2022-2023学年河南省实验中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省商开高一数学上学期期中考试卷及答案解析
商开大联考2022-2023学年上学期期中考试高一数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （ ）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（ ）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（ ）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（ ）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（ ）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析 （2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ， 故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立 ，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立， 当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。
河南省实验中学2022-2023学年高一上学期线上阶段性测试数学试题(二)(含答案解析)
河南省实验中学2022-2023学年高一上学期线上阶段性测试数学试题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2log ,1A y y x x ==>，{}log 2,1x B y y x ==>，则A B = （）A ．{}0y y >B ．{}01y y <<C ．{}01y y <≤D ．∅2．如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()U M P S ⋂⋂ðD ．()U M P S⋂⋃ð3．设ln 3a =，1log 3eb =，23c -=，则（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．a c b >>D ．c b a>>4．若－4<x <1，则22222x x x -+-（）A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－15．若33sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α是第三象限角，则2021cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A ．35B ．35-C ．45D ．45-6．若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-7．下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增D ．图像关于直线12x π=-成轴对称8．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”．若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知[0]:,1p x ∀∈,不等式2223x m m -- 恒成立,:[1,3]q x ∃∈,不等式24x ax -+ 0,则下列说法正确的是()A ．p 的否定是:[]00,1x ∃∈,不等式20223x m m-<-B ．q 的否定是:0[1,3]x ∀∈,不等式20040x ax -+C ．p 为真命题时,12mD ．q 为假命题时,4a <10．下列命题正确的是（）A ．函数y =的定义域为[3,)+∞B ．函数421x x y =++的值域为(1,)+∞C ．已知23a b k ==（1k ≠），且121a b+=，则实数8k =D ．2x y =与2log y x =互为反函数，其图像关于y x =对称11）A B ．22cossin 1212ππ-C ．cos15 sin 45 sin15cos45︒︒-︒︒D ．2tan151tan 15︒-︒12．设函数()2πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，则（）A ．ω的取值范围是1925,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个C ．()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点恰有2个D ．()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减三、填空题13．若函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________.14．已知4sin cos 3αα-=，则sin cos αα=__________．15．已知函数()cos f x x x =+，对于任意x ∈R ，都有0()()f x f x ≤成立，则0sin x =_____．16．已知函数π()cos ln(4f x x x =+⋅+在区间[]2022,2022-上的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +=____________．四、解答题17．已知集合{}{}34,211A x x B x m x m =-≤<=-≤≤+（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.（2）命题q ：“x A ∃∈，使得x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围.18．计算(1)已知tan 3α=．求()()πsin 3sin π23πcos cos 5π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值．(2)计算()sin 501︒+︒．19．为了进一步增强市场竞争力，某企业计划在2023年利用新技术生产某部手机.经过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x （单位：千部）手机，需另投入可变成本()R x 万元，且()210200800,040,81008018500,40.x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额－固定成本－可变成本）(1)求2023年的利润()W x （单位：万元）关于年产量x （单位：千部）的函数关系式；(2)2023年的年产量为多少（单位：千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？20．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为412,513，求cos α和sin β的值；(2)在（1）的条件下，求cos()a β-的值．21．已知函数π()2.4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求()f x 的单调递增区间：(2)若函数()()g x f x m =-在π3π,244⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为2，求m 的取值范围．22．设函数f (x )=ax -a -x (x ∈R ，a >0且a ≠1).（1）若f (1)<0，求使不等式f (x 2+tx )＋f (4-x )<0恒成立时实数t 的取值范围；（2）若3(1)2f =，g (x )=a 2x ＋a -2x -2mf (x )且g (x )在[1，+∞)上的最小值为-2，求实数m 的值.参考答案：1．A【分析】根据对数的性质确定集合A 、B ，再应用集合的交运算求结果.【详解】由(1,)x ∈+∞，则2log 0y x =>，故{|0}A y y =>，由x 趋向于1时21log 2log x y x ==趋向正无穷大，x 趋向于+∞时21log 2log x y x==趋向0，故{|0}B y y =>，所以A B = {}0y y >.故选：A 2．C【分析】根据交并补的概念和韦恩图判断即可.【详解】A 选项：()M P S = ⑤，故A 错；B 选项：()M P S = ③⑤⑥⑦⑧，故B 错；C 选项：M P ⋂=③⑤，U S =ð①②③④，所以()U M P S = ð③，故C 正确；D 选项：()U M P S = ð①②③④⑤，故D 错.故选：C.3．C【解析】利用对数函数、指数函数的单调性与“0，1”比较即可.【详解】ln 3ln 1a e =>=Q ，11log 310eeb log =<=，2139c -==，a c b ∴>>．故选:C .【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，属于基础题．4．D【分析】先将22222x xx-+-转化为11[(1)]21xx-+-，根据－4<x<1，利用基本不等式求解.【详解】22211[(1)] 2221 x x xx x-+=-+--又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．∴11[(1)]12(1)xx---+≤---．当且仅当x－1＝11x-，即x＝0时等号成立．故选：D【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 5．C【分析】利用诱导公式和同角三角函数平方关系可求得sinα，再次利用诱导公式可求得结果.【详解】33 sin cos25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，3cos5α∴=-，又α是第三象限角，4sin5α∴=-，20214cos sin25παα⎛⎫∴+=-=⎝⎭.故选：C.6．C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：() sin cos cos sin cos cos sin sin2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos0αβαβ-+-=所以()tan1αβ-=-故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取=2πα，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=4π，排除D ；选C.[方法三]：三角恒等变换sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（）（）（）cos sin 44ππαβαβ++（）（）sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin=04παβ+-（）sin =sin cos cos sin =sin cos =044422πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1,故选：C.7．B【分析】根据函数tan(2)tan(233y x x ππ=-+=--，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．【详解】解：函数tan(2)tan(233y x x ππ=-+=--，当512x π=时，521232πππ⨯-=，所以图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，选项B 正确；函数的最小正周期为2T π=，所以A 错误；当,312x ππ⎛-∈⎫-⎪⎝⎭时，2,32x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以函数在,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以C 错误；正切函数不是轴对称函数，所以D 错误．故选：B ．8．A【分析】先判断出函数()y f x =是R 上的增函数，把()()2sin cos 0f f αα-+>转化为sin cos αα<，即可求出锐角α的取值范围.【详解】由()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，知：函数()y f x =是R 上的增函数.由()()110f x f x ++-=，即()() 11f x f x +=--，所以由题设：()()2sin cos f f αα->-，∴()()()()() cos 11cos 11cos f f f ααα-=---=+-，即有()() 2sin 2cos f f αα->-.∵函数()y f x =是R 上的增函数.∴2sin 2cos αα->-，即sin cos αα<，∵α为锐角﹐则cos 0α>，∴0tan 1α<<，则α的取值范围是0,4π⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A 9．ACD【分析】根据命题的否定定义判断，求参数可转化为函数的最值问题【详解】p 的否定是:0[0,1]x ∃∈,不等式20223x m m -<-，A 正确q 的否定是:0[1,3]x ∀∈,不等式20040x ax -+>，B 错误若p 为真命题,则2min [0,1],(22)3x x m m ∈--,即2320m m -+ 解得12m，C 正确若q 为假命题,则2[1,3],40x x ax ∈-+>恒成立即4a x x<+恒成立因为44x x += ,当且仅当4x x =,即2x =取等所以4a <，D 正确故选：ACD 10．ABD【分析】对于A ，直接根据表达式求定义域即可；对于B ，利用换元法，结合范围即可求得值域；对于C ，首先利用指对互换公式变形，再根据对数计算公式即可求解；对于D ，根据反函数定义以及性质即可求解.【详解】对于A ，因为3270x -≥，即333x ≥，解得3x ≥，即定义域为[)3,∞+，正确；对于B ，令2xt =，()0,t ∞∈+，则原式可变为2213()124f t t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，()0,t ∞∈+，则1122t +>，2131312444t ⎛⎫++>+= ⎪⎝⎭，即()1f t >，即421x x y =++的值域为(1,)+∞，B 正确；对于C ，由23a b k ==，根据指对互换法则，得2log k a =，3log k b =，则由121a b+=可得2312log 22log 3log 2log 9log 181log log k k k k k k k+=+=+==，解得18k =，则C 错误；对于D ，根据反函数定义可知，2x y =与2log y x =互为反函数，由反函数性质可得，互为反函数的图像关于直线y x =对称，正确.故选：ABD 11．AB【分析】结合二倍角公式和正弦的差角公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：选项A sin 60==︒=；选项B ：22cos sin cos121262πππ-==；选项C ：()1cos15sin 45sin15cos 45sin 4515sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=︒=；选项D ：22tan1512tan1511tan 301tan 1521tan 152236︒︒=⨯=︒=⨯=-︒-︒.故选：AB.12．AB【分析】对于A,确定2π2π2ππ[,]333πx ω-∈--，根据零点个数确定5π2π7ππ232ω≤-<，求得参数范围；对于B ，C ，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D ，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，确定2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，计算π2ππ2π,4323ωω--的范围，从而确定()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调性.【详解】当[]0,πx ∈时，2π2π2ππ[,]333πx ω-∈--，因为()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，所以5π2π7ππ232ω≤-<，解得192566ω≤<，故A 正确；又由以上分析可知，函数cos y x =在2π2π[,π3]3ω--上有且仅有4个零点，且5π2π7ππ232ω≤-<，则在2π7π[,)32-上，cos y x =出现两次最大值，此时函数cos y x =的大致图象如图示：即()y f x =在()0,π上两次出现最大值1，即2ππ3x -取0,2π时，()y f x =取最大值，故()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个，故B 正确；由于当(0,π)x ∈时，2π2π2ππ(,333πx ω-∈--，5π2π7ππ232ω≤-<，当2πππ3x -=-时，()y f x =取最小值1-，由于2ππ3x -是否取到3π不确定，故()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点可能是1个或2个，故C 错误；当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为192566ω≤<，所以π2π043ω->，11ππ2π17π122312ω≤-<，故π2π23ω-的值不一定小于π，所以()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上不一定单调递减.故选：AB.【点睛】本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用.13．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】分析可知，对任意的x R ∈，2430kx kx ++≠恒成立，分0k =、0k ≠两种情况讨论，结合已知条件可求得实数k 的取值范围.【详解】因为函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ，所以，对任意的x R ∈，2430kx kx ++≠恒成立.①当0k =时，则有30≠，合乎题意；②当0k ≠时，由题意可得216120k k ∆=-<，解得304k <<.综上所述，实数k 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.14．718-【分析】将已知条件两边平方，结合同角三角函数的平方关系即可求值.【详解】由22216(sin cos )sin 2sin cos cos 12sin cos 9αααααααα-=-+=-=，所以7sin cos 18αα=-.故答案为：718-15【分析】对于任意x ∈R ，都有0()()f x f x ≤成立,则0()f x 是()f x 的最大值，由两角和的正弦公式化简函数式，由正弦函数的最大值求得0x ，再计算其正弦值．【详解】1()cos 2(sin cos )2sin()226f x x x x x x π=+=+=+,对于任意x ∈R ，都有0()()f x f x ≤成立,则0()f x 是()f x 的最大值,所以0262x k πππ+=+，Z k ∈，023x k ππ=+，Z k ∈，0sin sin(2sin 33x k πππ=+==．16．π4【分析】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，()g x 时奇函数，可得()g x 在max min ()()0g x g x +=，据此可求M ＋m ，从而求出()f M m +.【详解】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，∴()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，∴设()g x 在[]2022,2022-上有最大值max ()g x ，有最小值min ()g x .∵()(cos ln g x x x -⋅-＝，∴()())cos ln 0g x g x x x x ⎡⎤+-=⋅=⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在[]2022,2022-上为奇函数，∴max min ()()0g x g x +=，∴max min ππ(),()44M g x m g x =+=+，∴π2M m +=，()ππ24f M m f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故答案为：π417．（1）1m ≥-；（2）[4,2]-.【分析】（1）B A ⊆，分B 为空集和B 不是空集两种情况讨论求解即可；（2）由x A ∃∈，使得x B ∈，可知B 为非空集合且A B ⋂≠∅，然后求解A B ⋂=∅的情况，求出m 的范围后再求其补集可得答案【详解】解：（1）①当B 为空集时，121,2m m m +<->成立.②当B 不是空集时，∵B A ⊆，12121314m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩，∴12m -≤≤综上①②，1m ≥-.（2）x A ∃∈，使得x B ∈，∴B 为非空集合且,121,2A B m m m ≠∅+≥-≤ .当A B ⋂=∅时2142m m -≥⎧⎨≤⎩，无解或132m m +<-⎧⎨≤⎩，4m <-，∴,[4,2]A B m ≠∅∈- .18．(1)4(2)1【分析】(1)先用诱导公式化简，再用同角三角函数的商数关系转化，代入tan 3α=即可求解;(2)用诱导公式化简和同角三角函数的商数关系化简求解.【详解】（1）解：()()πsin 3sin πcos 3sin 13tan 133243πsin cos tan 131cos cos 5π2αααααααααα⎛⎫+++ ⎪---⨯⎝⎭===-+-+-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．（2）sin 501sin 50︒︒⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭原式2sin 5012sin 50cos50cos10cos1022cos10︒︒︒︒︒︒︒⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭sin100cos101cos10cos10︒︒︒︒===19．(1)()2106001050,040,81008250,40.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；(2)90，8070万元.【分析】（1）()()800250W x x R x =--代入分段函数化简即可.（2）分别求分段函数的最值，取最大值即可.【详解】（1）()()()2280025010200800106001050,040,800250810081008250,40.8002508018500x x x x x x W x x R x x x x x x x ⎧--++⎧-+-<<⎪⎪=--==⎨⎨⎛⎫--+≥--+⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩（2）2106001050,040y x x x =-+-<<，当30x =时，max 7950y =；8100825082508070y x x ⎛⎫=-++≤-= ⎝⎭，当且仅当90x =时等号成立.故当产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润为8070万元20．(1)3cos 5α=，12sin 13β=(2)3365【分析】（1）根据正弦和余弦函数的定义即可求得sin α和sin β，进而求得cos α；（2）结合（1）的结论由两角差的余弦公式计算即可．【详解】（1）解：∵1OA =，1OB =，且点A ，B 的纵坐标分别为45，1213，∴4sin 5α=，12sin 13β=，又∵α为锐角，∴cos α＝35．（2）解：∵β为钝角，∴由（1）知cos β=＝－513，∴5312433cos()cos cos sin sin 13513565a ββαβα-=+=-⨯+⨯=．21．(1)π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)⎡-⎣.【分析】（1）利用正弦型函数的性质求函数的增区间；（2）将问题化为()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与直线4y m =的交点有2个，结合正弦型函数性质求()h x 的区间端点值，即可确定参数范围.【详解】（1）令222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z ，解得π3πππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈故()f x 的单调递增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()g x 在π3π,244⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数等于()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与直线4y m =的交点个数．因为π3π,244x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∈，所以ππ5π2,434x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ242x -=，3π8x =时，则()h x 在π3π,248⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[3π8，3π4]上单调递减．所以()max 1h x =，π3π24242h h ⎛⎫⎛⎫-=-<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以124m -≤<，即m 的取值范围为⎡-⎣.22．（1）35t -<<；（2）2.【分析】(1)由f (1)<0导出01a <<，再探讨函数f (x )的单调性及奇偶性，由此将给定不等式等价转化成一元二次不等式恒成立即可；(2)由3(1)2f =求出2a =，借助换元的思想将函数g (x )转化成二次函数问题即可作答.【详解】（1）()1110f a a a a -=--<=，即210a a-<，而0a >，则210a -<，解得01a <<，显然()f x 在R 上单调递减，又()()x x f x a a f x --=--=，于是得()f x 在R 上是奇函数，从而有()()24f x tx f x ++-<0等价于()()()244f x tx f x f x +<--=-，由原不等式恒成立可得24x tx x +>-，即()2140x t x +-+>恒成立，亦即()21440t ∆=--⨯<，解得：35t -<<，所以实数t 的取值范围是：35t -<<；（2）()1211132a a a a f a a ---====-，即22320a a --=，而0a >，解得：2a =，所以()()()()22222222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+，令22x x t -=-，显然22x x t -=-在[)1,+∞上单调递增，则1322222x x t -=-≥-=，()222h t t mt =-+，对称轴为t m =，当32m ≥时，()()22min 222h t h m m m ==-+=-，解得2m =或2m =-(舍)，则2m =，当32m <时，()2min 33317()()22322224h t h m m ==-⋅+=-=-，解得：253122m =>不符合题意，综上得2m =，所以实数m 的值为2.。
河南省实验中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试卷(含解析)
河南省实验中学2022--2023学年上期月考试卷（时间：120分钟，满分：150分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目高二数学要求的。
1．已知空间向量=a 1,2,3)(，=-b m n ,1,)(，若∥a b ，则+=m n ( ) A ．-2B ．-1C ．1D ．22．若异面直线l l ,12的方向向量分别是=--=a b (0,2,1),(2,0,4)，则异面直线l 1与l 2的夹角的余弦值等于( ) A ．52 B ．-52 C． D3．设向量a b c ,,不共面，则下列可作为空间的一个基底的是( )A ．+++a b b c c a ,,}{B ．---a b b c c a ,,}{C ．+++a b c a b c ,,}{D ．-++--+a b c a b c a b c ,,3}{4．已知直线l的方程为-=∈ααx R sin 10,，则直线l 的倾斜角范围是( )A ．⎝⎦⎣⎭⎥⎢ ⎪⎛⎤⎡⎫πππ330,,2 B ．⎣⎦⎣⎭⎢⎥⎢⎪⎡⎤⎡⎫πππ660,,5 C ．⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫πππ660,,5 D ．⎣⎦⎣⎭⎢⎥⎢⎪⎡⎤⎡⎫πππ330,,25．在空间四边形OABC 中，===OA a OB b OC c ,,，点M 在OB 上，且=OM MB 3，N 为AC 的中点，则=NM ( )A ．-+-a b c 242131 B ．-++a b c 232121 C ．++a b c 242131 D ．-+a b c 2321216．已知A 3,1)(，B 1,2)(，若直线+-=x ay 20与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎝⎭ ⎪-∞-+∞⎛⎫2(,1),1 B ．⎝⎭ ⎪-⎛⎫21,1 C ．-∞-+∞(,2)(1,) D ．-(2,1)7．直线--=ax y 210和直线-+=y x b 230平行，则直线=+y ax b 和直线y x 31的位置关系是( )A ．重合B ．平行C ．平行或重合D ．相交8．如图，在三棱柱-ABC A B C 111中，⊥AA 1底面ABC ，=AA 31，===AB AC BC 2，则AA 1与平面AB C 11所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．在棱长为2的正方体-ABCD A B C D 1111中，E F ,分别为棱AA BB ,11的中点，G 为棱A B 11上的一点，且=<<λλAG (02)1，则点G 到平面D EF 1的距离为( )A ．BC D10．已知直线+--=l kx y k :2401恒过点M ，点N 的坐标为(4,6)，直线=-l y x :12上有一动点P ，当+PM PN 取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．--55(,)27B ．55(,)1712C ．55(,)127D ．-55(,)2311．在棱长为1的正方体-ABCD A B C D 1111中，M N H ,,分别在棱BB BC BA ,,1上，且满足=BM BB 431，==BN BC BH BA 2211,，O 是平面B HN 1，平面ACM 与平面B BDD 11的一个公共点，设=++BO xBH yBN zBM ，则++=x y z 3( )A ．510 B ．512 C ．514 D ．51612．已知正方体-ABCD EFGH 棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则下列说法正确的有( )个 ①存在点P ，使得+=AP PM 4； ②存在唯一点P ，使得⊥AP PM ；③当⊥AM BP ，此时点P④当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥-P ABM 的外接球体积为π29.A ．1B ．2C ．3D ．4 二.填空题:本大题共5小题，每小题5分，共20分.13．设12,e e 是空间两个不共线的向量，已知=+AB e ke 12，=+BC e e 5412，=--DC e e 212，且A B D ,,三点共线，实数=k _________．14．求经过点-A (5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程为_________． 15．已知向量a ，b 满足=a 1,1,2)(，=b 2，且+=-a b a b 3．则+a b 在a 上的投影向量的坐标为_________.16．两条异面直线a b ,所成的角为60°，在直线a b ,上分别取点A E ,1和点A F ,使⊥AA a 1，且⊥AA b 1（称AA 1为异面直线a b ,的公垂线）．已知===A E AF EF 2,3,51，则线段AA 1的长为_________．三.解答题:本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）如图，在正方体-ABCD A B C D 1111中， E 为BB 1的中点．（1）求证：BC //1平面AD E 1；（2）求直线AA 1与平面AD E 1所成角的正弦值18．（本题满分12分）已知△ABC 的顶点A 1,2)(，AB 边上的中线所在直线的方程为+=x y 30，AC边上的高BH 所在直线的方程为--=x y 2340． （1）求点B C ,的坐标； （2）求△ABC 的面积．19．（本题满分12分）已知在△ABC 中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，满足-+=-ππA A 664sin()sin()51．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，=a 1，求△ABC 周长的取值范围．20．（本题满分12分）已知直线l 过两直线-=l x y :201，+-=l x y 25:02的交点P ，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于A B ,两点．（1）若直线l 与++=x y 3450垂直，求直线l 的方程； （2）当⋅PA PB 取最小值时，求出最小值及直线l 的方程．21．（本题满分12分）如图所示，在直三棱柱-ABC A B C 111中，底面是等腰直 角三角形，∠=︒ACB 90，侧棱==AA CA D 2,2,1是CC 1的中点，试问在A B 1上是否存在一点E （不与端点重合），使得点A 1到平面AED ？22．（本题满分12分）已知四棱锥-P ABCD ，底面ABCD 为菱形，=PD PB ，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M N ,，且BD //平面AMHN .（1）证明：⊥MN PC ；（2）当H 为PC 的中点，==PA PC ，PA 与平面ABCD 所成的 角为60，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值.河南省实验中学2022--2023学年上期月考答案高二数学 参考答案12. 【详解】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ． A （2，0，0），M （0，2，1），设P 点坐标为（x ，y ，2）（,x y R ∈），()2,,2AP x y =-，(),2,1PM x y =---为求AP PM +的最小值，找出点A 关于平面EFGH 的对称点， 设该点为1A ，则1A 点坐标为()2,0,4∴14AP PM A M +≥=>，故A 选项错误．由AP PM ⊥可得()()2222022201101AP PM x x y y x y x y ⋅=⇒-+-+=⇒-+-=⇒==，故B 选项正确．AM BP ⊥，即0AM BP ⋅=，此时由点P 坐标为(),,2x y 得到()()222220x y --+-+=1y x ⇒=-点P 轨迹是连接棱EF 中点与棱EH 中点的线段，其长度为线段HF C 选项正确．当P 为底面EFGH 的中心时，由B 选项知AP PM ⊥．易得AB BM ⊥．∴外接球球心为棱AM 的中点，从而求得球半径为1322AM =．92V π=，故D 选项正确．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13. 1 14．2x +5y ＝0或x +2y +1＝0 15．33,22⎛ ⎝⎭16三.解答题:本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为1BB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1AD E ；（2）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；4分（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =， 6分设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，8分令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-. 设直线1AA 与平面1AD E 所成的线面角为θ11142sin =cos ,323n AA n AA n AA θ⋅<>==-=-⨯⋅. 9分 因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23. 10分18．（本题满分12分）已知ABC △的顶点()1,2A ，AB 边上的中线所在直线的方程为30x y +=，AC 边上的高BH 所在直线的方程为2340x y --=． （1）求点,B C 的坐标；（2）求ABC △的面积．解：（1）设点(),B a b ，因为B 在直线BH 上，所以2340a b --=， ①又A ，B 的中点为12,22a b D ++⎛⎫⎪⎝⎭，且点D 在AB 的中线上，所以123022a b +++⨯=， ②2分 联立①②，得12a b =-⎧⎨=-⎩，即点()1,2B --．由题意，得1AC BH k k ⋅=-，所以32AC k =-，所以AC 所在直线的方程为32(1)2y x -=--，即3270x y +-=， ③ 4分因为点C 在AB 边上的中线上，所以点C 的坐标满足直线方程30x y +=， ④ 联立③④，得31x y =⎧⎨=-⎩，即()3,1C -． 6分（2）由（1）得AC == 8分B 到直线AC 的距离为d ==， 10分所以172ABC S ==△，故ABC 的面积为7． 12分19．（本题满分12分）已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足51sin()sin()664A A ππ-+=-．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，1a =，求ABC ∆周长的取值范围．解：（1）因为51sin()sin()664A A ππ-+=-，所以111cos )(cos )224A A A A -+=-， 2分22311cos sin cos 444A A A A --=-，所以3112(1cos 2)(1cos 2)4884A A A ---+=-，整理可得112cos 2444A A +=，4分 所以可得1sin(2)62A π+=，因为(0,)A π∈，可得2(66A ππ+∈，13)6π，所以5266A ππ+=，可得3A π=． 6分（2）由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，且1a =，3A π=，所以b B =，c C =；所以21sin)1sin()]12sin()36a b c B C B B Bππ++=+=++-=++．因为ABC∆为锐角三角形，所以得2232BBπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62Bππ<<．10分所以(12sin()16Bπ⎤++∈+⎦，即ABC∆周长的取值范围是(1⎤+⎦．12分20．（本题满分12分）已知直线l过两直线1:20l x y-=，2:25l x y+-=的交点P，且分别交x轴、y轴的正半轴于,A B两点．（1）若直线l与3x+4y+5＝0垂直，求l的直线方程；（2）当PA PB⋅取最小值时，求出最小值及直线l的方程．解：（1）(2,1)P，2分由题意设l方程为430x y m-+=，4分将(2,1)P代入，得l方程为4350x y--=6分（2）可知211a b+=,02aba∴=>-,则2a>, 8分||||PA PB∴⋅分4≥=10分(当且仅当221(2)=(2)aa--,即3a=时取等号). 11分||||PA PB∴⋅的最小值为4，此时直线l的截距式方程为133x y+=. 12分21．（本题满分12分）．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C-中，底面是等腰直角三角形，90ACB∠=︒，侧棱12,2,AA CA D==是1CC的中点，试问在1A B上是否存在一点E（不与端点重合），使得点1A到平面AED的距离为解：如图以点C 为坐标原点，1,,CA CB CC 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,0,2),(0,0,1),(0,2,0)A A D B ， 2分 设()1(0,1)BA BE λλ=∈，则(2,2(1),2)E λλλ-． 4分又(2,0,1),(2(1),2(1),2)AD AE λλλ=-=--，设(,,)n x y z =为平面AED 的法向量，则·0·0n AD n AE ⎧=⇒⎨=⎩()()20212120x z x y z λλλ-+=⎧⎨-+-+=⎩6分 取1x =，则13,21y z λλ-==-， 即13121n λλ-⎛⎫=⎪-⎝⎭，，， 8分 由于1·263AA n d n==，9=，又()01λ∈，，解得12λ=，11分所以，存在点E 且当点E 为1A B 的中点时，1A 到平面AED . 12分22．（本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN .（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60，求平面PAM 与平面AMN 的所成的锐二面角的余弦值. （1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点， 因为PD PB =，所以PO BD ⊥， 因为ACPO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，2分因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥．4分（2）解：由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 5分所以1,22AO PA PO PA ==，因为PA =，所以6BO PA =． 6分 分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2PA =，则()()()(10,0,0,1,0,0,,1,0,0,0,,,2O A B C D P H ⎛⎫⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以(233330,,0,,0,,1,,0,1,0,33223D B A H A B A P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．7分 记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111123033022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，令10x =，则110,y z ==(1n =，8分 记平面PAB 的法向量为()2222,,n xy z =，则2222220n AB x y n AP x ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩， 令21x =，则223y z ==，所以2n ⎛= ⎝⎭， 10分 记平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角为θ，则12121239cos cos ,13n n n n n n θ⋅===⋅． 所以平面PAM 与平面AMN 12分。
河南省郑州市第一中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题
郑州一中2022～2023学年上学期期中考试高一（数学）试题说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分。
2．考试时间：120分钟。
3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合，，则（ ）A ．B ． C ．D ．2．已知非空数集A ，B ，命题p ：对于，都有，则p 的否定是（ ）A ．对于，都有B ．对于，都有C ．，使得D ．，使得3．函数f (x )＝2x ＋13－x－(x ＋3)0的定义域是（ ）A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B. (－∞，－3)∪(－3，3)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，3)4.祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如果在等高处的截面积相等，则体积相等．设A ，B 为两个等高的几何体，p ：A ，B 的体积相等，q ：A ，B 在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A.充分必要条件 B ．充分不必要条件C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5.关于的不等式的解集为，则关于的不等式 的解集为 （ ）A ．B ．C ．D ．6.定义在上的偶函数满足：对任意的，有{}0,1,2,3,4,5A ={}15B x x =∈-<<N A B = {}2,3,4{}1,2,3,4{}0,1,2,3,4{}0,1,2,3,4,5x A ∀∈x B ∈x A ∀∈x B ∉x A ∀∉x B ∉0x A ∃∈0x B ∈0x A ∃∈0x B∉x 220ax bx ++>(1,2)-x 220bx ax -->(2,1)-(,2)(1,)-∞-+∞ (,1)(2,)-∞-+∞ (1,2)-R ()f x [)()12120,,x x x x ∈+∞≠，则，，的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．7.函数的图象大致为（ ）A ． B ． C ． D ．8．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．6B ．610C ．12D ．1210二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)．9．下列叙述正确的是( )A.若P ＝{(1，2)}，则B.{x |x >1}⊆{y |y ≥1}C.M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}，则M ＝ND.{2，4}有3个非空子集10．若 则( )A ．B ．C ．D．11．若，则下列关系正确的是( )A ．B ．CD ．12．已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是()()21210f x f x x x -<-()2f -()2.7f()3f -()()()2.732f f f <-<-()()()2 2.73f f f -<<-()()()32 2.7f f f -<-<()()()3 2.72f f f -<<-()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b c ，，S S =1=)2p a b c ++（146a b c +==，P ∅∈0a b >>22ac bc >a c b c ->-22a b>11a b <4455x y x y ---<-x y <33y x -->>133y x-⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x ()g x R ()f x ()g x偶函数，且，则下列说法正确的是( )A ．为偶函数B ．C ．为定值D ．第Ⅱ卷 （ 非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分．）13．已知集合A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{a 2，1}，若B ⊆A，则实数a 的值是 ．14．若,则的取值范围是 ．15．已知函数(且)在区间上是减函数，则实数的取值范围是________．16．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x 的最大整数.例如：，.已知函数，，若，则________；不等式的解集为________．四、解答题（本题共6小题，17题10分其它题均为12分，共70分．） 17．（本小题10分）（1）求值：；（2）已知，求值：.18．（本小题12分）设集合，集合．(1)若，求和(2)设命题，命题，若是成立的必要条件，求实数的取值范围．19．（本小题12分）在①，②这两个条件中任选一个，补()()2x f x g x +=()()f g x ()00g =()()22g x f x -()()2,02,0x x x f x g x x -⎧≥+=⎨<⎩33(1)(32)a a +<-a y =0a >1a ≠[1,2]a []y x =[]x [ 2.1]3-=-[3.1]3=()()|1|3[]f x x x =--[)0,2x ∈5()2f x =x =()f x x ≤()31211203320.2521624------⨯⨯+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11223(0)a a a -+=>22111a a a a --++++{|13}A x x =-<<{|22}B x a x a =-<<+2a =A B A B:p x A ∈:q x B ∈p q a []2,2x ∀∈-[]1,3x ∃∈充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)若______，，求实数a 的取值范围．20.（本小题12分）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，设月产量为台，当不超过400台时总收入为元，当超过400台时总收入为80000元.(1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）21．（本小题12分）已知不等式的解集为.(1)求的值，(2)若，，，求的最大值.22．（本小题12分）已知函数，．(1)证明：函数在上单调递增；(2)若存在且，使得的定义域和值域都是，求的取值范围．0m n <<()24f x x ax =++2a =-()f x []22-,()0f x ≥x x 214002x x -x P x 5111133x +≤≤（（）[],a b a b ，0m >0n >0bm n a ++=mn m n+()2211a f x a a x+=-0a >()f x ()0,+∞,m n ()f x [,]m n a。
2022-2023学年河南省郑州市第一中学高一上学期期末数学试题(解析版)
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
同理 ，解得 ，当且仅当 时，等号成立.
对于A， ，
所以 ，当 时，等号成立，所以A错误；
对于B， ，当 时，等号成立，所以B正确；
对于C， ，当且仅当 时，等号成立，所以C正确；
对于D，设 ，பைடு நூலகம் ，所以 ，
即 ，则 ，得 ，
解得 ，所以D正确.
故选：BCD.
12.设函数 的定义域为 ，且满足 ， ，当 时， .则下列说法正确的是（）
A.
B.当 时， 的取值范围为
C. 为奇函数
D.方程 仅有3个不同实数解
【答案】BC
【解析】
【分析】根据 ，推导出 ，所以 的周期为8，可判断A；根据函数性质求出 ， ，当 时， ，从而确定 的取值范围，可判断B；根据 得到 关于 中心对称，从而 关于原点中心对称，即 为奇函数，可判断C；画出 与 的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程 的根的个数，可判断D.
【详解】解：由二次函数图象开口向下知： ，对称轴为 ，即 ，故 .
又因为 ，
所以 .
故选：ACD.
11.已知 为正数， ，则下列说法正确的是（）
A. B. 的最小值为1
C. 最小值为8D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由 结合基本不等式，求得 的最大值， 的最小值，判断选项正误.
【详解】因为 ， 为正数， ，
对于B，函数 偶函数，故B正确：
对于C，因为 是第一象限角，所以 ，所以 ，所以 是第一象限或第三象限角，故C正确；
对于D，取 ， ，满足 、 是第一象限的角，且 ，而 ．故D错误．
故选：BC．
10.二次函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（）
河南省实验中学022-2023学年高一上学期第一次月考化学试题(含答案)
河南省实验中学2022－2023学年上期第一次月考高一化学时间：90分钟 满分：100分命题人：宋利杰 审题人：本高一化学组可能用到的相对原子质量：H ：1 C ：12 N ：14 O ：16 Na ：23 Al ：27 S ：32 Cl ：35.5一、选择题：（本大题共16小题，每小题3分，共48分，每小题只有一个正确选项。
）1．下列说法中，不正确的是（ ）A ．俄国化学家门捷列夫提出原子学说，为近代化学的发展奠定了基础B ．1965年我国第一个人工合成了具有生理活性的蛋白质结晶牛胰岛素C ．研究物质性质的基本方法有观察法、实验法、比较法、分类法等D ．研究物质性质的基本程序通常是观察物质的外部特征，运用分类法预测物质的性质，接着实验和观察（发现特殊现象，提出新问题），最后解释和结论2．下列与胶体无关的是（ ）A ．实验室利用反应()()323FeCl 3H O Fe 3H HCl O ++胶体制备氢氧化铁胶体B ．医用葡萄糖溶液在一定条件下能保存较长时间C ．将饱和的3FeCl 溶液逐滴滴入沸水中，当溶液变成透明红褐色时，用一束光照射，可看到液体中有光亮通路。
D ．在海水与河水交界处，易形成沙洲3．下列物质中，不能通过单质间直接化合制取的是（ ）A ．2Na OB ．34Fe OC ．HClD ．2FeCl4．金属钠露置在空气中可观察如下现象：银白色→变灰暗→变白色→出现液滴→白色固体，其最终产物是（ ）A ．NaOHB ．22Na OC ．23Na COD ．3NaHCO5．饱和氯水久置后溶液中的各种粒子：①2Cl ②2H O ③Cl - ④HClO ⑤H + 其中减少的是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．①④D ．②④6．下列物质的分类正确的是（ ）7．用固体样品配制一定物质的量浓度的溶液，需经过称量、溶解、转移溶液、定容等操作。
下列图示对应的操作规范的是（ ）A ．称量B ．溶解C ．转移溶液D ．定容8．下列实验方案鉴別23Na CO 和3NaHCO 粉末，不能达到预期目的是（ ）A ．分别加等体积．等浓度的稀盐酸，比较生成气体的快慢B ．分别加等体积适量的水，比较固体溶解量的多少C ．分别将两种粉末配成溶液，然后加入澄清的石灰水，比较是否有沉淀生成D ．分別将两种粉末加热，并将产生的气体通入澄清的石灰水，比较澄清石灰水是否变混浊9．标准状况下，aL 气体2X 和bL 气体2Y 恰好完全反应生成cL 气体Z ，若263a b c ==，则Z 的化学式为（ ）A ．2XYB ．3X YC ．2X YD ．3XY10．下列气体在同温度．同压强．同质量时，体积最小的是（ ）A ．2COB ．COC ．4CHD ．2H11．设A N 为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是（ ） A ．0.1mol 过氧化钠与足量水反应生成的2O 分子数为0.1A NB ．标准状况下，11.2L 2H O 含有的分子数为0.5A NC ．500mL 0.11mol L -⋅ 24K SO 溶液中K +、24SO -总数为0.3A ND ．常温常压下，16g 的2O 和3O 混合气体含有的原子数为A N12．同温同压下，在相同体积的两个容器中，一个盛放2N ，另一个盛放2N 和CO 混合气体，下列关于两个容器中气体的说法不正确的是（ ）A ．质量相同B ．密度相同C ．分子数相同D ．氮原子数相同13．已知Q 与R 的摩尔质量之比为9︰22，在反应X 2Y2Q R ++中，当1.6g X 与Y 完全反应后，生成4.4g R ，则参与反应的Y 和生成物Q 的质量比为（ ）A ．23︰9B ．32︰9C ．46︰9D ．16︰914．标准状况下有①6.72L 4CH ，②233.0110⨯个HCl 分子，③13.6g 2H S ，④0.2mol 3NH 下列描述不正确的是（ ）A ．体积：②＞③＞①＞④B ．氢原子数：①＞④＞③＞②C ．质量：②＞③＞①＞④D ．密度：②＞③＞④＞①15．下列溶液中，与100mL 0.5mol /L NaCl 溶液所含Cl -物质的量浓度相同的是（ ）A ．100mL 0.5mol /L 2MgCl 溶液B ．200mL 0.25mol /L 2CaCl 溶液C ．50mL 1mol /L NaCl 溶液D ．25mL 0.6mol /L HCl 溶液16．V mL ()243Al SO 溶液中含3Al + a g ，取3V mL 溶液稀释到3V mL ，则稀释后溶液中24SO -的物质的量浓度是（ ）mol /LA ．243a VB ．50081a VC ．81a VD ．162a V 二、填空题：（本大题含4小题，共52分）17．（10分）（1）24SO -的摩尔质量为 ；96g 24SO -中含有 个24SO -，所含电子的物质的量为 。
河南省高一上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．若集合中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）{},,M a b c =A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，{},,M a b c =ABC A 则，所以一定不是等腰三角形．a b c ≠≠ABC A 故选：D ．2．已知集合，，若，则实数a 的值为 {}1,2A ={}2,B a a ={1}A B ⋂=A ．1B ．C ．D ．-11±【答案】B 【分析】根据集合元素的互异性和交集的定义，可得方程组或即可得答案；2212,1,a a a =⎧⎪≠⎨⎪≠⎩，212,1,a a a ⎧=⎪≠⎨⎪≠⎩，【详解】由题意可得或2212,1,a a a =⎧⎪≠⎨⎪≠⎩，212,1,a a a ⎧=⎪≠⎨⎪≠⎩，，∴1a =-故选：B.【点睛】本题考查根据交集的结果求参数，考查运算求解能力，求解时注意集合元素的互异性. 3．已知集合，，，则（ ）{}|5U x x =∈≤N {}1,2,4A ={}0,3,4B =()U A B = ðA ．B ．C ．D ．{}2,4{}2,5{}1,2{}0,2,4【答案】C【分析】根据交集与补集的定义求解.【详解】，{}{}|50,1,2,3,4,5U x x =∈≤=N ，， {}1,2,5U B ∴=ð(){}1,2U A B ∴= ð故选：C.4．已知,下列不等式中正确的是0a b >>A ． B ． C ． D ． c c a b >2ab b <2a ab -<-1111a b <--【答案】C【解析】利用作差法证明，或举出反例推翻选项.【详解】A 选项：当时，选项不成立；0c =B 选项：，所以选项不正确；()20ab b b a b -=->C 选项：，所以，该选项正确；()()20a ab a a b ---=--<2a ab -<-D 选项：当时，，选项不正确. 12,2a b ==111,211a b ==---故选：C 【点睛】此题考查不等式的性质的应用，常用作差法比较大小，或举出反例推翻命题.5．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最()f x [0,1]()f x [0,1]()f x [0,1]大值为”的（ ）(1)f A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，()f x []0,1()f x []0,1()1f 若在上的最大值为， ()f x []0,1()1f 比如， ()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭但在为减函数，在为增函数， ()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦故在上的最大值为推不出在上单调递增，()f x []0,1()1f ()f x []0,1故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， ()f x []0,1()f x []0,1()1f 故选：A.6．若关于的不等式的解集为，则等于（ ）x 2320x ax -+>(,1)(,)m -∞⋃+∞a m +A ．B ．1C ．2D ．31-【答案】D【分析】由题可得和是方程的两个根，利用根与系数关系解出，进而得答1m 2320x ax -+=,a m 案．【详解】解：由题意知，和是方程的两个根， 1m 2320x ax -+=则由根与系数的关系，得， 1312m a m +=⎧⎨⨯=⎩解得， 12a m =⎧⎨=⎩所以．3a m +=故选D ．【点睛】本题考查不等式以及根与系数关系，属于简单题．7．已知命题，；命题若，则．则对命题，的真假判断正:p x ∃∈R 210x x -+≥:q 22a b <a b <p q 确的是A ．真真B ．真假 p q p qC ．假真D ．假假p q p q 【答案】B【分析】利用配方法可知为真命题，利用反例可知题为假命题，从而可得正确的选项. p q 【详解】∵，∴命题为真命题． 22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭p 当时，不一定有，如，但，故命题为假命题，故选B ． 22a b <a b <()2235<-35>-q 【点睛】本题考查命题真假的判断，说明一个命题为真，需给出证明，而说明一个命题为假，只需给出一个反例即可.8．下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）A ．B ． ()()21,1x f x x g x x=-=-()()42,f x x g x ==C ． D ． ()()2,x f x g x x x ==()()()222,1x x f x g x x x-==-【答案】D【解析】分别判断四个答案中与的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，()f x ()g x 即可得到答案.【详解】对于选项A ：的定义域为，的定义域为，()f x R ()g x {}0x x ≠两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项B ：的定义域为，的定义域为，()f x R ()g x {}0x x ≥两个函数的定义域不同，不是同一个函数； 对于选项C ：的定义域为，的定义域为，()f x {}0x x ≠()g x R两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项D ：，的定义域均为，对应法则相同，故两个函数是同一个函数； ()f x ()g x {}0x x ≠故选：D.【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数.属于容易题.二、多选题9．已知一次函数满足，且点在的图象上，其中1()(0)3f x x b b =-+≠2((0))f f b =()Q m n ,()f x 0m >，，则下列各式正确的是（ ）0n >A ． B ． C ． D ． 43b =32m n +=13mn ≤1123m n+≥【答案】BCD【分析】根据求出b 判断A,根据点在函数图象上判断B ，由均值不等式判断CD.2((0))f f b =【详解】， 21((0))()3f f f b b b b ==-+= ， 23b ∴=即，故A 不正确； 12()33f x x =-+由在函数图象上可得，即，故B 正确；()Q m n ,23m n -+=32m n +=由均值不等式可得，故C 正确； 32m n +=≥13mn ≤因为， 11111131(3)(2)22323232n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝所以D 正确.故选：BCD10．若，则下列选项成立的是（ ）,(0,)a b ∈+∞A ．B ．若，则 (6)9a a -≤3ab a b =++9ab ≥C ．的最小值为D ．若，则2243a a ++12a b +=1232a b +≥【答案】ABD【解析】A. 利用怍差法判断；B.由判断；C.利用对勾函数的性质判断；D.33ab a b =++≥由，利用“1”的代换结合基本不等式判断.2a b +=【详解】A. 因为，故正确； ()229(6)6930a a a a a --=-+=-≥B.因为，所以，所以，当且仅当33ab a b =++≥+230-≥3≥9ab ≥取等号，故正确；3a b ==C. 因为，，则由对勾函数的性质得在2222443333a a a a +=++-++233a +>224333t a a =++-+上递增，所以其最小值为，故错误； ()3,+∞43D.因为，则，当且仅当2a b +=()121122333221122b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=+++≥+=⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+=，即时，取等号，故正确； 22a b b a a b+=⎧⎪⎨=⎪⎩)(21,22a b =-=故选：ABD 11．已知，函数，下列表述正确的（ ）x ∈R ()2f x x x =-A ．为奇函数 B ．在单调递增 ()y f x =()y f x =()1∞-，C ．的单调递减区间为D ．最大值为 ()y f x =()12，()y f x =1【答案】BC【分析】分类讨论，写出解析式，画出图像，分析选项可得答案.()f x ()f x 【详解】由题可得，画出图像如下. ()222222x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，，()f x 对于A 选项，由图可知为非奇非偶函数.，故A 错误.()f x 对于B 选项，由图可知，在上单调递增.故B正确. ()f x ()1∞-，对于C 选项，由图可知，的单调递减区间为.故C 正确. ()f x ()12，对于D 选项，由图可知，无最大值.故D 错误.()f x 故选：BC12．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定张阿姨.和李阿姨是邻居，经常结伴去买菜张阿姨喜欢用第一种方式买猪肉，李阿姨喜欢用第二种方式买.猪肉，已知两次买猪肉的单价分别为每斤元和元，则下列选项正确的是（ ） X Y ()X Y ≠A ．张阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤元； 2X Y +B ．李阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤元； 211X Y+C ．张阿姨的购买方式更实惠；D ．李阿姨的购买方式更实惠．【答案】ABD【分析】设第一种方式购买物品为，第二种所花的钱为.求出两次的单价即可判断A 、B ；两式a b 作差可判断C 、D.【详解】设用第一种方式买猪肉时，每次购买这种物品的数量为，用第二种方式买猪肉a ()0a >时，每次购买这种物品所花的钱数为.b ()0b >对于A 项，张阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤为，故A 项正确； 2aX aY X Y a a ++=+对于B 项，李阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤，故B 项正确； 2211b b XY b b X Y X Y X Y+==+++对于C 项，因为，又，，，所以有()()24222X Y XY X Y XY X Y X Y +-+-=++()()22X Y X Y -=+0X >0Y >X Y ≠，所以，故C 项错误； 202X Y XY X Y +->+22X Y XY X Y+>+对于D 项，由C 解析知，，故D 项正确. 22X Y XY X Y+>+故选：ABD.三、填空题13．命题“，或”的否定是____________．x ∃∈R 1x <2x ≥【答案】，x ∀∈R 12x ≤<【分析】由特称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为，.x ∀∈R 12x ≤<故答案为：，.x ∀∈R 12x ≤<14．函数___________. y 【答案】[2,0)-【分析】利用根式、分式的性质求函数定义域即可.【详解】由解析式知：，则，可得， 240||0x x x ⎧-≥⎨-≠⎩220x x -≤≤⎧⎨<⎩20x -≤<∴函数的定义域为.[2,0)-故答案为：.[2,0)-15．已知，，且满足，则的最小值为___________． 0m >0n >1m n +=1211m n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】 8+【分析】根据“1”的代换可得，进而展开根据基本不等式即可求得1221123n m m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最小值.【详解】因为，所以有，， 1m n +=1112m n n m m m ++=+=+()222113m n m n n n++=+=+又，， 0m >0n >所以， 1221123n m m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭348n m m n =++8≥8=当且仅当，且，，， 34n m m n=0m >0n >1m n +=即，时，等号成立.3m =4n =-所以，的最小值为. 1211m n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭8故答案为：.816．若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.x ()2220x a x a -++->a 【答案】()(],13,4-∞ 【分析】先解带有参数的一元二次不等式，再对进行分类讨论，使得恰有1个正整数解，最后求a 出的取值范围a 【详解】不等式等价于.令，解得()2220x a x a -++->()2220x a x a -++<()2220x a x a -++=或.2x =x a =当时，不等式的解集为，要想恰有1个正整数解，则；2a >()2220x a x a -++<()2,a 34a <…当时，不等式无解，所以不符合题意；2a =()2220x a x a -++<2a =当时，不等式的解集为，则.2a <()2220x a x a -++<(),2a 1a <综上，的取值范围是.a ()(],13,4-∞ 故答案为：()(],13,4-∞四、解答题17．已知集合．{}()(){}1,2,|10A B x x x a =-=+-=(1)若，求；3a =A B ⋂(2)若，求实数的取值集合．A B A ⋃=a 【答案】(1){}1-(2){}1,2-【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案.（2）根据对进行分类讨论，从而求得的取值范围.A B A ⋃=a a 【详解】（1）依题意，{}1,2A =-当时，，3a =()(){}{}|1301,3B x x x =+-==-所以.{}1A B ⋂=-（2）由解得，，()()10x x a +-=11x =-2x a =若，则，，符合题意.1a =-{}1B =-A B A ⋃=若，由于，所以.1a ≠-A B A ⋃=2a =综上所述，实数的取值集合为.a {}1,2-18．已知集合，． 611A x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭{}220B x x x m =--<(1)当时，求；3m =()R A B ð(2)若，求实数的值．{}14A B x x ⋂=-<<m 【答案】(1){|35}x x ≤≤(2)8m =【分析】（1）化简集合，根据补集和交集的概念运算可得结果；,A B （2）由求出，再求出，然后根据列式可求出结果.B ≠∅1m >-B {}14A B x x ⋂=-<<【详解】（1）由得，得， 611≥+x 016x <+≤15x -<≤所以，{|15}A x x =-<≤当时，由，得，3m =2230x x --<13x -<<所以，{|13}B x x =-<<所以或，{|1B x x =≤-R ð3}x ≥所以.()R A B ð{|35}x x =≤≤（2）因为，{}14A B x x ⋂=-<<所以，B ≠∅所以，即，440m ∆=+>1m >-由得，得，，220x x m --<2(1)1x m -<+11x <<+所以，{|11B x x =<<因为，所以，，{}14A B x x ⋂=-<<14=11≤-解得.8m =19．已知，，，为正常数，且． 0x >0y >a b 1a b x y+=(1)若，，求的最小值；1a =9b =x y +(2)若，的最小值为.求，的值.10a b +=x y +18a b 【答案】(1)16；(2)答案见解析.【分析】（1）由题意可知，，展开后根据基本不等式即可求出最小值； ()19x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭（2）由题意可知，，展开后根据基本不等式即可求出最小值为，()a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭10根据题意可得.又，联立即可解出，的值.16ab =10a b +=a b【详解】（1）解：由已知可得，， 191x y+=又，，0x >0y >所以， ()19x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭091y x x y =++1016≥=当且仅当，，，，即，时等号成立. 9y x x y =0x >0y >191x y+=4x =12y =所以，的最小值为.x y +16（2）解：由已知， 1a b x y+=又，，，为正常数，0x >0y >a b 10a b +=所以 ()a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ay bx a b x y =+++. 10ay bx x y =++10≥10=当且仅当且时，等号成立，此时的最小值为， ay bx x y=1a b x y +=x y +10又的最小值为，所以，.x y +181018=16ab =联立，解得或. 1016a b ab +=⎧⎨=⎩28a b =⎧⎨=⎩82a b =⎧⎨=⎩20．自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为24万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只与4年的总直播时长x （单位：小时）成正比，比例系数为0.12.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C （单位：万元）与总直播时长x （单位：小时）之间的关系为（，k 为常数）.记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y （单位：万50k C x =+0x …元）. (1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)该厂家直播时长x 为多少时，可使y 最小？并求出y 的最小值.【答案】(1) 48003(0)5025x y x x =++…(2)线上直播x=150小时可使y 最小为42万元【分析】（1）通过求出系数，即可得结果；0x =k （2）直接根据基本不等式即可得结果.【详解】（1）由题得，当时，，则， 0x =2450k C ==1200k =故该厂家4年促销费用与线上直播费用之和为 12004800340.12(0)505025x y x x x x =⨯+=+++…（2）由（1）知， 48003(50)66425025y x x =++-≥=+当且仅当，即时等号成立， 48003(50)5025x x =++150x =即线上直播150小时可使y 最小为42万元.21．已知函数，其中.()()()11f x x ax =-+R a ∈(1)若不等式的解集为，求的值；()0f x >{}12x x <<a (2)求解关于的不等式.x ()0f x <【答案】(1) 12-(2)答案见解析【分析】（1）分析可知的两根分别为、，可求得的值；()0f x =12a （2）对实数的取值进行分类讨论，利用一次不等式与二次不等式的解法解原不等式，即可得解.a 【详解】（1）解：由题意可知，方程的两根分别为、且，()0f x =12a<0则，解得，合乎题意. ()2210f a =+=12a =-（2）解：当时，由可得；0a =()10f x x =-<1x <当时，由可得； 0a >()()()110f x ax x =+-<11x a -<<当时，，由可得或； 10a -<<11a ->()()()110f x ax x =+-<1x <1x a>-当时，由可得；1a =-()()210f x x =--<1x ≠当时，，由可得或. 1a <-101a <-<()()()110f x ax x =+-<1x a<-1x >综上所述，当时，原不等式的解集为或； 1a <-1x x a ⎧<-⎨⎩}1x >当时，原不等式的解集为；1a =-{}1x x ≠当时，原不等式的解集为或； 10a -<<{1x x <1x a ⎫>-⎬⎭当时，原不等式的解集为；0a ={}1x x <当时，原不等式的解集为. 0a >11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭22．已知函数是定义在上的奇函数，且 ()21ax b f x x +=+()1,1-1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求的解析式()f x (2)用定义证明在上是增函数()f x ()1,1-(3)解不等式()()10f t f t -+<【答案】(1) ()21x f x x =+(2)证明见解析 (3) 102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据奇函数的性质和所给的条件，代入函数解析式即可； （2）不妨假设 ，判断 的符号即可；()1212,1,1,x x x x ∈-＜()()12f x f x -（3）根据 是奇函数，并是增函数的特点，根据函数定义域即可求出t 的范围.()f x 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，即，()f x ()1,1-()00f =0b =又∵，解得， 2112225112a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭1a =∴； ()21x f x x =+（2）设，，且，1x ∀()21,1x ∈-12x x <则， ()()()()()()()()()()22122121121212222222121212111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++∵，，，，210x x ->1210x x -<2110x +>2210x +>∴，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <∴在上是增函数；()f x ()1,1-（3）由为上的奇函数，如等价于．()f x ()1,1-()()10f t f t -+<()()1f t f t -<-则由在上是增函数，可得，()f x ()1,1-111111t t t t -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩解得， 102t <<即不等式的解集为； ()()10f t f t -+<102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭综上，，的解集为. ()21x f x x =+()()10f t f t -+<102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭。
2022-2023学年河南省商丘市部分学校高一上学期阶段性测试(二)数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省商丘市部分学校高一上学期阶段性测试（二）数学试题一、单选题1．集合{x x =的子集的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【分析】先解方程得到集合元素的个素，再利用集合子集的个数公式即可得解.【详解】因为{{x x ==，有2个元素，所以集合{x x =的子集的个数为224=. 故选：D. 2．不等式1605x x -≤+成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．{}16x x ≥ B ．{}516x x -<< C ．{}516x x -<≤ D ．{}516x x -≤≤【答案】B【分析】求解分式不等式得到516x -<≤，进而根据充分不必要条件的概念，结合选项即可求出结果.【详解】因为1605x x -≤+等价于()()165050x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得516x -<≤， 结合选项可知不等式1605x x -≤+成立的充分不必要条件可以是516x -<<， 故选：B.3．已知函数()224f x x x -=-，则()e f =（ ）A ．12e-B ．21e e4- C ．2e 4- D ．2e 2+【答案】C【分析】将e 2x =+代入求解即可.【详解】()224f x x x -=-，令e 2x =+得：()()()2244e e 2e 2e f +==-+-.故选：C4．某企业对员工的奖励y （单位：万元）与该企业的年产值x （单位：万元，10x >）符合函数模型lg 4y x kx =++（k 为常数）．若该企业的年产值为100万元，则对员工的奖励为8万元，若对员工的奖励为27万元，则该企业的年产值为（ ） A ．10000万元 B ．1000万元 C ．500万元 D ．300万元【答案】B【分析】由题意，代入已知条件，建立方程，可得答案.【详解】由题意，函数lg 4y x kx =++过点()100,8，则8lg1001004k =++，解得150k =， 故1lg 450y x x =++，令27y =，则127lg 450x x =++，解得1000x =， 故选：B. 5．已知函数y =R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,8B ．[]0,6C ．(]0,6D ．[)0,8【答案】D【分析】根据函数y =R ，由220ax ax ++≠，对x ∈R 恒成立求解.【详解】解：因为函数y =的定义域为R ，所以220ax ax ++≠，对x ∈R 恒成立， 当0a =时，20≠，成立； 当0a ≠时，280a a ∆=-<， 解得08a <<，综上：实数a 的取值范围是[)0,8 故选：D 6．函数()21x f x x -=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】C【分析】先对函数化简，然后分112x ≤<和14x ≤≤两种情况求其最大值即可. 【详解】()2221,14111,12x x x x f x x x x x -⎧≤≤⎪-⎪==⎨-⎪≤<⎪⎩，当14x ≤≤时，222111111()24x f x x x x x -⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭，由14x ≤≤，得1114x≤≤， 所以当112x =时，()f x 取得最大值14； 当112x ≤<时，222111111()24x f x x x x x -⎛⎫==-=-- ⎪⎝⎭， 由112x ≤<，得11x <≤2，所以当12x =时，()f x 取得最大值2111()22224f ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，综上()f x 的最大值为2， 故选：C.7．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()()2=f x f x -，()12f =，则()()20222023f f +=（ ） A ．2- B ．0C ．2D ．4【答案】A【分析】根据函数的奇偶性，结合函数的周期性进行求解即可. 【详解】因为函数()f x 是奇函数， 所以()()f x f x =--，因此由()()()()()()()()2=242f x f x f x f x f x f x f x f x -=--⇒+=-⇒+=-+=，所以函数()f x 是以4为周期的函数，()()()()()()20222023505425054323f f f f f f +=⨯++⨯+=+，因为函数()f x 是奇函数，所以()00f =，因此()()200f f ==，()()()()341112f f f f =-=-=-=-，于是()()()()20222023232f f f f +=+=-， 故选：A8．已知函数()()()222log 4log 4f x x k x k =+-+-在区间[]1,4上有零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．132,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．132,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．164,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．164,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】换元法转化得()()2440f t t k t k =+-+-=在[]0,2t ∈上有解，然后参数分离解决即可.【详解】由题知，()()()222log 4log 4f x x k x k =+-+-在区间[]1,4上有零点，令[]2log ,0,2t x t =∈，所以()()2440f t t k t k =+-+-=在[]0,2t ∈上有解，所以()()22121114412111t t t k t t t t +-++=+=+=++++++，在[]0,2t ∈上有解， 因为[]0,2t ∈，根据1121k t t =++++满足对勾函数特点，可作下图由图知1121k t t =++++在[]0,2t ∈上单调递增， 所以k 的最小值为1012401k =+++=+； k 的最大值为116212213k =+++=+； 所以实数k 的取值范围是164,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C二、多选题9．若0a b >>，c ∈R ，则（ ） A ．01a b<< B ．b a a b a b ->- C ．11c c a b+<+D ．2a b a +>【答案】BC【分析】根据不等式的性质，作差与0比较大小即可得出结果.【详解】对于A ，因为0a b >>，所以10a a b b b --=>，则1>ab，则故选项A 错误； 对于B ，因为0a b >>，所以22()()(1)0b a a b a ba b a b a b a b ab ab-+---=-+=-+>，则b aa b a b->-，则选项B 正确；对于C ，因为0a b >>，所以11()0b ac c a b ab -+-+=<，则11c c a b+<+， 故选项C 正确；对于D ，因为0a b >>，所以20a b a b a +-=-<，则2a b a +<，故选项D 错误， 故选：BC.10．下列运算正确的是（ ） A ．()32140xx ⎤=>B54aa=⋅C ．273log 164log 89= D ．若1x xe =,则ln 0x x +=【答案】ACD【分析】关于A,B 将根式转化为分数指数幂的形式,再根据分数指数幂计算法则进行化简,即可得选项正误,关于C 用对数的运算法则将幂转化为分式,化简即可,关于D,先判断出0x >,然后两边取对数,再展开即可判断正误.【详解】解:由题知关于选项A:()214433320x x x ⎛⎫=⎤=> ⎪⎝⎭,故选项A 正确; 关于选项B:151113624455115466441a a a a a aa aa a⋅⋅⋅===⋅⋅⋅,故选项B 错误; 关于选项C:343273333344log 2log 2log 16433log 8log 23log 239====, 故选项C 正确; 关于选项D:e 1x x =,0x ∴>,对等式两边取对数有,()ln e ln1x x =,即ln ln e ln 0x x x x =+=+ 故选项D 正确. 故选:ACD11．已知函数()f x 的定义域为R ，若对任意实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+，且0x <时，()0f x >，则( )A ．()210f a a ---<B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x 在R 上为减函数D ．不等式()()220f x f x +-<的解集为{}02x x <<【答案】BC【分析】根据()()()f x y f x f y +=+，令x ＝y ＝0求出f (0)，令y ＝－x 判断f (x )奇偶性，由此可判断B ；令121,x x y x x ==-结合0x <时，()0f x >即可判断f (x )单调性，由此可判断C ；判断21a a ---与0的大小，根据单调性即可判断A ；根据单调性可解D 中不等式，从而做出判断．【详解】已知函数()f x 的定义域为R 关于原点对称，若对任意实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+， ①令x ＝y ＝0，则()()()()00000=+⇒=f f f f ，令y ＝－x ，则()()()00f f x f x =+-=，故f (x )是奇函数，图象关于原点对称，故B 正确； ②令121,x x y x x ==-，则()()()2121f x f x f x x -=-，若210x x -<，即21x x <，则()()()21210f x f x f x x -=->，即()()21f x f x >， 故f (x )在R 上为减函数，故C 正确；③()()()()22022222f x f x f x f x x x x +-<⇒+<⇒+>⇒<，故D 错误；④22131024a a a ⎛⎫---=-+-< ⎪⎝⎭，∴()()()221010f a a f f a a --->⇒--->，故A 错误；故选：BC12．已知正实数x ，y 满足1x y +=，则（ ） A ．40x y xy +-≥ B ．221x y +≥C ．111112x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．14912x y +≥+ 【答案】AD【分析】2x y +≤，即14≤xy ，所以选项A 正确；而222()122x y x y ++≥=可判断B 错误；将1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开并结合14≤xy 可知C 错误；观察D 项分母可知12x y ++=，利用基本不等式“1”的妙用求最值，即可知D 正确.【详解】对于A 2x y+≤，即14≤xy ，所以41xy x y ≤=+，即40x y xy +-≥；当且仅当12x y ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，根据不等式222()122x y x y ++≥=，当且仅当12x y ==时，等号成立；所以B 错误；对于C ，1111112111119x y x y x y xy xy xy xy ⎛⎫+⎛⎫++=+++=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时，等号成立；故C 错误；对于D ，根据1x y +=，观察分母可知12x y ++=为定值，则1411411419(1)1451212122y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫++=+++=+++≥+= ⎪ ⎪ +++⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当21,33x y ==时，等号成立；故D 正确.故选：AD.三、填空题13．若命题:p x ∃∈R ，()2220x m x m +-+=为真命题，则实数m 的取值范围是______．【答案】(][),14,-∞⋃+∞【分析】结合一元二次不等式以及特称命题真假性求得正确答案.【详解】若命题:p x ∃∈R ，()2220x m x m +-+=为真命题，则()2Δ=2240m m ⎡⎤--≥⎣⎦，化简得：()()140m m --≥，解得：4m ≥或1m . 实数m 的取值范围是:(][),14,-∞⋃+∞. 故答案为：(][),14,-∞⋃+∞.14．已知函数()22f x x x =-，[]1,x a ∈，若()f x 的最大值为8，则实数a 的值为______．【答案】4【分析】由二次函数的图像与性质判断即可【详解】由()2284f x x x x =-=⇒=或2x =-，又()f x 的最大值为8，[]1,x a ∈，则4a =.故答案为：415．已知函数11,022()1163,12x x x f x x -⎧<<⎪⎪=⎨⎪+≤<⎪⎩则不等式()3f x 的解集为______．【答案】15,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】分段讨论求解即可 【详解】当102x <<时，1()2f x x = 所以()1332f x x >⇔>无解； 当112x ≤<时，()31633x f x ->⇔+>()154322162222x x---->⇔>⨯=55428x x ->-⇔<所以1528x ≤<综上所述：不等式()3f x 的解集为15,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：15,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16．已知函数()44log ,04,2log ,4x x f x x x ⎧<≤=⎨->⎩，若123,,x x x 互不相等，且()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是______． 【答案】33,184⎛⎫⎪⎝⎭【分析】不妨设123x x x <<，结合函数图像可得4142log log x x =和4243log 2log x x =-，从而得出121=x x 和2316x x =，则1232217x x x x x ++=+，由2(1,4)x ∈，利用对勾函数的性质，即可得出答案.【详解】不妨设123x x x <<，由图可得，设414243log log 2log z x x x ==-=，则(0,1)z ∈，且1(0,1)x ∈，2(1,4)x ∈，3(4,16)x ∈，所以，4142log log x x =-，即121=x x ，121x x =， 且4243log 2log x x =-，即2316x x =，3216x x = 1232217x x x x x ∴++=+，而2(1,4)x ∈，设22217()f x x x =+，根据对勾函数的性质， 2(1,4)x ∈时，2()f x 为单调递增函数，故233()(,18)4f x ∈， 所以123x x x ++的取值范围是33,184⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：33,184⎛⎫⎪⎝⎭四、解答题17．已知集合{}2340A x x x =--≤，{}21B x a x a =<<+．(1)当2a =时，求A B ⋃；(2)若B A ，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){}15x x -≤< (2)3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）解出集合A ，当2a =时写出集合B ，由并集的概念求解即可； （2）分为B =∅与B ≠∅两种情况讨论，求出a 的取值范围．【详解】（1）由题可知{}{}234014A x x x x x =--≤=-≤≤，当2a =时，{}25B x x =<<，所以{}15A B x x ⋃=-≤<．（2）若B =∅，则21a a ≥+，解得1a ≤-，满足题意；若B ≠∅，由B A 得211214a a a a <+⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，解得312a -<≤．综上，实数a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．18．已知函数()3xg x =，函数()f x 的图象与()g x 的图象关于直线y x =对称．(1)求()f x 的解析式；(2)若()f x 的定义域为[]1,9，求函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的值域．【答案】(1)()3log f x x = (2)[]0,3【分析】（1）根据指数函数与对数函数图象的关系即可得出答案；（2）先根据函数()f x 的定义域，求出函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的定义域，再利用换元法结合二次函数的性质即可得解.【详解】（1）解：因为函数()f x 的图象与()g x 的图象关于直线y x =对称， 所以()f x 与()g x 互为反函数，因为()3xg x =，所以()3log f x x =；（2）解：因为()f x 的定义域为[]1,9，所以函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦中的x 需满足21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩， 解得13x ≤≤，所以30log 1x ≤≤，令()()01t f x t =≤≤，因为()2233log 2log f x x x ==，所以()()()2222211y f x f x t t t =+=+=+-⎡⎤⎣⎦，[]0,1t ∈，当0=t 时，()2min 0110y =+-=，当1t =时，()2max 1113y =+-=，所以函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦在[]1,9上的值域为[]0,3．19．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，对任意正实数x ，y 都有()()()1f xy f x f y -=-，且当1x >时，()1f x >．(1)求证：()f x 是()0,∞+上的增函数；(2)若()()()2211f x f x f x +-<-+，求x 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)()1,2【分析】（1）已知抽象函数()()()1f xy f x f y -=-，利用2211x x x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，以及函数单调性的定义即可证明；（2）()()()2211f x f x f x +-<-+，即()()2221f x x f x -<-，利用函数的单调性和定义域列出不等式组，即可求x 的取值范围.【详解】（1）证明：任取()12,0,x x ∈+∞，且21x x >，则()()()()()22221111111111x x x f x f x f x f x f f x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-=+--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为211x x >，所以211x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()210f x f x ->， 即()()21f x f x >，所以()f x 是()0,∞+上的增函数．（2）解：()()()2211f x f x f x +-<-+，即()()2221f x x f x -<-，由（1）可知()f x 是()0,∞+上的增函数，所以2020210221x x x x x x >⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪-<-⎩，解不等式组可得12x <<，故x 的取值范围为()1,2．20．已知函数()xf x ba =（0a >且1a ≠）的图象经过点1,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,4N ．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若对任意的[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()22218x mx f x -+<成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()4xf x =(2)()4,+∞【分析】（1）把点M 、N 的坐标代入函数解析式解方程组可得答案；（2）根据()f x 的单调性求出()14f x ≥，使问题转化为22284x mx -+<在[]21,3x ∈时有解即可，即224>+m x x 在[]1,3x ∈时有解，令()4u x x x=+，利用单调性定义判断出()u x 的单调性，求出()u x 的最小值可得答案．【详解】（1）∵()f x 的图象经过点1,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,4N ，∴1242ba ba =⎧⎪⎨⎪=⎩，∴4a =，1b =，∴()4xf x =； （2）因为()4xf x =为单调递增函数，所以对任意的[]11,3x ∈，()14f x ≥，若对任意的[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()22218x mx f x -+<成立， 只需22284x mx -+<在[]21,3x ∈时有解即可，即224>+m x x 在[]1,3x ∈时有解， 令()4u x x x=+，令1212x x ≤<≤，所以()()()121212*********--=+--=-x x u x u x x x x x x x x x ， 因为1212x x ≤<≤，所以1212120,40,0x x x x x x -<-<>，所以()12121240x x x x x x -->， ()()12u x u x >，则()u x 在[]1,2上是减函数，令3423≤<≤x x ，所以()()()343434343434444--=+--=-x x u x u x x x x x x x x x ， 因为3423≤<≤x x ，所以3434340,40,0-<->>x x x x x x ，所以()34343440--<x x x x x x ， ()()34<u x u x ，则()u x 在[]2,3是增函数，∴()u x 的最小值为()24u =，∴4m >，即实数m 的取值范围为()4,+∞．21．已知函数()2f x x x =-．(1)解关于x 的不等式()f x a ax ≥-；(2)若2t ∀>-，关于x 的不等式()3f x x a ≤-+在[]2,t -上恒有解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)[)11,+∞【分析】（1）原不等式等价于()()10x a x +-≥，分类讨论a 与1-的关系即可求解；（2）原不等式等价于223x x a -+≤在[]2,t -上恒有解，令()223h x x x =-+，故()min a h x ≥恒成立，分为21t -<<和1t ≥两种情况讨论，求出()min h x ，进而得解.【详解】（1）原不等式即()()()2110x a x a x a x +--=+-≥．当<1a -，即1a >-时，解集为(][),1,a -∞-⋃+∞； 当1a -=，即1a =-时，解集为R ；当1a ->，即1a <-时，解集为(][),1,a -∞⋃-+∞．（2）不等式()3f x x a ≤-+在[]2,t -上恒有解，即223x x a -+≤在[]2,t -上恒有解． 令()()222312h x x x x =-+=-+，则函数()h x 的图象的对称轴为直线1x =．若21t -<<，则()()2min 23h x h t t t a ==-+≤恒成立，则()()2222311a ≥--⨯-+=；若1t ≥，则()()2min 1123h x h a ==-+≤，解得2a ≥．综上所述，实数a 的取值范围为[)11,+∞． 22．已知函数()2131x f x =-+． (1)求()f x 的值域；(2)若不等式()()2322f x a t a <--+对任意的x ∈R 及[]1,1a ∈-都恒成立，求实数t 的取值范围．(3)若函数()()3xh x mf x =-有且仅有两个零点，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()1,1- (2)[)4,+∞(3)()3++∞【分析】（1）由指数函数的值域及反比例函数的单调性可得()f x 的值域；（2）将问题转化为二次不等式的恒成立问题，结合二次函数的值域得到不等式组，解之即可； （3）将问题转化为二次方程有两个不等正根，利用二次方程根的分布的知识即可得解.【详解】（1）因为30x >，所以311x +>， 所以20231x<<+，则211131x -<-<+，即()11f x -<<， 所以()f x 的值域为()1,1-．（2）由题设易知()f x 在R 上单调递增，又不等式()()2322f x a t a <--+对任意的x ∈R 及[]1,1a ∈-都恒成立，所以21232ta a t ≤-++-对任意[]1,1a ∈-都恒成立，设函数()2232g a ta a t =-++-，若0t ≤，则()110g t =-<，不符合条件； 若0t >，则()g a 的图象开口向下，所以()()121321121321g t t g t t ⎧=-++-≥⎪⎨-=--+-≥⎪⎩，解得4t ≥，所以[)4,t ∈+∞．（3）由题可知()21331x x h x m ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，方程()0h x =可化为()23130x xm m +-+=，令()30x s s =>，则()h x 有且仅有两个零点，相当于方程()210s m s m +-+=有两个不相等的正根12,s s ，故有()12122100Δ140s s m s s m m m ⎧+=->⎪⎪=>⎨⎪=-->⎪⎩，解得3m >+故实数m的取值范围为()3++∞．。
河南省实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(解析版)
2023-2024学年河南省实验中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列实数中，属于无理数的是（ ）A.B. 0.5C.D.2. 下列各组数据中是勾股数的是（ ） A. 6，8，10 B. 0.3，0.4，0.5C.，，D. 5，11，123. 已知是关于、的二元一次方程，则的值为（ ）A.B.C.D.4. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D.5. 函数图象上有两点，，则与的大小关系是（ ）A.B.C.D. 无法确定6. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，如果图中点E 的坐标为，其关于y 轴对称的点F 的坐标为，则的值为（ ）A. 1B.C.D. 07. 在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）图象可能是（ ）A. B.C. D.8. 平面直角坐标系内轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）A. B.C. 或D. 或9. 如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（）米A. 16B.C. 15D. 1410. 如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标为，将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点．那么点的坐标为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11. 比较两数的大小：2___3．（填“＜”或“＞”）12. 象棋在中国有着三千多年的历史，如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是，“卒”的坐标为，那么“马”的坐标是________．13. 若关于x，y的方程组的解满足，则的值为________．14. 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____．15. 如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16. 计算：（1）；（2）．17. 下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组：解：①×2，得……③第一步②－③，得第二步．第三步将代入①，得．第四步所以，原方程组的解为第五步（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做法，以上求解步骤中，马小虎同学第步开始出现错误．（2）请写出此题正确的解答过程．18. 在平面直角坐标系中，点在轴上，点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，已知点的坐标为，长为2．（1）求，的长．（2）请判断的形状，并说明理由．19. △ABC在平面直角坐标系中位置如图所示，三点在格点上．（1）作出关于y轴对称的；（2）的面积为；（3）在y轴上作点P，使得值最小，并求出点P的坐标．20. 勾股定理是人类早期发现并证明重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．（1）证明勾股定理据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理．（2）应用勾股定理①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示4的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是______．②应用场景2——解决实际问题．如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．21. 郑州市政府为民生办实事，将污染多年“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树．某苗木种植公司给出以下收费方案：方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折优惠；方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠．设该市购买的景观树树苗棵数为x棵，方案一所需费用y1＝k1x+b1，方案二所需费用y2＝k2x，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．（1）k1＝ ，b1＝ ；（2）求每棵树苗的原价；（3）求按照方案二购买所需费用的函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；（4）若该市需要购买景观树600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．22. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点一次函数图象经过点，与y轴交于点C，与x轴的交点为D．（1）求一次函数解析式；（2）一次函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）如果在y轴上存在一点Q，使是以为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．23. 如图1，已知和为等腰直角三角形，按如图位置摆放，直角顶点C重合．（1）直接写出与的关系；（2）将按如图2的位置摆放，使点A、D、E在同一直线上，求证：；（3）将按如图3的位置摆放，使，，，求的长．2023-2024学年河南省实验中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列实数中，属于无理数的是（）A. B. 0.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可．【详解】解：A、是无理数，符合题意；B、0.5是有理数，不符合题意；C、是分数，不符合题意；D、，是有理数，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数就是无限不循环小数，初中范围内学习的无理数有：含π的数，开方开不尽的数和无限不循环小数．2. 下列各组数据中是勾股数的是（）A. 6，8，10B. 0.3，0.4，0.5C. ，，D. 5，11，12【答案】A【解析】【分析】要判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，据此求解即可．【详解】解：∵，∴6，8，10是勾股数，故A符合题意；与，，均不是整数，不是勾股数，故B,C不符合题意；∵，∴不是勾股数，故D不符合题意故选：A．【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．3. 已知是关于、的二元一次方程，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二元一次方程的定义进行求解即可．【详解】解：∵是关于、的二元一次方程，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，一般地，形如且a、b是常数的方程叫做二元一次方程．4. 下列运算正确是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是二次根式的运算．根据二次根式的加减和除法法则、二次根式的性质与化简对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、，本选项不符合题意；B、与不能计算，本选项不符合题意；C、，本选项符合题意；D、，本选项不符合题意．故选：C．5. 函数图象上有两点，，则与的大小关系是（）A. B. C. D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】根据得出函数值随的增大而减小，再根据，即可比较与的大小关系．【详解】解：，随的增大而减小，，，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．6. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ）A. 1B.C.D. 0【答案】B【解析】【分析】本题考查坐标与图形对称变化，利用轴对称的性质，求出m，n可得答案．【详解】解：∵，关于y轴对称，∴，∴，故选：B．7. 在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，本题得以解决．【详解】解：∵，∴函数是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数是经过第一、三、四象限的直线，故选：D【点睛】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答．8. 平面直角坐标系内轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）A. B.C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】根据平行于横轴上的点纵坐标相等分析计算即可．【详解】∵轴，∴A点与B点纵坐标相同，横坐标之差等于其距离，B点横坐标，或，故B点坐标为：或．故选：D【点睛】本题考查平行于坐标轴的线上的点的坐标特征，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．9. 如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（）米A. 16B.C. 15D. 14【答案】B【解析】【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，过P作于G，连接，∵米，米，∴米，∴（米），∴（米）∴这只蚂蚁的最短行程应该是米，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．10. 如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标为，将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点．那么点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先证明（设），根据勾股定理列出，求得，即可解决问题．【详解】解：设，∵矩形沿对角线翻折，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴点的坐标为．故选：A．【点睛】本题考查翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是掌握翻折变换的性质，矩形的性质及勾股定理．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11. 比较两数的大小：2___3．（填“＜”或“＞”）【答案】>【解析】【分析】将两个数平方，再根据两个正实数平方大的这个正实数也大比较即可．【详解】解：∵，，又∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查实数的大小比较．掌握比较实数大小的方法是解题关键．12. 象棋在中国有着三千多年的历史，如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是，“卒”的坐标为，那么“马”的坐标是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系位置确定，根据给定的坐标建立平面直角坐标系可得“马”的坐标．【详解】解：由“帅”的坐标是，“卒”的坐标为，那么“马”的坐标是，故答案为：．13. 若关于x，y的方程组的解满足，则的值为________．【答案】2022【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的解，将原方程组中的两个方程相加可得，即，再将代入计算即可．【详解】解：，得，，即，又∵，∴，解得．故答案为：2022．14. 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____．【答案】【解析】【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【详解】如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF==∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，故答案为-1．【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．15. 如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________．【答案】2或18【解析】【分析】分两种情况：①当E点在线段上时，②当E点在线段的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质进行解答即可,熟练掌握三角形全等的判定和性质，活用勾股定理是解题的关键．【详解】解：分两种情况讨论：①当E点在线段上时，如图所示：∵矩形中，，，与关于直线对称，∴，，，∵，∴，∴三点共线，∵∴∵∴；②当E点在线段的延长线上，且经过点B时，如图所示：∵,∴，在和中，，∴，∴，∵∴；综上所知，的长为2或18，故答案为：2或18．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16. 计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题结合完全平方公式和平方差公式，考查了二次根式的混合运算，（1）先进行乘方运算和去绝对值，然后把化简后合并即可；（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】原式17. 下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组：解：①×2，得……③第一步②－③，得第二步．第三步将代入①，得．第四步所以，原方程组的解为第五步（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做法，以上求解步骤中，马小虎同学第步开始出现错误．（2）请写出此题正确的解答过程．【答案】（1）加减消元法，第四步（2）见解析【解析】【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算．（2）按照解方程组的步骤求解即可【小问1详解】根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，故答案为：加减消元法，第四步．【小问2详解】方程组：解：①×2，得……③，②－③，得，解得．将代入①，得3．解得x=．所以，原方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．18. 在平面直角坐标系中，点在轴上，点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，已知点的坐标为，长为2．（1）求，的长．（2）请判断的形状，并说明理由．【答案】（1），（2）是直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，，利用勾股定理即可求解；（2）由勾股定理可求得，利用勾股定理的逆定理进行判断即可．【小问1详解】解：点的坐标为，轴，，，，；【小问2详解】解：是直角三角形，理由如下：，，轴，，由（1）得，，，，，即，是直角三角形．【点睛】本题主要考查坐标与图形，解题的关键是对勾股定理及其逆定理的掌握与运用．19. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点在格点上．（1）作出关于y轴对称的；（2）的面积为；（3）在y轴上作点P，使得值最小，并求出点P的坐标．【答案】（1）见解析（2）（3）作图见解析，点P坐标为【解析】【分析】本题主要考查作图---轴对称变换，利用轴对称变换的定义和性质和待定系数法求一次函数解析式：（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）用矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可；（3）作点B关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为所求，利用待定系数法求出所在直线解析式，然后求出时y的值即可得出点P的坐标，根据轴对称的性质和两点之间线段最短即可说明理由．【小问1详解】解：如图所示，即为所求．【小问2详解】△ABC的面积为，故答案为：；【小问3详解】如图所示，点P即为所求，点B关于y轴的对称点坐标为，设所在直线解析式为，则，解得，∴所在直线解析式为，当时，，∴点P坐标为，根据轴对称的性质知，由两点之间线段最短知最小，则最小．20. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．（1）证明勾股定理据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理．（2）应用勾股定理①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示4的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是______．②应用场景2——解决实际问题．如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．【答案】（1）见解析（2）①；②绳索的长为【解析】【分析】（1）用含、的式子表示2个图中空白部分的面积，即可得出结论；（2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可．②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．【小问1详解】解：由左图可知：，即，由右图可知：，即．．．即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．【小问2详解】解：①在中，,,点表示的数是，故答案为：；②，，．设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得．解得：．答：绳索的长为．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．21. 郑州市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树．某苗木种植公司给出以下收费方案：方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折优惠；方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠．设该市购买的景观树树苗棵数为x棵，方案一所需费用y1＝k1x+b1，方案二所需费用y2＝k2x，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．（1）k1＝ ，b1＝ ；（2）求每棵树苗的原价；（3）求按照方案二购买所需费用的函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；（4）若该市需要购买景观树600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．【答案】（1）21，3000；（2）每棵树苗的原价30元；（3）y2=27x，k2的实际意义是：每棵树苗打九折后的价格；（4）该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少．理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到k1和b1的值；（2）根据（1）中的结果和题意，可以计算出每棵树苗的原价；（3）根据函数图象中的数据和题意，可以得到函数关系式y2=k2x，并说明k2的实际意义；（4）将x=600代入y1和y2，然后比较大小，即可解答本题．【详解】解：（1）由图象可得，函数y1=k1x+b1，过点（0，3000），（200，7200），则，解得：，故答案为：21，3000；（2）由（1）可得，每棵树苗按七折优惠的价格是21元，∴每棵树苗的原价是21÷0.7=30（元），即每棵树苗的原价30元；（3）∵方案二中的树苗打九折优惠，∴按照方案二购买的每棵树苗的价格为30×0.9=27（元），∵方案二：不购买金卡，所有购买的树苗按九折优惠，当x=0时，y2=0，∴y2=27x，k2的实际意义是：每棵树苗打九折后的价格；（4）该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少，理由：由（1）（3）可知，y1=21x+3000，y2=27x，当x=600时，y1=21×600+3000=15600，y2=27×600=16200，∵15600＜16200，∴该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点一次函数图象经过点，与y轴交于点C，与x轴的交点为D．（1）求一次函数解析式；（2）一次函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）如果在y轴上存在一点Q，使是以为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）一次函数解析式为（2）存在，P点的坐标或（3）点Q的坐标为【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由，即可求解；（3）由得：，即可求解．【小问1详解】解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，∴可有，解得，∴A点的坐标；∵一次函数的图象过点和点则有，解得：，∴一次函数解析式为；【小问2详解】解：存在，理由如下：设点，对于一次函数，令，则有，解得，∴点，根据题意可知：，解得，当时，，当时，，∴P点坐标或；【小问3详解】解：设点，则，即，解得：，即点Q的坐标为：．【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点以及一次函数几何问题等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题．23. 如图1，已知和为等腰直角三角形，按如图的位置摆放，直角顶点C重合．（1）直接写出与的关系；（2）将按如图2的位置摆放，使点A、D、E在同一直线上，求证：；（3）将按如图3位置摆放，使，，，求的长．【答案】（1）且（2）见解析（3）【解析】【分析】对于（1），先证明≌即可得出数量关系，再根据角之间的关系得出位置关系；对于（2），设交于O，先证明，可得结论；对于（3），连接，首先证明，利用勾股定理求出线段，再证明≌推出，即可解决问题．【小问1详解】结论：且．理由：如图1中，延长交一点O．∵和为等腰直角三角形，∴，，∴，∴≌，∴，.∵，∴，∴．【小问2详解】如图2中，设交于O．由（1）可知≌，∴，.∵，∴，∴.∵，，∴，即，∴；【小问3详解】如图3中，连接，∵，，∴，.∵，∴.∵，，∴.∵，∴.∵，，∴≌，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
2022-2023学年度高一数学上学期期中考试卷(含答案)
2022-2023学年度高一数学上学期期中考试卷（含答案）考试范围：第一章——第三章；考试时间：150分钟注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（每题5分）1.设全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a -5|,9},∁U A={5,7},则a 的值是( )A.2B.8C.-2或8D.2或82.设p :-1≤x<2,q :x<a ,若q 是p 的必要条件,则a 的取值范围是( )A.a ≤-1B.a ≤-1或a ≥2C.a ≥2D.-1≤a<23.已知函数f (x )={2-x 2,x ≤1,x 2+2x -2,x >1,则f (2f (2))的值为( ) A.7136 B.6 C.74 D.179 4.关于命题p :“∀x ∈R ,x 2+1≠0”的叙述正确的是( )A.p 的否定:∃x ∈R ,x 2+1≠0B.p 的否定:∀x ∈R ,x 2+1=0C.p 是真命题,p 的否定是假命题D.p 是假命题,p 的否定是真命题5.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)内单调递减的函数是( )A.y=x -2B.y=x -1C.y=x 2D.y=x 136.已知函数f (x -1)是定义在R 上的奇函数,若对于任意两个实数x 1≠x 2,不等式f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0恒成立,则不等式f (x+3)<0的解集为( )A.(-∞,-3)B.(4,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,-4)7．若对x ＞0，y ＞0有（x +2y ）（）≥m 恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤8B ．m ＞8C ．m ＜0D ．m ≤48．已知0＜a ＜1，关于x 的不等式（x ﹣a ）（x ﹣）＞0的解集为（ ） A ．{x |x ＜a 或x ＞} B ．{a |x ＞a } C ．{x |x ＜或x ＞a } D ．{x |x ＜} 二、多选题（每题5分）9.下列函数是偶函数,且在区间(0,1)内单调递增的是( )A.y=|x|B.y=1-x 2C.y=-1xD.y=2x 2+4 10.已知2<x<3,2<y<3,则( )A.6<2x+y<9B.2<2x -y<3C.-1<x -y<1D.4<xy<911.下列式子中,可以是x2<1的充分条件的为( )A.x<1B.0<x<1C.-1<x<1D.-1<x<012.已知f (x )为区间(-∞,+∞)上的减函数,且a ∈(0,+∞),则( )A.f (a )>f (2a )B.f (a 2)<f (a )C.f (a 2+1)<f (a )D.f (a 2+a )<f (a )三、填空题（共4题，每题5分）13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥=2,522,)(2x x x x x x f ，则=))1((f f . 14.已知函数43)(2++-=x x x f )(x f y =的定义域为 .15．A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则实数a 的值构成的集合M ＝16．已知a ，b ∈R +，且a +b ++＝5，则a +b 的取值范围是 ．四、解答题（共70分，17题10分，其他每题12分）17. 已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x ，2，y 2}，且A ＝B ，求x ，y 的值．18.已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．(1)若a＝3，求(∁R P)∩Q；(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.已知不等式ax2−3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b的值；(2)m为何值时，ax2+mx+3≥0的解集为R．(3)解不等式ax2−(ac+b)x+bc <0．20.某商城欲在国庆期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量a万件与促销费用x万元满足ax+20a=40x+755，已知a万件该商品的进价成本为100+30a万元，商品的销元/件．售价定为50+300a(1)将该商品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？21.已知函数f(x)=x+2a.x(1)若a=2,证明:函数f(x)在[2,+∞)上单调递增;(2)在满足(1)的条件下,解不等式f(t2+2)+f(-2t2+4t-5)<0.22．李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元.方案二：不收管理费，每度0.58元.L x元与用电量x（度）间的函数关系（1）求方案一收费()（2）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好参考答案一、单选题（每题5分）DCDCADAA二、多选题（每题5分）ADACDBCDACD三、填空题（共4题，每题5分）答案：2 [-1,4] {﹣1，0，} [1，4]四、解答题（共70分，17题10分，其他每题12分）17.x ＝0，y ＝1或x ＝14，y ＝12.18.(1)(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)实数a 的取值范围为{a |0≤a ≤2}．19.{a =1,b =2.(2)R; （3）当c >2时，原不等式的解集为{x|2<x <c}；当c <2时，原不等式的解集为{x|c <x <2}；当c =2时，原不等式的解集为⌀．20（1）1000−900x+20−x,(x >0)；（2）促销费用投入10万元时，商家的利润最大，最大利润为960万元．21.1.解:(1)证明:当a=2时,函数f (x )=x+4x .任取x 1,x 2∈[2,+∞),且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1+4x 1-x 2-4x 2=(x 1-x 2)(x 1x 2-4)x 1x 2.因为x 1,x 2∈[2,+∞),且x 1<x 2,所以x 1-x 2<0,x 1x 2-4>0,x 1x 2>0,则f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),故函数f (x )在[2,+∞)上单调递增.(2)由(1)可知,f(x)=x+4x ,则其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又f(-x)=-x-4x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,则不等式f(t2+2)+f(-2t2+4t-5)<0可变形为f(t2+2)<-f(-2t2+4t-5)=f(2t2-4t+5).因为t2+2≥2,2t2-4t+5=2(t-1)2+3≥3,且函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,所以t2+2<2t2-4t+5,即t2-4t+3>0,解得t<1或t>3,故不等式的解集为(-∞,1)∪(3,+∞).22．。
2022—2023学年度高一上学期数学期中考试(含答案)
2022—2023学年度高一上学期数学期中考试（含答案）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。
）1.设集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B =（ ）A.{}1,2,3,4B.{}1,2,3C.{}2,3,4D.{}1,3,42.已知命题p ：“0a ∀≥，都有2220x ax a ++≥”，则命题p 的否定是（ ） A.0a ∃≥，使得2220x ax a ++≤ B.0a ∀≥，使得2220x ax a ++< C.0a ∃≥，使得2220x ax a ++<D.0a ∀<，使得2220x ax a ++≤3.不等式组()5421,2532132x x x x +≥-⎧⎪⎨+-->⎪⎩的解集是（ ）A.{}2x x ≤B.{}2x x ≥-C.{}22x x -<≤D.{}22x x -≤<4.设x ∈R ，则“213x -≤”是“10x +≥”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若α，β是一元二次方程23290x x +-=的两个根，则βααβ+的值是（ ） A.5827 B.5827- C.427 D.427- 6.若函数()2f x ax bx c =++满足()20f <且()30f >，则()f x 在()2,3上的零点（ ）A.至多有一个B.有1个或2个C.有且仅有一个D.一个也没有7.下列说法正确的是（ ） A.若a b >，c d >，则ac bd > B.若11a b>，则a b < C.若b c >，则a b a c ≥D.若a b >，c d >，则a c b d ->-8.已知函数()()1f x x x =+，则不等式()()220f x f x +->的解集为（ ）A.()2,1-B.()1,2-C.()(),12,-∞-+∞ D.()(),21,-∞-+∞二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9.已知全集U =R ，集合A ，B 满足A B ⊆，则下列选项正确的有（ ） A.A B B =B.A B B =C.() UA B φ=D.() UAB φ=10.下列选项中正确的是（ ）A.函数()f x =的定义域为()1,-+∞ B.函数()2x f x x=与函数()g x x =是同一个函数C.函数[]y x =中的y 表示不超过x 最大整数，则当x 的值为0.1-时，1y =-D.若函数()123f x x +=-，则()43f = 11.下列说法正确的有（ ）A.命题“x ∃∈R ，220x x --=”的否定是“x ∀∈R ，220x x --≠” B.若命题“x ∃∈R ，240x x m ++=”为假命题，则实数m 的取值范围是()4,+∞C.若,,a b c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”D.“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 12.下列说法正确的有（ ）A.若0x >，则3x x +的最小值为B.若2x >-，则162x x ++的最小值为6C.若0x >，则223x x x-+-的最小值为1-D.已知a ，b 都是正数，且2a b +=，则112a b+≥三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.不等式2230x x -++<的解集为________.14.若函数()()()2212f x m x m x =-+-+是偶函数，则()f x 的单调递增区间是________.15.若函数()()3,5,2,5,x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩则()2f 的值为________.16.已知λ∈R ，函数()24,,43,,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩若函数()f x 恰有2个零点，则实数λ的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）（1）设数轴上点A 与数3对应，点B 与数x 对应，已知线段AB 的中点到原点的距离不大于5，求x 的取值范围；（2）求方程组225,1x y y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩①②的解集.18.（12分）（1）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 19.（12分）已知()2211x f x x+=-， （1）求证：()f x 是偶函数； （2）若命题“x R∀∈，()()()()21112023502350x kx f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥++++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭”是真命题，求实数k 的取值范围.20.（12分）已知定义在[]0,6上的函数()f x 的图像经过原点，在[]0,3上为一次函数，在[]3,6上为二次函数，且[]3,6x ∈时，()()53f x f ≤=，()62f =， （1）求()f x 的解析式； （2）求关于x 的方程()12f x =-的解集. 21.（12分）某旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过()40100m m <≤人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准.设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元. （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求m 的取值范围. 22.（12分） 已知函数()11f x x x =++，()()520g x ax a a =+->. （1）判断函数()f x 在[]0,1上的单调性，并加以证明；（2）若对任意[]0,1m ∈，总存在[]00,1m ∈，使得()()0g m f m =成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题 ACDABCCD 二、多选题9.BD 10.ACD 11.ABD 12.ABD 三、填空题 13.()3,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭14.(],0-∞15.3 16.(]()1,34,+∞四、解答题17.解：（1）因为AB 的中点对应的数为32x +，所以由题意可知352x+≤， 解得137x -≤≤，所以x 的取值范围是[]13,7-；…………………………5分 （2）将②代入①，整理得220x x +-=，解得1x =或2x =-. 利用②可知，1x =时，2y =；2x =-时，1y =-.所以原方程组的解为()(){}1,2,2,1--.………………………………10分18.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为m x 、m y ，篱笆的长度为()2m x y +.（1）由已知得100xy =，由2x y+≥可得20x y +≥=，所以()240x y +≥， 当且仅当10x y ==时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10m 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m ； （2）由已知得()236x y +=，则18x y +=，矩形菜园的面积为2m xy .18922x y +≤==，可得81xy ≤， 当且仅当9x y ==时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是281m .………………12分19.（1）证明：易知1x ≠±，因为()()()()22221111x x f x f x x x +-+-===---， 所以()f x 是偶函数；…………………………4分 （2）解：由函数解析式可得()222222111111111x x x f f x x x x x ⎛⎫+ ⎪++⎛⎫⎝⎭===-=- ⎪--⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()10f f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，而()01f =，所以221x kx ++≥恒成立，即210x kx ++≥恒成立， 只需240k ∆=-≤，解得22k -≤≤，所以k 的取值范围是[]2,2-.………………………………12分 20.解：（1）当[]3,6x ∈时，∵()()53f x f ≤=，∴设()()()2530f x a x a =-+≠. 又()62f =，∴()()266532f a =-+=，解得1a =-. ∴()()253f x x =--+，[]3,6x ∈. ∴()()233531f =--+=-.故[]0,3x ∈和[]3,6x ∈时，()f x 的图象均过点()3,1-. ∵当[]0,3x ∈时，()f x 为一次函数， ∴设()()0f x kx b k =+≠.∵()f x 的图像过原点，∴()00f =， ∴0b =，即()()0f x kx k =≠. 将点()3,1-代入，得13k -=，即k =-. 故()f x x =-，[]0,3x ∈.因此，()f x =………………………………6分. （2）当03x ≤≤时，1132x -=-， 解得32x =； 当36x <≤时，()21532x --+=-， 即2431002x x -+=解得x =又因为36<<6>所以x =，综上所述，x 的取值为32或102.…………………………12分21.解：（1）当040x <≤时，100y x =；当40x m <≤时，()210040140y x x x x =--=-+⎡⎤⎣⎦；当x m >时，()140y m x =-，所以()2100,040,140,40,140,.x x y x x x m m x x m <≤⎧⎪=-+<≤⎨⎪->⎩（2）因为当040x <≤时，100y x =，y 随x 的增大而增大，当x m >时，因为40100m <≤，所以1400m ->.所以()140y m x =-，y 随x 的增大而增大，当40x m <≤时，()()2210040140704900y x x x x x =--=-+=--+⎡⎤⎣⎦， 所以当4070x <≤时，y 随x 增大而增大，当70x >时，y 随x 增大而减小，因为x m ≤， 所以，当4070m <≤时，景点收取的总费用随着团队中人数的增加而增加.…………12分 22.解：（1）函数()f x 在[]0,1上单调递增. 证明如下：设1201x x ≤≤≤，则()()12f x f x -12121111x x x x =+--++ ()()()21121211x x x x x x -=-+++()()()()1212121211x x x x x x x x -++=++，因为120x x -<，()()12110x x ++>，12120x x x x ++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在[]0,1上单调递增.………………………………4分 （2）由（1）知，当[]0,1m ∈时，()31,2f m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.因为0a >，()52g x ax a =+-在[]0,1上单调递增，所以[]00,1m ∈时，()[]052,5g m a a ∈--，依题意，只需[]31,52,52a a ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，所以521,35,2a a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩解得722a ≤≤， 即实数a 的取值范围为72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………………………12分。
河南省部分名校2022-2023学年上学期高一第一次阶段测试卷数学试题(含答案)
2022—2023学年第一学期第一次阶段测试卷高一数学考试说明：1.本试卷共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填在答题卡上。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组对象不能构成集合的是（ ） A.1~10之间的所有奇数 B.北方学院2022级大学一年级学生 C.滑雪速度较快的人D.直线21y x =+上的所有的点2.集合{},,M a b c =的真子集的个数为（ ） A.5B.6C.7D.83.设a ，b R ∈，则“7a b +>”是“3a >且4b >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件4.已知3x ≠且2y ≠-，2264M x y x y =+-+，13N =-，则M 与N 的大小关系是（ ） A.M N > B.M N <C.M N =D.不能确定5.若113A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，112B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A.403x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B.403x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C.{}02x x <≤D.223x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭6.若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ） A.若a b >，则22ac bc > B.若0a b >>，则11a b a b+>+ C.若0a b <<，则22a ab b >>D.若0a b <<，则22a b <7.已知全集为U ，集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}4B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.{}3B.{}2C.{}1,2D.{}1,2,38.已知0x >，0y >，且满足66x y +=，则xy 有（ ）A.最大值32B.最小值32C.最大值1D.最小值1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年河南省实验中学十月月考高一数学试卷含答案解析
河南省实验中学2022-2023学年上期第一次月考高一数学试题时间:120分钟 满分:150分 命题人:贠慧萍 审题人:闫文芳 宋超一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}220A x x x =-≤，{}1,0,3B =-，则()R A B ⋂=（ ） A ．∅ B ．{}0,1 C ．{}1,3- D ．{}1,0,3-2．已知函数()282f x x x =+-，则函数()()3y f x f x =+-的定义域是（ ）A ．[-5，4]B ．[-2，7]C ．[-2，1]D ．[1，4]3．不等式3x －12－x≥1的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x ≤34 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥34 4．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥2x ＋1”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋15．已知12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，则32a b -的取值范围是（ ）A ．3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，16AB =，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP x =，APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数221111x x f x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A ．()()2211x f x x x =≠-+ B ．()()2211x f x x x =-≠-+ C ．()()211x f x x x =≠-+ D ．()()211x f x x x =-≠-+ 8.已知x >0，y >0，且2x ＋1＋1y ＝2，若x ＋2y >m 2－3m －1恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≤－1或m ≥4B ．m ≤－4或m ≥1C ．－1<m <4D ．－4<m <1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．有以下判断，其中是正确判断的有（ ）A ．()x f x x = 与 ()1010x g x x ≥⎧=⎨-<⎩，， 表示同一函数； B ．函数 ()22122f x x x =+++的最小值为 2 C ．函数 ()y f x =的图象与直线 1x =的交点最多有 1 个D ．若 ()1f x x x =--，则 112f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．下面命题正确的是（ ） A ．“3x >”是“5x >”的必要不充分条件B ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件C ．“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件D ．设,x y R ∈，则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的充分不必要条件11．函数()1,Q 0,Qx D x x ∈⎧=⎨∉⎩被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（ ） A ．函数()D x 的值域为[]0,1B ．若()01D x =，则()011D x +=C ．若()()120D x D x -=，则12x x -∈Q D ．x ∃∈R ，(1D x =12．已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ） A ．224a b -≤B ．214a b+≥ C ．若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c 的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知21,0()2,0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,求()1f f -=⎡⎤⎣⎦________. 14．已知正实数a 、b 满足131a b+=，则()()12a b ++的最小值是___________. 15．对于[]1,1a ∈-，()2210x a x a +-+->恒成立的x 取值________.16．若函数2()2f x x x =+，()2(0)g x ax a =+>，对于1x ∀∈[]1,2-，[]21,2x ∃∈-，使12()()g x f x =，则a 的取值范围是_____________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }．(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）（1）已知a ＜b ＜c ，且a +b +c =0，证明：a a a c b c--＜．（2(3)a ≥19. （12分）已知二次函数22y ax bx a =+-+.（1）若关于x 的不等式220ax bx a +-+>的解集是{}|13x x -<<.求实数,a b 的值；（2）若2,0b a =>，解关于x 的不等式220ax bx a +-+>.20．（12分）(1) 求函数()3f x x 在区间[]2,4上的值域.(2)已知二次函数2()1()f x x mx m m R =-+-∈.函数在区间[]1,1-上的最小值记为()g m ，求()g m 的值域；21．（12分）今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100+1000,040()100007018450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部．手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求2021年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）； （2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22.（12分）已知11()2()82,0,11f x f x x x x x+=+-≠≠-， （1）求()f x 的解析式；（2）已知2()g x mx mx =-，2()()22g x x f x m -+＜-在(1,3)上有解，求m 的取值范围。
2022-2023学年河南省商丘市夏邑县高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省商丘市夏邑县高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知{}2A x x =<，下列正确的结论是（ ） A ．{}1A -⊆ B ．1A C ．1A -⊆ D ．A ∅∈【答案】A【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】解：因为{}2A x x =<， 所以{}1A -⊆，{}1A ⊆，A ∅⊆， 故A 正确，BCD 错误. 故选：A.2．函数()12f x x -的定义城为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．()(),22,-∞+∞C ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．()2,+∞【答案】C【分析】根据被开方数非负和分母不等于零，列出不等式组即可求解.【详解】要使函数有意义，则21020x x -≥⎧⎨-≠⎩ 解得12x ≥且2x ≠， 所以定义域为()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C ．3．已知函数()235f x x -=-，且()32f t =，则t =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【分析】由23t x =-得1322x t =+，从而求得()f t 的解析式，进而得解. 【详解】令23t x =-，则1322x t =+，所以由()235f x x -=-，可得()131752222f t t t =+-=-，所以由()32f t =，可得173222t -=，解得10t =，故10t =. 故选：C.4．已知命题:R p x ∀∈，2360ax x --≤为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．38a a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭B ．38a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭C ．38a a ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭D ．308a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】由题可知2360ax x --≤恒成立，根据二次函数的性质即得. 【详解】由题可知2360ax x --≤恒成立， 当0a =时，360x --≤不合题意， 当0a ≠时，则()2Δ3460a a <⎧⎪⎨=-+⨯≤⎪⎩， 解得38a ≤-.故选：B.5．已知集合(][),13,A ∞∞=--⋃+，{}121B x a x a =-<<+，若A B B =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),14,-∞-⋃+∞B ．(][)2,14,∞--⋃+C ．(]2,1-D ．(][),14,-∞-⋃+∞【答案】D【分析】由题可得B A ⊆，然后分B =∅，B ≠∅讨论即得. 【详解】因为A B B =， 所以B A ⊆，当B =∅时，121a a -≥+，即2a ≤-，满足题意；当B ≠∅时，则121211a a a -<+⎧⎨+≤-⎩或12113a a a -<+⎧⎨-≥⎩，解得21a -<≤-或4a ≥，综上，实数a 的取值范围为(][),14,-∞-⋃+∞. 故选：D.6．设{}32,Z A x x n n ==-∈，{}65,Z B x x n n ==-∈，{}125,Z C x x n n ==-∈，则这三个集合间的关系是（ ） A ．A B C ⊆⊆ B ．A C B ⊆⊆C ．C B A ⊆⊆D ．C A B ⊆⊆【答案】C【分析】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答. 【详解】依题意，(){|32,Z}{|315,Z}A x x n n x x n n ==-∈==+-∈，(){|65,Z}{|325,Z}B x x n n x x n n ==-∈==⨯-∈， (){|125,Z}{|625,Z}C x x n n x x n n ==-∈==⨯-∈，而{|1,Z}Z x x n n =+∈=，{偶数}{|2,Z}x x k k ==∈， 因此集合C 中的任意元素都是集合B 中的元素，即有C B ⊆， 集合B 中的每一个元素都是集合A 中的元素，即B A ⊆， 所以C B A ⊆⊆. 故选：C.7．已知实数x ，y 满足321x y -≤+≤，134x y ≤-≤，则x y +的取值范围是（ ）A ．16172x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．16377x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．317x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】用2,3x y x y +-表示出x y +，然后利用不等式性质即得． 【详解】由题可得()()(2)(3)23m x y n x y x x n m n y y m =++-=++-+， 则2131m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得4717m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以417(2)(3)7x y x x y y =+--+，又321x y -≤+≤，134x y ≤-≤， 所以(2)1244777x y -+≤≤，4117377()x y --≤--≤， ∴16377x y +-≤≤. 故选：B ．8．已知()f x 是R 上的偶函数，且()()11f x f x -+=--，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当[]12,1,0x x ∈-，且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，则当312x -≤≤时，不等式()30x f x >的解集为（ ）A ．311,,1222⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．11,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C ．311,,1222⎡⎫⎛⎤--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．11,0,122⎛⎫⎛⎤- ⎪⎥⎝⎭⎝⎦【答案】D【分析】利用单调性的定义判断得()f x 在[]1,0-上单调递减，由偶函数的性质得到()f x 关于y 轴对称，由()()11f x f x -+=--得到()f x 关于=1x -对称，再由102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求得31022f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而列出x 与()f x 在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的正负情况，由此得到()30x f x >的解集.【详解】因为当[]12,1,0x x ∈-，且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，不妨设12x x <，则120x x -<，故()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以()f x 在[]1,0-上单调递减，又因为()f x 是R 上的偶函数，所以()f x 关于y 轴对称，故()f x 在[]0,1上单调递增， 因为102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以11022f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为()()11f x f x -+=--，所以()f x 关于=1x -对称，故()f x 在[]2,1--上单调递增，即()f x 在3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，且31022f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3x 与()f x 在3,12⎡⎤-⎢⎥上的单调与正负情况如下：11⎛⎫⎛⎤故选：D.二、多选题9．下列条件中，使“20x ->”成立的充分条件的是（ ） A ．()0,∞+ B ．()1,-+∞ C ．()3,+∞ D ．()4,+∞【答案】CD【分析】根据充分必要条件的定义对选项逐一分析即可.【详解】假设使“20x ->”成立的充分条件的是p ，则20p x ⇒->，即求能推得20x ->成立的条件，对于A ，令()10,x ∞=∈+，则21210x -=-=-<，故A 错误； 对于B ，令()11,x ∞=∈-+，则21210x -=-=-<，故B 错误； 对于C ，因为()3,x ∈+∞，即3x >，故210x ->>，故C 正确； 对于D ，因为()4,x ∞∈+，即>4x ，故220x ->>，故D 正确； 故选：CD.10．若a ，b ，c ，d ∈R ，那么下列说法正确的是（ ） A ．若0a b >>，0c d >>，则ac bd > B ．若b a <，则11a b <C ．2211a b <，则a b > D ．若0b a >>，则a m ab m b+>+ 【答案】AC【分析】利用不等式的三个基本性质以及取特值，逐个选项进行判断即可得到答案. 【详解】对于A ， 0a b >>，0c d >>ac bd ⇒>，故A 正确； 对于B ，取1,2b a =-=110b a⇒<<，故B 错误； 对于C ，2211a b<22a b ⇒>a b ⇒>，故C 正确； 对于D ，取3,2,1b a m ===-，则322a m ab m b+=<=+，故D 错误. 故选：AC11．已知函数()221,223,2x x f x x x x +≥⎧=⎨+-<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（ ）[C ．()()412f f -=D ．满足()240f x -=成立的x 的值有4个【答案】BD【分析】根据函数的解析式可得函数的图象，结合图象及条件逐项分析即得. 【详解】由题可得函数的图象，由图象可得函数()f x 的单调递增区间是[)1,-+∞，故A 错误； 函数()f x 的值域为[)4,-+∞，故B 正确；由题可得()()2442435f -=--⨯-=，()()()4525111f f f -==⨯+=，故C 错误；由()240f x -=，可得()2f x =或()2f x =-，则函数()y f x =的图象与2y =±的交点的横坐标即为方程的根，结合函数的图象可得满足()240f x -=成立的x 的值有4个，故D 正确.故选；BD.12．设1A 和2A 是满足以下三个条件的有理数集Q 的两个子集： （1）1A 和2A 都不是空集； （2）12A A Q ⋃=；（3）若11a A ∈，22a A ∈，则12a a <，我们称序对()12,A A 为一个分割． 下列选项中，正确的是（ ）A ．若{}13A x Q x =∈<，{}25A x Q x =∈≥，则序对()12,A A 是一个分割B ．若{10A x Q x =∈<或}23x ≤，{20A x Q x =∈>且}23x >，则序对()12,A A 是一个分割C ．若序对()12,A A 为一个分割，则1A 必有一个最大元素，2A 必有一个最小元素D ．若序对()12,A A 为一个分割，则可以是1A 没有最大元素，2A 有一个最小元素 【答案】BD【分析】对于A ，由于12A A Q ⋃≠，故可判断其错误； 对于B ，分别化简集合12,A A ，根据分割的定义判断即可； 对于C ，利用选项B 中的例子即可判断其正误； 对于D ，举出一个特殊例子即可判断其正误.【详解】对于A ，因为{}13A x Q x =∈<，{}25A x Q x =∈≥， 所以{123A A x Q x ⋃=∈<或}5x ≥，显然12A A Q ⋃≠，故A 说法错误；对于B ，因为{10A x Q x =∈<或}23x ≤{x Q x =∈≤，{20A x Q x =∈>且}23x >{x Q x =∈>，所以1A 和2A 都不是空集，12A A Q ⋃=，若11a A ∈，22a A ∈，则12a a >12a a <， 所以序对()12,A A 是一个分割，故B 说法正确；对于C ，由选项B 中的例子可知，2A 没有最小元素，但()12,A A 是一个分割，故C 说法错误； 对于D ，令{}11A x Q x =∈<，{}21A x Q x =∈≥，显然()12,A A 是一个分割，而且1A 没有最大元素，2A 有一个最小元素1，故D 说法正确.故选：BD.三、填空题13．不等式3102x x +≤- 的解集是__________． 【答案】1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】分式不等式可转化为整式不等式求解，但要注意分母不为零.【详解】不等式3102x x +≤-等价于()()312020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩ ，解得123x -≤<. 故解集为：1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭14．已知函数()f x 由下表给出，若()()()()03134f x f f f =---⋅-，则0x =__________．【答案】2-【分析】根据表格可算出()0f x ，再对照表格即得.【详解】由题可知()03(1)(3)(4)33521f x f f f =---⋅-=⨯-⨯=-， 所以02x =-. 故答案为：2-.15．对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如[]1.51=，532⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，若函数()221xf x x =+，(){}A y y f x ⎡⎤==⎣⎦．则集合A 的真子集的个数为__________． 【答案】7【分析】按0x =，0x >，0x <三类讨论，分别求函数()y f x =的取值范围，从而求函数的值域，再求函数[()]y f x =的值域即可，从而求出集合A 的真子集个数． 【详解】解：①当0x =时，(0)0f =， ②当0x >时，222()111x f x x x x==≤++（当且仅当1x =时，等号成立）， 故0()1f x <≤， ③当0x <时，2222()1111x f x x x x x x-===≥-++-+-（当且仅当=1x -时，等号成立）， 故1()0f x -≤<，故(){}{}1,0,1A y y f x ⎡⎤===-⎣⎦，所以集合A 的真子集有3217-=个.故答案为：7 16．已知函数()241x af x x -=+，x ∈R ．设1x ，2x ∈R ，正实数m 满足()()12f x f x m ⋅=-，则实数m 的最大值为__________． 【答案】4【分析】利用换元法以及对勾函数的最值，求得()f x 的最大值和最小值，结合题意，即可求得m 的最大值.【详解】令4x a t -=，则2216216ty t at a =+++，当0t =时，0y =；当0t ≠时，216162y a t at =+++， 根据对勾函数的性质可得：()max 0f x =>，()min 0f x =<， 则()()max min 64416f x f x ⋅=-=-， 根据题意可得：4m -≥-，解得4m ≤. 故答案为：4.四、解答题17．已知全集(),U =-∞+∞，{}15A x x =<<，{}13B x m x m =<<-． (1)若1m =-，求()U B A ⋃；(2)若A B A =，求实数m 的取值范围． 【答案】(1){4x x <或}5x ≥. (2)4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）代入1m =-化简集合B ，再利用集合的交并补混合运算即可得到结果； （2）由A B A =得A B ⊆，利用数轴法即可得解.【详解】（1）因为1m =-，所以{}{}1314B x m x m x x =<<-=-<<， 因为(),U =-∞+∞，{}15A x x =<<，所以{1UA x x =≤或}5x ≥，故(){4U B A x x ⋃=<或}5x ≥. （2）因为A B A =，所以A B ⊆，所以1135m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得143m m ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩，故43m ≤-，所以实数m 的取值范围为4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.18．(1)已知,a b 是正数，且280a b +-=，求ab 的最大值； (2)已知,a b 是正数，且223ab a b =+，求32a b +的最小值． 【答案】(1)8 (2)252【分析】利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用，结合条件即可得解. 【详解】（1）因为280a b +-=，所以28a b +=，因为0,0a b >>，所以28a b +=4，故216ab ≤，所以8ab ≤， 当且仅当2a b =且280a b +-=，即24a b 时，等号成立， 所以ab 的最大值为8.（2）因为223ab a b =+，所以1312b a+=， 又因为0,0a b >>，所以()133391325323222222a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当33=a b b a 且223ab a b =+，即52a b ==，等号成立， 所以32a b +的最小值为252. 19．到2022年，我国汽车出口产业保持高速增长态势．据海关总署数据，今年1～8月我国汽车出口量191万辆，超越了德国的汽车出口量，仅次于日本，位列全球第二．2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产x （百辆）需另投入成本y （万元），且220200,04550008025800,45x x x y x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩．由市场调研知，每辆车售价8万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．(1)求出2022年的利润S （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）【答案】(1)2206004000,0455********,45x x x S x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩； (2)2022年产量为50百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1600（万元）.【分析】（1）根据题意，结合已知条件，直接写出即可；（2）根据（1）中所求函数关系式，结合二次函数和基本不等式求其最大值即可.【详解】（1）根据题意，年产量x （百辆）时，销售额为800x （万元），故()2800202004000,045500080080258004000,45x x x x S x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+--≥⎪ ⎪⎝⎭⎩， 整理得：2206004000,0455********,45x x x S x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩. （2）当045x <<时，()()2206004000201020S x x x x =-+-=---， 其在()0,15上单调递增，在()15,45上单调递减，故当15x =时，S 取得最大值为500（万元）；当45x ≥时，50002180018001600S x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当50002x x=，即50x =时，S 取得最大值为1600（万元）； 综上所述，2022年产量为50百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1600（万元）.20．函数()()2433f x x a x a =-+++．(1)若不等式()0f x ≥对于实数[]1,1a ∈-恒成立，求实数x 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()0f x ≥，()a ∈R ．【答案】(1)(][),03,∞∞-⋃+(2)答案见解析【分析】（1）将()0f x ≥看作是关于a 的一次函数()g a ，利用()g a 的单调性得到关于x 的二次不等式组，解之即可得到x 的取值范围；（2）先利用因式分解求得()0f x =的根，再分类讨论2a <、2a =与2a >三种情况，结合二次不等式的解法即可得到结果.【详解】（1）依题意，由()0f x ≥得()24330x a x a -+++≥，令()()()22433343g a x a x a x a x x =-+++=-+-+，即()0g a ≥在[]1,1-上恒成立，因为()g a 是一条直线，a 的系数为()3-x ，故()g a 在[]1,1-上可能为增函数，也可能为减函数，也可能为常数函数但不管()g a 的单调性如何，只要()()1010g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，即可保证()0g a ≥， 则()()2234303430x x x x x x ⎧--+-+≥⎪⎨-+-+≥⎪⎩， 解得0x ≤或3x ≥，即(][),03,x ∞∞∈-⋃+.（2）因为()()()()243331f x x a x a x x a ⎡⎤=-+++=--+⎣⎦，令()0f x =，得3x =或1x a =+，当13a +<，即2a <时，由()0f x ≥可得，1x a ≤+或3x ≥，故()0f x ≥的解集为{1x x a ≤+或}3x ≥；当13a +=，即2a =时，由()0f x ≥可得()230x -≥，故x ∈R ，故()0f x ≥的解集为R ；当13a +>，即2a >时，由()0f x ≥可得，3x ≤或1x a ≥+，故()0f x ≥的解集为{3x x ≤或}1x a ≥+；综上：当2a <时，()0f x ≥的解集为{1x x a ≤+或}3x ≥；当2a =时，()0f x ≥的解集为R ；当2a >时，()0f x ≥的解集为{3x x ≤或}1x a ≥+.21．已知幂函数()()()22250n f x n n xn -=-->．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()2125g x mf x x =-+-，5,132x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为13-，若存在，求出实数m 的值．【答案】(1)())0f x x ≥(2)6-【分析】（1）利用幂函数的概念可求得n ，进而可求得()f x 的解析式；（2）结合（1）中结论，利用换元法得到()24h t t mt =+-，25t ≤≤，从而将问题转化为是否存在实数m 使得()min 13h t =-，利用二次函数轴动区间定分类讨论求得()min h t ，进而可算出m 并验证实数m 是否满足题意.【详解】（1）因为()()()22250n f x n n x n -=-->是幂函数，所以251n n --=，解得3n =或2n =-（舍去）所以())321220f x x x x -===≥. （2）假设存在实数m 使得()g x 的最小值为13-，即()min 13g x =-，由（1）得()()212525g x mf x x x =-+-=-，令t =则因为5132x ≤≤，所以42125x ≤-≤，则25≤，即25t ≤≤，此时221x t =+，所以()25g x x =-可化为()22154h t mt t t mt =++-=+-，此时()()min min g x h t =，即()min 13h t =-，则()h t 开口向上，对称轴为2m x =-， 当22m -≤，即4m ≥-时，()h t 在[]2,5上单调递增，故()()min 22h t h m ==， 所以由()min 13h x =-得213m =-，即1342m =-<-，不满足题意，舍去； 当252m <-<，即104m -<<-时，易知()2min 424m m h t h ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 由24134m --=-得6m =-或6m =（舍去），故6m =-； 当52m -≥，即10m ≤-时，()h t 在[]2,5上单调递减，故()()min 5521h t h m ==+， 由52113m +=-得34105m =->-，不满足题意，舍去； 综上：存在6m =-使得()g x 的最小值为13-，故6m =-.22．已知函数()31x f x x x =++． (1)判断函数()f x 的单调性并证明；(2)若关于m 的不等式()()26320f m f m mt --+-++≤在[][]3,13,6m ∈--⋃恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】(1)增函数，证明见解析(2)161,9⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先利用作差法判断函数在[)0,∞+上单调性，再证明函数是奇函数，从而可得出结论； （2）由（1）可得不等式等价于2632m m mt --≤--在[][]3,13,6m ∈--⋃恒成立，分[]3,1m ∈--和[]3,6m ∈两种情况将t 分离出来，再结合基本不等式即可得出答案.【详解】（1）解：函数()f x 在R 上是增函数，理由：函数()f x 的定义域为R ，当0x ≥时，()31x f x x x =++ 令120x x ≤<，则()()212121213311x x f x f x x x x x -=+--++ ()()()()()2112212111311x x x x x x x x +-+=-+++ ()()()212121311x x x x x x -=-+++()()()21211311x x x x ⎡⎤=-+⎢⎥++⎣⎦， 因为120x x ≤<，所以()()212110,3011x x x x ->+>++，所以()()21f x f x >，所以函数()f x 在[)0,∞+上递增，因为()()31x f x x f x x -=--=-+， 所以函数()f x 是奇函数，由函数()f x 在R 上连续，所以函数()f x 在R 上是增函数；（2）解：由（1）可得，不等式()()26320f m f m mt --+-++≤，等价于()()2632f m f m mt ---≤-， 因为函数()f x 在R 上是增函数，所以2632m m mt --≤--在[][]3,13,6m ∈--⋃恒成立，即234mt m m ≤++在[][]3,13,6m ∈--⋃恒成立，当[]3,1m ∈--时，不等式等价于431t m m≥++， 因为[]3,1m ∈--， 则441113m m m m ⎛⎫++=--++≤-=- ⎪-⎝⎭， 当且仅当4m m-=-，即2m =-时，取等号， 所以max 413m m ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭， 所以33t ≥-，所以1t ≥-， 当[]3,6m ∈时，不等式等价于431t m m ≤++， 令()[]41,3,6h m m m m=++∈， 任取1236m m ≤<≤，则()()21212144h m h m m m m m -=+-- ()()()()21212121121244m m m m m m m m m m m m ---=--=，因为1236m m ≤<≤，所以21210,40m m m m ->->，所以()()21h m h m >，所以函数()h m 在[]3,6上递增，所以()()min 1633h m h ==， 所以1633t ≤，即169t ≤， 综上实数t 的取值范围161,9⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了利用定义法证明函数的单调性，考查了利用函数的单调性和奇偶性解决函数不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想.。
2022-2023学年河南省郑州市实验高级中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省郑州市实验高级中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}|11A x x =-<<，{}02B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．(12]-，B ．(12)-，C ．[01)，D ．[01]，【答案】C【分析】由交集的定义计算．【详解】由已知{|01}[0,1)A B x x =≤<=． 故选：C ．2．函数1()lg(2)3f x x x =-+-的定义域是（ ） A ．(2)+∞，B ．(23)，C ．(3)+∞，D ．(23)(3)+∞，， 【答案】D【分析】由题可得2030x x ->⎧⎨-≠⎩，即得.【详解】∵1()lg(2)3f x x x =-+-， ∴2030x x ->⎧⎨-≠⎩，解得2x >，且3x ≠， 所以函数的定义域为(2,3)(3,)+∞. 故选：D.3．已知ln3a =，0.43-=b ，0.53c -=，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a c b >> D ．c b a >>【答案】A【分析】根据对数的单调性，指数函数的单调性，求解即可. 【详解】因为ln3lne 1a =>=，0.50.4331c b --=<=<， 所以a b c >>． 故选：A4．用二分法求函数32()22f x x x x =+--的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f （1）＝–2，f （1.5）＝0.625，f （1.25）≈–0.984，f （1.375）≈–0.260，关于下一步的说法正确的是A ．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.4375）D ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.3125） 【答案】C【分析】根据已知能的特殊函数值，可以确定方程32220x x x +--=的根分布区间，然后根据精确要求选出正确答案.【详解】由由二分法知，方程32220x x x +--=的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.4375）．故选C ．【点睛】本题考查了二分法的应用，掌握二分法的步骤是解题的关键.5．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）A ．21600cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm【答案】D【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为1r ，2r ，相同的圆心角为θ，则1216080r r θ==，得122r r =，又因为1240r r -=，所以180r =，240r =，该扇形玉雕壁画面积1211111608016080804048002222S r r =⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯=（2cm ）．故选：D ．6．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，点(1,3)P - 在角α的终边上，则sin cos 2sin 3cos αααα-=- （ ）A ．34-B ．34C ．49-D ．49【答案】D【分析】先根据三角函数的定义求出tan α ，然后采用弦化切，代入tan α 计算即可 【详解】因为点(1,3)P - 在角α的终边上，所以tan 3α=- sin cos tan 13142sin 3cos 2tan 32(3)39αααααα----===--⨯--故选：D7．下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（ ）A ．最小正周期为πB ．图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增D ．图像关于直线12x π=-成轴对称【答案】B【分析】根据函数tan(2)tan(2)33y x x ππ=-+=--，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．【详解】解：函数tan(2)tan(2)33y x x ππ=-+=--，当512x π=时，521232πππ⨯-=，所以图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，选项B 正确； 函数的最小正周期为2T π=，所以A 错误；当,312x ππ⎛-∈⎫-⎪⎝⎭时，2,32x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以函数在,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以C 错误； 正切函数不是轴对称函数，所以D 错误． 故选：B ．8．下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B ．“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则1k =D ．对于命题p ：.存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则⌝p ：任意x R ∈，均有210x x ++≥【答案】C【分析】A.利用复合函数的单调性判断；B.利用充分条件和必要条件的定义判断；C.由方程2440kx x ++=有一根判断；D.由命题p 的否定为全称量词命题判断.【详解】A.令223t x x =-++，由2230x x -++>，解得13x -<<，由二次函数的性质知：t 在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又lg y t =在()0,∞+上递增，由复合函数的单调性知：()2lg(23)f x x x =-++在(1,1)-上递增，故正确；B. 当1x =时，2x -4x +3=0成立，故充分，当2x -4x +3=0成立时，解得1x =或3x =，故不必要，故正确；C.若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程2440kx x ++=有一根，当0k =时，=1x -，当0k ≠时，16160k ∆=-=，解得1k =，所以0k =或1k =，故错误；D.因为命题p ：.存在0x R ∈，使得20010x x ++<是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即⌝p任意x R ∈，均有210x x ++≥，故正确； 故选：C二、多选题9．下列化简结果正确的是（ ） A ．1cos 22sin 52sin 22cos522︒︒-︒︒= B ．1sin15sin 30sin 754︒︒︒=C ．cos15sin15︒-︒=D ．tan 24tan 361tan 24tan 36︒+︒=-︒︒【答案】ACD【分析】由正弦、余弦、正切函数的和差角公式逐一判断可得选项.【详解】解：对于A ，()1cos 22sin 52sin 22cos52sin 5222sin 302︒︒-︒︒=-==，故A 正确；对于B ，11111sin15sin 30sin 75cos15sin15sin 30sin 30sin 3022228︒︒︒=︒︒︒=⋅=⨯⨯=，故B 不正确；对于C ，()2cos15sin1545152sin 302︒-︒=-==，故C 正确；对于D ，()tan 24tan 36tan 24+36tan 601tan 24tan 36︒+︒=︒︒=︒=-︒︒D 正确，故选：ACD.10．下列四个命题正确的有（ ）A ．已知π3cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭值为35B ．若22a x a y ≥，则x y ≥C ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 D ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π 【答案】ACD【分析】利用诱导公式可以判断A ；利用特值法可以判断B ；对C 先判断α的象限，再判断2α的象限；对D ，作出函数的图象，再由图象进行判断．【详解】A.因为π3cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5ππππsin sin cos 3π3co 26s 66αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎝⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎝=⎪⎭⎭⎭，故选项A 正确；B ．当0a =，1,2x y ==时，满足22a x a y ≥，但不能得到x y ≥，故选项B 错误；C ．2sin sin tan 0cos αααα⋅=>且cos tan sin 0ααα⋅=<，∴cos 0,sin 0αα><，α为第四象限角，所以32ππ2π2π,Z 2k k k α+<<+∈,所以3ππππ,Z 42k k k α+<<+∈，∴2α为第二或第四象限角，故选项C 正确； D ．作出1|cos |2y x =+的图象如图所示，由图象可得此函数为周期函数且最小正周期为2π，故选项D 正确；故选：ACD11．下列说法正确的有（ ） A ．若12x <，则1221x x +-的最大值是1- B ．若x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，则411x y z+++的最小值是3 C ．若0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是2D ．()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，()10f =，则不等式()0f x x>的解集为()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】AB【分析】对于A ，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B ，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C ，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D ，根据题意可得函数在(),0∞-上单调递减，从而可得不等式()0f x x>等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩，从而可得出答案 【详解】对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->，所以()1122112121x x x x +=-++=---()112121112x x ⎡⎤-++-=-⎢⎥-⎣⎦≤， 当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，故1221x x +-的最大值为1-，故A 正确； 对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=， 所以13x y z +++=，10x +>，0y z +>， 所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，所以()4411115531313y z x x y z x y z ⎡+⎡⎤++=++≥+=⎢⎢⎥++++⎢⎣⎦⎣， 当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+，即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立， 所以411x y z+++的最小值为3，故B 正确； 对于C ，因为0x >，0y >，所以2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立）， 因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥，解得28x y +≤-（舍去）或24x y +≥， 当且仅当22x y ==时等号成立，所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，因为函数()f x 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，所以函数在(),0∞-上单调递减， 又因(1)0f =，所以(1)0f -=，不等式()0f x x>等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩， 即()()01x f x f >⎧⎨>⎩或()()01x f x f <⎧⎨<-⎩，所以10x -<<或1x >，即不等式()0xf x >的解集为()(1,01,)-⋃+∞，故D 错误 故选：AB12．定义运算：a b ad bc c d=-，将函数()cos sin x f x xωω=的图像向左平移23π个单位，所得图像关于原点对称，若01ω<<，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为4πB ．对任意的x R ∈，都有()23f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 在()0,π上是增函数D ．由2sin y x ω=的图像向右平移3π个单位长度可以得到()f x 图像 【答案】AC【分析】依题意得()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据奇函数可得12ω=，可判断A ；判断3x π=是否为对称轴可判断B ；当()0,x π∈时，有13236x πππ-<-<，可判断C ；根据平移性质可判断D ．【详解】依题意得()cos sin 2sin 3sin xf x x x x x ωπωωωω⎛⎫===- ⎪⎝⎭，()f x 图像向左平移23π个单位得22sin 33y x ππω⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数 所以2,33k k Z πωππ-=∈，又01ω<<，得12ω=故()12sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其最小正周期为4π，A 正确；由于12sin 2sin 132336f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3x π=不是对称轴，故B 错；当()0,x π∈时，有13236x πππ-<-<，由于sin y x =在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在()0,π上是增函数，故C 正确；由2sin y x ω=的图像向右平移3π个单位长度可以得到()12sin 23y x f x π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故D 错；故选：AC三、填空题13．幂函数()()222mm m f x x =+-在区间()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为______．【答案】3-【分析】利用幂函数的定义，幂函数的单调性列式计算作答.【详解】因函数()()222mm m f x x =+-是幂函数，则2221m m +-=，解得m =1或m =-3，又函数()f x 在()0,∞+上单调递减，则0m <， 所以实数m 的值为-3. 故答案为：-314．已知sin α＋cos α＝713，α∈(－π，0)，则tan α＝________. 【答案】512-. 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sin α和cos α的值，可得tan α的值.【详解】因为sin α＋cos α＝713，① 所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49169， 即2sin αcos α＝120169-. 因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0，所以sin α－cos α＝1713==-， 与sin α＋cos α＝713联立解得sin α＝－513，cos α＝1213， 所以tan α＝sin 5cos 12αα=-. 故答案为：512-. 【点睛】该题考查的是有关三角函数恒等变换化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，在解题的过程中，注意sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα++⋅这三个式子是知一求二，属于简单题目.15．已知函数π()cos ln(4f x x x =+⋅在区间[]2022,2022-上的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +=____________．【答案】π4【分析】令()2()cos ln 1g x x x x =⋅++，则()()π4f xg x =+，()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，()g x 时奇函数，可得()g x 在max min ()()0g x g x +=，据此可求M ＋m ，从而求出()f M m +.【详解】令()2()cos ln 1g x x x x =⋅++，则()()π4f xg x =+， ∴()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，∴设()g x 在[]2022,2022-上有最大值max ()g x ，有最小值min ()g x .∵()()2cos ln 1g x x x x -⋅-++＝，∴()()()()22cos ln 110g x g x x x x x x ⎡⎤+-=⋅+++-=⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在[]2022,2022-上为奇函数，∴max min ()()0g x g x +=， ∴max min ππ(),()44M g x m g x =+=+，∴π2M m +=，()ππ24f M m f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故答案为：π416．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()()sin 0πy A x B ωϕϕ=++<<，则下列说法正确的是________．①该函数的周期是16．②该函数图象的一条对称轴是直线14x =③该函数的解析式是()π3π10sin 2002484y x x ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭④这一天的函数关系式也适用于第二天 【答案】①②【分析】根据图象确定函数的最小正周期及14x =时，函数取得最大值，判断①②正确；由于2ππ8T ω==，故可取π8ω=-，从而该函数的解析式不一定是()π3π10sin 2002484y x x ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭，③错误；这一天的函数关系式只适用于当天，④错误.【详解】由图象可得：函数最小正周期()146216T =-⨯=，①正确； 故2ππ8T ω==， 不妨令A >0，且3010A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：1020A B =⎧⎨=⎩，由图象可得：当14x =时，函数取得最大值，故该函数图象的一条对称轴是直线14x =，②正确；不妨取π8ω=-，则π10sin 208y x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 将()6,10代入得：3π10sin 20104ϕ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，解得：π4ϕ=，故③错误；这一天的函数关系式只适用于当天，不一定适合第二天，④错误. 故答案为：①②四、解答题 17．化简求值：(1))12431818-⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)2log 32122log 1lg 25lg 4⎛⎫++-⋅ ⎪⎝⎭【答案】(1)5； (2)4.【分析】（1）利用指数幂的运算法则化简计算即得； （2）利用对数的运算性质化简计算即得. 【详解】（1）)()()1211204333443181=22218---⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭2415=+-=；（2）2log 321122log 1lg 25lg 30lg10031442⎛⎫++-⋅++⋅=+= ⎪⎝⎭. 18．已知全集U =R ，集合{}13A x x =<≤，集合{}21B x m x m =<<-．条件①U AB =∅；②x A∈是x B ∈的充分条件；③12,x A x B ∀∈∃∈，使得12x x =．(1)若1m =-，求A B ⋂； (2)若集合A ，B 满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m 的取值范围．【答案】(1){}12x x <＜(2)∞（-,-2）或{}|2m m -＜【分析】（1）可将1m =-带入集合B 中，得到集合B 的解集，即可求解出答案；（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合A 与集合B 之间的关系，即可完成求解.【详解】（1）当1m =-时，集合{}22B x x =-<<，集合{}13A x x =<≤，所以{}12A B x x ⋂=<＜；（2）i.当选择条件①时，集合{}21B x m x m =<<-，当B =∅时，U A B A =≠∅，舍；当集合B ≠∅时，即集合21m m -＜，13m ＜时，{}|21U B x x m x m =≤≥-或， 此时要满足U A B =∅，则2131m m ≤⎧⎨-⎩＜，解得m ＜-2， 结合13m ＜，所以实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜； ii.当选择条件②时，要满足x A ∈是x B ∈的充分条件，则需满足在集合B ≠∅时，集合A 是集合B 的子集，即2131m m ≤⎧⎨-⎩＜，解得m ＜-2， 所以实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜；iii.当选择条件③时，要使得12,x A x B ∀∈∃∈，使得12x x =，那么需满足在集合B ≠∅时，集合A 是集合B 的子集，即2131m m ≤⎧⎨-⎩＜，解得m ＜-2， 所以实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜；故，实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜.19．已知角α在第二象限，且4tan 3α=-． (1)求23112tan()sin 2sin(3)sin 2ππααπαπα⎡⎤⎢⎥⎛⎫--+⎢⎥ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值； (2)若cos()αβ-=αβ-为第一象限角，求sin β的值． 【答案】(1)145-【分析】（1）利用同角三角函数关系可求解得43sin ,cos 55αα==-，利用诱导公式化简原式可得原式2(sin cos )αα=--，代入即得解；（2）利用同角三角函数关系可得sin()αβ-=，又sin[(]sin )ααββ=--，利用两角差的正弦公式，即得解【详解】（1）因为4tan 3α=-，且α在第二象限， 故22sin 4cos 3sin cos 1sin 0cos 0αααααα⎧=-⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪<⎪⎩，所以43sin ,cos 55αα==-， 原式2112(tan )cos sin cos αααα⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos 2(sin cos )sin cos αααααααα-=-⋅=-- 145=- （2）由题意有sin()0αβ->故sin()αβ-==， sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---4355⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 20．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．(1)根据如图所示的直角坐标系，将点P 到水面的距离h （单位：m ，在水面下，h 为负数）表示为时间t （单位：s ）的函数，并求13t =时，点P 到水面的距离；(2)在点P 从0P 开始转动的一圈内，点P 到水面的距离不低于4m 的时间有多长？【答案】(1)()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2m (2)4s【分析】（1）根据题意先求出筒车转动的角速度，从而求出h 关于时间t 的函数，和13t =时的函数值；（2）先确定定义域[]0,12t ∈，再求解不等式，得到26t ≤≤，从而求出答案.【详解】（1）筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为52ππ606⨯=()rad /s ，故()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当13t =时，()13ππ134sin 2266h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故点P 到水面的距离为2m（2）点P 从0P 开始转动的一圈，所用时间012t =，令()ππ4sin 2466h t t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，其中[]0,12t ∈，解得：26t ≤≤，则624-=，故点P 到水面的距离不低于4m 的时间为4s.21．已知()π2sin cos 3cos 44f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求函数()f x 的单调递减区间：（2）若函数()()42sin 2g x f x k x =--在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）11|44k k ⎧-<≤⎨⎩或12k ⎫=-⎬⎭. 【解析】（1）化简()f x ，利用正弦函数的递减区间列式可解得结果；（2）转化为函数()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象与2y k =的图象有唯一交点，根据图象可得结果.【详解】（1）()2sin cos 23cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 223sin cos 244x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 223sin cos 44x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 23sin 22x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ sin 23cos 22sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 令3222232k x k πππππ+≤+≤+，Z k ∈，解得：71212k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈， ∴()f x 的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）知，函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()g x =2sin 242sin 23x k x π⎛⎫+-- ⎪⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点等价于132sin 2sin 2sin 2cos 2cos 23226k x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一实根， 设()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，依题意可知2y k =与()y h x =的图象有唯一交点， 函数()h x 在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象如图：由图可知实数k 应满足11222k -<≤或21k =-， ∴1144k -<≤或12k =-， 故实数k 的取值范围11|44k k ⎧-<≤⎨⎩或12k ⎫=-⎬⎭. 【点睛】关键点点睛：转化为函数()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象与2y k =的图象有唯一交点，根据图象求解是解题关键.22．已知函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数. (1)求实数k 的值;(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-;(3)设()()()2log 20x g x a a a =⋅+≠，若函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1-(2)()(),20,-∞-⋃+∞(3)()2,1【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断0x ≥时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；（3）由函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，可得1222x x xa a ⋅+=+有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.【详解】（1）函数的定义或为R ，函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数. ()()f x f x ∴-=，即 ()()22og 41lo l g 41x x kx kx -+-=++，()()22224142log 41log 41log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+， 1k ∴=-；（2）()()222411log 41log log 222x xx x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0x ≥时，21x ≥，122x xy =+单调递增， f x 在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，在(],0-∞上单调递减； ()()211f m f m +>-，211m m ∴+>-，解得2m <-或0m >，所以所求不等式的解集为 ()(),20,-∞-⋃+∞；（3）函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，()()()()22241log 2log 41log 2x x xx g x a a f x x ⎛⎫+∴=⋅+==+-= ⎪⎝⎭， 即4112222x xx x x a a +⋅+==+，20x a a ⋅+>， 设20x t =>，则1at a t t +=+，即()2110a t at -+-=， 又2x t =在R 上单调递增，所以方程()2110a t at -+-=有两个不等的正根；()()210Δ411001101a a a a a a -≠⎧⎪=--⨯->⎪⎪∴⎨->-⎪⎪->⎪-⎩，解得21a ，即a的取值范围为()2,1.。
2022-2023学年河南省郑州市第七高级中学高一上学期学业质量测试数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省郑州市第七高级中学高一上学期学业质量测试数学试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，a A B ∈，则a 的值可以是（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13-【答案】D【分析】求得集合,A B ，得到A B ⋂，结合a A B ∈和选项，即可求解.【详解】由题意，集合{|||2}{|22}A x x x x =<=-<<，11{|0B x x x x ⎧⎫=<=<⎨⎬⎩⎭或1}x >，所以{|20A B x x =-<<或12}x <<， 因为a A B ∈，结合选项可得13A B -∈.故选：D.2．已知()f x 是定义域为(,)∞∞-+的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=, 因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=， (2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 3．函数322()(6)f x x x =--的单调递减区间为（ ） A ．1[,2]2-B ．1[3,]2--C ．1[,)2-+∞D ．1(,]2-∞-【答案】A【分析】()32()6f x x x =--，由260x x --≥结合函数26y x x =--的递减区间可得结果.【详解】()()33222()66f x x xx x =--=--，由260x x --≥得32x -≤≤，又22125624x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的单调递减区间为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A ．4．已知13a a -+=，下列各式中正确的个数是（ ）①227a a -+=；②3318a a -+=；③11225a a -+=±；④125a a a a+=； A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】根据完全平方和公式，立方和公式分别计算即可求解. 【详解】①2212()2927a a a a --+-==-=+,正确； ②33122()(1)3(71)18a a a a a a ---+=+-+=⨯-=，正确； ③因为13a a -+=可知0a >，11220a a-+>，211221()25a a a a --=++=+，所以11225a a -+=，故错误； ④33111122221()(1)5(1)25a a a aa a a a a a a a----+=+=+-+=-+=，正确.故选：C【点睛】本题主要考查了平方和公式，立方和公式，属于容易题.5．《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约4πm ，肩宽约为8πm ，“弓”所在圆的半径约为1.25m ，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）A ．m 2πB 52C ．58πm D ．2m【分析】由题意知这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．【详解】由题得：弓所在的弧长为：54488l ππππ=++=；所以其所对的圆心角58524ππα==；∴两手之间的距离522sin 2 1.254d R AB π===．故选：B6．,R a b ∈，记{}()()max ,a a b a b b a b ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数(){}2max 1,f x x x =+（x ∈R ）的最小值是（ ） A 352B 35+C 15+ D 15-【答案】A【分析】讨论21x x +≥，21x x +<时，可得函数的解析式，结合函数的单调性可得函数的最小值.【详解】当21x x +≥，即21x x +≥或21x x +≤-1515x -+≤≤(){}2max 1,11f x x x x x =+=+=+，函数单调递增，所以()min 15135f x ==-+- 当15x -<(){}22max 1,f x x x x =+=，函数单调递减， ()1535f x f --=⎝⎭> 当15x +(){}22max 1,f x x x x =+=，函数单调递增， ()1535f x f ++=⎝⎭> 综上，()min 35f x -=7．已知()22,0,4,0.x x f x x +⎧≥=⎨<⎩则关于a 的不等式()()223f a f a >-的解集为（ ）A ．()0,3B ．()1,3-C ．()3,1-D ．()0,1【答案】A【分析】先画出函数的图象，再解不等式组223,20a a a ⎧>-⎨>⎩即得解.【详解】解：函数的图象如图所示，213,23,03020a a a a a a ⎧-<<>-⎧⇒⇒<<⎨⎨>>⎩⎩， 故选：A.8．已知()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()2log 3f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，则函数()12f x y x=-的零点为（ ） A ．12B ．13C ．2D ．3【答案】A【分析】先根据()f x 单调，结合已知条件求出()f x 的解析式，然后再进一步研究函数()12f x y x=-的零点．【详解】解：因为()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，且对任意的()0,x ∈+∞，都有()2log 3f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，故可设存在唯一的实数()0,C ∞∈+，使得()3f C =， 则设()2log f x x C -=，所以()2log f x x C =+， 所以()2log 3f C C C =+=，则2log 3C C =-，由于函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，函数3y x =-在()0,∞+上单调递减，又2log 2132==-，所以2C =， 故()()22log 2log 4f x x x =+=再令()120f x x-=，()0,x ∈+∞，得：140x x -=，解得12x =±（负值舍去）．则函数()12f x y x=-的零点为12.故选：A ．二、多选题9．下列选项正确的是（ ） A ．对1,1x x x ∀∈++R 的最小值为1 B ．若0ab <，则a b ba+的最大值为2- C ．若0,0a b >>，则11a b +≥D ．若正实数,x y 满足21x y +=，则21x y +的最小值为8【答案】BD【分析】根据特殊值A ，由均值不等式判断BC ，根据“1”的技巧及均值不等式判断D. 【详解】对A ，取2x =-，1311x x +=-<+，故A 错误；对B ，0ab <，则()2a b a b baba+=---≤-=-，当且仅当a b =-时等号成立，故B 正确； 对C ，因为0,0a b >>，所以11a b +C 错误；对于D ，21214()(2)448y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当4y x x y =，即11,24x y ==时等号成立，故D 正确. 故选：BD10．已知函数()2121x x f x -=+，下面说法正确的有（ ）A ．()f x 的图像关于原点对称B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的值域为()1,1-D ．12,x x R ∀∈，且()()121212,0f x f x x x x x -≠>-【答案】ACD【分析】判断()f x 的奇偶性即可判断选项AB ，求()f x 的值域可判断C ，证明()f x 的单调性可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】21()21x xf x 的定义域为R 关于原点对称, 2122112()()2112212x x x x xxxxf x f x ，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故选项A 正确，选项B 不正确；212122()1212121x x x x xf x +--===-+++，因为20x >，所以211x +>，所以10121x <<+， 22021x --<<+，所以211121x -<-<+，可得()f x 的值域为()1,1-，故选项C 正确；设任意的12x x <， 则12122112122222222()()1(1)212121212121x x x x x x x x f x f x ，因为1210x +>，2210x +>，12220x x -<，所以()()()121222202121x x x x -<++，即12())0(f x f x -<，所以()()12120f x f x x x ->-，故选项D 正确；故选：ACD【点睛】利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论. 11．下列命题中是真命题的有（ ） A ．存在α，β，使()tan tan tan αβαβ-=-B ．在ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形 C ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件D ．在ABC 中，若5cos 13A =，4sin 5B =则cosC 的值为3365或6365【答案】AC【分析】赋值法可以判断A 选项；在ABC 中根据正弦值相等，可得两角相等或者互补可判断B 选项；根据正弦定理可判断选项C ；先由5cos 13A =，求得12sin 13A =，再由4sin 5B =，结合大角对大边求得3cos 5B =，最后根据cos cos()C A B =-+求值即可判断选项D. 【详解】对于A ，当0β=时，正确；对于B ，由sin 2sin 2A B =可得22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，错误；对于C ，2sin 2sin sin sin A B a b R A R B A B >⇔>⇔>⇔>(其中R 是ABC 外接圆的半径)，正确；对于D ，因为5cos 13A =，0A π<<，所以12sin 13A =.因为sin sin A B >，所以由正弦定理得a b >，从而A B >.又因为4sin 5B =，所以3cos 5B ==，从而()33cos cos sin sin cos cos 65C A B A B A B =-+=-=，错误； 故选：AC.【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．12．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当0k >时，有3个零点B ．当0k <时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD【解析】令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．三、填空题13．已知集合{}2R |2(1)0A x ax a x a =∈+++=没有非空真子集，则实数a 构成的集合为______.【答案】{}102a a ⎧⎫⋃≤-⎨⎬⎩⎭【分析】根据题意可得集合A 中元素的个数为1或0个，再分情况讨论即可，注意0a =这种情况.【详解】解：因为集合{}2R |2(1)0A x ax a x a =∈+++=没有非空真子集，所以集合A 中元素的个数为1或0个， 当集合A 中元素的个数为1个时，若0a =，则有20x =，解得0x =，符合题意， 若0a ≠，则有()224140a a ∆=+-=，解得12a =-，当集合A 中元素的个数为0个时，则()22Δ41400a a a ⎧=+-<⎪⎨≠⎪⎩，解得12a <-，综上0a =或12a ≤-，即实数a 构成的集合为{}102a a ⎧⎫⋃≤-⎨⎬⎩⎭.故答案为：{}102a a ⎧⎫⋃≤-⎨⎬⎩⎭.14．已知,a b 均为实数且,1a b >-，3a b ab ++=，则4a b +的最小值为______. 【答案】3【分析】由3a b ab ++=可得1)(14a b ++=()，再将4a b +变形为(1)4(1)5a b +++-，利用基本不等式即可求解.【详解】由3a b ab ++=，可得1)(14a b ++=()， 因为,1a b >-，所以10a +>，10+>b ，则4(1)4(1)553a b a b +=+++-≥=，当且仅当(1)4(1)(1)(1)4a b a b +=+⎧⎨++=⎩，即30a b =⎧⎨=⎩时取等号.所以4a b +的最小值为3. 故答案为：315．已知函数()()2121xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，，若方程()f x a =有四个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则22222341x x x x +++的取值范围为__________.【答案】(8,12)【分析】由题意可知函数()f x 的图象关于1x =对称，画出函数()f x 的大致图象，不妨设1234x x x x <<<，则142x x +=，232x x +=，12x x =-，所以222221234248x x x x x +++=+，再由201x <<即可求出结果．【详解】解：∵当x ＞1时，()(2)f x f x =-， ∴()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上的图象关于1x =对称， 画出函数()f x 的图象，如图所示， 不妨设1234x x x x <<<，由对称性可知，142x x +=，232x x +=，12x x =-，()()2222222221234222222248x x x x x x x x x ∴+++=++-++=+，201x <<，2284812x ∴<+<，即22222341x x x x +++的取值范围为(8,12).故答案为：(8,12)．16．已知偶函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，已知当210x x >>时，122221121221()()(e e )x x x f x x f x x x x x ->-，若2(2)2e 8f =+，则2||()2||e x f x x x >+的解集为______.【答案】()()2,00,2-⋃【分析】由122221121221()()(e e )x x x f x x f x x x x x ->-，可得1211222212()e ()e x x f x x f x x x x -->，令()2()exg f xx x x -=，从而可得出函数()g x 在()0,∞+上得单调性，再判断函数()g x 的奇偶性，结合2(2)2e 8f =+，求得()2g ，而所求不等式可化为||2()||e 2x f x x x->，再根据函数的单调性和奇偶性列出不等式即可得出答案.【详解】解：当210x x >>时，由122221121221()()(e e )x x x f x x f x x x x x ->-，得1211222212()e ()e x x f x x f x x x x -->， 令()2()e xg f xx x x -=，当0x >时，()2()e xg f x x x x -=， 则()()12g x g x >，所以函数()g x 在()0,∞+上递减，因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=， 则()()()22()e()exxf x x f x x x x xg x g ----=--=-=，所以函数()g x 也是偶函数， 因为2(2)2e 8f =+，所以(2)2g =，不等式2||()2||e x f x x x >+可化为||2()||e 2x f x x x ->， 即()()2g x g >， 所以2x <，解得22x -<<，所以2||()2||e x f x x x >+的解集为()()2,00,2-⋃.故答案为：()()2,00,2-⋃.四、解答题17．函数()f x =的定义域为集合A ，函数()()112x g x x ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭的值域为集合B ,U =R.. (1)求 ()U A B ⋂；(2)）若[],21C a a =-且C B ⊆,求实数a 的取值范围.【答案】(1)(]0,1 (2)3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）此题考查集合的运算，先求集合A 与()03f =，然后再求集合的补集与交集； （2）m ，所以讨论当C =∅和C ≠∅两种情况求范围．【详解】（1）函数()f x =的定义域为10x ->， 所以()1,A =+∞，U (],1A =-∞，因为1x ≥-，1022x ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，(]0,2B =； ()U A B ⋂=(]0,1.（2）因为C B ⊆，所以,21C a a =∅>-，解得：1a <.C ≠∅时，0021121232a a a a a a a ⎧⎪<>⎧⎪⎪≤-⇒≥⎨⎨⎪⎪-≤⎩⎪≤⎩，得：312a ≤≤.故实数a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 18．()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (1)求函数()f x 的定义域；(2)若π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos 22f αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，求α. 【答案】(1)ππ,82k x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z (2)π12α=【分析】（1）由正切函数的定义域通过换元即可求解；（2）利用三角函数的和差角及二倍角公式化简可得1sin 22α=，根据π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求解. 【详解】（1）由ππ2π,42x k k +≠+∈Z ，得ππ82k x ≠+，k ∈Z ， 所以()f x 的定义域为ππ,82k x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z . （2）由2cos 22f αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，得πtan 2cos 24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即()22πsin 42cos sin πcos 4αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin )cos sin αααααααα+=+--， 因为π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0αα+≠， 因此21(cos sin )2αα-=，即1sin 22α=， 由π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π20,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以π26α=，即π12α=. 19．命题p ：“[1,2]x ∀∈，20x x a +-≥”，命题q ：“R x ∃∈，2320x x a ++-=”.(1)当p 为假命题时，求实数a 的取值范围；(2)若p 和q 中有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围.【答案】(1)14a >-(2)14a ≠- 【分析】（1）根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案；（2）利用分类讨论的解题思想，可得答案.【详解】（1）由p 为假命题，则p ⌝为真命题，即[]1,2x ∃∈，20x x a +-<，令()2f x x x a =+-，开口向上，则140a ∆=+>，解得14a >-. （2）由（1）可知，当p 为真命题时，14a ≤-；当p 为假命题时，14a >-. 当q 为真命题时，()9420a ∆=--≥，解得14≥-a ；当q 为假命题时，14a . 当p 为真命题，q 为假命题时，14a ；当p 为假命题，q 为真命题时，14a >-； 则p 和q 中有且只有一个是真命题时，14a ≠-. 20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()f x 与投资额x 成正比，其关系如图1：投资股票等风险型产品的年收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2．(1)分别写出两种产品的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?【答案】(1)()0.125,()0.5f x x g x x ==(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.【分析】（1）根据待定系数法可得；（2）设用于投资稳健型产品的资金为x ，写出年收益的解析式，利用换元法可得.【详解】（1）由题意可设(),()f x mx g x x ==由图知，函数()f x 和()g x 的图象分别过点(1,0.125)和(1,0.5)，代入解析式可得0.125,0.5m n ==， 所以()0.125,()0.5f x x g x x ==（2）设用于投资稳健型产品的资金为x ，用于投资风险型产品的资金为20x -，年收益为y ，则10.1250.520(420)8y x x x x =+-=+-，[0,20]x ∈ 令20t x =-，则2211(420)[(2)24]88y t t t =---=---，[0,25]t ∈ 当2t =，即16x =时，max 3y =，所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.21．如图，要在一块半径为1m ，圆心为60°的扇形纸板AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在AB 弧上，点Q 在OA 上，点M 、N 在OB 上，设∠BOP=θ．平行四边形MNPQ 的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）求S 的最大值及相应θ的值．【答案】（1）S 23sin cos ,0,3πθθθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭；（2）当6πθ=时，S 3【分析】（1）分别过P 、Q 作PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，则QEDP 为矩形，求出边长即可求S 关于θ的函数关系式；（2）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，通过θ的范围求出S 的最大值及相应的θ角．【详解】（1）分别过P 、Q 作PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，则QEDP 为矩形，由扇形半径为1cm ，PD ＝sinθ，OD ＝cosθ，在Rt △OEQ 中MN ＝OD ﹣OE ＝3cos θθ 3cos sin S MN PD θθθ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭＝23sin cos ,0,3πθθθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ （2）23323sin cos 26S S θθθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭252,666ππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，即1sin 2,162πθ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 当6πθ=时，()2max 3m 6S =【点睛】本题考查三角函数在解决实际问题中的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力，转化思想的应用，属于中档题，．22．已知函数()()ln f x x a =+()a ∈R 的图象过点()1,0，2()()2e f x g x x =-.(1)求函数()g x 的解析式；(2)设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围. 【答案】(1)()22g x x x =-，()0,x ∈+∞；(2)12m <<.【分析】（1）由已知求得0a =，()ln f x x =，代入即可得到()22g x x x =-，()0,x ∈+∞；（2）已知可转化为max ()ln(1)g x m <--，即转化为求()g x 在1,m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，由已知可得1m >，11m <，根据二次函数的性质可知所以()g x 的最大值在1x m =或x m =处取得.作差可得()1g m g m ⎛⎫> ⎪⎝⎭.即可得到22ln(1)0m m m -+-<，1m >.令()()22ln 1h m m m m =-+-，根据定义法证明()h m 在1m >时的单调性，根据单调性求解不等式，即可求出m 的取值范围.【详解】（1）解：由已知可得，()()1ln 10f a =+=，所以0a =，所以()ln f x x =，定义域为()0,∞+.所以有，2()()2e f x g x x =-2ln 22e 2x x x x =-=-，()0,x ∈+∞.（2）解：若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--， 只需满足max ()ln(1)g x m <--成立.由（1）知，()22,0g x x x x =->，对称轴为1x =.由0m >，1m m <可得，21m >，所以1m >，即有11m m<<. 根据二次函数的性质，可得()g x 在1,1m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,m 上单调递增， 所以()g x 的最大值在1x m =或x m =处取得. 又22111122g m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22g m m m =-， ()221122g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22112m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()3211m m m+-=， 又1m >，所以()10g m g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()1g m g m ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以()ma 2x (2)g m m m g x ==-.由max ()ln(1)g x m <--成立，可得22ln(1)m m m -<--，1m >， 即22ln(1)0m m m -+-<，1m >.令()()22ln 1h m m m m =-+-，1m >，则原不等式等价于()0h m <. 12,1m m ∀>，且设12m m <，则()()()()22121112222ln 12ln 1h m h m m m m m m m -=-+--+--()()11212212ln 1m m m m m m -=-+-+-， 因为12,1m m >，12m m <，所以120m m -<，1220m m +->，12011m m <-<-， 所以121011m m -<<-，所以121ln 01m m -<-，所以()()11212212ln 01m m m m m m --+-+<-. 所以()()120h m h m -<，所以()()12h m h m <，所以()()22ln 1h m m m m =-+-在()1,+∞上单调递增.又()()22222ln 210h =-⨯+-=，则由()()02h m h <=，可解得12m <<.。
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2022-2023学年河南省实验中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合*51,N M x x x ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭，则M 的非空真子集的个数是（ ）A ．6B ．8C ．14D ．16【答案】C【分析】解分式不等式求集合M ，并确定元素个数，根据元素个数与集合子集的数量关系求M 的非空真子集的个数. 【详解】由题设，5510x x x->⇒<，即()50x x -<，可得05x <<， ∴{1,2,3,4}M =共有4个元素， 故M 的非空真子集的个数42214-=. 故选：C2．下列命题是真命题的是（ ） A ．若ac bc >.则a b > B ．若22a b >，则a b >C ．若a b >，则11a b <D ．若c d >，a c b d ->-，则a b >【答案】D【分析】根据不等式的性质可判断选项A ，D ；通过举反例可判断选项B ，C. 【详解】当0c <时，若ac bc >，则a b <，故选项A 错误； 当5,1a b =-=时，满足22a b >，但a b <，故选项B 错误； 当5,1a b ==-时，满足a b >，但11a b>，故选项C 错误； 若c d >，a c b d ->-，则由不等式的可加性得a c c b d d -+>-+，即a b >，选项D 正确. 故选：D.3．已知函数f （x ）定义域为（0，+∞），则函数F （x ）＝f （x +2） ） A ．（﹣2，3] B ．[﹣2，3]C ．（0，3]D ．（2，3]【答案】A【分析】根据题意列出不等式组，进而解出答案即可.【详解】由题意，20(2,3]30x x x +>⎧⇒∈-⎨-≥⎩.故选：A.4．若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象可推得，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可判断答案.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移变换知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移不超过一个单位，可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)12g b <=+<，则符合题意的只有B 中图象 故选：B.5．关于x 的不等式()260Z x x a a -+≤∈解集中有且仅有3个整数，则a 的取值不可能是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.【详解】因为x 的不等式()260Z x x a a -+≤∈有解，所以2(6)409a a ∆=--≥⇒≤，即该不等式的解集为：33x ≤因为关于x 的不等式()260Z x x a a -+≤∈解集中有且仅有3个整数，所以1258a ⇒<≤，显然选项ABC 都可能， 故选：D6．已知函数()()343,1log ,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,4-B ．[)2,4-C ．(],2-∞-D ．{}2-【答案】B【解析】首先求函数在1x ≥时函数的值域，再根据函数的值域为R ，确定1x <时函数的单调性和端点值的范围，求实数a 的取值范围. 【详解】1x ≥时，3log 0y x =≥， 又()f x 的值域为R ，则1x <时，()()43f x a x a =-+的值域包含(),0∞-，()404130a a a ->⎧∴⎨-⋅+≥⎩ ，解得：24a -≤<.故选：B7．已知函数22()log f x x x =+，则不等式(1)(2)0f x f +-<的解集为A ．(),111)3(,---B ．3,1-（）C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(1,1)(1,3)-【答案】A【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化求解. 【详解】解：不等式f （x +1）﹣f （2）＜0等价为f （x +1）＜f （2）， ∵f （x ）＝x 2+log 2|x |，∴f （﹣x ）＝（﹣x ）2+log 2|﹣x |＝x 2+log 2|x |＝f （x ）， 则函数f （x ）是偶函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 2+log 2x 为增函数，则不等式f （x +1）＜f （2）等价为f （|x +1|）＜f （2）， ∴|x +1|＜2且x +1≠0， 即﹣2＜x +1＜2且x ≠﹣1，则﹣3＜x ＜1且x ≠﹣1，∴不等式的解集为（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）， 故选A ．【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键． 8．已知4()f x x x=+，2()1g x x ax =-+，若对1[1,3]x ∀∈，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞-D ．(,2]-∞【答案】B【分析】将对1[1,3]x ∀∈，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥转化为214x ax -+≤对于任意[1,3]x ∈恒成立，利用分离参数法以及函数单调性即可求解. 【详解】∵4()f x x x=+，[1,3]x ∈∴4()4f x x x =+≥，当且仅当4x x =，即2x =时取等号.∴当[1,3]x ∈时，min ()4f x =.∴对1[1,3]x ∀∈，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥等价于()4g x ≤对于任意[1,3]x ∈恒成立，即214x ax -+≤对于任意[1,3]x ∈恒成立∴3a x x≥-对任意[1,3]x ∈恒成立 ∵函数3y x x =-在[1,3]上为增函数∴max 3312a x x ⎛⎫≥-=-= ⎪⎝⎭，即2a ≥.故选：B.二、多选题9．若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是（ ） A ．8- B ．5-C ．1D ．4【答案】ACD【分析】由题得34k +≤-或1k ≥，化简即得解.【详解】若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件， 所以34k +≤-或1k ≥， 所以7k ≤-或1k ≥.故选：ACD10．下列选项中正确的有（ ） A ．不等式2a b ab +≥恒成立 B ．()()()22,13M a a N a a =-=+-，则M N > C ．()101y x x x =+>+的最小值为1 D ．存在a ，使得不等式12a a+≤ 【答案】BD【分析】根据基本不等式的条件即可判断A 、C 、D ；利用作差法即可判断B. 【详解】对于A ，当1,0a b =-=时，1a b +=-，20ab a b =>+，故A 错误；对于B ，()()()()22221323120M N a a a a a a a -=--+-=-+=-+>，所以M N >，故B 正确；对于C ，()111112111111y x x x x x x =+=++-≥+⋅-=+++，当且仅当111x x +=+，即0x =时，取等号，又因0x >，所以111y x x =+>+，故C 错误； 对于D ，当1a =时，12a a +=，所以存在a ，使得不等式12a a+≤成立，故D 正确. 故选：BD.11．如图是三个对数函数的图象，则（ ）A ．1a >B ．01b <<C ．222b c a <<D ．c b <【答案】ABC【解析】根据对数函数的图象可判断出10a c b >>>>，再判断各选项即可得．【详解】由对数函数图象得1,0,1a b c ><<，令1y =，log log 1b c b c ==，由已知图象得b c <，b c a ∴<<；而2x y =是增函数，222b c a ∴<<. 故选：ABC ．12．已知函数()e 2xf x x =+-，()ln 2g x x x =+-，且()()0f a g b ==，则下列结论错误的是（ ）A ．a b >B ．()()0g a f b <<C ．2a b +=D ．()()0g a f b >>【答案】AD【分析】先利用基本函数的单调性判定函数的单调性，进而判定a 、b 的取值范围，再利用函数()f x 和()g x 的单调性及()()0f a g b ==判定()g a 和f b 的大小，再利用指数函数和对数函数的图象的对称性判定2a b +=.【详解】因为e x y =、ln y x =、2y x =-在其定义域内都是增函数，所以()e 2xf x x =+-、()ln 2g x x x =+-在其定义域内都是增函数.因为()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->，且()0f a =，所以01a <<，又()1ln11210g =+-=-<，()2ln 222ln 20g =+-=>， 且()0g b =，所以12b <<，所以012a b <<<<，即选项A 错误；因为a b <，函数()f x 、()g x 在其定义域内均为增函数， 所以()()()()0g a g b f a f b <==<， 所以()()0g a f b <<， 即选项B 正确，选项D 错误；令()e 20xf x x =+-=，()ln 20g x x x =+-=，则e 2x x =-，ln 2x x =-，由于e x y =，ln y x =的图象都和直线2y x =-相交（如图所示）， 且函数e x y =和函数ln y x =的图象关于直线y x =对称， 直线2y x =-和直线y x =的交点为()1,1， 所以12a b+=，即2a b +=，即选项C 正确.故选：AD.三、填空题13．函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上递减，则实数a 的取值范围是___________．【答案】(],3-∞-【分析】根据题意分析出二次函数的对称轴()2142a x -=-≥，由此可求出实数a 的取值范围. 【详解】因为函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上递减，所以()2142a --≥，解得3a ≤-. 故答案为：(],3-∞-.14．设2()f x ax bx =+，且)12(1f -≤≤，2(1)4f ≤≤，则(2)f 的最大值为_________. 【答案】14【分析】分别得出()()1,1f a b f a b -=-=+的范围，进而将()242f a b =+由,a b a b -+来表示，然后求得答案.【详解】由题意，1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，而()242f a b =+，设()()()()42a b x a b y a b x y a y x b +=-++=++-，所以4123x y x y x y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，即()()()23f a b a b =-++，所以()2214314f ≤⨯+⨯=. 即(2)f 的最大值为14. 故答案为：14.15．已知常数m ∈R ，若函数()2x m f x -=反函数的图象经过点(4,2)，则m =________ 【答案】0【分析】根据题中条件，得到()2x m f x -=的图象经过点(2,4)，进而可求出结果. 【详解】因为函数()2x m f x -=反函数的图象经过点(4,2)， 所以()2x m f x -=的图象经过点(2,4)，则242m -=，所以0m =. 故答案为：0.16．函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为__________.【答案】2【解析】求函数()0.52log 1xf x x =-的零点个数⇔求对应方程0.52log 10x x -=即0.51|log |2xx =的根的个数⇔求函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的交点个数.在同一直角坐标系下画出函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，确定交点个数，即可. 【详解】令()0.52log 10xf x x =-=，即0.51|log |2xx =画函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，如下图所示由图象可知，函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭有2个交点所以函数()0.52log 1xf x x =-有2个零点.故答案为：2【点睛】关键点点睛：查函数的零点个数，利用数形结合思想以及转化与化归思想，将函数的零点转化对应方程的根，从而转化为两个函数的交点.属于中档题.四、解答题17．已知集合{22}A xa x a =-≤≤+∣，{1B x x =≤∣或4}x ≥.（1）当3a =时，求RAB ；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{5}Rx x AB =≤≤∣-1；（2）(),1a ∈-∞.【分析】（1）根据题意，结合数轴与补集的运算，即可求解；（2）根据题意，分类讨论A =∅和A ≠∅两种形式，再结合数轴即可求解. 【详解】(1)当3a =时，{5}A xx =≤≤∣-1. 由{1B xx =≤∣或4}x ≥，得{}14R B x x =<<，故{5}Rx x A B =≤≤∣-1.(2)①当A =∅，即22a a ->+，也就是a<0时，A B ⋂=∅；②当A ≠∅，即0a ≥时，由A B ⋂=∅，得2124a a ->⎧⎨+<⎩，解得1a <，故10a >≥.综上，(),1a ∈-∞. 18．计算下列各式的值(1)10220.5312220.0154--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(2)()()248525125log 125log 25log 5log 2log 4log 8++⋅++. 【答案】(1)1615； (2)13.【分析】（1）根据指数幂的运算性质进行求解即可； （2）根据对数的运算性质进行求解即可.【详解】（1）()10220.512220.52312220.13110221211431016;101545⎛⎫⨯- ⎪⎭⨯-⎝--⎛⎛⎫⎛⎫⎫=+⨯- ⎪⎝⎭=+⨯+⨯- ⎪-=⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()()()24852512525555222log 125log 25log 5log 2log 4log 813log 5log 5log 5log 2log log 313log 53log 2313.22++⋅++⎛⎫=++⋅++ ⎪⎝⎭=⨯= 19．已知函数()211mx f x x +=+是R 上的偶函数. (1)求实数m 的值；(2)判断函数()f x 在区间(],0-∞上的单调性，并用定义证明； (3)求函数()f x 在区间3,2上的最大值与最小值.【答案】(1)0m =(2)单调递增，理由见解析； (3)()()max min 11,10f x f x ==.【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）根据偶函数的性质，结合单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为函数()211mx f x x +=+是R 上的偶函数， 所以有()()2211112011mx mx f x f x mx mx mx x x +-+=-⇒=⇒+=-+⇒=++， 因为x ∈R ，所以0m =；（2）由（1）可知：0m =，即()211f x x =+，该函数单调递增，理由如下： 设12,x x 是(],0-∞上任意两个实数，且12x x <，即120x x <≤， ()()()()()()()()()22212121122222221212121111111111x x x x x x f x f x x x x x x x +++--=-==+++++-+，因为120x x <≤，所以()()()()()()()()212112122212011x x x x f x f x f x f x x x +--=<⇒<++，所以函数()f x 在区间(],0-∞上单调递增；（3）由（2）可知：函数()f x 在区间(],0-∞上单调递增，而函数()f x 是偶函数，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，因为[]3,2x ∈-，111(0)1,(2),(3)14510f f f ===-=+，所以()()max min 11,10f x f x ==. 20．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放k 个(14k ≤≤，且R k ∈)单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中， 它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为()y kf x =，其中()241,04817,4142x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k 的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由.【答案】（1）1k =；（2）12分钟；（3）见详解.【分析】（1）由只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，根据已知可得，()3kf x =，代入可求出k 的值；（2）由只投放一次4个单位的洗衣液，可得964,048282,414x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，分04x ≤≤、414x <≤两种情况解不等式4y ≥即可求解；（3）令12x =，由题意求出此时y 的值并与4比较大小即可.【详解】（1）因为()241,04817,4142x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升时，可得()3kf x =，即241382k ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，解得1k =；（2）因为4k =，所以()964,0448282,414x y f x x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当04x ≤≤时，96448x-≥-，将两式联立解之得04x ≤≤；当414x <≤时，2824x -≥，将两式联立解之得412x <≤，综上可得012x ≤≤，所以若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟；（3）当12x =时，由题意1242712115282y ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为54>，所以在第12分钟时洗衣液能起到有效去污的作用.【点睛】本题主要考查分段函数模型的选择和应用，其中解答本题的关键是正确理解水中洗衣液浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用，属中等难度题.21．设函数()f x 的定义域是()0,∞+，且对任意正实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已知()21f =，且当1x >时，()0f x >.(1)求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； (2)判断()y f x =在区间()0,∞+内的单调性，并给出证明；(3)解不等式()()2861f x f x >--.【答案】(1)1-；(2)增函数，理由见解析；(3){|0.751x x <<或3}x >.【分析】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可；（3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()f x 对任意的正实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立， 令1x y ==，可得(1)(1)(1)f f f =+，所以()10f =， 令12,2x y ==，可得1(1)(2)()2f f f =+，即11()02f +=，解得1()12f =-； （2）函数()f x 为增函数，证明如下：设12,(0,)x x ∈+∞且12x x <， 令211,x x x y x ==，根据题意，可得2121()()()x f x f f x x +=，即2211()()()x f x f x f x -=， 又由1x >时，()0f x >， 因为211x x >，可得21()0x f x >，即21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 所以函数()y f x =在(0,)+∞上的单调性；（3）由题意和（1）可得：11(86)1(86)()[(86)](43)22f x f x f f x f x --=-+=-=-， 又由不等式2()(86)1f x f x >--，即2()(43)f x f x >-，可得243430x x x ⎧>-⎨->⎩，解得314x <<或3x >， 即不等式2()(86)1f x f x >--的解集为{|0.751x x <<或3}x >. 【点睛】关键点睛：令211,x x x y x ==，构造大于1的实数是证明单调性的关键.22．已知函数()()()4log 41x f x kx k =++∈R 是偶函数.(1)求实数k 的值；(2)设()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数f （x ）的图象与()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的图象有且仅有一个公共点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)12k =-； (2){}()31,-⋃+∞.【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；（2）利用转化法，根据对数的运算性质，结合换元法分类讨论进行求解即可.【详解】（1）函数4()log (41)x f x kx =++定义域为R ，又()f x 是偶函数，即()()0f x f x --=，则44log (41)[log (41)]0x x kx kx -++-+-=，即有()()4444141log 20log 2020(12)041441x x x x x x kx kx x kx k x --+++=⇒+=⇒+=⇒+=++， 因为x ∈R ，所以11202k k +=⇒=-； （2）因函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，则方程()()f x g x =有唯一解，由（1）知：444414414log (41)log (2)log log (2)2323x xx x x x a a a a ++-=⋅-⇒=⋅-， 即方程142223x x x a ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭有且只有一个根， 令20x t =>，则方程()241103a t at ---=有且只有一个正根， 当1a =时，解得34t =-，此时4203x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，而1202x x +>，不合题意； 当1a >时，()24113y a t at =---开口向上，且过定点()0,1-，符合题意， 当1a <时，()()24Δ410343021a a a a ⎧⎛⎫=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎨-⎪->⎪-⎪⎩，解得3a =-， 综上：实数a 的取值范围是{}()31,-⋃+∞.【点睛】关键点睛：根据二次函数的性质分类讨论求解是解题的关键.。