信息论中有关信源熵的不等式

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信息论(第二版傅祖云编着)课后答案(1)

⋅ 第二章课后习题【2.1】设有 12枚同值硬币，其中有一枚为假币。

只知道假币的重量与真币的重量不同，但不知究竟是重还是轻。

现用比较天平左右两边轻重的方法来测量。

为了在天平上称出哪一枚是假币，试问至少必须称多少次？解：从信息论的角度看，“12枚硬币中，某一枚为假币”该事件发生的概率为 P = 112 ； “假币的重量比真的轻，或重”该事件发生的概率为 P = 1 2；为确定哪一枚是假币，即要消除上述两事件的联合不确定性，由于二者是独立的，因此有I = log12 + log 2 = log 24比特而用天平称时，有三种可能性：重、轻、相等，三者是等概率的，均为 P = 平每一次消除的不确定性为 I = log 3比特因此，必须称的次数为13，因此天I 1 I 2log 24 log 3 H 2.9次因此，至少需称 3次。

【延伸】如何测量？分 3堆，每堆 4枚，经过 3次测量能否测出哪一枚为假币。

【2.2】同时扔一对均匀的骰子，当得知“两骰子面朝上点数之和为 2”或“面朝上点数之和为 8”或“两骰子面朝上点数是 3和 4”时，试问这三种情况分别获得多少信息量？解：“两骰子总点数之和为 2”有一种可能，即两骰子的点数各为 1，由于二者是独立的，因此该种情况发生的概率为 P =1 1 6 6 136，该事件的信息量为：⋅ ⋅ 5 =⋅ ⋅ 2 =I = log 36 H 5.17比特“两骰子总点数之和为 8”共有如下可能：2和 6、3和 5、4和 4、5和 3、6和 2，概率为 P =1 1 6 6 536 ，因此该事件的信息量为：36 I = logH 2.85比特 5“两骰子面朝上点数是 3和 4”的可能性有两种：3和 4、4和 3，概率为P = 1 1 6 6 118，因此该事件的信息量为：I = log18 H 4.17比特【2.3】如果你在不知道今天是星期几的情况下问你的朋友“明天星期几？”则答案中含有多少信息量？如果你在已知今天是星期四的情况下提出同样的问题，则答案中你能获得多少信息量（假设已知星期一至星期日的顺序）？解：如果不知今天星期几时问的话，答案可能有七种可能性，每一种都是等概率的，均为P = 17，因此此时从答案中获得的信息量为I = log 7 = 2.807比特而当已知今天星期几时问同样的问题，其可能性只有一种，即发生的概率为 1，此时获得的信息量为 0比特。

信息论中信源熵之间关系的证明

i=1
∑ ∑ =
−
m j=1
n i=1
p(aib j ) log
2
p(ai ) p(ai /b j )
p( ai
/bj )
∑∑ ∑∑ =
mn j=1 i=1
p(ai b j ) log 2
p(ai / bj ) − p(ai )
mn j=1 i=1
p(aibj ) log 2 p(ai / bj )
j
i
∑ ∑ = − [ p(bj ) p(ai / bj )] log 2 p(ai)
i
j
= H(X),
∑ ∑ 其中
p(bj ) p(ai/ bj ) = p(aibj ) = p(ai ) .
j
j
同理： H (Y) = H(Y / X ) + I (X;Y) ≥ H (Y / X ) .
3.1.2. H ( X ) = H ( XY ) − H(Y / X ) .
同理： I ( X ;Y ) = H (Y ) − H (Y / X ) .
∑ ∑ 3.4.2 证明:
I(X;Y )
=
n i =1
m j =1
p(aibj ) log
2
p(ai / bj ) p(ai )
∑ ∑ n m
1
= i =1 j =1 p(aibj )log 2 p(ai / bj ) p(bj / ai ) p(aibj )
nm
∑ ∑ 证明： H ( X / Y ) = −
p(aibj ) log 2 p(ai / bj )
i=1 j =1
nm
mn
∑∑ ∑ ∑ = −
p(aibj ) log 2 p(aibj ) + [ p(aib j )]log 2 p(bj )

信息论总结与复习

状态、状态转移、状态转移图、稳定状态、稳态方程
（3）稳态符号概率：（4）稳态信息熵：
结论：N阶马氏信源稳态信息熵(即极限熵)等于N+1阶条件熵。
第一部分、信息论基础
1.1 信源的信息理论
[例1] 已知二阶马尔可夫信源的条件概率：
p(0|00)=p(1|11)=0.8；p(0|01)=p(1|10)=0.6；
(2)联合熵：
H(XY)= -0.21log0.21 –0.14log0.14 –0.35log0.35 –0.12log0.12 –0.09log0.09–0.09log0.09 =2.3924 bit/符号
第一部分、信息论基础
1.2 信道的信息理论
(3)噪声熵：
由和
H(Y | X)= – 0.21log0.3 –0.14log0.2 –0.35log0.5
（4）无噪有损信道：分组多对一（归并），其传输矩阵应具有多行一列的分块对角化形式。
（5）对称信道：传输矩阵的各行都是一些相同元素的重排，各列也是一些相同元素的重排。
第一部分、信息论基础
1.2 信道的信息理论
3、信道有关的信息熵：
（1）信源熵 (先验熵)：
（2）噪声熵 (散布度)：
（3）联合熵：（4）接收符号熵：
–0.12log0.4 –0.09log0.3–0.09log0.3
==（0.21+0.12，0.14+0.09，0.35+0.09） = （0.33, 0.23, 0.44）
H(Y)= -0.33log0.33 -0.23log0.23 -0.44log0.44
[例3]求对称信道解：C =log4-H(0.2,0.3,0.2,0.3) =2+(0.2log0.2+0.3log0.3)×2 = 0.03 bit/符号；的信道容量。

信息论与编码第二章信源与信息熵

现概率是它自身的先验概率。
无记忆信源
{发出符号序列的无记忆信源
发出单个符号的无记忆信源
{
离散连续
2.1.1 无记忆信源
发出单个符号的离散无记忆信源
——指信源每次只发出一个符号代表一个消息，且消息的取值个数是有限的（或可列无限多个）。例如扔骰子，每次实验结果必然是1～6点中的某一个面朝上。每次实验的结果不随实验次数变化，也不与先前的实验结果相关，因而该信源是单符号离
p( X1 , X 2 , X l , X L ) p( X l ) [ p( X )]L
l 1
L
2.1.2 有记忆信源
有记忆信源——在不同时刻发出的符号是相互依赖的。发出符号序列的有记忆信源 ——每次发出1组含2个以上符号的符号序列来代表一个消息的信源，且各符号之间是相互依赖的。
I=－log2(1/2m)=m bit
2.2.1 自信息量
自信息量I (xi)的特性：
⑴ I (xi)是非负值
⑵ 当p(xi) = 1时， I (xi) = 0
⑶ 当p (xi) = 0时， I (xi) =∞
⑷ I (xi)是先验概率p (xi)的单调递减函数，即当p (x1)＞p (x2)时， I (x1) ＜ I (x2) ⑸可加性：两个独立事件的联合信息量等于它们分别的信息量之和。
发出符号序列的无记忆信源
——每次发出1组含2个以上符号的符号序列来代表一个消息的信源，且各符号之间没有统计关联性。
需要用随机序列（或随机矢量） X =(X1, X2,…, Xl, …, XL)来描述信源输出的消息，用联合概率分布p(X1, X2,…, Xl, …, XL)来表示信源特性。 p (X 1 ) p (X 2 ) … p (X l ) … p (X L ) 若离散信源输出的每个符号是统计独立的，且具有相同的概率空间，则该信源是离散平稳无记忆信源，亦称为独立同分布（independently identical distribution，i. i. d.）信源。

信源熵的名词解释

信源熵的名词解释信源熵（Source Entropy）是信息论中一个重要的概念，用于衡量信息源的不确定性和信息的平均编码长度。

在信息论中，信息可以被看作是从一个信源中获取的，而信源熵用来描述这个信源的不确定性大小。

信源熵的计算方法是根据信源可能产生的符号的概率分布来进行的。

具体来说，如果一个信源有n个可能取值（符号）S1，S2，...，Sn，并且每个符号出现的概率分别为P1，P2，...，Pn，那么信源的熵H(S)可以通过下面的公式计算得出：H(S) = -P1log(P1) - P2log(P2) - ... - Pnlog(Pn)其中，log是以2为底的对数，P1，P2，...，Pn是概率分布。

信源熵的含义是，对于一个不确定性较大的信源，需要更长的编码长度来表示每一个符号，所以熵值越大，说明信息的平均编码长度越长。

相反，当一个信源的不确定性较小，即各个符号出现的概率分布较平均时，信息的平均编码长度较短，熵值较小。

以一个简单的例子来说明信源熵的概念。

假设有一个只有两个符号的信源，分别记为S1和S2，它们出现的概率分别为P1和P2。

如果这两个符号的概率分布相等（即P1 = P2 = 0.5），那么信源的熵就是最大的，因为这两个符号的不确定性相同，需要同样长度的编码来表示它们。

而如果其中一个符号的概率接近于1，另一个符号的概率接近于0，那么信源的熵就是最小的，因为其中一个符号的信息是确定的，只需要很短的编码来表示它。

这个例子可以帮助我们理解信源熵与不确定性之间的关系。

除了信源熵，信息论中还有一个重要的概念是条件熵（Conditional Entropy）。

条件熵是在已知一定的背景条件下，信源的不确定性大小，即在给定前提条件下的平均编码长度。

条件熵可以通过信源和条件之间的联合概率分布来计算，其公式为：H(S|T) = -ΣΣP(s, t)log(P(s|t))其中，P(s, t)表示符号s和条件t联合发生的概率。

信息论与编码2-信源及信源熵1

9
信息论与编码-信源及信源熵
又例如对离散化的平面图像来说,从空间上来看是一系列离散的符号,而空间每一点的符号(灰度)又都是随机的,由此形成了不同的图像.所以我们可以把一般信源输出的消息看作为时间或空间上离散的一系列随机变量,即随机矢量.这样,信源描的述输,其出中可N可用为N维有随限机正矢整量数(或x1,可x2,数…的xN)无来限值.
25
信息论与编码-信源及信源熵
2.2.2 离散信源熵
前面定义的自信息是指某一信源发出某一消息所含有的信息量.所发出的消息不同,它们所含有的信息量也就不同.所以自信息I(ai) 是一个随机变量,不能用它来作为整个信源的信息测度.
我们定义自信息的数学期望为信源的平均信息量,即
H ( X ) E [ I ( X ) ]p ( x i) I ( x i) p ( x i) lo p ( x i) g
7
信息论与编码-信源及信源熵
离散信源的数学模型就是离散型的概率空间：
X P
x1
p(x1)
x2
xn

p(x2) p(xn)
其中概率p(xi)(i=1,2,…,n)称为符号xi的先验概率,应满足∑p(xi)=1
它表示信源可能取的消息(符号)只有n 个:x1,x2,…xn,而且每次必定取其中一个.
当xi和yj相互独立时,有p(xi,yj)=p(xi)p(yj) 于是有
I(xi,yj)= I(xi)+ I(yj)
24
信息论与编码-信源及信源熵
条件自信息量：当xi和yj相互联系时,在事件yj 出现的条件下,xi 的
自信息量称为条件自信息量,定义为 I(xi|yj)=－logp(xi|yj)

第二章基本信息论6_连续信源的熵

2.6 连续信源的熵
一、连续信源熵的定义
♦连续信源：输出在时间和取值上都是连续的信源连续信源：
连续信源
采样
离散信源
求信源熵
若连续信源的频带受限，若连续信源的频带受限，为W，则根据采样定理，，则根据采样定理，只要采样频率大于2W，只要采样频率大于，则连续信源经采样离散不损失任何信息。后，不损失任何信息。 p( x ) 将连续信源离散化为离散信源，其信源熵为：信源，其信源熵为：
∞
1 λ1 −1 e = σ 2π ⇒ λ =− 1 2 2 2σ
− 2 1 得p ( x ) = e 2σ 为高斯分布 σ 2π
x2
P(x)
最大熵
H max ( X ) = − ∫ p ( x )log p( x )dx
−∞
x 1 − 2 = − ∫ p ( x )ln e 2σ −∞ σ 2π
H max ( X ) = − ∫
V2 −V1
V2
x
p ( x )log p ( x )dx = log(V1 + V2 )
2、输出平均功率受限的信源、设信源 ( X ) = − ∫ p( x )log p ( x )dx为极大值的p ( x )
−V
V
以及对应的最大熵H max ( X )，其限制条件：
P( x )
1/ 2
0
1 dx1 3
x
P(x)
2
dx2
6 x
二、连续信源熵的性质
♦ 连续信源熵可正可负
H ( X ) = −∫
−∞
∞
p ( x )log p( x )dx
1 1 = − ∫ lb dx = −1比特/采样 3 2 2

《信息论、编码与密码学》课后习题答案资料

《信息论、编码与密码学》课后习题答案第1章信源编码1.1考虑一个信源概率为{0.30，0.25，0.20，0.15，0.10}的DMS 。

求信源熵H （X ）。

解：信源熵 ∑=-=512)(log )(k k k p p X HH(X)=-[0.30*(-1.737)+0.25*(-2)+0.2*(-2.322)+0.15*(-2.737)+0.1*(-3.322)]=[0.521+0.5+0.464+0.411+0.332] =2.228(bit)故得其信源熵H(X)为2.228bit1.2 证明一个离散信源在它的输出符号等概率的情况下其熵达到最大值。

解：若二元离散信源的统计特性为P+Q=1 H(X)=-[P*log(P)+(1-P)*log(1-P)] 对H(X)求导求极值，由dH(X)/d(P)=0可得211101log ==-=-p ppp p可知当概率P=Q=1/2时，有信源熵)(1)(max bit X H =对于三元离散信源，当概率3/1321===P P P 时，信源熵)(585.1)(m ax bit X H =，此结论可以推广到N 元的离散信源。

1.3 证明不等式ln 1x x ≤-。

画出曲线1ln y x =和21y x =-的平面图以表明上述不等式的正确性。

证明：max ()ln 1(0)1()()01001()0()0ln 11ln 1ln 1f x x x x f x xf x x x x f x f x f x x x x x x x =-+>'=''==>∴<≤>≤=≤-≥≤-≤-令，又有时此时也即当时同理可得此时综上可得证毕绘制图形说明如下可以很明确说明上述不等式的正确性。

1.4 证明(;)0I X Y ≥。

在什么条件下等号成立？1111(,)(,)(,)(,)log()()n mi j i j i j n mi j i j i j i j I P x y I x y P x y P x y P x P y =====∑∑∑∑（X ；Y ）=当和相互独立时等号成立。

信息熵的基本性质

pi pij log pi
pi pij log pij
i 1 j 1
i 1 j 1
nm
n
m
( pij ) pi log pi pi pij log pij
i1 j 1
i 1
j 1
n
n
m
pi log pi pi ( pij log pij )
电子信息工程学院
H ( p1, p2,, pq ) H ( p2, p3,, pq , p1) H ( pq , p1,, pq1)
电子信息工程学院
信息论
2.3 信息熵的基本性质
该性质表明：熵只与随机变量的总体结构有关，即与信源的总
体的统计特性有关。
X / 6
a3 1/ 2
,
Y P

a1 1/ 6
a2 1/ 2
a3 1/ 3
,
Z P

b1 1/ 3
b2 1/ 2
b3 1/ 6
差别：信源X与Y同一消息的概率不同，X与Z的具体信息不同，但它们的信息熵相同，表示三个信源总的统计特性相同，它们的信息数和总体结构是相同的。即：
该性质是非常明显的，因为随机变量X的所有取值的概率分布满足0 pi 时 1，熵是正值的，只有当随机变量是确知量时，其熵等于零。
这种非负性对于离散信源而言是正确的，但对于连续信源来说这一性质就不一定存在。以后可以看到，在差熵的概念下，可能出现负值。
电子信息工程学院
信息论
2.3 信息熵的基本性质
pi log
pi
0
。而其余分量
pi
0(i

j), lim p j 0

第2章信源熵--马尔科夫信源及极限熵

“基于马尔可夫链的我国城乡居民收入演进分析”
信源熵
四、马尔科夫信源及其极限熵
1、马尔科夫信源
定义
N维离散平稳信源符号序列中第N个符号只与前m (≤N-1)个符号相关，该信源为m阶马尔科夫信源。
马尔科夫信源是离散平稳有限记忆信源，其记忆长度为m 。* m阶马尔科夫信源符号序列的长度N=m+1。
信源熵
信源熵
中华人民共和国
中国
*华人民*和国
*国
信源熵抽象描述
实际信源抽象为N维离散平稳信源，H∞是其熵率，即从理论上看，只要传送H∞就可以了。但是这必须掌握信源的全部统计特性，这显然是不现实的。实际中，只能掌握有限记忆长度m，其熵率用Hm+1近似，即需要传送Hm+1 与理论值相比，多传送了Hm+1-H∞ 由于Hm+1>H∞，表现在信息传输上存在冗余。
信源熵
0.2P(s1 ) 0.5P(s3 ) 0 0.2P(s1 ) P(s 2 ) 0.5P(s3 ) 0 0.5P(s 2 ) P(s3 ) 0.2P(s 4 ) 0 0.5P(s 2 ) 0.2P(s 4 ) 0
完备性
P(s1 ) P(s2 ) P(s3 ) P(s4 ) 1
信源熵
定义
信源的m阶极限熵Hm+1与N-1阶极限熵H∞的相对差为该信源的冗余度，也叫剩余度。
信源熵
马尔可夫链的应用排队理论和统计学中的建模，还可作为信号模型用于熵编码技术，如算术编码著名的LZMA数据压缩算法就使用了马尔可夫链与类似于算术编码的区间编码。生物学应用，人口过程，可以帮助模拟生物人口过程的建模。隐蔽马尔可夫模型还被用于生物信息学，用以编码区域或基因预测。马尔可夫链最近的应用是在地理统计学（geostatistics）中,被称为是“马尔可夫链地理统计学”。仍在发展过程中。

信息论研究中的不等式及应用分析

信息论研究中的不等式及应用分析信息论是一门研究信息量、信息传输、信息存储等方面的学科。

信息论中的不等式及其应用是信息论研究中的一个重要方面。

本文将从信息论中的不等式出发，从数学的角度探讨这些不等式的应用分析。

一、信息论中的不等式1. 马尔科夫不等式马尔科夫不等式是信息论中的一个基本不等式，它给出了一个随机变量非负函数的上界。

具体地，对于一个非负的随机变量X和正实数a，马尔科夫不等式表达为：P(X≥a) ≤E(X)/a其中，P(X≥a)为X≥a的概率，E(X)为随机变量X的期望。

马尔科夫不等式的应用非常广泛。

例如，在大数据分析中，常常需要计算某个变量大于某一阈值的概率，这时通过马尔科夫不等式可以快速地得到一个上界。

2. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是信息论中的另一个经典不等式，它给出了一个随机变量与其期望的偏离度的上界。

具体地，对于任意一个随机变量X，正实数a和其期望E(X)，切比雪夫不等式表达为：P(|X-E(X)|≥a) ≤Var(X)/a²其中，P(|X-E(X)|≥a)为X与其期望的偏离超过a的概率，Var(X)为X的方差。

切比雪夫不等式的应用也非常广泛。

例如，在机器学习和数据挖掘中，常常需要评估模型预测结果的准确性，并给出相应的置信区间，这时可以使用切比雪夫不等式。

3. 卡方不等式卡方不等式是信息论中的另一个重要不等式，它给出了一个非负随机变量的期望的下界。

具体地，对于任意一个非负的随机变量X和正实数a，卡方不等式表达为：P(X≥a) ≤E(X²)/a²其中，P(X≥a)为X≥a的概率，E(X²)为随机变量X的平方的期望。

卡方不等式的应用也非常广泛。

例如，在统计学中，常常需要评估变量之间的相关性，这时可以使用卡方不等式。

二、信息论中不等式的应用分析信息论中的不等式具有广泛的应用，在各个领域都有着重要的作用。

常见的应用领域有机器学习、数据挖掘、信号处理、密码学、概率论和统计学等。

信息论复习题

• 1.什么是平均自信息量与平均互信息，比较一下这两个概念的异同？• 答：平均自信息为• 表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。

• 平均互信息•表示从Y 获得的关于每个X 的平均信息量，也表示发X 前后Y 的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。

2.简述最大离散熵定理。

对于一个有m 个符号的离散信源，其最大熵是多少？答：最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。

• 最大熵值为3.解释信息传输率、信道容量、最佳输入分布的概念，说明平均互信息与信源的概率分布、信道的传递概率间分别是什么关系？答：信息传输率R 指信道中平均每个符号所能传送的信息量。

信道容量是一个信道所能达到的最大信息传输率。

信息传输率达到信道容量时所对应的输入概率分布称为最佳输入概率分布。

4.解释无失真变长信源编码定理。

答：只要，当N 足够长时，一定存在一种无失真编码。

5.解释有噪信道编码定理。

• 答：当R ＜C 时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。

6.离散平稳信源• 答：若信源输出的消息是取值离散的随机序列，随机序列的任意有限维的概率分布不随时间平移而改变，则称为离散平稳信源。

7.即时码答：如果在译码过程中只要接收到每个码字的最后一个符号就可立即将该码字译出，这种码称为即时码。

8.信道容量答：信息能够可靠传输的最大信息传输速率。

9.信源信道编码定理• 答：设有一离散无记忆平稳信道的每秒容量为C ，一个离散信源每秒的熵为H ，那么，如果H < C ，总存在一种编码系统，使得信源的输出以任意小的错误概率通过信道传输；反之，如果H > C 时，对任何编码编码系统，译码差错率>010.信道疑义度• 答：设信道的输入与输出分别为X 、Y ，定义条件熵H(X/Y)为信道疑义度。

它有如下含义：• 信道疑义度表示接收到Y 条件下X 的平均不确定性；根据I(X;Y)=H(X)-H(X/Y)，信道疑义度又表示X 经信道传输后信息量的损失；接收的不确定性由信道噪声引起，在无噪情况下，H(X/Y)=0。

柯西不等式多维形式及其推论的证明

柯西不等式多维形式及其推论的证明柯西不等式是数学中一个重要的不等式，它可以表示为多维形式。

柯西不等式在很多领域都有广泛的应用，例如线性代数、凸优化、信息论等。

本文将介绍柯西不等式的多维形式，并且给出它的一些推论的证明。

1. 定义和形式化在数学中，柯西不等式是一个重要的不等式，它可以用来限制一个函数的行为。

柯西不等式的通用形式为：$$f(x\_1,x\_2,\dots,x\_n) \geqslant 0$$其中 $f$ 是一个实值函数，$x\_1,x\_2,\dots,x\_n$ 是 $n$ 个实数。

柯西不等式可以被用来限制一个多元函数的值域。

柯西不等式也可以表示为多维形式，即：$$f(\mathbf{x}) \geqslant 0$$其中 $\mathbf{x}$ 是一个 $n$ 维向量。

多维柯西不等式是柯西不等式的推广，它具有更广泛的应用。

在实际应用中，柯西不等式通常被用来限制一个函数的值域，使得该函数在某些条件下具有某些性质。

柯西不等式在很多领域都有广泛的应用，例如线性代数、凸优化、信息论等。

2. 多维柯西不等式的证明多维柯西不等式是柯西不等式的推广，它可以用来限制一个多元函数的值域。

多维柯西不等式的通用形式为：$$f(\mathbf{x}) \geqslant 0$$其中 $\mathbf{x}$ 是一个 $n$ 维向量，$f$ 是一个实值函数。

证明多维柯西不等式的方法有很多，具体方法取决于具体的函数 $f$ 以及所满足的条件。

在本文中，我们将介绍几种常见的证明方法。

首先，我们可以使用数学归纳法来证明多维柯西不等式。

这种方法适用于当 $f$ 满足一些递推关系时。

其次，我们可以使用数学归纳法的变形来证明多维柯西不等式。

这种方法适用于当$f$ 满足一些递推关系，但不能直接使用数学归纳法时。

第三，我们可以使用数学归纳法的变形来证明多维柯西不等式。

这种方法适用于当$f$ 满足一些递推关系，但不能直接使用数学归纳法时。

信息熵的概念及其在信息论中的应用

信息熵的概念及其在信息论中的应用信息熵是信息论中一个重要的概念，它被用来衡量一段信息的不确定性或者说信息的平均编码长度。

熵的概念最早由克劳德·香农在1948年提出，对于信息的量化和信源编码具有重要的理论和实际应用。

本文将对信息熵的概念进行详细的介绍，并探讨其在信息论中的应用。

一、信息熵的定义信息熵可以看作是一个信源所产生的信息的不确定性度量。

当一个信源产生的符号具有均匀分布时，熵的值最大；而当信源的输出符号呈现高度集中的分布时，熵的值最小。

具体地，对于一个离散型信源，其熵的定义如下：H(X) = -Σp(x)log2p(x)，其中，H(X)表示信源X的熵，p(x)表示信源X输出符号x出现的概率。

二、信息熵的解释信息熵可以理解为对信息的平均编码长度的期望。

在信息论中，我们可以通过霍夫曼编码等方法对信息进行编码，使得熵最小化，从而达到最高的编码效率。

假设信源X有n个符号，出现的概率分别为p1, p2, ..., pn，则信源X的平均编码长度L为：L = ΣpiLi，其中，Li为信源X的符号i的编码长度。

根据不等式关系log2(p1/p2) <= p1/p2，我们可以得到：H(X) = -Σp(x)log2p(x) <= Σp(x) * (-log2p(x)) = Σp(x)log2(1/p(x)) = Σp(x)log2n = log2n，即熵的值小于等于log2n，其中n为符号的个数。

当n个符号均匀分布时，熵的值达到最大，即log2n。

三、信息熵的应用信息熵在信息论中具有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。

1. 数据压缩信息熵在数据压缩中起到重要的作用。

根据信息论的原理，我们可以利用数据的统计特性进行有损压缩。

对于频率出现较高的符号，我们可以分配较短的编码，而对于出现频率较低的符号，则分配较长的编码。

通过这种方式，我们可以大大减少数据的存储空间，提高传输效率。

2. 通信系统信息熵在通信系统中也有重要应用。

信息导论-第6讲-信源熵

信源熵的度量
03
熵的离散型度量
离散型熵
离散型熵是用于度量离散随机变量不确定性的量，其定义基于概率分布。对于一个离散随机变量X，其熵H(X)定义为H(X)=−∑p(x)log⁡p(x)text{H}(X) = -sum p(x) log p(x)H(X)=−∑p(x)logp(x)，其中p(x)是随机变量取某个值的概率。
深入研究信源熵与信息论其他概念，如互信息、相对熵等之间的联系，有助于更全面地理解信息传递的本质。
扩展信源熵到多维和连续变量
目前信源熵主要应用于离散随机变量，未来研究可以探索将其扩展到多维和连续变量的情况，以更好地描述复杂数据。
信源熵的量子化研究
随着量子信息理论的不断发展，探索信源熵在量子领域的表现和性质，有望为信息理论带来新的突破。
条件熵
条件熵是在给定某个条件随机变量下，另一个随机变量的熵。条件熵H(X∣Y)表示在已知Y的条件下，X的不确定性。
熵的连续型度量
连续型熵
对于连续随机变量，其熵的度量方式略有不同。连续型熵通常使用概率密度函数来定义，并涉及到积分运算。
条件连续型熵
与离散型条件熵类似，连续型条件熵表示在给定某个连续随机变量条件下，另一个连续随机变量的不确定性。
03
通过信源熵的分析，可以帮助决策者更好地理解和评估决策的风险，从而做出更明智的决策。
信源熵与其他信息论
05
概念的关联
与互信息的关系
互信息
互信息是描述两个随机变量之间相互依赖程度的概念，它表示一个随机变量中包含的关于另一个随机变量的信息量。在信息论中，互信息用于度量两个信源之间的相互依赖程
度。
熵的极限性质
熵函数的连续性

信息论中的重要不等式

相对熵的性质
p( x) q( x) D ( p || q ) 0 ，等号成立 D ( p || q )是概率分布对 ( p , q ) 的凸函数
7
互信息
X 信源 P(X
Y 信宿 P (Y
x2 , , xi , , x n x1 , , p ( xi ) 1 ) p ( x1 ), p ( x 2 ), , p ( x i ), , p ( x n ) i
3.合写：
I ( X ;Y )

i j
p ( x i y j ) lo g 2
p ( xi y j )
p ( x i ) p ( y j ) H(X) + H(Y) – H(XY)
I (Y ; X )
18
平均互信息（物理意义）
1. I(X;Y)= H(X) – H(X/Y) (1) H(X)——信源熵：X的不确定度 H(X/Y)——已知Y时，对X仍剩的不确定度 [结论]―Y已知”使得对X的不确定度减小了, 即获得了I(X;Y) 的信息量 (2) H(X)——信源含有的平均信息量(有用总体) I(X/Y)——信宿收到的平均信息量(有用部分) [结论] H(X/Y)—因信道有扰而丢失的平均信息 19 量，故称损失熵

9
互信息
1. 互信息 (1) yj对xi的互信息 I(xi;yj) p ( xi / y j ) I ( x i ; y j ) lo g 即： I(xi;yj)= I(xi)- I(xi/yj) p ( xi ) p(xi) ——先验概率：信源发xi的概率 p(xi/yj)——后验概率：信宿收到yj后，推测信源发xi的概率 [含义] 互信息I(xi;yj) =自信息I(xi) - 条件自信息I(xi/yj) ＊I(xi) __信宿收到yj之前，对信源发xi的不确定度＊ I(xi/yj) __信宿收到yj之后，对信源发xi的不确定度＊ I(xi;yj) __收到yj而得到(关于xi )的互信息 =不确定度的减少量 10

(完整版)信息论第五章答案

5.1 设信源⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡01.01.015.017.018.019.02.0)(7654321x x x x x x x X P X (1) 求信源熵H(X)； (2) 编二进制香农码；(3) 计算平均码长和编码效率。

解： (1)symbolbit x p x p X H i i i /609.2)01.0log 01.01.0log 1.015.0log 15.017.0log 17.018.0log 18.019.0log 19.02.0log 2.0()(log )()(2222222712=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=-=∑=%1.8314.3609.2)()(14.301.071.0415.0317.0318.0319.032.03)(=====⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑KX H R X H x p k K ii i η5.2 对信源⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡01.01.015.017.018.019.02.0)(7654321x x x x x x x X P X 编二进制费诺码，计算编码效率。

%2.9574.2609.2)()(74.201.041.0415.0317.0218.0319.032.02)(=====⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑KX H R X H x p k K ii i η5.3 对信源⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡01.01.015.017.018.019.02.0)(7654321x x x x x x x X P X 编二进制和三进制哈夫曼码，计算各自的平均码长和编码效率。

解：%9.9572.2609.2)()(72.201.041.0415.0317.0318.0319.022.02)(=====⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑KX H R X H x p k K ii i η%4.913log 8.1609.2log )()(8.1)01.01.015.017.018.019.0(22.01)(22=⨯====+++++⨯+⨯==∑m LK X H R X H x p k K ii i η5.4 设信源⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12811281641321161814121)(87654321x x x x x x x x X P X (1) 求信源熵H(X)；(2) 编二进制香农码和二进制费诺码；(3) 计算二进制香农码和二进制费诺码的平均码长和编码效率； (4) 编三进制费诺码；(5) 计算三进制费诺码的平均码长和编码效率；解： (1)symbolbit x p x p X H i i i /984.1128log 1281128log 128164log 64132log 32116log 1618log 814log 412log 21)(log )()(22222222812=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=∑==127/64 bit/symbol (2)二进制费诺码：香农编码效率：%100984.1984.1)()(64/127984.17128171281664153214161381241121)(======⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑KX H R X H x p k K ii i η费诺编码效率：%100984.1984.1)()(984.17128171281664153214161381241121)(=====⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑KX H R X H x p k K ii i η(5)%3.943log 328.1984.1log )()(328.14128141281364133212161281141121)(22=⨯=⋅===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑m K X H R X H x p k K ii i η5.5 设无记忆二进制信源⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1.09.010)(X P X先把信源序列编成数字0，1，2，……，8，再替换成二进制变长码字，如下表所示。

信息论举例讲解信息量熵及互信息量

1/4
1/3
0
0
x1
001
1/4
1/3
0
0
X2
010
1/8
1/6
1/2
0
X3
011
1/8
1/6
1/2
1
X4
100
1/16
0
0
0
X5
101
1/16
0
0
0
X6
110
1/16
0
0
0
x7I ( x3 ;011111)
lo1g/16p(x3 0011) p(x3 )
单位为比特
lo0g
1 1
8
30
熵是信源平均不确定性的度量, 一般情况下,它并不等于信宿所获得的平均信息量,只有在无噪情况下,二者才相等.为此我们需要学习条件熵. 同时我们由条件熵引出平均互信息量的概念,其可以用来衡量一个信道的好坏.
故：
I (x) I (x | y) log p(x | y) log p( y | x) I ( y) I ( y | x)
Hale Waihona Puke p(x)p( y)
这样，用I（x;y）或I（y;x）记该差式，称为x与y之间的互信息量，单位也为比特。
互信息量的性质
一、对称性：I(x;y)=I(y;x),其通信意义表示发出x收到y所能提供给我们的信息量的大小；
xi
0
1
2
P(xi) 1/3
1/6
1/2
单位：比I(特xi) log3
log6
log2
自信息量的涵义
自信息量代表两种含义：一、事件x发生以前，I(x)表示事件x发生的不确定性；二、当事件x发生以后，I(x)表示事件x所提供的信息量（在无噪情况下)。

信源熵公式

信源熵公式
信源熵是信息论中的一个重要概念，它是用来度量消息的丰富性和
复杂性的一种度量方法。

它的概念源于 Shannon 在 1948 年出版的文章Information Theory。

一、信源熵是什么
信源熵（即 Shannon 熵）是指数据量的复杂性程度的度量，即信息量
在消息中不确定性的度量。

它可以帮助我们测量消息中内容丰富程度，以及消息是否具有冗余性。

通俗来说，信源熵是一种度量消息中有多
少信息和无规律性的度量方法。

二、信源熵的计算公式
信源熵的计算公式是： H(p) = -∑p(i)logp(i) 。

其中，H(p)是具有信息量
p的信息源的熵，p(i)是每一种信息量的概率。

它很好地反映了消息的复杂性，但它不能用来衡量消息的可靠性，因
此不能按照 Shannon 熵来评估消息的独特性。

三、信源熵的应用
信源熵有很多应用，最重要的是在信号处理、声音分析、密码学、数
据库设计和模式分析等领域有广泛的应用。

例如在压缩文件时，可以
使用信源熵来确定哪些数据需要进行压缩处理，从而减小数据的量。

另外，信源熵也可以用来度量信号的复杂性，比如机器学习算法中的模型复杂度因子，可以使用信源熵来衡量模型的复杂度。

四、总结
信源熵是由 Shannon 在 1948 年提出的一种度量方法，它可以度量消息的复杂性和冗余性，可以帮助我们评估消息的信息量。

它被广泛应用于信号处理、声音分析、密码学、数据库设计和模式分析等领域，可以用来度量信号的复杂性，以及机器学习算法中的模型复杂度因子。