专题五： 利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题(有答案)

专题五：利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题（有答案）

➢知识指引

拱桥是我们生活中常见的一种建筑物，可以把它近似的看作抛物线，，通过建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质可以解决相关的问题，下面我们来学习一下抛物线型拱桥问题：

➢知识要点：

解决抛物线型问题的一般步骤：

（1）建立合适的平面直角坐标系；

（2）把问题中的已知数据与坐标进行联系；

(3)用待定系数法求出抛物线对应的解析式；

（4）利用二次函数的图象及性质分析并解决问题.

➢知识小结：

（1）在建构二次函数模型，把实际问题转化为二次函数时，能够将实际距离准确的转化为点的坐标，并选择运算简便的方法进行计算

（2）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.

➢典型例题：

类型一：与拱桥有关的水位升降问题

【例1】图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：

（1）求拱桥所在抛物线的解析式；

（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？

【解析】（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2＋b（a≠0）

∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m

∴点C（0，2），点B（2，0）

代入，得{

b=2，

4a＋b=0，

解得{

a＝−1

2

，

b＝2，

∴拱桥所在抛物线的解析式为y=－1

2

x2＋2

（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为－1，由y=－1

2

x2＋2，

令y=－1，则－1=－1

2

x2＋2.解得x=±√6.

∴水面宽度为√6−(−√6)＝2√6

【变式】如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．

（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？

【解析】（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐

标系，如图所示：

设抛物线解析式为y=ax2，点D的坐标为D（5，m），则B（10，m－3），

由抛物线经过点D和点B，可得{

25a＝m，100a＝m−3，

解得{a＝−1

25

，

m＝−1，

∴抛物线的解析式为y=－1

25

x2；

（2）由（1）可得CD距拱顶的距离为1m，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为1

0.2

=5（小时）．

∴从警戒线开始，再持续5小时就能到达拱桥的拱顶．

类型二：与拱桥有关的方案设计选择问题

【例2】某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m 加设不锈钢管（如图）做成立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．

（1）求该抛物线的解析式

（2）计算所需不锈钢管的总长度．

【解析】（1）建立如图所示平面直角坐标系，由题意得B（0，0.5）、C（1，0）设抛物线的解析式为：y=ax2＋c，

代入得{

c=0.5，

a+c=0，

解得{

a=－0.5，

c=0.5，

故解析式为y=－0.5x2＋0.5；

（2）如图：

∵当x=0.2时，y=0.48，

当x=0.6时，y=0.32，

∴B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4=2×（0.48＋0.32）=1.6米

∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×50=80米．

【变式】如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，在长度为8m的两支柱OC和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离为5m.

（1）建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数解析式；

（2）求支柱EF的长度.

（3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3m 的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于0.3m ），行车道最宽可以铺设多少米？

【解析】（1）根据题意，设拱桥抛物线的函数解析式为：y=a x 2+bx ， ∵相邻两支柱间的距离均为5m ，∴OA=4×5m=20m， ∴（20，0），（10，6）两点都在抛物线上，

∴400200,10010 6.a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得3,50

6.5a b ⎧

=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

∴236505y x x =-

+． （2）设点F 的坐标为（15，y ），

∴236915155052

y =-

⨯+⨯=．∴EF=8m －92m=7

2m=3.5m ． （3）当y=3＋0.3=3.3（m ）时，有236

3.3505

x x -+=， 化简，得220550x x -+=，解得x 1=10+3√5, x 2=10-3√5， ∴x 1− x 2=6√5≈13.4．

答：行车道最宽可以铺设13.4米．

➢ 跟踪训练：

1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为y=－－1

4x 2

，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为

（ ）

A ．－6m

B ．12m

C ．16m

D ．24m