∴在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()10g =，16ln 445g ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()6ln 4,05g t ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，即12b b -的取值范围为6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，再构造新函数，结合导数即可得解.15．已知函数32()23(1)6()f x x m x mx x R =+++∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若(1)5f =，函数2()()(ln 1)0f x g x a x x=+-≤在(1,)+∞上恒成立，求证：2a e <.【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导后分解因式，分类讨论即可得到函数的单调性；（2）由题意求出0m =，转化为23ln 1x a x +≤+在(1,)x ∈+∞上恒成立，利用导数求出23()(1)ln 1x h x x x +=>+的最小值，即可求解.【详解】（1）()()()'22661661fx x m x m x m x m ⎡⎤=+++=+++⎣⎦6(1)()x x m =++若1m =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增；若1m >时，1m -<-，当x m <-或1x >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，当1m x -<<-时，()0f x '<，()f x 为减函数，若1m <时，1m ->-，当1x <-或x m >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，当1x m -<<-时，()0f x '<，()f x 为减函数.综上，1m =时，()f x 在R 上单调递增；当1m >时，()f x 在(,)-∞-m 和(1,)-+∞上单调递增，在(,1)m --上单调递减；当1m <时，()f x 在(,1)-∞-和(,)m -+∞上单调递增，在(1,)m --上单调递减.（2）由(1)23(1)65f m m =+++=，解得0m =，所以32()23f x x x =+，由(1,)x ∈+∞时，ln 10x +>，可知()(ln 1)230g x a x x =+--≤在(1,)+∞上恒成立可化为23ln 1x a x +≤+在(1,)x ∈+∞上恒成立，设23()(1)ln 1x h x x x +=>+，则22132(ln 1)(23)2ln ()(ln 1)(ln 1)x x x x x h x x x +-+⨯-'==++，设3()2ln (1)x x x x ϕ=->，则223()0x x xϕ'=+>，所以()ϕx 在(1,)+∞上单调递增，又3ln163(2)2ln 2022ϕ-=-=<，3()20e eϕ=->所以方程()0h x '=有且只有一个实根0x ，且00032,2ln .x e x x <<=所以在0(1,)x 上，()0h x '<，()h x 单调递减，在0(,)x +∞上，()0,()h x h x '>单调递增，所以函数()h x 的最小值为0000002323()223ln 112x x h x x e x x ++===<++，从而022.a x e ≤<【点睛】关键点点睛：解答本题的难点在于得到232ln ()(ln 1)x x h x x -'=+后，不能求出()h x '的零点，需要根据()h x '的单调性及零点存在定理得到0x 的大致范围，再利用0x 的范围及0032ln x x =证明不等式.16．设()1,,54m h x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，其中m 是不等于零的常数，（1）写出()4h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；【答案】（1）15,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）答案见解析.【分析】（1）由已知得出1454x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，解出x 可得()4h x 的定义域；（2）对函数()h x 求导，按0m <，1016m <≤，12516m <<和25m ≥四种情况，分别求出函数的单调递增区间即可．【详解】（1）∵1454x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴15164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()4h x 的定义域为15164⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2）()21m h x x '=-0m <时，()0h x '>恒成立，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增；0m >时，令()0h x '>，解得x >或x <，即函数的单调增区间为(,-∞，)+∞14≤即1016m <≤时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增当154<<即12516m <<时，()h x 在⎤⎦递增5≥即25m ≥时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，无递增区间综上可得：0m <时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增；1016m <≤时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增；12516m <<时，()h x 在⎤⎦递增【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义域，考查导数研究函数的单调性，解决本题的关键是令()0h x '>求出函数的单调增区间，讨论定义域的区间端点和单调区间的关系，考查了学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题．17．已知1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦，函数2()(1)x f x x e kx =--．（ 2.71828e = 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在[0,]k 上的最大值．【答案】（1）单调增区间为(ln 2,),(0)k +∞-∞，，单调减区间为(0,ln 2)k ；（2）3(1)k k e k --.【分析】（1）由题得()(2)x f x x e k '=-，再利用导数求函数的单调区间得解；（2）证明0(2)ln k k <<，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．【详解】（1）由题得()(1)2(2)x x x f x e x e kx x e k '=+--=-，令0()0,20x x f x e k >⎧'>∴⎨->⎩或020x x e k <⎧⎨-<⎩，因为1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦，所以122k <≤，所以不等式组的解为ln 2x k >或0x <，所以函数()f x 的单调增区间为(ln 2,),(0)k +∞-∞，；令0()0,20x x f x e k >⎧'<∴⎨-<⎩或020x x e k <⎧⎨->⎩，解之得0ln 2x k <<，所以函数()f x 的单调减区间为(0,ln 2)k ；所以函数()f x 的单调增区间为(ln 2,),(0)k +∞-∞，，单调减区间为(0,ln 2)k .（2）令()(2)k k ln k ϕ=-，1(2k ∈，1]，11()10k k k k ϕ-'=-=所以()k ϕ在1(2，1]上是减函数，ϕ∴（1）1()()2k ϕϕ<，112()2ln k k ϕ∴-<<．即0(2)ln k k<<所以()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：x(0，(2))ln k (2)ln k ((2)ln k ，)k ()'f x -0+()f x极小值(0)1f =-，()(0)f k f -3(1)(0)k k e k f =---3(1)1k k e k =--+3(1)(1)k k e k =---2(1)(1)(1)k k e k k k =---++2(1)[(1)]k k e k k =--++。

数学思想之分类讨论

数学思想之分类讨论分类讨论是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．一、代数（一）数、式1、若x 的相反数为3，y ＝5，则x ＋y 的值为（）．（D ）（A ）－8 （B ）2 （C ）8或－2 （D ）－8或22、若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则（C ）A ．5或－1B ．－5或1;C ．5或1D ．－5或－1 3、已知│x│=4，│y│=12，且xy<0，则xy=_______．（－8） 4、已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则_______．（±1）5、若a 、b 在互为倒数，b 、c 互为相反数，m 的绝对值为 1，则2()abb c m m m++-的值是______．（0或－2）6、已知11||1,||a a a a-=+则的值为（）（B ）. .5 3 .51A C ±7、化简|1|x -（10－2x 或8或2x －10）8、已知：数3、6、x ，三个数中的一个数是另两个数的比例中项，求x ．（23，12，±23）（二）函数、方程1、在同一坐标系中，正比例函数-3y x =与反比例函数ky x=的图象的交点的个数是（）（A ） A ．0个或2个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个2、一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时，对应的y 值为l ≤y ≤9，则kb 值为（）（D ） A ．14 B ．－6 C ．－4或21 D ．－6或143、已知关于x 的方程m 2x 2＋（2m ＋1）x ＋1＝0有实数根，求m 的取值范围．（m≥－41）二、几何（一）锐角与钝角1、已知：△ABC 中，∠A=40°，AB 、AC 边上的高所在直线相交于H ，求∠BHC ．(140°或40°)2、等腰三角形面积是2，腰长是5，求底角的正切值．（2或21） 3、在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与直线AC 相交所得的锐角为50°，•则底角∠B 的大小为__________．（20°或70°）4、△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BD 为AC 边上的高，BD ＝3，∠ACB 的度数是__ _____．（300或600）5、△ABC 中，AB=AC ，CH 是AB 上高，CH=53AB ，BC=10，求（1）tgB ；（2）若正方形DEFG 内接于△ABC ，使D 在AB 上，G 在AC 上，E 、F 在BC 上，求正方形边长．（tgB=3或tgB=31；1053或710） 6、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=15，AD=8，CD=13，sinB=54，求BC ．（22或12）（二）等腰三角形1、等腰三角形的两条边分别为5cm ，6cm ，则周长为 cm ．（16或17）2、等腰三角形的一边长为3cm ，周长是13cm ，那么这个等腰三角形的腰长是（）（A ） A ．5cm B ．3cm C ．5cm 或3cm D ．不确定3、若等腰三角形的一个内角为50°，则其他两个内角为（）（D ） A ．50°，80° B ．65°， 65°C ．50°，65°D ．50°，80°或 65°，65° 4、等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为______．（70°或40°） 5、已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．（6，8或9，5）6、已知：在平面直角坐标系中有两点A （－1，1），B （3，2），在x 轴上找出点C ，使△ABC 为等腰三角形．（（3，0）（－5，0）（±13+3，0）（811，0）） 7、直线y=33x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于B ，求（1）∠BAO 的余弦值；（2）是否存在点C ，使△ABC 是底角为30°的等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点C 坐标；若不存在，请说明理由．（（1）cos ∠BAO=23；（2）（－33，0）或（0，3）） 8、在等腰三角形中，如果有两条中线的长分别为3厘米和32厘米，那么这个等腰三角形的周长为厘米．（8+27或22+45）9、为了美化环境，计划在某小区内用30m 2•的草皮铺设一块边长为10m 的等腰三角形绿地，请你求出等腰三角形绿地的另两边．（①当10；②当10为腰且三角形为锐角三角形时，另两边为10，当10为腰且三角形为钝角三角形时，另两边为10，10、在△ABC 中，正方形DEFG 的顶点D 、E 在BC 边上，顶点F 、G 分别在AC 、AB 边上，如果△ABC 是等腰三角形，且腰长为10cm ，底边长为12cm ，求正方形DEFG 的边长．（524或49240）（三）直角三角形1、已知Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ．（5或7）2________．（23、Rt △ABC 中，sinA=54，c=10，求b ．（6或350）（四）相似1、要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，•已有三角形框架甲，它的三边长分别为50cm ，60cm ，80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，•那么符合条件的三角形框架乙共有（）（C ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 2、两个相似三角形的对应中线的比为2∶3，其中一个三角形的周长是20cm ，则另一个三角形的周长为 cm ．（30或340） 3、在△ABC 中，AB ＝8厘米，AC ＝6厘米，点D 、E 分别在边AB 、AC 边上，且以点A 、D 、E 为顶点的三角形和以点A 、B 、C 为顶点的三角形相似．如果AD ＝2厘米，那么AE ＝厘米．（23或38） 4、RtΔABC 中，∠C=90º ，BC=8，AC=6，则其内接正方形的边长为．（340或37120） 5、已知等腰梯形ABCD ，AB ∥CD ，AD=BC=10，DC=13，tgA=0．75，E 是AB 上一点，如果△AED 相似△BCE ，求BE 的长．（229，25或4） 6、Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以C 为圆心，BC 为半径作圆交AB 于D ，如果点E 在CB 的延长线上，且△ABE 与△ACD 相似，求BE ．（310或6） 7、已知二次函数y=92x 2+322x+2的图像与x 轴、y 轴交于点A 、B ，一次函数y=－2x+b 图像经过B 点，并与x 轴交于点C ，若D 在x 轴上，且∠BCD=∠ABD ，求图像经过B 、D 两点的一次函数解析式．（y=－522x+2或y=42x+2）（五）圆1、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，则AB与CD 之间的距离为__________．（1cm或7cm）2、已知⊙O1和⊙O2相切于点P，半径分别为1cm和3cm．则⊙O1和⊙O2的圆心距为________．（2cm 或4cm）3、若半径为3，5的两个圆相切，则它们的圆心距为（）（C）A．2 B．8 C．2或8 D．1或44、已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．（1或5）5、若半径为1cm和2cm的两圆相外切，•那么与这两个圆相切、且半径为3cm的圆的个数为（）A．5个B．4个C．3个D．2个（A）6、⊙O1与⊙O2相交于AB，且AB=24，两圆的半径分别为r1=15，r2=13，求两圆的圆心距．（14或4）7、已知AB是⊙O的直径，AC、AD是弦，AB=2，AC=2，AD=1，求∠CAD的度数．（105°或15°）8、已知O是△ABC的外心，∠A为最大角，∠BOC的度数为y°，∠BAC的度数为x°，求y与x的函数关系式．（y=2x（0<x<90）或y=360°－2x（90<x<180））9、已知半径为3，5的两圆的两条公切线相互垂直，求圆心距．（82或22）10、已知半径为2和3的两圆相交于点A、B，且AB=22，求A、B与两圆心组成的四边形面积．（2±2）11、已知⊙O的直径AB=6cm，P为⊙O外一点，PA、PC切⊙O于A、C，C为弧AB的三等分点，求PC．（3或33）（六）位置1、点A在x轴上，且点A到原点的距离为4，则点A的坐标为．（（4，0）或（－4，0））2、线段AB=7cm，在直线AB上画线段BC=3cm，则线段AC= ．（10cm或4cm）3、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC= 15 ，则AB的长为．（3+5或4+25）4、平面上A、B两点到直线k距离分别是2－3与2＋3，则线段中点C到直线k的距离是．（2或3）5、已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E、F分别为线段OA、OB的中点，则线段EF的长度为cm．（1cm或5cm）6、已知 y=kx ＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．（3163+=x y 或3163+-=x y ） 7、抛物线y ＝ax 2＋c 与y 轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式．（y ＝2x 2＋3或y ＝8x 2－3）8、已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正弦值是21，设梯形面积为y ，梯形中较短的底边长为x ，求y 与x 的函数关系．（y=－95x 2+38x+4（0<x<6）或y=－92x 2+32x+4（0<x<6））9、已知，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB ∶CD=6∶5，∠C 、∠D 的平分线都与AB 交于N ，M 两点，且N ，M 把AB 三等分，若梯形周长为76，求梯形中位线的长．（22或15418）10、如图，路灯A 的高度为7米，在距离路灯正下方B 点20米处有一墙壁CD ，CD ⊥BD ，如果身高为1.6米的学生EF 站立在线段BD 上（EF ⊥BD ，垂足为F ，EF <CD ），他的影子的总长度为3米, 求该学生到路灯正下方B 点的距离BF 的长.（10.125米或18米）11、设方程023=--xx 的两根为x 1、x 2，且x 1<x 2，（1）求出x 1、x 2的值；（2）若A （x 1，0），B（x 2，0），C （0，x 2），D （－x 1，x 2+1），点O 为坐标原点，在△AOC 、△BOC 、△CDB 、△ACB 中是否有相似三角形．如果有，指出哪几对并证明；（3）若E 是y 轴上点，且满足它与A 、B 、C 三点组成的四边形面积，恰好等于四边形ABDC 的面积，求点E 的坐标．（（1）x 1=－1，x 2=3；（2）△AOC ∽△DCB ；（3）（0，23-）或（0，215））12、已知直线y=－33x+334，与x 轴相交于点A ，并经过B 点，已知OB=2，（1）求A 、B 的坐标；（2）若点E 在线段OA 上，点F 在线段EA 上，EF=2，分别过E 、F 作OA 垂线EM 、FN ，点M 、N 在△OAB 的边上，设OE=x ，那么x 为何值时，在△OAB 内且夹在直线EM 与FN 之间的面积为△OAB 面积的一半．（（1）A （4，0），B （1，3）；（2）23（舍231±））（第24题图）三、综合题（说明：分类讨论思想是综合题中常见的数学思想，运用分类讨论思想的综合题比比皆是，因此在这里我们仅选取了部分常见的体现不同解题思路的综合题供老师们参考）（一）等腰三角形1、如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G ．（1）当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH=x, GP=y 求y 关于x 的函数解析式,并写出函数定义城；（3）如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 长.（答案：（1）GH=2；（2）y=233631x +（0<x<6）；（3）6或2）2、已知，在ABC ∆中()A B ∠<∠，8,AB AC ==7cos 8A =. （1）求BC 的长（如图a ）；（2）P 、Q 分别是AB 、BC 上的点，且:2:1BP CQ =，连结PQ 并延长，交AC 的延长线于点E ，设,CQ x CE y ==（如图b ）.①求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域；②当x 为何值时，PEA ∆是等腰三角形？27.（1）BC=4（2）①()2022x y x x∴=<<-②若AP AE =，8AP <，8AE >，矛盾∴AP AE =不存在. …1分若AE PE =，则A APE ∠=∠,,APE B A B ∠>∠∠<∠ ，矛盾∴AE PE =不存在.………………………………………………… 1分若AP EP =，过点P 作PM AE ⊥,垂足为点M .822AE yAM +∴==………………………………………………………1分 872cos 828y AM A AP x +∴===-………………………………………………1分整理得7212x y +=，又22x y x ∴=-，解得126,45x x ==（舍）……1分AB CQPABC 图a图b∴当65x =时，PEF ∆是等腰三角形. …………………………………1分3、如图5，在以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB 与小圆相切于点A ，与大圆相交于B ，大圆的弦BC ⊥AB ，过点C 作大圆的切线交AB 的延长线于D ，OC 交小圆于E ．（1）求证：△AOB ∽△BDC ；（2）设大圆的半径为x ，CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．（3） △BCE 能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由．25．解：（1）略；（2）函数解析式为122-=x x y ，定义域为1>x ．（3）当EB =EC 时，∠ECB =∠EBC ，而∠ECB =∠OBC ，∴EB ≠EC ．当CE =CB 时，OC =CE +OE =CB+OE=2+1=3．………………………………（1分）当BC =BE 时，∠BEC =∠ECB =∠OBC ，则△BCE ∽△OCB ．………………（1分）则,OCBCBC CE =设OC = x ,则CE =1-x ,x x 221=-,2171±=x (负值舍去). ∴OC =2171+.…………………………………………………………………（1分）综上所述，△BCE 能成为等腰三角形，这时大圆半径为3或2171+．（二）直角三角形1、如图，在△ABC 中，AB=AC=5cm ，cosB=54，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM=∠B ．（1）设BP=x ，CM=y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域．（2）当△PCM 为直角三角形时, 求点P 、B 之间的距离．（答案：（1）y=582xx +-（0<x<8）；（2）425或4）2、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝5，AD ＝6，BC ＝12，点E 在 AD 边上，且AE ：ED ＝1：2，连接CE ，点P 是AB 边上的一个动点，（P 不与A ，B 重合）过点P 作PQ ∥CE，交BC 于Q ，设BP ＝x ，CQ ＝y ，（1）求CosB 的值；ABPCM（2）求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）连接EQ ，试探索△EQC 有无可能是直角三角形，若可能，试求出x 的值，若不能，请简要说明理由。

数学分类讨论的例题

数学分类讨论的例题
下面是一个关于数学分类讨论的例题：
例题：设a, b, c是三个实数，满足以下条件：
条件1：a > 0；
条件2：b < 0；
条件3：c = 0。

讨论以下命题的真假：
命题1：a + b + c > 0；
命题2：a * b * c = 0；
命题3：a * b * c < 0。

解答：
根据条件1，我们知道a是一个正数。

根据条件2，我们知道b是一个负数。

根据条件3，我们知道c是零。

命题1的判断：a + b + c = 正数 + 负数 + 0 = 正数 - 正数 = 正数，因此命题1成立。

命题2的判断：a * b * c = 正数 * 负数 * 0 = 0，因此命题2成立。

命题3的判断：a * b * c = 正数 * 负数 * 0 = 0，0既不是正数也不是负数，不满足命题3的要求，因此命题3不成立。

结论：
命题1和命题2成立，而命题3不成立。

高中数学(高二)分类讨论习题及答案

分类的准则：分类科学，标准统一，不重不漏，力求最简。

分类讨论的标准：①涉及的数学概念是分类定义的；②涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的；③涉及题中所给出的限制条件或研究对象的性质而引起的；④涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果二引起的；⑤涉及几何图形的形状、位置的变化而引起的；⑥一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的．分类讨论的步骤一般可分为以下几步：①确定讨论的对象及其范围；②确定分类讨论的标准，正确进行分类；③逐步讨论，分级进行；④归纳整合，作出结论．一．举出几种高中学数学常见的分类（1）方程02=++c bx ax ；函数c bx ax y ++=2；不等式02>++c bx ax 中a 的讨论（2）等比例的前n 项和的公式，分0q =和1q ≠两种情况．．（3）设直线方程b kx y +=时，斜率的讨论（4）a 的定义时对0a >、0a =、0a <三种情况一．集合，不等式中的应用典型例题1.解关于x 的不等式2(2)20mx m x +-->,并写出解集2.若集合2{560}A x x x =-+≤，集合},02{Z a ax x B ∈=-=，且A B ⊆，则实数a =．3.设常数a R ∈，集合{|A x =(1)(x x -)a -0}≥，{|1}B x x a =≥-．若A B R = ，则a 的取值范围为_________4.不等式a x x x >+-++21恒成立，则实数a 的取值范围是巩固练习1.不等式a x x >-+2-1有解，则实数a 的取值范围是2.若{}21,1,2,2x x x ∈--，则实数x 的集合是.3.已知21log 13x -<，则x 的取值范围是___________.4.111222,,,,,a b c a b c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（）.A 充分非必要条件.B 必要非充分条件.C 充要条件.D 既非充分又非必要条件5.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。

四年级数学上册基本方法复习12分类讨论法新人教版(含答案)

四年级数学上册基本方法复习新人教版：
分类讨论法
分类讨论法是先把研究对象按照一定的标准进行分类并逐类讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决的方法。

【典型例题】
在梯形中画一条线段，把这个梯形分成两个图形，可以怎样分？
【方法指导】
此题答案不唯一，列举如下三种情况：
（1）把这个梯形分成一个平行四边形和一个梯形，画的这条线段要与梯形的一条腰平行，且线段的端点不能是上底的两个顶点。

（2）把这个梯形分成两个梯形，画的这条线段要使原梯形上、下底的一部分称为新梯形的上、下底或者与原梯形的上、下底平行。

（3）把这个梯形分成两个三角形，连接梯形相对的两个顶点（即画出梯形的对角线）。

【正确解答】【除（3）外答案不唯一】
（1）分成一个平行四边形和一个梯形：
（2）分成两个梯形：
（3）分成两个三角形：
或
【同步练习】
在下图中画一条线段，把它分成一个长方形和一个三角形。

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