近似数与准确度
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近似数与准确度
一、近似数
1、定义:一个数与准确数相近(比准确数略多或者略少些),这一个数称之为近似数,在一定程度上反映被考察量的大小,能说明实际问题的意义,与准确数非常地接近。
2、近似数的分类:
(1)具体近似数(如30.2、58.0 …)(2)带单位近似数(如2.4万…)
(3)科学记数法(如3.2×10…)
3、求近似数的方法一般有3种:近似数的取法有四舍五入法,进一法和去尾法三种,最常用的是四舍五入法。具体采用哪一种方法,应根据实际情况决定。
(1)四舍五入法四舍五入法是:①如果去掉部分的首位数字大于或等于5,就在保留部分的最后一位数上加1(称“五入”),得过剩近似值(即比准确值大)。②如果去掉部分的首位数字小于5,则保留部分不变(称“四舍”),得不足近似值(即比准确值小)。
要特别注意的是:用四舍五入法截取数的近似值时,是“入”还是“舍”,只取决于去掉部分的首位数字是大于5、等于5、还是小于5,而与其后的各位数字无关。
例1 用四舍五入法将7.352元和85.666元各保留两位小数
解:7.352元≈7.35元
85.666元≈85.67元
由于人民币中最小的单位是分,因此在进行以元为单位的货币计算时,一般只保留两位小数。
(2)进一法
进一法是去掉多余部分的数字后,在保留部分的最后一个数字上加1。这样得到的近似值为过剩近似值(即比准确值大)。例如,一条麻袋能装小麦200斤,现有880斤小麦,需要几条麻袋才能装完?用200去除880,商为4,余数为80,即使用4条麻袋不可能装完,因此必须采用进一法用5条麻袋才能装完。
(3)去尾法
去尾法是去掉多余部分的数字,而保留部分不变。这样得到的近似数为不足近似数(即比准确值小)。例如,7尺布可做一件衣服,20尺可做这样的衣服几件?显然只能做两件,余下的6尺不够做一件,只好舍去。
二、准确度
1.精确度(精确到哪一位数)的意义
大家都会用四舍五入法求一个准确数的近似值.例如,46.3172精确到0.01的近似值是46.32,这里精确度是事先规定的.又如用刻度尺测量书本的长度,得20.3cm,这个数量也是近似数,它精确到0.1cm.这个精确度是根据度量工具的限制(常用的刻度尺只标明“毫米”)由四舍五入的法则规定的.可以推断,书本长度的准确值在20.25cm到20.35cm之间,即近似数与准确数误差都不超过0.05cm,所以用四舍五入截取一个准确数的近似数后,可以根据近似数和精确度推断出准确数的范围,这就是精确度的意义.
2、有效数字:对于一个不为0的近似数,从左边第一个不为0的数字起,到精确到的数位止,所有数字都叫这个近似数的有效数字。
3.近似数1.6与1.60的区别
(1)有效数字不同:1.6只有两个有效数字,而1.60有三个有效数字.
(2)精确度不同:1.6精确到十分位,与准确数的误差不超过0.05,它所代表的准确值在1.55到1.65之间,即小于1.65而大于或等于1.55;1.60精确到百分位,它与准确数误差不超过0.005,它所代表的准确值在1.595到1.605之间,即小于1.605而大于或等于1.595.由此可见,1.60比1.6的精确度高,故必须注意:近似数末尾的“0”不能随便去掉!
例1 下列由四舍五入得到的近似数,各精确到哪一位?有几个有效数字?
(1)10亿;(2)2.4万;(3)1.060×105.
解
(1)精确到亿位,有两个有效数字1,0;
(2)精确到千位,有两个有效数字2,4;
(3)精确到百位,有四个有效数字1,0,6,0.
说明有些同学认为,(1)精确到个位;(2)精确到十分位;(3)精确到千分位,其实错了.在(1)中,它是四舍五入到亿位(这里的0是亿位,而不是个位);在(2)中,它是四舍五入到千位(这里的4是千位而不是十分位);在(3)中,它四舍五入到百位(这里的0是百位而不是千分位).此外,对于用科学记数法表示的数a×10n(1≤|a|<10,n是正整数),有效数字由a的有效数字确定,精确度要将它化为原数来确定.如1.060×105=106000,易知它精确到百位.例2 用四舍五入法,按下列要求对原数按括号中的要求取近似值:
(1)37024(精确到千位);(2)3045(保留两个有效数字).
解:(1)37024=3.7024×104≈3.7×104;
(2)3045=3.045×103≈3.0×103.
三、根据记数形式,确定近似数精确度
1、下列由四舍五入得到的近似数,各精确到哪一位?各有哪几个有效数字?
(1)36.7 (2)0.035607 (3)10.5万 (4)10.8亿 (5)5
3.14010⨯ (6)3
3.14010-⨯ 解析:
(1)36.7中的最后一个数字7在十分位上,共有三个数字,所以36.7精确到十分位(既精确到0.1)有三个有效数字3,6,7.
(2)0.035607中的最后一个数字7在百万分位上,从左边起第一个不是0数字3起到最后一个数字7止,共有5个数字,所以0.035607精确到百万分位(既精确到0.000001),有五个有效数字3,5,6,0,7.
(3)10.5万是带单位的数,因为10.5万=105000,在数105000中数字5在千位上,而10.5万中的数10.5有三个数字,所以10.5万,精确到千位有三个有效数字1,0,5.
(4)、10.8亿=1080000000,在数1080000000中数字8在千万位上,所以10.8亿精确到千万位有三个有效数字1,0,8.
(5)这是一个用科学计数法表示的数,判断用科学计数法表示的数的精确度,要先把数还原成314000,看数字4后面的第一个数字0在百位上,而用科学计数法表示的数
53.14010⨯的有效数字则由数3.140确定,所以精确到百位有四个有效数字3,1,4,0.
(6)因为33
.14010-⨯=0.003140,在数3
3.14010-⨯中,数3.140有四个有效数字,所以33.14010-⨯精确到百万分位,有四个有效数字3,1,4,0. 2、用四舍五入法,按括号里的要求对下列各数取近似值
(1)15.36 (精确到十分位)
(2)32.4549 (精确到0.01)
(3)35.97 (保留三个有效数字)
(4)1234560(保留四个有效数字)
解析:
把15.36精确到十分位,应看它的下一位百分位,因百分位上的数字是6,应向十分位进1,因此15.36≈15.4
把32.4549精确到0.01,既精确到百分位,应看它得下一位千分位是否满5,以决定取舍,与万分位上的9无关,因此32.4549≈32.45
按要求35.97≈36.0,这里的0不能随便丢掉
1234560的整数数位有7位,比要求保留的有效数字的个数多,应先把它写成科学计