重复元素的圆排列和环排列的计数问题

有重复元素的圆排列和环排列的计数问题

常新德 永城职业学院 476600

关键词：重集，周期，圆排列，对称圆排列，环排列，茂陛乌斯函数，欧拉函数。

对于n 个完全相异元素的排列（包括圆排列、环排列）在一些书上都有介绍，但对于n 个不尽相异元素的排列，特别是圆排列与环排列则介绍甚少。下面我们就来讨论这个问题。

一．线排列

为了与后面所说圆排列、环排列等的区别，我们把通常所说的排列称为线排列，不过这里考虑的是全排列。

[定义1] 把一些元素按一定的顺序排成一列，就叫做由这些元素排成的一个线排列，由这些元素排成的所有不同的线排列的个数称为这些元素的线排列数。

例1．由 1、1、1、2、2 可以排成多少个不同的五位数。

解：略。（总数为 10!

2!3!52

235

=⋅=⋅C C ）。 [定理1] 设S ={e 1·n 1，e 2·n 2，…，e k ·n k }为一个有重复元素的集合（简称重集），其中e i ·n i 中的e i 为元素，n i 为元素e i 的重复数(i =1,2,3,…,k )，且n 1+n 2+…+ n k =n 。则由S 的全部元素所作的线排列的总数为：

[内容提要]本文通过排列的周期概念的引入，利用数论中茂陛乌斯函数)(p μ和欧拉函数)(x ϕ，导出了n 个不尽相异元素的圆排列数

公式: ∑∏==p

d k i i d

n d n d n S Q |1)!()!

()(1

)(ϕ、对称圆排列数公式

()∏∑===k i i k

i i

n n S M 11]!2

[)!

]2[

(和计算环排列数的公式)(21M Q +=Φ。

()!

!!!

21k n n n n S L ⋅⋅⋅=

证明：略。

为了下面讨论圆排列的需要，我们先来研究由S 的全体元素作成的

!

!!!

21k n n n n ⋅⋅⋅ 个线排列的一些性质。

[定义2] 若线排列x 1x 2… x n 可以分成完全相同的d 段，则每一段称为线排列x 1x 2… x n 的一个循环节，循环节的长度即一个循环节中元素的个数t 称为线排列x 1x 2… x n 的周期，最小的周期t 称为线排列x 1x 2… x n 的最小周期。

显然，每一个线排列x 1x 2… x n 都有周期，例如取d =1,这时t= n ( d t=n )，即周期为n .

用A d 代表周期为d

n

的由S 的元素排成的线排列集合，（d | n i ，

i =1,2,…,k ），|A d | 代表A d 中线排列的个数。

容易证明：

[引理1] 若 d 1 | d 2 ，则A d 2⊆A d 1

[引理2] A d 2∩A d 1= A [d 1，d 2] ，其中[d 1，d 2]表示d 1、d 2的最小公倍数。

[引理3] )!()!()!()!(||21d

n d n d n d n A k d ⋅⋅⋅= (其中 d | n i , i =1,2,3,…,k .

n n

k

i i

=∑=1

).

[定理2] 设重集 S ={e 1·n 1，e 2·n 2，…，e k ·n k }，且n n k

i i =∑=1

，

n 1,n 2,n 3,…,n k 的最大公约数 (n 1,n 2,n 3,…,n k ) = p ，若d | p ，则在由S

的所有元素组成的线排列的集合A 1中，有：∑∏=d

p q k i i

qd n qd

n p |1

)!()!(

)(μ 个线

排列以

d

n

为最小周期。 （其中：⎪⎩

⎪

⎨⎧-==).(0(,)1();1(,1)(除若是被一质数的平方整，）；若是个不同质数的乘积若r p p μ 为茂陛

乌斯函数(见初等数论P 177)，∑p

d |表示展布在正整数p 的一切正因

数上的和式。）

证明：在周期为d

n

的线排列的集合A d 中，任一元素的最小周期都可以写成qd

n

的形式，其中d n q |，在q =1时所对应的元素即为

最小周期为

d n 的线排列，因此最小周期为d

n

的线排列的集合为 1

|>q d p q qd A （其中qd A 表示A qd 在A d 中的补集）。因为：

d

p r rd d

p r rd q d p q qd q d p q qd A A A A ||1

|1

|===>> (其中r 为

d

n

的质因数). 再由斥容原理

|

|)1(||||||||||||1

11|1

| s

i d r s

i

k j i d

r d

r d

r s

j i d

r d r s

i d r d d

p r rd q d p q qd i k j i j i i A A

A A A

A A A A A =≠≠≠≤≠≤=>-++-

+

-==∑∑∑

(其中设

d

n

有s 个不同的质因数 r 1,r 2,…,r s )