第四章 点群 2014汇总
结构化学第四章习题讲解
《结构化学》第四萃习题4001厶和人不是独立的对称元素• I大1为心___ ，/6= ________4002判断：既不存在G轴.又不存在6时，久轴必不存在。
--------------------- ()4003判断：在任何情况下，S^E。
------------------------- ()4004判断：分子的对称元素仅7种，即o , i及轴次为1. 2. 3, 4, 6的旋转轴和反轴。
4005下面说法正确的是：------------------- ()(A)分子中各类对称元素的完全集合构成分子的对称群(B)同一种分子必然同属于一个点群.不同种分子必然属于不同的点群(C)分子中有&轴.则此分子必然同时存在G轴和6面(D)tfirfliod —定也是镜而64006下面说法正确的是：------------------- ()(A)如构成分子的各类原子均是成双出现的，则此分子必有对称中心(B)分子中若有C,又有i,则必有o(C)凡是平面型分子必然属于C,群(D)在任何情况下，= E4008对称元素G与6组合•得到 ___________________ : C”次轴与垂直它的G组合，得到.4009如果图形中有对称元素S6,那么该图形中必然包含:(A) a. 6 (B)C3，Qh (C)G，i (D)Cj i4010判断：因为映轴是旋转轴与垂直于轴的面组合所得到的对称元素.所以点群分子中必有对称元素6 和Cno ----------------------------- ()4011给出下列点群所具有的全部对称元素：(l)C2h (2) C JV⑶⑺⑷0⑸C引4012假定CuCl卩原來属于门点群，四个C1原子的编号如下图所示。
十出现下面的变化时•点群将如何变化(写出分子点群)。
(1)Cu-Cl(l)键长缩短(2)Cu-Cl(l)和Cu—C1⑵缩短同样长度(3)Cu-Cl(l)和Cu-Cl(2)缩短不同长度(4)0(1)和Cl(2)两原子沿这两原子(5)C1 (1)和CK2)沿其连线逆向移动相同距离.0(3)和Cl(4)亦沿其连线如上同样距离相向移动ci2--Cu-CL (Ch和Cb在纸面以上,X I C12和CX在纸面以下)4013d'(d._ 如.d 2-.2)sp4)杂化的几何构型属于 _________________ 点群°4014已知络合物MAaB：的中心原子M是dtp］杂化.该分子有多少种界构体？这些界构体备属什么点群？4015有一个AB.分子，实验测得其偶极矩为零且有一个三重轴，则此分子所属点群是4016有两个分子，NDH B和CHF"它们都为非极性，且为反磁性，则N3B3H6几何构型 __________________ 点群__________ o C1H4F2几何构型________ ，点群__________ 。
第四章 点群 2014.
二、点群种类
第一类点群：所有群元在实空间中的变换矩阵R的
行列式 det R = 1。也称正当点群。
第二类点群：包含镜面反射操作，det R =±1。也 称非正当点群。 • 两种点群的数目都很有限。
2
三、第一类点群的种类
某转轴基转角 = 2������/m ， P3 点群的一个循环子群 • 轴是 cm 的转轴， m重轴； 对应 m 个旋转； P2
操作转到另一个转轴上）
，
极点星：由群的操作联系起来的极点的集合。 极点星 : (m, ν) ，对应 ν(m1) 个群元；
（ m : 重数，ν : 极点星中极点数）
极点星
: (m, ν) ，对应 ν(m1) 个群元。
（与前者的极点可能相同或不同）
4
一个点群有多少不同极点星？ 设有 λ 个不同极点星，共有极点数：
OO′
* 一个二重轴与过该轴的两正交镜面彼此相关， 存在两个，第三个必存在。
14
2. 转 ������ 角的转动与含该转轴镜面的反射相继操作， 相当于含该转轴的另一镜面的反射操作，两镜 面夹角 ������/2 。 如图，用几何方法易证。 推论A：若两镜面夹角������/n， 则交线是 n 重轴。若一镜 面包含了一个 n 重轴，则 同时存在夹角为 ������/n 的其 它 n – 1 个镜面。
11
3. 旋转反射轴（像转轴） sn ： sn = σhcn （σhc2 的推广） 只有偶数重的 sn 轴：s2，s4，s6 ；奇重 sn 轴分别体现 cn和σh 对称性，即 Sn ( n = 1, 3, 5 ) = Cn⊗ C1h .
• n偶数时，sn 生成新的对称群； • n奇数时， sn生成的群包含纯 cn和σh 操作，旋转 反射轴失去意义。如 即
点群
若分子中只要有两个对称元素仅仅相交于一 点时，则分子就不存在偶极矩。这就是分子偶极 矩的对称性判据。
例题
G中任一元素R均有其逆元素 R1， R1 亦属于G， 且有 RR1 = R1R = E
B、群的阶和子群
群中元素的数目为群的阶，群中所包含的小群称为子群。群阶和
子群的关系为：大群阶（h）/子群阶（g）=正整数（k）
C、共轭元素和群的分类
若X和A是群G中的两个元素，有 X 1AX = B ，这时，称A 和
点群示例
D 2h
C2H4
D4h
ReCl8
Dnd 群 点群定义 在 轴夹Dn角群的的对基称础面上，sd加，上就一得个到通过DCndn群轴它又有平4分n个各群相元邻素两.个C 2
点群表示
D nd
=
E,
Cn
,
C
2 n
,…
,
C
n n
1
,
C (1) 2
,
C
( 2
2
)
,
…
1,3,5,7四甲基 环辛四 烯
Td群
若一个四面体骨架的分子，存在4个C3 轴，3个C2轴，同时每个C2轴还处在两个互相 垂直的平面σd的交线上，这两个平面还平分另 外2个C2轴（共有6个这样的平面）则该分子 属Td对称性。对称操作为｛E，3C2，8C3， 6S4，6σd｝共有24阶。这样的分子很多。
,
C
(n 2
)
,
s
(1 d
)
,
s
( d
结构化学课后答案第四章
04分子的对称性【4.1】HCN和CS2都是直线型分子，写出该分子的对称元素。
解：HCN : C：:f ；CS2：C：：，C2 ,i【4.2】写出H3C CI分子中的对称元素。
解：C3，G3【4.3】写出三重映轴S和三重反轴1 3的全部对称操作。
解：依据三重映轴S3所进行的全部对称操作为：s3=<ih C3 &=町s3 = c3 s3 s3 = E依据三重反轴1 3进行的全部对称操作为：I3=Q3, ifI34二c3, i3s4 =Oh C；,S4 =C2,s^=^h C43,s4 = E依据|4进行的全部对称操作为:1 1 214 =0,丨4【4.5】写出二xz和通过原点并与轴重合的C2轴的对称操作C2的表示矩阵。
【4.6】用对称操作的表示矩阵证明：（a）C2 z 匚=i （匕）C2 x C2 y = C2 z （C）L=C2 z解：(a)■x lj y =C=C3 , 13 = i =iC； , I3 =E【4.4】写出四重映轴S4和四重反轴1 4的全部对称操作。
解：依据S4进行的全部对称操作为:解:-10 0〕■100〕^xz =0—1 0_1100 1_卫0T」C 2 z；「xy 云 1 1推广之，有， C 2n z ；「xy = ；「xy C 2n z =i即：一个偶次旋转轴与一个垂直于它的镜面组合，必定在垂足上出现对称中心。
C 2轴，则其交点上必定出现垂直于这两个 C 2轴的第三个C 2轴。
推广之，交角为2二/2n 的两个轴组合，在其交点上必定出现一个垂直于这两个 C 2轴C n 轴，在垂直于C n 轴且过交点的平面内必有 n 个C 2轴。
进而可推得，一个C n 轴与垂 直于它的C 2轴组合，在垂直于 C n 的平面内有n 个C 2轴，相邻两轴的夹角为 2二/2n 。
这说明，两个互相垂直的镜面组合， 可得一个C 2轴，此C 2轴正是两镜面的交线。
推而广之, 若两个镜面相交且交角为 2- /2n ，则其交线必为一个 n 次旋转轴。
结构化学 第四章练习题
第四章 分子点群1.（中山96）①3NH 分子所属的点群是（C ）A. 3CB. 3DC. 3V CD. 3h D ②下列分子中有偶极矩的是（ B ）A. 2CSB. 2H SC. 3SOD. 4CCl 2. (中山97)①FCH C CHF ==分子的点群为(2C )②属于(C n )点群的分子，既有旋光性，也有偶极矩。
③有偶极矩的分子有( B )A. 2COB. 2H OC. 4CHD.苯 ④丙二烯分子的点群为( D )A. 4SB. 2DC. 2h DD. 2d D3. (中山98) 3AsH ,3ClF ,3SO ,23SO -,3CH +,3CH -中偶极矩为零的是（B ） A ClF 3和CH 3- B. SO 3和CH 3+ C. AsH 3和CH 3- D. ClF 3和SO 32-[ClF 3：sp 3d 2杂化，T 型。
CH 3- ：sp 3杂化，三角锥型] [SO 3：sp 2杂化,平面正三角形。
CH 3+：sp 2杂化,平面正三角形] [AsH 3和CH 3-：三角锥。
SO 32-：sp 3杂化，三角锥型]ClF 34.（中山99）AlF 63-离子中心Al 的杂化轨道为(3s,3p x ,3p y ,3p z ,3d x2-y2,3d z2) 几何构型为(正八面体)，分子点群为(O h )群。
5.（南开96）写出下列分子所属点群的熊夫列符号。
C=CH HH H2h D C=C HClClH2h CC=C H HClCl 2V C6. (南开95) 下列所属点群为：CHFClBr (C 1) CHClBr 2 (Cs) CHCl 3 (C 3v ) CCl 4 (T d ) 7.（南开94）联苯有三种不同构象，两个苯平面构成之二面角α分别为（1）α＝0°，（2）α＝90°，（3）0°＜α＜90°,判断这三种构象所属点群。
（1）2h D （2）2d D （3）2D 8.（南开92）H 2O 分子属于(C 2v ) 群 NH 3分子属于(C 3v ) 群 CH 4分子属于(T d ) 群 苯分子属于(D 6h ) 群 9.（北大94） 写出下列分子所属点群的记号及有无偶极矩。
点群与晶系分析课件
空间群确定
根据晶体结构分析结果， 确定空间群，以便进一步 研究晶体结构和性质。
点群与空间群关系
理解点群与空间群之间的 关系，有助于理解晶体结 构和物理性质。
晶系分析方法
晶系分类
01
根据晶体对称性对晶系进行分类，包括立方、四方、六方等晶
系。
晶格常数
02
测量和计算晶体的晶格常数，有助于确定晶系和进一步研究晶
晶系的特点
每个晶系都有其独特的几何特征和对 称元素，这些特征决定了晶体在三维 空间中的结构和性质。
晶系的对称性
对称操作
晶体的对称性是指晶体在三维空 间中能够通过某些操作保持不变 的性质。这些操作包括旋转、平
移和反演等。
对称元素
晶体中存在的对称元素，如对称面 、旋转轴和反演中心等，决定了晶 体的对称性。通过对称元素可以将 晶体分类到不同的晶系。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
点群与晶系的实际应用
材料科学中的点群与晶系应用
晶体结构预测
利用点群和晶系分析，可以预测材料的晶体结构，从而影响其物理 和化学性质。
相变研究
通过分析点群和晶系，有助于研究材料在不同温度和压力下的相变 行为，为材料制备和应用提供指导。
生物学
在生物学中，点群和晶系分析可用于研究蛋白质的结构和功能，对 于药物设计和疾病治疗具有重要意义。
点群与晶系的发展趋势
高压和高温下的点群和晶系研究
随着实验技术的不断发展，人们开始探索高压和高温条件下晶体结构的对称性和稳定性。
点群和晶系的计算模拟
利用计算机模拟技术，可以更准确地预测和理解晶体结构和性质，有助于发现新的材料和 化合物。
[理学]北师大的群论__第四章 点群
![[理学]北师大的群论__第四章 点群](https://img.taocdn.com/s3/m/de4b1d7d3c1ec5da50e27069.png)
第四章 点群及其应用复习：§4.1 点 群点群描写系统的宏观对称性； 平移对称操作与微观对称性、空间群。
能带。
正当转动点群及其非任意性（除球之外） 极点、极点星（ν,m ）除单位元外，群的极点数满足有即 2)111(121<+++-≤λλm m m得到 λ= 2 或3组：两个极点星（n ，1）、（n ，1）；Cn 群 三个极点星（2，n ）、（2，n ）、（n ，2）；Dn 群 （2，6）、（3，4）、（3，4）； T 群 （2，12）、（3，8）、（4，6）；O 群（2，30）、（3，20）、（5，12）；P 群 第一类点群（正当转动点群）, 11个，第二类点群（含有非正当转动点群），21个 晶体点群共有32个。
准晶体，包含5度对称轴的点群； 新增加了5个晶系、28个准晶点群。
§4.2 晶体点群的对称操作及对称元素 晶体点群的对称操作：4种8个 （1）c n， （5个）（2）镜面反射（镜面反映）σ （3）中心反演 I（4）旋转反射（旋转反映）s n（只有s 4独立）对称操作之间的关系： （1）同轴的两个转动（2）两个镜面的连续操作～转动（转角）（3）（镜面）（转动 ）～镜面（夹角 ）（4）C 2vC 2u ～ C w （转角，转轴）（5）可对易的对称操作对称元素在对称操作下，不动的点、线（转轴）、面。
（1）对称元素之间的关系：两镜面（夹角 ）之间的交线，必为一转轴； （镜面）+（n 度转轴）→共n 个镜面；两个2度轴（ ）→垂直的n 度轴；2度轴+与之垂直的n 度轴→共n 个2度轴。
（2）某些特殊的对称元素 主轴等价轴、等价面双向轴（定义，两个判定）（3）图示对称元素的方法（群的图示） 极射投影图（无主轴）作业：1. 习题4. 12. 图示上述6对可对易的对称操作。
3. 习题4. 3§4.3 晶体点群§4.3.1 32个晶体点群附：可能的正多面体，只有5种：面心立方晶体的布里渊区（形状为截角八面体）体心立方晶体的布里渊区体心立方晶体布里渊区的形状名称？正十二面体？不是！形状称为菱形十二面体、或菱十二面体。
第四章 第一节 布洛赫定理
该方程可以在一个正点阵元胞内求解，属于在有 限区域内的厄米本征值问题，应该有无穷多分立 的本征值E n(k)，对应无穷多的本征函数。
2. 对于一个确定的n， 能量本征值和波函
数都是k的周期函数
我们注意到
其中 将
仍然是正点阵的周期函数 代入能量本征值方程，得到
对比
它们完全相同，因此
即
有相同的本征值，即
对所有具有时间反演对称性的晶体能谱有：
由式子4.1.20有
两边取共轭，k -> -k
能量本征值必须是实数：
结果
满足同一方程，有
5. 等能面垂直于布里渊区界面
等能面定义为k空间，所有能量相等的k构成的曲面。
布里渊区界面是K h的中垂面，因此相对于K h 和-K h的一对布里渊区界面有镜面反演对称。 设A，B为布里渊区界面上关于m对称的两个点，a, b为 布里渊区界面上关于m对称的两个点。它们之间正好 相差一个倒格矢K h。 过a,b两点等能面的法线为
这就是布洛赫定理。
当平移晶格矢量R时，同一能量本征值的波函数只增 加一个相位因子。
注意：不是R的周期函数！
布洛赫定理的另一种表达形式： 周期势场中的单电子波函数可以写成一个调幅的 平面波（布洛赫波函数）：
其中调幅因子u满足R的周期性：
很显然，该函数必然满足布洛赫定理
与自由电子波函数相比，周期场的作用只是用一 个调幅平面波取代了平面波，称为布洛赫波。
平移算符
晶体最重要的特征是平移对称性，定义三个基本的 平移算符： 对任一函数：
它们是可对易的：
同时，平移算符 也是可对易的：
与哈密顿
即
这四个算符具有相同的本征函数，可以用它们所对 应的本征值的量子数来标志周期中的单电子态。
结构化学第四章理解练习知识题
第四章 分子点群1.（中山96）①3NH 分子所属的点群是（C ）A. 3CB. 3DC. 3V CD. 3h D ②下列分子中有偶极矩的是（ B ）A. 2CSB. 2H SC. 3SOD. 4CCl 2. (中山97)①FCH C CHF ==分子的点群为(2C )②属于(C n )点群的分子，既有旋光性，也有偶极矩。
③有偶极矩的分子有( B )A. 2COB. 2H OC. 4CHD.苯 ④丙二烯分子的点群为( D )A. 4SB. 2DC. 2h DD. 2d D3. (中山98) 3AsH ,3ClF ,3SO ,23SO -,3CH +,3CH -中偶极矩为零的是（B ） A ClF 3和CH 3- B. SO 3和CH 3+ C. AsH 3和CH 3- D. ClF 3和SO 32-[ClF 3：sp 3d 2杂化，T 型。
CH 3- ：sp 3杂化，三角锥型] [SO 3：sp 2杂化,平面正三角形。
CH 3+：sp 2杂化,平面正三角形] [AsH 3和CH 3-：三角锥。
SO 32-：sp 3杂化，三角锥型]ClF 34.（中山99）AlF 63-离子中心Al 的杂化轨道为(3s,3p x ,3p y ,3p z ,3d x2-y2,3d z2)几何构型为(正八面体)，分子点群为(O h )群。
5.（南开96）写出下列分子所属点群的熊夫列符号。
C=CH HH H2h D C=C HClClH2h CC=C H HClCl 2V C6. (南开95) 下列所属点群为：CHFClBr (C 1) CHClBr 2 (Cs) CHCl 3 (C 3v ) CCl 4 (T d ) 7.（南开94）联苯有三种不同构象，两个苯平面构成之二面角α分别为（1）α＝0°，（2）α＝90°，（3）0°＜α＜90°,判断这三种构象所属点群。
（1）2h D （2）2d D （3）2D 8.（南开92）H 2O 分子属于(C 2v ) 群 NH 3分子属于(C 3v ) 群 CH 4分子属于(T d ) 群 苯分子属于(D 6h ) 群 9.（北大94） 写出下列分子所属点群的记号及有无偶极矩。
第四章 点群 2014
4. 旋转反射群 Sn (3种)：S2，S4，S6 （g = n） 5. 双面群 Dn (4种)：D2 , D3 , D4 , D6 （g = 2n） D1 = C2 （由推论B可得 g = 2n ） 6. Dnh群 (4种) ：D2h , D3h , D4h , D6h （g = 4n） 有1个σh 面(2重轴所在面) n个σv 面(n重轴与2重轴平面，推论A)
（双面体）
7
（b.2）m1 = 2，m2 = 3： （ i） ； T 群（正四面体）
，
（ii）
O 群（正方体）
（iii）
I 群（正十二面体）
第一类点群： Cn，Dn ，T 群，O 群，I 群 晶体点群；分子点群
8
◇ 晶体中，转动轴的重数只能是 1，2，3，4 和 6 .
证明：设有一 n重轴，垂直该轴的一平面过一系列 格点，组成无限大二维点阵。设该转轴过格
（ 1）
对左陪集 中任一元素 ，有
， 一个陪集中各元素效果相同，只生成一个等价轴。 陪集分解： 则 所以， . （ 2） ，
5
有意义的点群 g ≥ 2 ,
∵m≥2,有 λ = 1 或 λ ≥ 4 时，(3) 式不成立，所以 λ = 2 或 3 . （ a） λ = 2： ，
g重转轴： 起点
末点
6
单轴转动群 Cn （g = n）
11
3. 旋转反射轴（像转轴） sn ： sn = σhcn （σhc2 的推广） 只有偶数重的 sn 轴：s2，s4，s6 ；奇重 sn 轴分别体现 cn和σh 对称性，即 Sn ( n = 1, 3, 5 ) = Cn⊗ C1h .
• n偶数时，sn 生成新的对称群； • n奇数时， sn生成的群包含纯 cn和σh 操作，旋转 反射轴失去意义。如 即
第四章点群
《结构化学》第四章习题4001I 3和I 6不是独立的对称元素，因为I 3= ，I 6= 。
4002 判断：既不存在C n 轴，又不存在σh 时，S n 轴必不存在。
----------------------------( ) 4003 判断：在任何情况下，=2ˆn S E ˆ 。
---------------------------- ( ) 4004 判断：分子的对称元素仅7种，即σ ，i 及轴次为1，2，3，4，6的旋转轴和反轴。
( ) 4005 下面说法正确的是：---------------------------- ( )(A) 分子中各类对称元素的完全集合构成分子的对称群(B) 同一种分子必然同属于一个点群，不同种分子必然属于不同的点群(C) 分子中有 S n 轴，则此分子必然同时存在 C n 轴和σh 面(D) 镜面σd 一定也是镜面σv4006 下面说法正确的是：---------------------------- ( )(A) 如构成分子的各类原子均是成双出现的，则此分子必有对称中心(B) 分子中若有C 4，又有i ，则必有σ(C) 凡是平面型分子必然属于C s 群(D) 在任何情况下，=2ˆn S E ˆ 4008 对称元素C 2与σh 组合，得到___________________；C n 次轴与垂直它的C 2组合，得到______________。
4009 如果图形中有对称元素S 6，那么该图形中必然包含：----------------------------( ) (A) C 6， σh (B)C 3， σh (C) C 3，i (D) C 6，i 4010判断：因为映轴是旋转轴与垂直于轴的面组合所得到的对称元素，所以S n 点群分子中必有对称元素σh 和C n 。
----------------------------( ) 4011 给出下列点群所具有的全部对称元素：(1) C 2h (2)C 3v (3) S 4 (4)D 2 (5) C 3i 4012 假定 CuCl 43-原来属于 T d 点群，四个 Cl 原子的编号如下图所示。
4-第四章-晶体学点群
中国科学院金属研究所 隋曼龄
2007.3.1-4.6
第一章 对称操作 第二章 二维晶体学 第三章 群论初步 第四章 晶体学点群 第五章 点阵、晶系与晶体学中的坐标系 第六章 空间群的推导 第七章 空间群图表的认识与使用
G = H U nH
G = HU 1nH
由G可给出 G ：
设G为纯旋转点群，且有个指数为2的子群H，则作出
的集合 G = H U 1(G \ H ) 必为非纯旋转点群。
其中 1(G \ H ) 表示把点群G中除子群H之外的对称
操作n全部换成非纯旋转操作的所得的集合。
找出11个纯旋转晶体学点群G的指数为2的子群H，将
cos w = cosW + cosU cosV sinU sinV
A
w
U=α/2
B V=β/2
cosu = cosU + cosV cosW sinV sinW
v
u
W=γ/2
cosv = cosV + cosW cosU
C
sinW sinU
二、晶体中旋转轴的可能组合
U、V、W为旋转角之半，则对于1，2，3，4，6次旋转轴， U，V，W的值为：
Octahedral
六、小结：
点群
1 2 3 4 6 222 32 422 622 23 432
11个第一类（纯旋转）晶体学点群及子群
阶
子群
11
2 12
31
3
4 12
4
6 123
6
4 12
222
6 123
32
8 12
第四章 点群 2014汇总
一、定义
若一个物质体系的某些对称操作构成群，且在该
群所有群元操作下，体系中至少有一个点的空间坐
标保持不变，则该群为该体系的一个点群。
（1）点群的所有群元都是点操作；
（旋转，反射，或它们的组合）
（2）两次反射的平面必须相交。旋转轴与反射面
必须有公共点。两个转轴必须相交（共点）；
1. 单轴旋转群Cn (5种)：C1 , C2 , C3 , C4 , C6（g = n）
2. Cnh 群(5种)：C1h , C2h , C3h , C4h , C6h （g = 2n）
Cn , Cnh 是Abel群
3. Cnv 群(4种)： C2v , C3v , C4v , C6v （g = 2n）
C
c
( )
c
,c
,...,c
e
P2 P1
m
m
m
m
m
m
P3
Rj
点群的一个循环子群
• P1 P1 轴是 cm 的转轴， m重轴；
O
.
P3'
• 点P1和P1' 称为极点，m重极点，
对应 m 个旋转；
P1'
P2'
• 单位元无极点，因其极点任意；
• 除了单位元，每个群元有两个极点，
分别重合。
d c '
2
n
2 2n
利用 c
(c2*)
*
σ
c
c
c
α
d
2 d
2 2 h c z 2 h
O
d
φ
5.第四章：二维平面晶体学
1
x，
, c ycy
1
, 则 c ( yx ) a ( yx )
1
2
定义2： 群G中的所有相互共轭的元素的集合称为G的一个共轭类。 群G中所有元素可分为若干个共轭类素可分为 3 个共轭类
1; 3 ,31 ; m 1 , m 2 , m 3
交换群的每一个元素自成一个共轭类。 对于交换群中的任意两个元素a,b,有ab=ba,即a=bab-1
交换群中所有元素对任一元素的共轭变换均将这一元素变为自身。
即所有操作都将任一操作的对称要素共轭变换为自身。 例：单轴群Cn是交换群，群中的任何旋转都不会改变对称轴的位置。 例：C2h是交换群。 2 被 m h 翻转为自身，
1
p j Hp j H 则群 H 中任一元 h i 与群 P 中任一元 p j 乘积的集合 i 1, 2 , , r , j 1, 2 , , s G h i p j 称为群 H 和群 P 的半直积群，记为 G H P
半直积群G具有如下性质： （1） G h i p j 构成群。 （2）G中第一直积因子群H是P的不变子群。 （3）G的阶q=rs。
定义3： 设A,X为两个操作，则满足B=XAX-1的操作B称为与A近似， 或称B与A是近似操作。 若A 是一个方矩阵，则满足B=XAX-1的矩阵B称为A的相似矩阵， 相应的变换称为相似变换。 共轭操作要求a,b,x皆为群元素，相似关系A,B,X可不是群元素。 互为相似的矩阵间有两个不变量： （1）相似矩阵具有相同的迹。点操作矩阵W的迹Tr(W) 不随坐标系选取而变。 （2）相似矩阵具有相同的矩阵行列式。点操作矩阵的Det(W) 不随坐标系选取而变。
外直积群G具有如下性质： （1）G满足群的定义。 （2）G中两个直积因子群H和P都是G的不变子群。 （3）G的阶q=rs。
第4章群环域习题(最新)
第4章：群、环、域§4.1 代数运算习题4.11. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。
（1）集合}|{Z Z ∈⨯=z z n n 关于普通的加法和普通乘法运算，其中n 是一个正整数。
（2）集合}12|{+∈-==Z n n x x S ，关于普通的加法和普通的乘法运算。
（3）集合}10{，=S 关于普通的加法和普通的乘法运算。
（4）集合}2|{+∈==Z n x x S n，关于普通的加法和普通的乘法运算。
（5）所有n 阶)2(≥n 实可逆矩阵集合)(ˆR nM 关于矩阵加法和矩阵乘法运算。
对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和分配律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。
解：（1）任意Z b a ∈,，nZ b n a n ∈⨯+⨯，所以对普通的加法运算封闭。
nZ b a n b n a n ∈⨯⨯=⨯⨯⨯2)(，所以对普通的乘法运算封闭。
（2） 2. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。
（1）正实数集合+R 和*运算，其中*运算定义为：b a ab b a b a --=*∈∀+，，R（2）2}{21≥=n a a a A n ，，，， 。
*运算定义为： b b a A b a =*∈∀，，对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和等幂律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。
解：（1）不封闭。
例如1313311313-=--=--⨯=*，+∉-R 1 。
（2）封闭。
A b b a A b a ∈=*∈∀，，，所以*运算在A 上是封闭的。
+∈∀R c b a ,，， 有：b b a =*，而a a b =*，因为b a =不恒成立，即a b b a *≠*，所以*不满足交换律。
因为a c a c b a =*=**)(，a b a c b a =*=**)(， 所以)()(c b a c b a **=**，所以*满足结合律。
北京大学群论-第四章_点群
第四章 点群点群是物理学中有限群的重要例子，在分子物理、固体物理、化学等领域中有广泛应用。
§4.1 三维实正交群O (3)本节讨论三维欧氏空间R 3中的正交变换。
【定义4.1】 (三维欧氏空间R 3)定义了内积的实数域上的三维线性空间，记为R 3。
·系1 选定一组正交归一基（k j i,,）， 3R r ∈∀ ， k x j x i x r 321++=，R x x x ∈321,,·系2 内积(点乘)：r ∀，3R r ∈' ，332211)|(x x x x x x r r '+'+'=' ·系3 向量长度：3R r ∈∀ ，232221x x x r ++=·系4 向量r 和'r 的夹角α满足()r r r r ''=/c os α【定义4.2】 （实正交变换） 保持R 3中向量长度不变的线性变换称为实正交变换，记为O ，即3R r ∈∀ ，有()()r r r O r O =。
·系1 实正交变换是幺正变换。
3R r ∈∀ ，()()()r r r O O r r O r O ==+ 故有O O +=E ，E 为恒等变换。
故r ∀，3R r ∈' ，有()()()()r r r E r r O O r r O r O '='='='+ 故O 保持内积不变。
1)(d e t ))(d e t (d e t )d e t (2===++O O O O O故det O = ±1, O -1 = O +·系2 实正交变换保持R 3中矢量夹角不变。
()()r O r O r O r O r r r r ''=''= αcos ·系3 对于任意r r O ,和与r O 处于以原点为球心以r 为半径的球面上。
群论电子版第四章
第四章点群及其应用4.1点群点群是正交群？的离散子群.离散群?是指这个群对三维空间中的任意矢量？作用后,得到点集？并使空间的每一个有界子集中只包含这个点集的有限个点。
在点群的全部正交变换下三维空间至少有一点是不动的,所以,点群不包括平移(等距离变换),点群是有限的离散群。
如果一个系统在某一正交变换下不变(即与自身重合),那么这个变换就是系统的一个对称操作.一个系统拥有的对称操作越多,表明它的对称性越高.一个系统的全部对称操作组成的群是点群,称为这个系统的对称性群。
乍看起来,点群好像会有很多,其实不然.下面就来找出全部可能的点群。
正当转动点群由于正当转动与非正当转动是一一对应的,所以可先从正当转动出发,找出全部可能的正当转动点群,然后适当地配上非正当转动,就可以找到全部可能的点群。
正当转动点群的群元都是一些绕某轴转动?角的操作(记作?),而且同样的操作连续实行m次的的话,系统应与最初情况一样,即？。
因此,m是大于等于1的整数。
相应于?转动轴则称为m度轴。
如果能够知道在三维空间中能有几种m度轴，而且这些m度轴是如何配置组成正当转动点群的，那么，正当转动点群的数目也就知道了。
这种设想可以用下面的方法来实现。
以坐标原点为球心画一个单位半径的球。
如果存在一个m度轴的话，那么这个轴就必与球面交于两点？及？。
当绕这m度轴转动时，球面上的点将移动至球面上的其他位置（如从？），但？和？却保持不动，这种点成为极点。
若转轴是一个m度轴，则极点就称为m重极点。
绕m度轴转动的操作是？，？，？，这些操作构成了一个循环群？，它是点群？的一个子群。
可见子群？的每个群元都保持m重极点？，？不动。
如果点群？不是子群？本身，那么，必然存在某些群元？而不属？。
？也是一个转动操作，其作用是m重极点从？移动到？（？移动到？）处，？点同样也是m重极点，因为？表示由于？的作用，m度轴？移至？，转动？角后又将？轴转回？处。
可见？轴是与？轴等价的m度轴（？，？是共轭元），而？则与？一样是个m重极点。
第4章-4节
§4.4 分裂域 代数基本定理定义 4.4.1 设F 为域，[]f x ∈F 且deg 0f >．若存在域扩张F K /，使得f 在K 上可以分解为一次因式之积12()()()()n f x c x x x ααα=--- 其中c ∈F ，诸i α∈K 且12(,,,)n ααα=K F ，则称K 为f 在域F 上的分裂域（splitting field ）．由定义4.4.1又知，多项式f 在域F 上的分裂域即是f 的根集（所有根的集合）在F 上生成的域．例4.4.1 设2():2f x x =+．因()(2)(2)f x x x =+-，故()f x 在有理数域 上的分裂域为(2,2)(2){2|,}a b a b -==+∈但()f x 在实数域 上的分裂域为(2,2)-= ．又设2():1g x x =+，因()()()g x x i x i =+-，故()g x 在 上的分裂域为(,)(){|,}i i i a bi a b -==+∈ 而()g x 在 上的分裂域为(,)(){|,}i i i a bi a b -==+∈=()g x 在复数域 上的分裂域为 自身．定理 4.4.1 设F 为域．则[]f x ∀∈F 且deg 0f >，都存在f 在域F 上的分裂域K ．并且进一步地有，[:]!n ≤K F （其中:deg n f =）．证明 应用数学归纳法，对deg n f =归纳地证明．当1n =时，设()[]f x ax b x =+∈F ，其中,a b ∈F 且0a ≠，则1()()f x a x a b -=+，其中1a b -∈F ．于是，1()a b --=F F ，这时:=K F 即为f 的分裂域，且有[:]1deg f ==K F ．假设结论对deg 1f n =-的情况成立．现对于deg f n =，由定理3.9.3之3）知，[]x F 是惟一因子分解整环，于是存在f 的不可约因式[]g x ∈F ．由定理4.3.3知，存在F 的单扩张域1()αF ，使得1α是g 的根且1[():]deg 1g α=>F F ．于是由因式定理知，1()f x h α=-，其中1()[]h x α∈F 且deg 1h n =-．由归纳假设，存在h 在域1()αF 上的分裂域123123()(,,,)(,,,,)n n αααααααα==K F F其中诸i α∈K(2,3,,)i n = 满足23()()()n h x x x ααα=--- ，且1[:()](1)!n α≤-K F ．于是，12()()()n f x x x ααα=--- ，K 是f 在域F 上的分裂域，并且有11[:][:()][():](1)!deg (1)!!n g n n n αα=≤-≤-=K F K F F F ．□定义 4.4.2 设R 为幺环，n +∈ ，12[,,,]n x x x R 为R 上n 元多项式环，n S 为n 元集{1,2,,}n 上的对称群．若1212(,,,)[,,,]n n f x x x x x x ∈R 满足n S τ∀∈，都有(1)(2)()12(,,,)(,,,)n n f x x x f x x x τττ=则称12(,,,)n f x x x 是R 上关于12,,,n x x x 的对称多项式（symmetric polynomial ）．显然，对称多项式的和与积还是对称多项式．例 4.4.2 设R 为幺环，则12[,,,]n x x x R 也为幺环．易知，多项式11:ii nx σ≤≤=∑，121221:i i i i nx x σ≤<≤=∑， ，12121:k k k i i i i i i nx x x σ≤<<<≤=∑， ，12:n n x x x σ=都是对称的，称诸k σ为关于12,,,n x x x 的初等对称多项式（elementary symmetric polynomials ）．令12():()()()n g y y x y x y x =---则12()[,,,][]n g y x x x y ∈R ．易知，将上式展开后即有121121()(1)(1)(1)n n n k n k n n k n n g y y y y y y σσσσσ-----=-+++-++-+-该结果常被称为韦达公式（Viete’s formula ）或韦达定理（Viete ’s theorem ）．定理 4.4.2 设R 为幺环，12[,,,]n x x x R 为R 上n 元多项式环，∑为12[,,,]n x x x R 中所有对称多项式组成的集合，则12[,,,]n σσσ∑=R ．证明 12[,,,]n g σσσ∀∈R ，由多元多项式的表达式（3-26）（定理3.8.10）知，m +∃∈ ，使得12121i i inmk k k i ni g b σσσ==∑ 其中0i b ≠∈R ),,2,1(m i =，12(,,,)i i in k k k ∈ n．因每个j σ都是12[,,,]n x x x R 中的对称多项式，故诸ij kj σ也是，于是g 的诸单项式1212i i in kkki n b σσσ 仍是，从而作为诸单项式和的g 是12[,,,]n x x x R 中的对称多项式，于是g ∈∑．由此说明，12[,,,]n σσσ⊂∑R ．f ∀∈∑，设12121i i inmk k k i ni f a x x x ==∑ 其中n +∈ ，0i a ≠∈R (1,2,,)i m = ，诸12(,,,)i i in k k k ∈ n且满足字典顺序，即12(1)1(1)2(1)2122211121(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)m m mn m m m n n n k k k k k k k k k k k k --->>>1212m m mnk k k m na x x x 为f 的首项，下面记12deg :(,,,)m m mn f k k k = ． 对于f 的首项1212m m mn k k km n a x x x ，必有12m m mn k k k ≥≥≥ ．这是因为如若不然，假设出现第一个相反不等号的情况是(1)mj m j k k +<，则当取置换((1))j j τ=+时，由于(1)(2)()12(,,,)(,,,)n n f x x x f x x x τττ= ，故f 中必有下一项(1)(1)111111mj m j m j mjm mn m mn kkkkk k k k m j j n m j j n a x x x x a x x x x ++++=但1(1)1(1)(,,,,,)(,,,,,)deg m m j mj mn m mj m j mn k k k k k k k k f ++>=矛盾．令(1)12231121:m n mnm m m m mn kkk k k k k m n n g a σσσσ-----= 则112[,,,]n g σσσ∈R ，但1g 也是关于12,,,n x x x 的对称多项式．因诸j σ的首项是12j x x x ，故1g 的首项应为(1)1223(1)121112121121121deg ()()()deg m n mnm m m m mnm n m m mn k k k k k k k m n n n k k k k m n ng a x x x x x x x x x x a x xx x f--------===于是，多项式11:f f g =-仍是R 上关于12,,,n x x x 对称的，但1deg deg f f <．对1f 重复如上方法，将得到212[,,,]n g σσσ∈R 使得21deg deg g g =，令212:f f g =-，则2f 是R 上关于12,,,n x x x 对称的，且21deg deg f f <．如此下去，我们将得到一系列R 上关于12,,,nx x x 的对称多项式12,,,,l f f f （4-5）其中诸1l l l f f g -=-，且满足12deg deg deg deg l f f f f >>>>> 但因诸l f 都满足deg deg 0l f f >≥，故在式（4-5）中的只有有限项，设为r 项，则1r r r f f g -=-．这时有两种情况：或者0r f =，1r r f g -=；或者0r f ≠∈R ，即0:r d f =为R 上的非零元，10r r f g d -=+．于是12012[,,,]r n f g g g d σσσ=++++∈R其中0d ∈R ．至此已证得12[,,,]n σσσ∑⊂R ．于是有，12[,,,]n σσσ∑=R ．□定理4.4.2是说，每个对称多项式都可表为初等对称多项式的多项式．另外，定理4.4.2给出的证法是构造性的，亦即按其证法可以得到表出多项式．例 4.4.3 设123121323(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++，则f 是对称的．将f 按字典顺序展开为2222221213121231323232f x x x x x x x x x x x x x x x =++++++ 其中的字典顺序大小是(2,1,0)(2,0,1)(1,2,0)(1,1,1)(1,0,2)(0,2,1)(0,1,2)>>>>>>deg (2,1,0)f =．下面将f 表为初等对称多项式的多项式形式．令2110112121*********22222121312123132323:()()3g x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xσσσσ--===++++=++++++则11123:f f g x x x =-=-．再令11121233:g σσσσ--=-=-，则2121233:0f f g x x x σ=-=-+=．于是123f σσσ=-．当然，此题也可以用其它更直接的方法做．若取123121323(,,)()()()7h x x x x x x x x x =++++，则h 还是对称的，其按字典顺序展开为22222212131212313232327h x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++构造211011212g σσσσ--==，令11123:7h h g x x x =-=-+，构造1111121233g σσσσ--=-=-，令2121233:77h h g x x x σ=-=-++=，则1237f σσσ=-+．引理 4.4.1 设()[]f x x ∈ 且deg f 为奇数，则()f x 至少有一个实根．证明 设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++其中诸i a ∈ 且0n a ≠，不妨设0n a >．由函数极限的方法知，lim x →+∞=+∞，lim x →-∞=-∞于是， ,a b ∃∈ ，使得()0f a >及()0f b <．再由连续函数的中值定理即知， c ∃∈ ，使得()0f c =，于是，c 即为多项式()f x 的一个实根．□引理 4.4.2 设()[]f x x ∈ 且deg 2f =，则()f x 有两个复根．证明 设2()f x ax bx c =++，其中,,a b c ∈ 且0a ≠．于是22(4)/2, (4)/2b b ac a b b ac a -+----∈且它们是()f x 的两个复根．□定理 4.4.3 设()[]f x x ∈ 且deg ()0f x >，则()f x 至少有一个复根．证明 设:deg n f =，应用算术基本定理有，2mn l =，其中m ∈ ，l +∈ 为奇数．下面对m 应用数学归纳法证明．当0m =时，deg ()f x 是奇数，由引理4.4.1，()f x 有一个实根，因而至少有一个复根．假设结论对1m -已经成立，下面考虑m 的情况．由定理4.4.1知，存在()f x 在 上的分裂域K ，使得12()()()()n f x x x x ααα=--- （4-6）其中()f x 的诸根i α∈K ．r ∀∈ ，令:()ij i j i j r βαααα=++ (1)i j n ≤≤≤ （4-7）则诸ij β∈K 且这样的ij β共有11(1)/22(21)2m m m n n l l l --'+=+=个，其中l '为奇数．再令1():()ij i j ng x x β≤≤≤=-∏则1deg ()2m g x l -'=．记1:2m s l -'=，将上式展开（参见例4.4.2），有 121121()(1)(1)(1)s s s k s k s s k s s g x x x x x x ωωωωω-----=-+++-++-+-其中诸k ω是（当暂时将ij β(1)i j n ≤≤≤视为未定元时）关于ij β(1)i j n ≤≤≤的初等对称多项式．于是由式（4-7）易知，诸k ω也是（当暂时将12,,,n ααα 视为未定元时）关于12,,,n ααα 的实系数对称多项式．若记关于12,,,n ααα 的初等对称多项式为12,,,n σσσ ，则由定理4.4.2知，k ω是关于12,,,n σσσ 的实系数多项式．利用韦达公式，将式（4-6）展开后有121121()(1)(1)(1)n n n k n k n n k n n f x x x x x x σσσσσ-----=-+++-++-+-但()[]f x x ∈ ，说明诸k σ∈ ．于是诸k ω∈ ，从而多项式()[]g x x ∈ ．因1deg 2m g l -'=，由归纳假设知，()g x 有一复根，亦即诸ij β中有一个是复数，设()ij i j i j r βαααα=++∈ ．由定义式（4-7）及上讨论知，r ∀∈ ，(,):{(,)|1}r r i j i j i j n ++∃∈Γ=∈⨯≤≤≤使得()r r r r i j i j r αααα++∈ ．因(1)/2n n Γ=-，故当对于(1)/2n n -个互不相同的实数r ，相应的(,)r r i j ∈Γ也互不相同时，再任取其它一个实数s ∈ ，则对应的(,)s s i j ∈Γ只能与某个(,)r r i j ∈Γ相等，即(,)(,)s s r r i j i j =．于是，()()i j i j i j i j r s αααααααα++=++∈但r s ≠．于是有()()i j r s αα-+∈ ，即i j αα+∈ ，以及()i j s r αα-∈ ，即i j αα∈ ．这说明，二次多项式2()()()[]i j i j i j x x x x x αααααα--=-++∈ ，由引理4.4.2知，作为该多项式的二根，,i j αα∈ ．而i α与j α都是()f x 的根，至此知，()f x 至少有一个复根．□定理 4.4.4（代数基本定理 Fundamental Theorem of Algebra ）任意次数大于零的复数域上的多项式在复数域上都有一个根．证明 设0()[]ni ii f x a x x ==∈∑ 且deg ()0f x n =>．令0():niii f x a x ==∑，其中i a 为i a 的共轭．令():()()g x f x f x =．因20()nk i j k i j k g x a a x =+=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，而i j i j i j iji j ki j ki j ki j ka a a a a a a a+=+=+=+====∑∑∑∑故诸[]iji j ka ax +=∈∑ ，于是()[]g x x ∈ ．由定理 4.4.3知，()g x 有一复根c ∈ ，即()()0f c f c =．于是必()0f c =，或者()0f c =．若()0f c =，已证得()f x 有一复根．若()0f c =，即有0()0n ii i f c a c ===∑，于是000nnii i i i i a c a c ====∑∑，亦即()0f c =，说明c ∈为()f x 的复根．□推论 1 复数域上的 (0)n n >次多项式在复数域上有n 个根（重根按重数计）．□设F 为域，若F 除了自身再没有其它代数扩域，则称F 是代数闭域（algebraically closed field ）．显然，当F 为代数闭域时，对于F 的任意域扩张≠K F ，\K F 中元都是F 的超越元．定理 4.4.5 设F 为域．以下各条件等价：1）F 是代数闭域．2）[]f x ∀∈F 且deg 0f >，f 在F 上有一根．3）[]f x ∀∈F 且deg 0f >，f 在[]x F 中可分解成一次因式之积．4）[]f x ∀∈F 且deg 0f >，f 在F 上的分裂域是F 自身． 5）[]x F 上的所有不可约多项式都是一次的．证明 显然．□定理 4.4.6 复数域 是代数闭域．证明 由代数基本定理及定理4.4.5之2）即得．□若代数闭域K 是域F 的代数扩张，则称K 是F 的代数闭包（algebraic closure ）．结合定理4.3.6易知，K 是F 的代数闭包⇔K 是F 的最大代数扩张（即若/E F 为代数扩张，则⊂E K（或E 可嵌入到K 中，参见挖补定理））．亦即，K 是F 的代数闭包⇔[]f x ∀∈F 且deg 0f >，f 在K 中拥有全部的根，并且，对于任意/K F 的中间域≠E K ，都[]f x ∃∈F 且deg 0f >，使得f 在E 中没有根．定理 4.4.7 复数域 是实数域 的代数闭包．证明 因(1)=- ，而1-是2()1[]f x x x =+∈ 的根，故/ 是代数扩张．又 是代数闭域，从而 是 的代数闭包．□定理4.4.7从另一角度说明了：实数域上的任意多项式在复数域上都拥有全部的根．习题4.41. 设/K F 为域扩张，E 为中间域，[]f x ∈F ．证明：若K 是f 在F 上的分裂域，则K 也是f 在E 上的分裂域．2. 求下列多项式分别在 与 上的分裂域：1）2()2f x x =-；2）2()1f x x =+；3）42()22f x x x =--；4）32()1f x x x x =+++． 3. 设F 为域，[] (1,2,,)i f x i m ∈=F ．证明：域K 是12,,,m f f f 在F 上的共同分裂域⇔K 是多项式12m f f f 在F 上的分裂域．3. 设F 为域，[]f x ∈F 且deg f n =．证明：若K 是f 在F 上的分裂域，则[:]|!n K F ．4. 证明定理4.4.5．5. 设F 为域．证明：若对于任意域扩张/K F ，F 在K 中的代数闭包都是F ，则F 是代数闭域．6. 证明：代数闭域不能是有限域．7. 设/K F 为域扩张且K 是代数闭域．证明：若E 是F 在K 中的代数闭包，则E 是F 的代数闭包．8. 说明：为什么 和 都不能是 的代数闭包？ 的代数闭包是什么样的域？。
群论课件chap4
1 2 n3 g 3 2
设n3=n, 则g=2n，则有v1=v2=n 极点星(2,n)(2,n)(n,2) 有n个二度轴，和1个n度轴----Dn群（二面体群） ⅱ)n1=2,n2=3
1 1 2 n3 6 g
得到n3<6，n3=3，4，5 a)n1=2,n2=3,n3=3 得到g=12,所以极点星(2,6)(3,4)(3,4) 3个二度轴，4个三度轴-----T群（四面体群）
1 1 21 2 g 1 1 1 2 n i 1 i
1<λ<4, λ=2,3 λ为极点星的个数
（2）第一点群的类型
①λ=2时，式(4.3)可以写成
1 1 1 21 n g i 1 i
第2节 点 群 1.对称操作 物体具有对称性，就是指能对物体进行 某种操作，这种操作使物体各点在空间的 位置变动了，但任何一点都占有操作以前 物体某点的位置，而且任意两点间的距离 保持不变（物体完全复原） 三种基本的对称操作 旋转、反映、平移
1）点对称操作：旋转、反演、镜像等 操作特点：在操作的过程中，空间的某一点 或某一条直线，或某一张平面，总之至少有 一个空间中的点保持不动。重复若干次这样 的某一个操作后，客体就回到起始位置。 2）非点对称操作：含平移的操作 两类：螺旋旋转和滑移反映 操作特点：对某一点连续施以包含平移的对 称操作不能回到起始点，而是在进行了适当 次数的这种操作后，得到一个距起始点的距 离为点阵平移周期的整数倍的点
3 正当转动群SO(3)群 所有满足detR=1的转动R的集合构成群，这 个群就称为正当转动群。 (1)封闭性 (2)结合律 (3)逆元 课堂证明！ (4)单位元 性质（1）正当转动的乘积仍是正当转动 （2）正当转动的逆仍是正当转动