六年级上册数学讲义-工程问题(一)-人教版(含答案)
小学六年级数学讲义：工程问题
工程问题知识点1：工程问题：由两个或两个以上单位(或人)，共同去完成一件工作或一项工程，计算需要完成任务的时间，这一类应用题叫做“工程问题”。
题目中没有给出具体的总工程量，通常用单位“1”表示(即整体思想)，并用“1÷工作时间”推算工作效率，用一个分数单位1n⎛⎫⎪⎝⎭表示。
基本数量关系与一般工作问题完全相同，即总工程量÷工作效率＝工作时间；总工程量÷工作时间＝工作效率知识点2：工程问题中的“牛吃草”问题工程问题中的“牛吃草”问题是工程问题的特殊形式，即题目条件里面有变量。
所以解答此类问题首先应该将工程问题中的条件与“牛吃草”中的“原有草量”、“新生长的草量”和“牛吃草”一一对应，而关键是确定工程问题里面的两个不变量，仿照“牛吃草”问题即：原有量和增加率。
所以类似的基本数量关系式有：增加率＝(台(人)数×时间－台(人)数×时间)÷时间差；原有量＝(台(人)数－增加率×1)×时间台(人)数＝原有量÷时间＋增加率×1；时间＝原有量÷(台(人)数－增加率×1)通常把“牛吃草”的速度即减少的速度设为“1”份。
知识点3：解题的思考方法：解答工程问题时一定要认真审题，弄明白是完成全部工程，还是该工程的部分(即它的几分之几)？有几个人或单位参加工作？他们完成这项工程各自需要多少时间？推得各自的工效是几分之一？他们是同时开始、同时结束工作的，还是有先有后的？具体要求什么等等。
因为工程问题的条件可用多种形式提出，有的不以“工程”命题，有的与其他类型的题目结合，这样，工程问题的题目就复杂起来。
但复杂是可以向简单转化的，通过一定的手段，使其变为若干个基本题，解题的基本思路与方法是不变的。
因此，只要抓住工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，细心分析，就能找到解题的途径、步骤和方法。
例1(基础)原计划由一支工程队修建一座公园，预计需要1年零6个月；现在为了加紧完工，又调来了两支工程队，已知两只工程队的工作效率相同，那么需要多久才能完工？(提高、尖子)原计划一个工程队铺设一条水管需要18天，开工6天之后抽调走工程队中23的人数去做其他的工作，那么一共需要多少天才能建成这座大桥？(基础)批改一批考卷，李老师单独做需要12小时，王老师和李老师一起批改，需要8小时，那王老师单独批改这份考卷需要多少时间？(提高、尖子)有一批书，小明9天可装订34，小丽20天可装订56，现小明和小丽合作共装订了6天，余下的由小丽来装订，问：装订完这批书共用多少天？例3(基础、提高)满一个水池的水，同时开①、②、③号阀门需要15小时；同时开①、③、⑤号阀门需要10小时；同时开①、③、④号阀门需要12小时；同时开②、④、⑤号阀门需要8小时。
六年级上册数学说课稿《《解决问题(工程问题)》人教版
六年级上册数学说课稿《《解决问题（工程问题）》人教版一. 教材分析《解决问题（工程问题）》是人教版六年级上册数学的一章内容。
这一章节主要让学生掌握工程问题的解决方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在本章中，学生将学习如何根据工作量、工作效率和工作时间之间的关系来解决问题。
教材通过具体的例子和实践活动，帮助学生理解和掌握工程问题的解决方法。
二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于解决一些简单的问题已经有了一定的方法和技巧。
但是，对于工程问题，他们可能还不太熟悉，需要通过实践活动和引导来掌握解决工程问题的方法。
此外，学生可能对于工作量、工作效率和工作时间之间的关系还不太理解，需要通过具体的例子和实践活动来加深理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解工程问题的基本概念，掌握解决工程问题的方法和步骤。
2.过程与方法目标：学生能够通过观察、分析和实践，探索解决工程问题的方法，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极主动地参与数学活动，体验解决工程的乐趣，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解工程问题的基本概念，掌握解决工程问题的方法和步骤。
2.教学难点：学生能够理解和运用工作量、工作效率和工作时间之间的关系来解决工程问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题解决法、引导发现法和实践活动法等教学方法。
通过具体的例子和实践活动，引导学生观察、分析和解决问题，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
同时，我将运用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握工程问题的解决方法。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的工程问题情境，引发学生的兴趣和思考，激发学生解决问题的欲望。
2.探究：引导学生观察和分析工程问题的基本要素，让学生通过小组合作和讨论，探索解决工程问题的方法。
3.解决：教师通过讲解和示范，引导学生理解和运用工作量、工作效率和工作时间之间的关系来解决工程问题。
六年级【小升初】小学数学专题课程《工程问题》(含答案)
18.工程问题知识要点梳理一、基本概念1．工程问题：做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等，都叫做工程问题。
2．工程问题的三个基本量是工作效率、工作时间和工作总量。
（1）工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。
（2）工作时间：完成工作总量所需的时间。
（3）工作总量：完成一项工作的总量。
一般都是把工作总量看做单位“1”。
二、基本数量关系1．一般公式：工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。
2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。
我们把工作总量假设为单位“1”，这个巧解方法的公式有：（1）一般给出工作时间，工作效率＝1工作时间。
（2）一般给出工作效率1a，就可以知道工作时间为a。
三、基本方法算术方法、比例方法、方程方法。
考点精讲分析典例精讲考点1 简单的工程问题【例1】一件工作，甲单独10天完成，乙单独15天完成，甲乙合做（）天完成。
【精析】根据题意，把这件工作总量看作单位“1”，甲的工作效率是110，乙的工作效率是115，甲、乙的工作效率和是110+115，再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。
【答案】 把这件工作总量看作单位“1”， 1÷(110+115)=1÷3+230=1÷16=6（天）【归纳总结】 此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，要求甲乙合做需要多少天可以完成，应求出甲乙工作效率和。
考点2 合作工程问题【例2】 一件工作，甲、乙合作需4小时完成，甲、丙合作需5小时完成，乙、丙合作需6小时完成，乙单独做这件工作需多少个小时完成？【精析】 首先把这件工作看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙、甲丙、乙丙的工作效率，再把它们求和，即可求出三人的工作效率之和的2倍，进而求出三人的工作效率之和是多少；然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率，求出乙的工作效率；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。
六年级数学工程问题(附例题答案)
六年级数学工程问题(附例题答案)本文介绍了工程问题中的基本数量关系，即工作总量=工作效率×工作时间。
举例说明了如何计算两人合作完成一件工作需要的时间。
为了计算方便，可以把工作量设为整体1或整数化，也可以从比例角度出发或列方程等。
接下来给出了一个例题：甲做9天可以完成一件工作，乙做6天可以完成，现在甲先做了3天，问乙需要做几天才能完成全部工作。
根据基本数量关系，甲的工效为1/9，乙的工效为1/6，甲三天做了1/3的工作，余下的工作量为2/3，乙需要的时间为2/3÷1/6=4天。
第七讲工程问题例2.一个工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。
这个工程由丙队单独做需几天完成？解析：先计算甲、乙两队合作完成这个工程所需的时间：1-（1/24+1/30）×8=2/56÷2/5=15天。
因此，丙队单独做这个工程需要15+6=21天完成。
例3.某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，若由甲乙两人合作，需48天完成。
现在甲先单独做42天，然后由乙来单独完成，那么还需要多少天？解析：根据已知条件，可以得出甲的工效为(1-28/48)/35=1/84，乙的工效为1/48-1/84=1/112.因此，甲先单独做42天后，剩下的工程量为1-42*1/84=1/2，需要乙再完成1/2，所需时间为(1/2)÷(1/112)=56天。
另一种方法是设甲每天完成工程的百分比为x，乙每天完成工程的百分比为y，则63x+28y=148(x+y)=1，解得x=1/84，y=1/112.因此，甲先单独做42天后，剩下的工程量为1/2，需要乙再完成1/2，所需时间为(1-42*1/84)/(1/112)=56天。
例4.一项工程，甲乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的甲乙单独做这项工程各需要多少天？解析：设甲单独做需要X天，乙单独做需要Y天，则有4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1，同时有1/X -1/Y=1/30.解得X=10，Y=15，因此甲单独做需10天，乙单独做需15天。
小学六年级数学工程问题例题详细讲解与练习(有答案)
工程问题（一）顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量二工作效率X工作时间，工作时间=工作量十工作效率，工作效率二工作量十工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可以是部分工程量，常用分数表示。
例如，工程的一半表示成扌，工程的三分之一表示为孑工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
例1单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天，甲的工作效率是身和同理，乙队的工作效率是当。
两队合干的工作效率是（点#占）。
100 150 100 150由柿工作4 = 1作效率x工作时间J w天的工作量是1 . 1 1 5f十-—}x50 = —+ -- -100 150;236剰下的工作量是（1-|）0由「『工作时间=工作量▼工作效率：剩下的工作量由乙队干还需例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。
问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。
2 13二（】L弓）&托二弓X 二12〔天）0答：甲队干了12天。
例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。
开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。
工程问题讲义
例6：由两条质地相同的绳子，长度相等，粗细不同，如果从 两条绳子的一端点燃，细绳子40分钟可以燃尽，而粗绳子120 分钟才燃尽。如果从两条绳子的一端同时点燃，经过一段时间 后，又同时把它们熄灭，这时量得细绳子还有10厘米没燃尽， 粗绳子还有30厘米没燃尽，这两个绳子原来的长度是多少厘 米？
【举一反三】 1. 某地要修一条公路，甲工程队单独干需要10天完成，乙 工程队单独干需要15天完成，如果两队合作，他们的工 作效率就要降低，甲队只能完成原来的4/5，乙队只能 完成原来的9/10，现在计划8天完成这项工程，且要求 两队合作天数尽可能少，那么两队要合作多少天？
几天？
2. 有A、B两项工作，甲单独完成A项工作需要9天，单独完 成B项工作需要12天；乙单独完成A项工作需要3天，单 独完成B项工作需要15天，如果两人合作完成者两项工 作，最少需要多少天？
3. 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那 么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？
4. 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如
果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零 件。这批零件共有多少个？
5. 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将
空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空 池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内 将积有半池水？
分析：将题目”这样一来，问题就简单 多了。
例4：抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙丙两人每天工作 效率的和；丙的工作效率相当于甲乙每天工作效率和的1/5； 如果三人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少 天才能完成？
小学六年级数学上册——工程问题 (附答案)
小学六年级数学上册——工程问题1.用分数解决工程问题的解题方法与用整数解决工程问题的解题方法相同，所用数量关系相同，即工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率。
2.在用分数解决工程问题时，通常没有具体的工作总量，解题时把工作总量看作单位“1”，用单位时间内完成工作总量的几分之一表示工作效率。
基础巩固例题1.修一段路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。
如果两队同时修，几天能完成？练习1.录入一份稿件，陈老师单独录入要用18小时，李老师单独录入要用12小时。
两个人合作，几小时能完成这份稿件的一半？例题2.一项工作，甲单独做3天完成这项工作的101，乙单独做4天完成这项工作的51。
甲、乙合作12天，能完成全部工作吗？练习2.有一堆钢材，甲汽车运这堆钢材的61要2天，乙汽车运这堆钢材的52要10天。
乙汽车独运5天，剩下的钢材由甲、乙两汽车共同来运，这需几天运完？例题3.一项工程，甲、乙两队合作需要12天完成，乙、丙两队合作需要15天完成，甲、丙两队合作需要20天完成，甲、乙、丙三队合作需要几天完成？练习3.一项工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作60天完成。
问甲单独做需要多少天完成？思维拓展例题1.一项工程，甲队单独做要10小时完成，乙队单独做要12小时完成，丙队单独做要15小时完成。
开始三队合作，中途丙队有事离开，剩下的由甲、乙两队完成。
从工程开始到结束共用了5小时。
问丙队实际做了几小时？练习1.有一批工艺品。
王大妈独自加工要20天完成，李大妈独自加工要30天完成，张大妈独自加工要40天完成。
现在三人合作，王大妈家中有事中间暂停几天，结果用了12天完成。
王大妈中间休息了几天？例题2.一辆客车和一辆货车同时从A 、B 两城相对开出，经过8小时相遇，相遇后两车各自按原来速度继续行驶。
工程问题初步(讲义) 数学六年级上册
工程问题初步工作总量、工作效率、工作时间有以下关系：工作总量=工作效率×工作时间在工程问题中，经常无法从题目中找到工作总量，此时可以把工作总量设为单位“1”；所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量。
工程问题中工作效率、工作时间和工作效率这三个量中最为关键的量是工作效率，因此，如何求出每一个工作者的工作效率，是同学们分析问题时的重点。
例1：填空题（1）一项工程，用4天完成，平均每天完成它的 。
（2）一项工程，平均每天完成它的121， 天可以完成。
（3）妈妈给小高盛了一碗米饭，小高用了5分钟就吃掉了半碗，小高吃饭的效率是 。
练习：张师傅修一个花园需要12天，那么他完成这个花园32的工作量需要多少天？例2：一项工程，甲单独作6天能完成，甲完成31与乙完成21所需要的时间相同，那么乙单独完成需要多少天？练习：一项工程，甲单独做10天完成了一半，甲两天的工作量乙要三天完成，那么乙单独完成需要多少天？当多人合作的时候，完成的工作总量就是这些人工作量的总和，“总工效”就是他们每个人的工作效率之和。
例3：（1）一项工程，甲独做30天完成，乙独做24天完成，两人合作6天可以完成多少？（2）一项工程，甲独做24天完成，乙独做36天完成，两人合作多少天可以完成这项工程？练习：（1）一项工程，甲独做15天完成，乙独做18天完成，两人合作3天可以完成多少？（2）一项工程，甲独做8天完成，乙独做10天完成，两人合作多少天可以完成这项工程的21？例4：甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高51，乙的工作效率比单独做时提高81，甲、乙合作8小时完成这项工作。
如果甲单独完成需要12小时，那么乙单独做需要几小时？练习：阿呆和阿瓜合作拼一幅拼图，由于配合得好，两人的效率比各自单独做时均提高81，已知阿呆和阿瓜合作8小时完成这幅拼图，如果阿呆单独完成需要12小时，那么阿瓜单独完成需要几小时？挑战极限：共同完成一件工作，甲、乙合作需要10天，乙、丙合作需要12天，甲、丙合作需要15天。
六年级上册数学教案--《工程问题》人教版
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了工程问题的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对工程问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
六年级上册数学教案--《工程问题》人教版
一、教学内容
《工程问题》选自六年级上册数学教材，是人教版第七单元《分数除法应用题》中的重点内容。本章节主要涉及以下知识点：
1.理解工程问题的概念，掌握工程问题的解题步骤。
2.学会运用工作量、工作效率、工作时间的关系进行工程问题的计算。
3.能够解决简单的工程问题，例如：并联工程、串联工程、分数工程等。
4.设计不同难度的工程问题，逐步提高学生的解题能力，鼓励学生分享解题思路，相互学习，共同进步。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《工程问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过几个人合作完成一项任务的情况？”（如家庭大扫除、学校运动会准备等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索工程问题的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调工程问题的解题步骤和分数除法的应用这两个重点。对于难点部分，如并联工程与串联工程的区分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与工程问题相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如模拟甲乙两人合作完成工程，观察并记录结果。
六年级上册数学说课稿--《工程问题》人教版
六年级上册数学说课稿–《工程问题》人教版一. 教材分析《工程问题》是人教版六年级上册数学的一章内容。
本章主要让学生理解并掌握工程问题的基本知识和解决方法。
工程问题主要涉及工作效率、工作时间和工作总量三个要素。
通过本章的学习，学生能够解决简单的工程问题，并理解工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。
二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于解决实际问题有一定的认识和经验。
但是，学生在解决工程问题时，可能会对工作效率、工作时间和工作总量之间的关系产生困惑。
因此，在教学过程中，我需要引导学生通过实际操作和思考，理解和掌握这三个要素之间的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解工作效率、工作时间和工作总量之间的关系，并能解决简单的工程问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作和思考，培养解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣，增强解决实际问题的信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解工作效率、工作时间和工作总量之间的关系，并能解决简单的工程问题。
2.教学难点：学生对于工作效率、工作时间和工作总量之间的关系的理解和应用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、引导发现法、实践操作法等多种教学方法，引导学生通过观察、操作和思考，理解并掌握工程问题的解决方法。
同时，我还将利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握工程问题的基本知识和解决方法。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际工程问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：讲解工作效率、工作时间和工作总量之间的关系，并通过实例进行解释和演示。
3.实践操作：学生分组进行实践操作，解决给定的工程问题，培养学生的动手能力和解决实际问题的能力。
4.总结：引导学生总结工程问题的解决方法，并归纳工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。
5.练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学的知识和技能。
《工程问题》(教案)-六年级上册数学人教版
《工程问题》（教案）六年级上册数学人教版教学内容：本节课将介绍工程问题的概念、特点以及解决方法。
我们将通过实际例子来引导学生理解工程问题，并掌握解决工程问题的基本策略。
教学目标：1. 让学生理解工程问题的概念和特点，能够识别和描述工程问题。
2. 培养学生运用数学知识和方法解决工程问题的能力。
3. 培养学生合作学习的能力，提高学生的思维逻辑和问题解决能力。
教学难点：1. 工程问题的特点和解决方法的掌握。
2. 学生对于工程问题的理解和应用。
教具学具准备：1. 教学课件或黑板。
2. 数学教材或练习册。
3. 计算器或计算纸。
教学过程：1. 引入工程问题的概念和特点，通过实际例子让学生理解工程问题的含义和特点。
2. 讲解工程问题的解决方法，通过具体例题引导学生学习解决工程问题的基本策略。
3. 进行课堂练习，让学生运用所学的知识解决一些实际的工程问题，巩固对工程问题的理解和解决能力。
4. 进行小组讨论，让学生在小组内共同解决一些复杂的工程问题，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。
板书设计：1. 工程问题的概念和特点。
2. 工程问题的解决方法。
3. 实际例题和练习题。
4. 小组讨论和合作学习。
作业设计：1. 布置一些工程问题的练习题，让学生独立完成，巩固对工程问题的理解和解决能力。
2. 设计一些实际的工程问题，让学生运用所学的知识解决，培养学生的应用能力和问题解决能力。
课后反思：本节课通过引入实际例子和讲解解决方法，让学生对工程问题有了深入的理解和掌握。
通过课堂练习和小组讨论，学生能够运用所学的知识解决实际的工程问题，提高了学生的思维逻辑和问题解决能力。
在教学过程中，我注重引导学生的思维，鼓励学生积极参与讨论和合作学习，提高了学生的学习效果。
在课后作业设计中，我布置了一些工程问题的练习题和实际问题，让学生进一步巩固所学知识，培养学生的应用能力和问题解决能力。
重点关注的细节：教学过程详细补充和说明：教学过程是本节课的核心部分，它直接关系到学生能否理解和掌握工程问题的解决方法。
六年级上册奥数第16讲 工程问题(1)
第16讲工程问题（1）讲义专题简析在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、静止地看，则难以找到明确的解题途径。
如果把相互关联的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题的途径。
例1、加工一批零件，甲独做要12小时，乙独做要10小时，丙独做要15小时。
如果要求这批零件在8小时以内做完，应该怎么办?请你设计一个方案，并说说需要几小时?练习：1、修一条水渠，甲工程队单独修需20天完成，乙工程队单独修需15天完成，丙工程队单独修需30天完成。
若要在13天内完成任务，应该怎么办?2、修一条路，甲队单独修需8天完成，乙队单独修需10天完成，丙队单独修需12天完成。
若要在6天内完成，应该怎么办?3、一项工程，甲队独做需60天完成，乙队独做需30天完成，丙队独做需20天完成。
若要在15天内完成，应该怎么办?例2、一项工程，甲、乙两人一起做需36天完成，乙、丙两人一起做需45天完成，甲、丙两人一起做需60天完成。
甲、乙、丙独做，各需多少天完成?练习：1、一项工程，甲、乙两队一起做需12天完成，乙、两两队一起做需15天完成，甲、丙两队一起做需20天完成。
如果甲、乙、丙三队一起做，需几天完成?2、放满一个水池的水，若同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成;若同时打开2，3，4号阀门，则21分钟可以完成;若同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。
若同时打开1，2，3，4号阀门，则多少分钟可以完成?3、某工程由一、二、三小队一起做，需要8天完成；由二、三、四小队一起做，需要10天完成；由一、四小队一起做，需要15天完成。
如果按一、二、三、四、一、二、三、四…的顺序，每个小队轮流做一天，那么工程由哪个队最后完成?例3、单独完成一项工程，甲可比规定时间提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。
如果甲、乙两人一起做2天后，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间完成。
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第八讲工程问题（一）一．知识梳理1.计算有关工程问题的工作总量、工作时间、工作效率的问题叫工程问题。
工程问题中有整数应用题和分数应用题，它们讨论同样都是工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系。
2.工程问题的特点：一般没有具体的工作总量，工作总量通常用单位“1”表示，用 1 表示各单位工作时间的工作效率。
工作效率与完成工作总量所需时间互为倒数。
解工程问题应用题，一般都是围绕寻找工作效率的问题进行。
3.工程问题的基本数量关系式：工作效率⨯工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间总做总量÷工作时间=工作效率工程问题主要是研究这三种数量关系，在解题中要注意三种数量关系的对应关系。
即求谁的工作时间，就要找它所对应的工作总量和它对应的工作效率。
4.工程问题有关注水和放水的问题，两开关齐开，研究的是工作效率的差。
工程问题往往关系复杂，题型多样，富于变化，所以要求我们认真审题，抓住关键，选择适合的方法。
二．方法归纳工程问题是分数应用题的一种，这类问题的特点是一般不给出具体的工作总量，解题时常把工作总量看作单位 1，工作问题作为一种典型应用题，具有特定的解题思路，实际生活中有许多题目可以用这种思考。
抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．基本思路：以每人每天的工作量计算工作效率。
关键问题：以工作效率为突破口，梳理工作的过程。
注意事项：要找准单位“1”三．课堂精讲例 1 一项工程，甲单独完成需要 3 小时，乙单独完成需 4 小时，甲乙合作几小时完成这项工程的1 ？2【解题规律】能把工作总量看成单位“1”，找出工作效率，考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再已知条件回到问题即可解决问题。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 A1.生产一批零件，甲单独做需要 15 天完成，乙单独做需要 12 天完成，丙单独做需要 10 天完成，如果甲、乙、丙三人合作，多少天完成？2.一项工程，甲单独做需要 20 小时，乙单独做要 30 小时，两队合作 10 小时完成了工程的几分之几？3.一件工作，甲单独完成需要 8 天，乙的工作效率是甲的 2 倍，两人同时合作，几天能完成这件工作？3 4.一件工作，甲单独做需要 12 天，乙的工作效率是甲的44，两个合做，几天能完成这件工作的？5例 2 有一份稿件，单独一个人打，甲要 10 小时完成，乙要 8 小时完成，两人合作 2 小时，打印了全稿的几分之几？剩下的由甲单独打，还要多少小时？【解题规律】理解工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量看做单位“1”，再利用它们的数量关系解答。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 A5.一项工程，甲单独做 8 天完成，乙 8 天才可以完成这项工程的2，两队合作，几天可以完成？36.一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成。
现在甲先做了 3 天，余下的工作由乙继续完成，乙需要几天可以完成全部工作例 3 一项工程，甲、乙两队合做，10 天可以完成．如果甲队做4 天，乙队做6 天，共完成这项工程的．求甲队独做这项工程要多少天？【解题规律】已知两人的共同效率及其中一个人的效率，求出另外一个人的效率，由此得出所要求的问题。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 A7.一件工作，甲乙两人合作 30 天可以完成，他们共同做了 6 天后，甲离开了剩下的由乙继续做了 40 天才完成。
如果这件工作由甲或乙单独完成需要多少天？8.某工程甲、乙、丙三个队合作 4 天完成，甲队单独做 8 天完成，乙队单独做需要 12 天完成，丙队单独做需要多少天？9.某工程先由甲单独做 63 天，再由乙单独做 28 天即可完成。
如果由甲、乙两人合作，需 48 天完成。
现在甲先单独做 42 天，然后再由乙来单独完成，那么还需要多少天？10.（小联盟）甲做一项工程用18天就能单独完成，如果甲乙双方一起做，用 6天就能完成工程的一半，求，乙方单独完成工程的话用多少天才行？11.某项工作先有甲单独做 45 天，再由乙单独做 18 天可以完成，如果甲乙两人合作可 30 天内完成。
现由甲先单做 20 天，然后再由乙来单独完成，还需要多少天。
例 4 广州市某大厦发生火灾后，需要再次装修。
由甲乙两个工程队一起装修，需要 24 天完成。
现由甲队先盖 6 天，再由乙队盖 2 天，共盖了这间屋子的3，如果这座大厦全部由甲队装修，需要多少天完成？20【解题规律】由两人所做的工程及所花时间、共同效率之间的关系，求出各自的效率，要正确理解这些关系，才能找出解题的突破口 【搭配课堂训练题】 【难度分级】 B12. 某工程先由甲单独做 40 天，再由乙做 28 天就可以完成。
现在甲乙合作 35 天就完成了。
如果先由甲单独做 30 天，再由乙接着做，乙还要工作多少天才能完成？13. 甲、乙两队合作 15 天可以完成一项工程，如果两队合作 5 天后，乙队在单独做 12 天，还剩下这项工程的 2没有完成，乙单独做完这项工程需要多少天？5例 5 （难度系数四颗星）甲乙两人做一项工程，如果全是晴天，甲需要 12 天，乙需要 15 天可以完成，雨天甲的工作效率比晴天减少 40%，乙减少 10%，两人同时开工，恰好同时完工，问工程中有多少个雨天？解：晴天时甲的工作效率是 雨天时乙的工作效率就是 1 ×（1﹣10%）= 15，3 ．50日工作效率相比：晴天甲比乙快1- 1 = 12 15 1 雨 天 甲 比 乙 慢 3 - 1 60 60 20 =1 100晴天甲比乙快出的 1 ，多少个雨天里就追过来了： 160 60 ÷1 100 = 5 （天） 3即 3 个晴天的量 5 个雨天就追平了．6 个晴天的量 10 个雨天就追平了．验证 6 个晴天和 10 个雨天 甲：×10=1因为甲=乙 所以工作中有 10 个雨天． 答：工作中有 10 个雨天．1 ，雨天时甲的工作效率就是 1 ×（1﹣40%）= 1 ；晴天时乙的工作效率是 112 12 20 151 ×6+ 1 ×10=1 乙 ： 1 ×6+ 312 20 15 50【解题规律】这种类型的题要注意分析单位 1、效率、时间、总量的关系，把这项工作看成单位“1”，工作效率都用分数表示出来，求出晴天和雨天的工效比，看晴天甲比乙多做的工作量在雨天乙需要几天追平．最后代入数据验证．找到符合条件的数据．难度较大。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 C14.有甲乙两项工程，现分别由 A、B 两个施工队完成。
在晴天 A 施工队完成任务要 12 天，B 施工队完成任务需要 15 天；在雨天，A 施工队的工作效率要下降 50%，B 施工队的工作效率要下降 25%。
最后两施工队同时开工并同时完工，在施工的日子里，雨天有多少天？例 6 （北京模拟）一件工作，甲、乙合作要 4 小时完成，乙、丙合作要 5 小时完成．现在先由甲、丙合作 2 小时后，余下的乙还需 6 小时完成，乙单独做这件工作要几小时？解：可以理解成甲乙先合作 2 小时，乙丙再合作 2 小时，丙还做了 6﹣2﹣2=2 小时．并2 小时完成了1﹣﹣=，所以乙单独做这件工作要2÷=20小时．答：乙单独做这件工作要 20 小时．【解题规律】三人完成工作总量的类型, 主要考查工作量、工作时间及工作效率之间的关系．【搭配课堂训练题】【难度分级】B15.一项工程甲单独做 6 天可以完成，乙单独做要用 8 天可以完成，丙先做三天，结果完成这项工程的1 ，4余下的由甲、乙、丙三人合作，还需要几天完成？例 7 有一项工程，甲队单独作业需要 10 小时，乙队单独作业需要 8 小时，如果按照甲、乙，甲、乙，…的顺序轮流工作，每人每次工作 1 小时，那么完成这项工作需要多长时间？解：1÷（） 4 个循环后剩下的工作量，甲需要的时间：1﹣（）×4 = =1÷=4 （次）剩下的工作量甲需要的时间是:=1（小时）．完成这项工作需要的时间是：4×2+1=9（小时）．答：完成这项工作需要 9 小时．【解题规律】属于两人轮流做的工程问题, 关键是求出循环的次数，然后再求循环完以后还需要的时间. 【搭配课堂训练题】【难度分级】 A16.一件工程甲单独做要 6 小时完成，乙单独做要 10 小时完成。
如果按照甲乙、甲乙……的顺序交替工作，每次一小时，那么需要多少小时完成？四.讲练结合题1.一项工作，甲单独做 20 天可以完成，乙单独做 30 天可以完成，现在两人合做，用 16 天就完成了工作，已知在这 16 天中甲休息了 2 天，乙休息了若干天．请问：乙休息了多少天？2.如果甲、乙两队合做一项工程，恰好 24 天完成；如果乙队先做 5 天，然后甲队来帮忙，又共同做了 10 天后，全部工程才完成了一半，请问：甲队单独完成这项工程需要多少天？3. 一项工程，甲单独做要 6 小时完成，乙单独做要 10 小时完成．如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每人工作 1 小时后交换，那么需要多少小时才能完成任务？4. 游泳池有甲、乙、丙三个注水管。
如果单开甲管需要 20 小时注满水池；甲、乙两管合开需要 8 小时注满水池；乙、丙两管合开需要 6 小时注满水池。
那么，单开丙管需要多少小时注满水池？五．课后自测练习1. 一项工程，计划 5 小时完成，实际 4 小时就完成了任务，工作效率提高了（ ）。
A 、 D 、无法确定2. 打一份稿件，甲单独打 4 小时完成，乙独单打 5 小时完成。
今甲乙合打 2 小时，正好打了 90 页。
（1） 这份稿件共有多少页？（2） 两人共同打完这份稿件要用多少时间？3.一项工程甲独做 24 小时完成，乙独做 36 小时完成。
现在要求 20 小时完成，并且两人合做的时间尽可能少。
那么，甲、乙合做了几个小时？1 B 、 1 C 、1 20 5 44.一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙.若同时开放甲、丙两管，20 小时可将满池水排空；若同时开放乙、丙两水管，30 小时可将满池水排空，若单独开丙管，60 小时可将空池注满.若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需几小时？5.一项工程，甲独做要 12 天，乙独做要 16 天，丙独做要 20 天，如果甲先做了 3 天，丙又做了 5 天，其余的由乙去做，还要几天？6.一个水池,单独开甲进水管需 10 小时将它注满,单独开乙进水管需 12 小时将它注满,单独开丙放水管需30 小时放完一池水,问同时开放三管,多少小时将空池注满?7.一项工程，甲队单独做 15 天完成，乙队独做好 10 天完成。