高三模拟考试数学试题(文科)附答案
四川省成都市第七中学2024届高三零诊模拟考试数学(文 答案
1成都七中高2024届零诊模拟考试数学参考答案(文科)二、填空题：共4道小题，每题5分,共20分. 13. 00x ∃>，00tan x x ≤ 14. 0x y += 15. 80.5 16. 5[,2)4三、解答题：共5道大题，共70分.17. （12分）解：(1)由题设知2(1)()22f f x x x '−'=−+，取1x =−，则有(1)(1)32f f '−'−=+，即(1)6f '−=； 也即3213()2(1)32f x x x x f =−+−，取1x =，则有5(1)(1)6f f =−，即5(1)12f =. 故(1)6f '−=，5(1)12f =. ……6分 (2)由(1)知32135()2f x x x x =−+−，2()32(1)(2)f x x x x x '=−+=−−， 故max ()(1)12f x f ==，min ()(0)12f x f ==−. ……12分CF 中点H ，连接OH GH 、，如图所示：EBCF 是矩形，且2CB EB =，的中点，∴//OH BC 且12OH BC =， 12EF ，而//EF BC 且EF BC =. BC 且12AG BC =， ，是平行四边形，则//AO HG ，HG ⊂平面GCF ，.2224t tt−+，解得2,1()3t t==或舍去.故t的取值为23. ……12分21.（12分）解：(1)由()xf x e ax=−知()xf x e a'=−，1）当a e≤时，且有[1,)x∈+∞，()0f x'≥，()f x单增，故无极值；2）当a e>时，有(1,ln)x a∈，()0f x'<，()f x单减，而(ln,)x a∈+∞，()0f x'>，()f x单增，故()(ln)lnf x f a a a a==−极小值，()f x无极大值.综上，当a e≤时，()f x无极值；当a e>时，()f x极小值为lna a a−，()f x无极大值. ……4分(2)由(1)可知()1xf x e'=−，即有1111lntt t tλλ+>+−−，整理可令得(1)(1)()ln01tF t ttλλ+−=−>+, ……6分而22221(1)(1)(1)()(1)(1)t tF tt t t tλλλλ+−−'=−=++，……7分 1）当1λ≥时，且(1,)t∈+∞，有22(1)()0(1)tF tt tλ−'≥>+，()F t单增，()(1)0F t F>=，满足题设；……9分 2）当01λ<<时，且21(1,)tλ∈，有()0F t'<，()F t单减，()(1)0F t F<=，不满足题设；……11分综上，λ的取值范围为[1,)+∞. ……12分22.（10分）解：（1）由2sin2cosaρθθ=+，得22sin2cosaρρθρθ=+，故曲线的直角坐标方程为，即222()(1)1x a y a−+−=+；由sin()4πρθ−sin cos2ρθρθ−=，故直线的直角坐标方程为. ……4分（2）点P的直角坐标为(2,0)−，在直线上，而直线的标准参数方程为(t为参数），将其代入，整理可得.由题设知222(3)4(44)2(1)0a a a∆=+−+=−>，解得.又，.当1,1a a>−≠且时，有12,0t t>，则1212||||||||3)PM PN t t t t a+=+=+=+=解得2a=；当1a≤−时，有12t t≤，则1212||||||||||1|PM PN t t t t a+=+=−=−=，解得4a=−.故a的值为2或-4. ……10分C2222x y y ax+=+l2y x=+ll2xy⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2222x y y ax+=+()2440t t a−++=1a≠12t t+=1244t t a=+3。
高三文科数学模拟试题含答案
高三文科数学模拟试题含答案高三文科数学模拟试题本试卷共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3+ i的虚部是（）。
A。
2.B。
-1.C。
2i。
D。
-i2.已知集合A={-3,-2,0,1,2}，集合B={x|x+2<0}，则A∩(CRB) =（）。
A。
{-3,-2,0}。
B。
{0,1,2}。
C。
{-2,0,1,2}。
D。
{-3,-2,0,1,2}3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若2a-b与a+3b共线，则x=（）。
A。
2.B。
11/22.C。
-1.D。
-24.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）。
A。
4π/3.B。
π。
C。
3π/2.D。
2π5.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π/6个单位，得到函数g(x)的图像，则它的一个对称中心是（）。
A。
(π/6,0)。
B。
(π/3,0)。
C。
(π/2,0)。
D。
(π,0)6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）。
开始是否输出结束A。
-10.B。
-3.C。
4.D。
57.已知圆C:x^2+2x+y^2=1的一条斜率为1的切线l1，若与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）。
A。
x-y+1=0.B。
x-y-1=0.C。
x+y-1=0.D。
x+y+1=08.在等差数列{an}中，an>0，且a1+a2+⋯+a10=30，则a5⋅a6的最大值是（）。
A。
4.B。
6.C。
9.D。
369.已知变量x,y满足约束条件2x-y≤2，x-y+1≥0，设z=x^2+y^2，则z的最小值是（）。
A。
1.B。
2.C。
11.D。
3210.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2，当x<0时，f(x)=1-|x-3|，则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）。
江西省宜春市2023届高三高考模拟文科数学试题(含解析)
江西省宜春市2023届高三高考模拟文科数学试题一、单选题1．（2023·江西宜春·统考模拟预测）设全集U =R ，{1A x x =<-或}2x ≥，{}2,1,0,1,2B =--，则()U B A ⋂=ð（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-2．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知复数z 满足()1i 2z +=-，则z 等于（ ）A ．1i--B ．1i-C ．1i+D ．1i-+3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）非零向量a r ，b r ，c r 满足()a cb ⊥-r r r ，a r 与b r 的夹角为π3，2b =r ，则c r 在a r 上的投影为（ ）A ．－1B．C ．1D4．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知实数,x y 满足约束条件0,30,1,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则23x yz -+=的最大值是（ ）A ．3B ．13CD ．1275．（2023·江西宜春·统考模拟预测）从棱长为2的正方体内随机取一点，则取到的点到中心的距离不小于1的概率为（ ）A ．π6B ．π4C ．π16-D ．π14-6．（2023·江西宜春·统考模拟预测）若30.04,ln1.04,log 1.04a b c ===则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．b<c<a7．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数,m n 只有1为公约数，则称,m n 互质，对于正整数(),n n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的个数，函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()()32,76ϕϕ==，()96ϕ=.记n S 为数列(){}3nϕ的前n 项和，则10S =（ ）A ．9312-B ．931-C ．10312-D ．1031-8．（2023·江西宜春·统考模拟预测）函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象(04)ω<<关于直线π6x =对称，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后与函数()y g x =图象重合，下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 图象关于直线π6x =对称B ．函数()g x 图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．函数()g x 最小正周期为π29．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在Rt ABC V 中，1,2CA CB ==.以斜边AB 为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）ABC ．32π81D ．4π8110．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点，点A ，B 分别在两条渐近线上，且满足22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r ，20OA BF ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．2CD11．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足1321223n n a a a a n+++++=L ，若数列()21n n n a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S ，对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．1λ>B ．1λ≥C ．58λ≥D ．58λ>12．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()()()ln 1,ln (0)1m xf x xg x x m x m =+-=+>+，且()()120f x g x ==，则()2111em xx -+的最大值为（ ）A ．1B ．eC ．2eD ．1e二、填空题13．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知)114d πa x x -=+⎰，则到点(),0M a 的距离为2的点的坐标可以是___________.（写出一个满足条件的点就可以）14．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知点()()1,1,1,1A B ---，若圆22()(24)1x a y a -+-+=上存在点M 满足3MA MB ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值的范围是___________.15．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30--7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45-7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是___________________16．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面,ABCD CF DE ∥，且2,1,AB DE CF G ===为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH P 平面ABE ；②存在点H ，使得GH AC ⊥；③直线GH 与BE ④三棱锥A BCF -的外接球的表面积为9π.其中正确的结论序号为___________.（填写所有正确结论的序号）三、解答题17．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos a b c B +=.(1)求证：2C B =；(2)求3cos a bb B+的最小值.18．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,90,224AB CD DAB CD AB AD ∠====o ，点E ，F 分别是边,BC CD 的中点，现将CEF △沿EF 边折起，使点C 到达点P 的位置（如图2所示），且2BP =.(1)求证：平面APE ⊥平面ABD ；(2)求点B 到平面ADP 的距离.19．（2023·江西宜春·统考模拟预测）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：月份2022.122023.12023.22023.32023.4月份编号t12345竞拍人数y （万人）1.72.12.52.83.4(1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆˆˆy bt a =+，并预测2023年5月份参与竞拍的人数.(2)某市场调研机构对200位拟参加2023年5月份车牌竞拍人员的报价进行抽样调查，得到如下一份频数表：报价区间（万元）[)1,2[)2,3[)3,4[)4,5[)5,6[]6,7频数206060302010（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均数x 和样本方差2s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,N μσ，且μ与2σ可分别由（i ）中所求的样本平均数x 及方差2s 估值.若2023年5月份实际发放车牌数是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.附：()()()121ˆ 1.3niii nii x x y y bx x ==--=≈-∑∑，若()0,1Y N :，则( 1.11)0.8660<=P Y ，( 1.12)0.8686P Y <=.20．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()ln 2f x x x =--.(1)求函数的最小值；(2)若方程()f x a =有两个不同的实数根1x ，2x 且12x x <，证明：1223x x +>.21．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左､右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心，6为半径的圆与以2F 为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的右焦点2F 的直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且122k k =-，直线1l 交椭圆C 于,M N 两点，直线2l 交椭圆C 于,G H 两点，线段,MN GH 的中点分别为,R S ，直线RS 与椭圆C 交于,P Q 两点，,A B 是椭圆C 的左､右顶点，记PQA △与PQB △的面积分别为12,S S ，证明：12S S 为定值.22．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程11222122t t t t x y ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程cos 2sin 10m ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同公共点，求m 的取值范围.23．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()244f x x x =++-.(1)求不等式24410x x ++-≥的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c c a m++≥+++.参考答案：1．D【分析】先计算得到U A ð，进而求出交集.【详解】{}12U A x x =-≤<ð，故(){}1,0,1U B A =-I ð故选：D 2．A【分析】利用复数的除法运算和共轭复数的定义求解.【详解】由题可得2(1i)1i 1iz -==--=-++，所以1i z =--，故选:A.3．C【分析】根据投影公式计算出正确答案.【详解】由于()a c b ⊥-r r r，所以()0,a c a b a c a a b b c ⋅-=⋅-⋅=⋅=⋅r r r r r r r r r r r ，由于a r 与b r 的夹角为π3，所以πcos 3a c a b a b a ⋅=⋅=⋅⋅=r r r r r r r，c r 在a r 上的投影为1a a c a a⋅==rr r r r .故选：C 4．B【分析】画出可行域，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界位置，由此求得23x y z -+=的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界点()1,1B 的位置，此时z 取得最大值为1max 12111,3z z --⨯+=-==，.故选：B.5．C【分析】根据几何概型概率问题的计算公式求得正确答案.【详解】点到中心距离小于等于1的几何体是以中心为球心，1为半径的球体.所以，取到的点到中心的距离不小于1的概率为334π1π31126⨯-=-.故选：C 6．A【分析】构造函数()()ln 1f x x x =+-，利用导数判断函数单调性，再结合对数的性质即可判断大小关系.【详解】因为0.04a =，ln1.04b =，3log 1.04c =，当()0,1x ∈时，设()()ln 1f x x x =+-，则()11011xf x x x -'=-=<++，所以()f x 在()0,1上单调递减且()00f =，所以()()()0.04ln 10.040.0400f f =+-<=，即()0.04ln 10.04>+，所以a b >；又因为3e >，所以ln 3ln e 1>=，3ln1.04log 1.03ln1.04ln 3=<，即b c >，所以c b a <<.故选：A.7．D【分析】根据题意分析可得()1323nn ϕ-=⋅，结合等比数列求和公式运算求解.【详解】由题意可知：若正整数3nm ≤与3n不互质，则m 为3的倍数，共有1333n n -=个，故()1133332n n n n ϕ---=⋅=，∵()()113233233n n n n ϕϕ+-⋅==⋅，即数列(){}3n ϕ是以首项()32ϕ=，公比3q =的等比数列，故()1010102133113S -==--.故选：D.8．C【分析】由对称性求得ω，由图象平移变换求得()g x ，然后结合正弦函数的对称性，单调性，周期判断各选项．【详解】由已知ππππ662k ω+=+，62k ω=+，Z k ∈，又04ω<<，∴2ω=，ππ2π()sin[2()sin(2463g x x x =++=+，π2ππ2ππ,Z 632k k ⨯+=≠+∈，A 错；π2ππ2()π,Z 633k k ⨯-+=≠∈，B 错；π(0,3x ∈时，2π2π4ππ3π2(,)(,)33322x +∈⊆，C 正确；()g x 的最小正周期是2ππ2T ==，D 错．故选：C ．9．C【分析】根据旋转体的概念得出该旋转体是两个共底面的圆锥的组合体，作出轴截面，得出内切球于心O 位于对称轴AB 上，由平行线性质求得球半径r 后可得球体积．【详解】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面，由对称性知其内切球球心O 在AB 上，O 到,CA CB 的距离,OE OF 相等为球的半径，设其为r ，因为C 是直角，所以OECF 是正方形，即CF CE r ==，由//OF CA 得OF BF CA BC =，即212r r -=，解得23r =，球体积为3344232ππ(π33381V r ==⨯=．故选：C ．10．C【分析】先求出AB 所在的直线方程，分别与两条渐近线联立方程组，求出,A B 两点的坐标，再根据22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r，求出,a c 之间的关系，从而可得双曲线的离心率【详解】由题意：OA b k a = ，20OA BF =u u u r u u u u r Q g ,2OA BF ∴⊥ ,2BF ak b ∴=-所以直线2BF 的方程为：()ay x c b=-- ①直线OA 的方程为：by x a =②直线OB 的方程为：by x a=-③联立①②可得：2a x cab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，即2(,)a ab A c c 联立①③可得22222a c x a babcy a b ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即22222(,a c abc B a b a b ---又22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r Q 22222221(,)(,0)(,)33a ab a c abcc c c a b a b-∴=+--可得222222233()3()a a c c c a b ab abcc a b ⎧=+⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ，化简可得223a c = ，即2e 3=，e ∴= 故选：C 11．C【分析】根据1321223n n a a a a n+++++=L 求得 n a ,再因为对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，()max n S λ>，求出实数λ的取值范围.【详解】1321223n n a a a a n+++++=L ①,31212231n n a a a a n -++++=-L ②,由①-②可得，当 2n ≥ 时,2n na n=,当211,2n a ==,当2n ≥,()()()122211222111n n n n n n n a n n n n +⎛⎫++==- ⎪ ⎪++⨯⨯+⨯⎝⎭,当1,n =()2318n n n a +=+，所以()()2312131111311228223221282212n n n n S n n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ,对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立,所以 ()max n S λ>,()21332528882221181n n S n +⎛⎫=+<+=⎪ ⎪-⨯+⎝⎭⨯.所以58λ≥.故选:C.12．A【分析】根据题意表示出()()21121ln 1e ,x x x x m ++==从而推导出21e 1,xx =+将问题转化为()21111e em m x x m--+=，利用导数求得函数的最值.【详解】()()()()()ln 10,ln 10,1ln 1,11m mf x x x m x x x x =+-=+-==++++()ln0,e ,x xg x x m x m=+==由题意知，()()21121ln 1e ,x x x x m ++==即()()2221121ln 1e e ln e ,x x xx x x m ++===因为0m >，所以21e 1,11xx >+>，设()ln ,1p x x x x =>，则()1ln 0p x x '=+>，()()211e ,xp x p m +==所以211e x x +=，所以()22121111e e e e x m m m x x x m---+==，1(),0e m m t m m -=>，则11(),em mt m --'=当01m <<时，()0;t m '>当1m >时，()0;t m '<所以()t m 在()0,1时单调递增，在()1,+∞时单调递减，所以max ()(1)1,t m t ==故选：A.13．22(2)4x y -+=上的任意一点都可以【分析】根据定积分的几何意义先求出a ，再写出到点(),0M a 的距离为2的点表示一个圆.【详解】由于11d x -⎰表示以()0,0为圆心，1为半径且在第一、二象限的圆弧与坐标轴围成的面积，其面积是半径为1的圆的面积的一半，即为π2.所以)111144π4d d 202ππ2πa x x x x --==⨯+=+=⎰⎰,到点()2,0M 的距离为2的点是圆22(2)4x y -+=上的点.故答案为：22(2)4x y -+=上的任意一点.14．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设(,)M x y ，由数量积的坐标表示求得M 点轨迹是一个圆，然后由圆与圆的位置关系可得a 的范围．【详解】设(,)M x y ，则(1,1),(1,1)MA x y MB x y =----=---u u u r u u u r，2(1)(1)(1)3MA MB x x y ⋅=---+--=u u u r u u u r，即22(1)4x y ++=，M 在以(0,1)-为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆22()(24)1x a y a -+-+=有公共点，所以2121-≤≤+，解得1205a ≤≤．故答案为：12[0,]5．15．112【分析】由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，他们能搭乘同一班公交车，则4560x ……，4560y ……．试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ，由此能求出结果．【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，则试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为4550{(,)|4550x A x y y ⎧=⎨⎩…………或50555055x y ⎧⎨⎩…………或5560}5560x y ⎧⎨⎩…………，则他们能搭乘同一班公交车的概率5531303012P ⨯⨯==⨯．故答案为：11216．①④【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合异面直线所成角，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //AD ，12MH AD =，根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则H G //MB ，又MB ⊂平面,ABE HG ⊄平面ABE ，故H G //面ABE ，故①正确；对②：因为ED ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥，又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：则()()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,2,1,2,0A C B E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈，若GH AC ⊥，则()()1,2,2,2,020GH AC m ⋅=--⋅-=-≠u u u r u u u r，不满足题意，故②错误；对③：()1,2,GH m =--u u u r，()2,2,2BE =--u u u r ，()()()()1222262GH BE m m ⋅=-⨯-+-⨯-+=+u u u r u u u r，GH ==u u u r，BE =u u u r []0,2m ∈，,cos GH =u u u r u=[]0,2m ∈，令2325m y m +=+，设32t m =+，[]2,4t ∈，23t m -=，则29492453ty t t t==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，当[]2,4t ∈时，根据对勾函数的性质得4949454,42t t ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，则236,549y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当25y =时，cos ,GH BE u u u r u u u r有最小值，最小值为，故③错误；对④：由题可得CF ⊥平面ABCD ，又面ABCD 为正方形，∴,,AB BC CF AB BC CF C ⊥⊥⋂=，∴AB ⊥平面BCF ，则AB ，BC ，CF 两两垂直，∴AF 为三棱锥A BCF -的外接球的直径，又22222212219AF AB BC CF =++=++=，∴三棱锥A BCF -的外接球表面积为9π，故④正确.故答案为：①④.17．(1)证明见解析(2)最小值为【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.（2）将问题转化32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=24cos cos B B =+，根据第一问解得π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后结合不等式求解.【详解】（1）在ABC V 中，2cos a b c B +=，由正弦定理得sin sin 2sin cos A B C B +=，又()πA B C =-+，因为()sin sin 2sin cos B C B C B ++=⋅,所以sin cos sin cos sin C B B C B ⋅-⋅=,所以()sin sin C B B -=,又sin 0B >,所以0πC B C <-<<，且πB C B C +-=<,所以B C B =-，故2C B =.（2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，所以π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos ,2a b c B C B +==，所以32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=2sin cos 2sin 2sin2cos 2sin sin cos sin cos C B B B B BB B B B⋅+⋅+==⋅⋅24cos cos B B=+≥当且仅当24cos cos B B =即cos B =π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即当且仅当π4B =时等号成立，所以当π4B =时，3cos a bb B +的最小值为18．(1)证明见解析【分析】（1）连接,BD BF ，由等腰三角形的性质和勾股定理，证明PE EF ⊥，PE BE ⊥，可证得PE ⊥平面ABD ，即可证得平面APE ⊥平面ABD .（2）取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由勾股定理求,,PD PA PO ，又B PAD P ABD V V --=，利用体积法求点B 到平面ADP 的距离.【详解】（1）证明：由题意，连接,BD BF ，因为224CD AB AD ===，//AB CD ，90,DAB F ∠=o 是边CD 的中点，所以2BF CF ==，则BC =又E 是边BC 的中点，则EF BC ⊥，在折起中PE EF ⊥.又222224BE PE BP +=+==，所以PE BE ⊥，又BE EF E =I ，BE ⊂平面ABD ，EF ⊂平面ABD ，故PE ⊥平面ABD ，又PE ⊂平面APE ，所以平面APE ⊥平面ABD .（2）由（1）中取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由（1）可知，PE ⊥平面ABD ，所以,,PE DE PE AE PE OE ⊥⊥⊥，而()132OE AB DC =+=，112OD AD ==，所以DE =同理AE =所以PD PA PO ======所以PAD V 是等腰三角形，所以1122PAD S AD PO =⋅=⨯=V 又B PAD P ABD V V --=，即1133PAD ABD S h S PE ⋅=⋅V V ，所以ABD PADS PE h S ⋅==VV =，即点B 到平面ADP19．(1)0.41.7ˆ12=+yt ，预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人(2)（i ） 3.5x =，2 1.7s =；（ii ）预测竞拍的最低成交价为4.943万元【分析】（1）由已知公式求得线性回归方程，6t =代入回归方程可得预测值；（2）（i ）由均值与方差公式计算出均值与方差；（ii ）由预测值求得报价在最低成交价以上人数占总人数比例，然后由正态分布的性质求得预测竞拍的最低成交价．【详解】（1）11(12345)3,(1.7 2.1 2.5 2.8 3.4) 2.555t y =++++==++++=，55211149162555, 1.7 4.27.511.21741.6,ii i i i tt y ===++++==++++=∑∑，241.653 2.5ˆˆ0.41, 2.50.413 1.275553ba -⨯⨯∴===-⨯=-⨯，y 关于t 的线性回归方程0.41.7ˆ12=+y t 2023年5月份对应6t =，所以0.416 1.27 3.73ˆ=⨯+=y所以预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人.（2）（i ）由题意可得：1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222(1.5 3.5)0.1(2.5 3.5)0.3(3.5 3.5)0.3(4.5 3.5)0.15s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(5.5 3.5)0.1(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯+-⨯=（ii ）2023年5月份实际发放车牌数是5000，设预测竞拍的最低成交价为a 万元，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为5000100%13.40%37300⨯≈根据假设报价X 可视为服从正态分布()22,, 3.5, 1.7, 1.3===≈N μσμσσ，令 3.51.3--==X X Y μσ，由于( 1.11)0.8660<=P Y ，1( 1.11)0.1340P Y ∴-<=，3.5() 1.110.86601.3a P Y a P Y -⎛⎫∴<=<== ⎪⎝⎭，所以 3.5 1.111.3a -=得 4.943=a ，所以预测竞拍的最低成交价为4.943万元．20．(1)1-(2)证明见解析【分析】(1)利用导数法求函数最值的步骤解求解；(2)根据题意构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而利用函数的最值得出()()212f x f x >-，再结合（1）中函数的单调性即可得证.【详解】（1）由题意可知：函数()ln 2f x x x =--的定义域为：()0,∞+.则()11f x x'=-，令()0f x '=，解得1x =.当()0,1x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增.所以1x =为极小值点，且()()min 11f x f ==-.所以函数()f x 的最小值为1-.（2）根据题意可知：()()12f x f x =，根据（1）设101x <<，21x >，构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.()()()()()221202x F x f x f x x x -'''=+-=<-，所以()F x 在()0,1上单调递减.则有()()10F x F <=，也即()()1120f x f x -->.因为()()12f x f x =，所以()()2120f x f x -->，也即()()212f x f x >-因为121x ->，21x >，由（1）可知()f x 在()1,+∞上单调递增，所以212x x >-，也即122x x +>.由已知21x >，所以1223x x +>.21．(1)2211612x y +=；(2)证明见解析．【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆定义求得,a c ，再计算出b 后得椭圆方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得中点,R S 的坐标，当直线PQ 斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，代入整理得12,k k 是一个一元二次方程的根，由韦达定理得12k k ，从而得出,m n 关系，得出直线PQ 过定点E ，再确定直线PQ 斜率不存在时也过这个定点E ，然后结合该定点得出三角形面积比．【详解】（1）依题意得12622c a a⎧=⎪⎨⎪+=⎩，则4,2,a c =⎧⎨=⎩则22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=；（2）直线()11:2l y k x =-，设()()1122,,,M x y N x y ，由122(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222111341616480k x k x k +-+-=，所以2112211634k x x k +=+，211221164834k x x k -=+，且0∆>，则中点211221186,3434k k R k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可算222222286,3434k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭①当直线斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，点,R S 坐标代入整理得()()21122284630,84630,m n k k n m n k k n ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩易知12,k k 为方程()284630m n k k n +++=的两个根，则123284n k k m n==-+，所以1611n m =-，所以直线16:11PQ y mx m =-，则直线恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭②当直线的斜率不存在时，由对称性可知12k k =-，由122k k =-，不妨设12k k ==，所以221222128816343411k k k k ==++，直线16:11PQ x =过16,011⎛⎫⎪⎝⎭，根据①②可知，直线PQ 恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭，因为PQA △的面积11212S AE y y =⋅-，PQB △的面积21212S BE y y =⋅-，所以121641511167411AE S S BE +===-.【点睛】方法点睛：椭圆中的直线过定点问题的解决方法：斜率存在时，设出直线方程为y mx n =+，根据已知条件确定,m n 的关系后，由直线方程得出定点坐标．本题中，动直线PQ 是由点,R S 确定的，因此可由已知直线12,l l 确定,R S 的坐标，再把坐标代入所设直线方程，发现12,k k 是一个一元二次的两根，这样可由韦达定理求得,m n 的关系，得出结论．22．(1)()22441x y x -=≥(2)4m <<【分析】（1）在曲线C 的参数方程中消去参数t ，可得出曲线C 的普通方程，利用基本不等式求出x 的取值范围，即可得解；（2）求出直线l 的普通方程，分析可知直线l 与双曲线2214y x -=的右支有两个交点，将直线l 与双曲线2214y x -=方程联立，利用直线与双曲线的位置关系可得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）因为112122t t x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()222222221422,2441122,2t t t t x x y x y ⎧=++⎪⎪-=≥⎨⎪=+-⎪⎩则则曲线的普通方程为()22441x y x -=≥（2）cos 2sin 10m ρθρθ+-=则210mx y +-=由得()22210,1,14mx y y x x +-=⎧⎪⎨-=≥⎪⎩得()22162170m x mx -+-=有两个不等正根()22222160,Δ468160,20,1617016m m m m m m ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨->⎪-⎪⎪->-⎩则4m <<23．(1)[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦(2)证明见解析【分析】（1）利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即m 的值，再利用柯西不等式证明即可.【详解】（1）不等式24410x x ++-≥，所以224410x x x ≤-⎧⎨---+≥⎩，解得103x ≤-，或2424410x x x -<<⎧⎨+-+≥⎩，解得24x ≤<，或424410x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得4x ≥，所以原不等式解集为[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.（2）()244242f x x x x x x =++-=++-++()2406x x ≥+--+=，当且仅当2x =-时取得，即min ()6f x =，所以6a b c m ++==，因为()1112a b c a b b c a c ⎛⎫++⨯++ ⎪+++⎝⎭()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭()()()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦2≥()21119=++=，当且仅当12a b c ===时取等号，所以()1119922a b b c c a a b c m ++≥=+++++成立.。
陕西省渭南市2023届高三下学期文科数学一模试题含解析
渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（文科）（答案在最后）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前务必将自己的姓名､学校､班级､准考证号填写在答题卡和答题纸上.3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,2,4A =-，{}220B x x x =-≤，则A B ⋂=（）A.{}1,2-B.{}1,2C.{}1,4D.{}1,4-2.设复数z 满足()12i 34i z ⋅+=-+，则z 的虚部是（） A.2i B.2C.2i - D.2-3.已知命题3:,sin 2p x R x ∃∈=；命题2:,450q x R x x ∀∈-+>，则下列结论正确的是（） A.命题p q ∧是真命题B.命题p q ∧⌝是真命题C.命题p q ⌝∧是真命题D.命题p q ⌝∧⌝是假命题 4.已知1x >，则41y x x =+-取得最小值时x 的值为（） A.3B.2C.4D.55.若实数,x y 满足约束条件2240x y x y y +>⎧⎪+⎨⎪⎩则2z x y =-的最大值是（）A.2-B.4C.8D.126.已知函数()3sin2cos2,f x x x x R =-∈，则正确的是（） A.()22f x -B.()f x 在区间()0,π上有1个零点C.()f x 的最小正周期为2πD.23x π=为()f x 图象的一条对称轴 7.《卖油翁》中写道：“（油）自钱孔入，而钱不湿”，其技艺让人叹为观止，已知铜钱是直径为15mm 的圆，中间有边长为5mm 的正方形孔，若随机向铜钱滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中而钱不湿的概率为（）A.916B.14C.419π- D.49π8.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图1，这是一个青花瓷圆盘.该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径3R =，小圆半径2r =，点P 在大圆上，过点P 作小圆的切线，切点分别是,E F ，则PE PF ⋅=（）A.49B.59C.4D.5 9.已知函数()f x 满足：①定义域为R ，②()1f x +为偶函数，③()2f x +为奇函数，④对任意的[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->，则7211,,333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系是（） A.7211333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B.7112333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C.1172333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.1127333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A.69 B.66 C.579 D.30611.已知以圆22:(1)4C x y -+=的圆心为焦点的抛物线1C 与圆在第一象限交于A 点，B 点是抛物线22:8C x y =上任意一点，BM 与直线2y =-垂直，垂足为M ，则BM AB -的最大值为（）A.1B.2C.1-D.812.已知直线(,0)y ax b a R b =+∈>是曲线()xf x e =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，则a b +等于（）A.2e +B.3C.1e +D.2二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：A 区B 区C 区D 区E 区外来务工人员数 50004000350030002500留在当地的人数占比80% 90% 80% 80% 84%根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y 与外来务工人员数x 的经验回归方程为0.8135ˆˆyx a =+.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F 区有10000名外来务工人员，根据经验回归方程估计F 区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为__________万元.（参考数据：取0.81353629.29⨯=）14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，焦点到C 的一条渐近线的距离为1，则C 的渐近线方程为__________.15.宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A 处测得15CAD ∠=，从A 处沿山坡直线往上前进85m 到达B 处，在山坡B 处测得30,45CBD BCD ∠∠==，则宝塔CD 的高约为__________m .(2 1.41≈，6 2.45≈，结果取整数）16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD 的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为_______；用过A ，B ，C 三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为_____________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 前n 项和n T . 18.（12分）从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）： 记样本均值为x ，样本标准差为s . （1）求,x s ；（2）将质量在区间(),x s x s -+内的零件定为一等品. （i ）估计这台机器生产的零件的一等品率；（ii ）从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P . 19.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 为11A C 的中点，2AB BC ==，1C F AB ⊥（1）求证：AB BC ⊥；（2）若1C F ∥平面ABE ，且12C F =，求点A 到平面BCE 的距离.20.（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点F ､E 所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()()ln af x x x a R x=--∈有两个极值点()1212,x x x x <. （1）求实数a 的取值范围，并求()f x 的单调区间； （2）证明：()2ln2f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标xOy 中，曲线C 的参数方程为223131t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数，t ∈R ），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos 32πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AOB △的面积. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x 的不等式123x x t +-+-≥有解. （1）求实数t 的最大值M ；（2）在（1）的条件下，已知a ，b ，c 为正数，且23abc M =，求()22a b c ++的最小值.渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（文科）参考答案一､选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BCCACADBCAAD二､填空题（每小题5分，共20分）13.818.614.3y x =15.4416.61-3π-2分，第二空3分） 三､解答题17.解：（1）∵13a =∴131S =∴()31221n S n n n=+-⨯=+ ∴22n S n n =+当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=- 又13a =适合上式，因此41n a n =- （2）()()1111414344143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-⋅+-+⎝⎭11111114377114143129n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 18.（1）()1110.59.99.410.710.09.610.810.19.79.3100101010x =+++++++++=⨯= 22222221(10.510)(9.910)(9.410)(10.710)(10.010)(9.610)10s ⎡=-+-+-+-+-+-⎣ 22221(10.810)(10.110)(9.710)(9.310) 2.50.2510⎤+-+-+-+-=⨯=⎦，所以0.5s =. （2）①()(),9.5,10.5x s x s -+=，质量在区间()9.5,10.5内的零件定为一等品，样本中一等品有：9.9,10.0,9.6,10.1,9.7共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为51102= ②从5件一等品中，抽取2件，有：()()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7,10.0,9.6，()()()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,10.1,9.6,9.7,10.1,9.710种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的情况为：()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7，()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,9.7共7种，这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率710P =. 19.（1）证明：1CC ⊥平面,ABC AB ⊂平面1,ABC CC AB ∴⊥，又1111,AB C F CC C F C ⊥⋂=，且11,CC C F ⊂平面11BCC B ，AB ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11,BCC B AB BC ∴⊥.（2）过F 做FM AC ∥交AB 于M ，连接EM ，11,EC AC FM EC ∴∥∥1C F ∥平面1,ABE C F ⊂平面1EMFC ，平面1EMFC ⋂平面,ABE EM = 1,C F EM ∴∥∴四边形1EMFC 是平行四边形，11,2FM EC AC FM ∴==∴是ABC 的中位线. 221111,3,2CF BC CC C F CF ∴===-= 232,2 3.EBCEB EC BC S ∴===∴== 设A 到平面EBC 的距离为d ，则13333A BEC dV d -==， 1123223323A BEC E ABC V V --==⨯⨯⨯=又2d ∴=，即A 到平面EBC 的距离为2.20.解：（1）如图，以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系设(),M x y 为椭圆上一点，由题意可知，64MF ME AE EF +==>= 所以M 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长24a =的椭圆 因为24c =，26a =，所以2c =，3a =，则2225b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22195x y +=（2）解：由已知：直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为1x my =+，联立两个方程得221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=， ()22100160590m m ∆=++>得m ∈R ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221059m y y m -+=+，1224059y y m -=+（*）， ()()1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=⋅=--+-+- 1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t⋅=⋅=⋅--+-+- ()()()1222121211y y m y y m t y y t =+-++-，将（*）代入上式，可得上式()()222405991t m t -=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=， 又∵0t >，∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-， ∴存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值109-，此时3t =21.（1）解：()f x 的定义域为()()220,,,0x x af x x x∞-+='+>， 令()2g x x x a =-+，其对称轴为12x =， 由题意知12,x x 是方程()0g x =的两个不相等的实根，则()Δ14000a g a =->⎧⎨=>⎩，所以104a <<，即实数a 的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭. 当()10,x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上为增函数； 当()12,x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()12,x x 上为减函数； 当()2,x x ∞∈+时，()0f x '>，所以()f x 在()2,x ∞+上为增函数.. （2）证明：由（1）知22221,1,2x a x x ⎛⎫∈=-+⎪⎝⎭， ()222222222ln 21ln x x f x x x x x x -+=--=--，令()121ln 12h x x x x ⎛⎫=--<<⎪⎝⎭，则()12120x h x x x -=-=>'，所以()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()11ln ln222h x h ⎛⎫>=-= ⎪⎝⎭，从而()2ln2f x >.22.（1）由223123tx t y ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩得x t y =，代入2231y t =+ 整理得22230x y +-=，即(2233x y +-=，故曲线C 的普通方程为(()22330x y y +-=≠.（2）直线l 的普通方程为330x -+=，此时直线过圆心(3，AB 即为直径3O 到直线的距离32d =，13333222OAB S =⨯=△23.（1）因为()()12123x x x x +--+--=≤，当且仅当2x ≥等号成立 所以12x x +--的最大值为3.因为不等式()3f x t -≥有解，所以33t -≤，解得06t ≤≤， 所以实数t 的最大值6M =. （2）由（1）知，123abc =因为()2224a b c ab c +++≥（当且仅当a b =时，等号成立），()()22322233422322343412336ab c ab ab c ab ab c abc +=++⋅⋅==⨯=≥，当且仅当22ab c =，即6a b ==23c =时，等号成立，所以()22a b c ++的最小值为36.。
高三文科数学模拟考试(含答案解析)
伊川县实验高中2014-2015学年期中模拟考试高三年级数学（文）试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M ＝{x ｜2x ＋x －6＜0}，N ＝{x ｜1≤x ≤3}，则M ∩N 等于（ ）A ．[2，3]B ．[1，2]C ．（2，3]D ．[1，2） 2．复数z ＝32ii－＋＋的共轭复数是（ ） A ．2＋i B ．2－i C ．－1＋i D ．－1－i 3．直线xcos140°＋ysin40°＝0的倾斜角是（ ）A ．40°B ．50°C ．130°D ．140°4若sin cos sin cos αααα＋－＝12，则tan2α＝（ ）A ．34－B ．34C ．43－D ．435．阅读右图的程序框图．若输入m ＝4，n ＝6，则输出a 、i 分别等于（ ）A ．12，2B ．12，3C ．24，3D ．24，2 6．设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面， 则下列命题中成立的是（ ） A ．若c ∥α，c ∥β，则α∥β B ．若b ⊂α，c ∥α，则b ∥cC ．b ⊂α，且c 是a 在α内的射影，若b ⊥c ，则a ⊥bD ．当b ⊥α，b ⊥β时，则α⊥β7．设f （x ）是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈（0，1）时，f （x ）＝12log (1)x －，则函数f （x ）在（1，2）上（ ）A ．是增函数，且f （x ）＜0B ．是增函数，且f （x ）＞0C ．是减函数，且f （x ）＜0D ．是减函数，且f （x ）＞0 8．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）则该几何体的体积（单位：m 3）为（ ）A ．72 B ．92 C ．73 D ．94 9．向量a ＝（x ，2），b ＝（4，y ），若a ⊥b ，则39y x＋的最小值为（ ）A ．2 D ．210．点P 在曲线y ＝3x －x ＋2上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）A ．[0，2π] B ．[0，2π）∪[4π3，π） C ．[4π3，π) D ．（2π，4π3]11．设点P 是双曲线2221x a b2y －＝（a ＞0，b ＞0）与圆222x a b 2＋y ＝＋在第一象限的交点，其中F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且｜PF 1｜＝2｜PF 2｜，则双曲线的离心率为（ ）A 12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．已知a ，b ，c 成等比数列，且22a c - ＝ac －bc ，则sin b Bc的值为（ ）A ．2 B ．12 C ．3 D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在等比数列{n a }中，如果5a 和9a 是一元二次方程2x ＋7x ＋9＝0的两个根，则4a 7a 10a 的值为_________．14. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =,sin cos B B +=则角A的大小为 _ .15、设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于一点P ，若12F PF ∆为等腰三角形，则该椭圆的离心率是________．P16．若点 P （x ，y为坐标原点，则OA OP ⋅的最大值_______三、解答题（本大题共6小题。
四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学(文科)试题(解析版)
遂宁市高中2023届零诊考试数学（文科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上．并检查条形码粘贴是否正确．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后，将答题卡收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合}{1,2A =-，()}{20B x x x =->，那么A B ⋃等于（）A.{0x x <或}2x >B.{0x x <或}2x ≥C.{1x x <-或}2x ≥ D.{10x x -<<或}2x ≥【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B ⋃.【详解】()20x x ->，解得0x <或2x >，所以{|0B x x =<或}2x >，所以A B ⋃={0x x <或}2x ≥.故选：B2.已知复数(2i)(1i)z =+-（i 是虚数单位），则z 的虚部为（）A.i -B.3i- C.1- D.3-【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘法运算求解得3i z =-，再求虚部即可.【详解】解：因为2(2i)(1i)22i i i 3i z =+-=-+-=-，所以，z 的虚部为1-.故选：C3.设m ，n 为实数，则“2211log log m n>”是“0.20.2m n >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简0.20.2m n >和2211log log m n>，根据充分条件和必要条件的定义判断两者关系.【详解】因为函数2log y x =为()0+∞，上的单调递增函数，又2211log log m n >，所以110m n>>，所以0m n <<，又函数0.2x y =在()-∞+∞，上单调递减，所以0.20.2m n >，所以“2211log log m n>”是“0.20.2m n >”的充分条件，因为函数0.2x y =在()-∞+∞，上单调递减，又0.20.2m n >，所以m n <，当m 为负数时，1m没有对数值，所以“2211log log m n >”不是“0.20.2m n >”的必要条件，所以“2211log log m n>”是“0.2m n >”的充分不必要条件，A 正确，故选：A .4.若{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，4614a a +=，735S =，则31a a -等于（）A.7B.6C.5D.4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，进而建立方程组求解得2d =，再计算31a a -即可.【详解】解：根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为4614a a +=，735S =所以46171281472135a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得121d a =⎧⎨=-⎩，所以3124a a d -==.故选：D5.已知tan()3,tan()5αβαβ+=-=，则tan 2β等于（）A.18B.17C.47-D.18-【答案】D 【解析】【分析】由2()()βαβαβ=+--，然后根据正切的和差公式求解即可．【详解】解：tan()3αβ+= ，tan()5αβ-=，tan 2tan[()()]βαβαβ∴=+--tan()tan()1tan()tan()αβαβαβαβ+--=++-3511358-==-+⨯．故选：D ．6.若实数x ，y 满足32122x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则z x y =+的最大值为（）A.8B.7C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再结合图象求出目标函数的最值.【详解】由约束条件作出可行域，如图：联立322x y x =⎧⎨=-⎩，解得()3,4A由z x y =+，得y x z =-+，z 为直线y x z =-+的纵截距.由图可知，当直线y x z =-+过点()3,4A 时，直线的纵截距z 最大，且max 347z =+=.故选：B.7.{}n a 为公比大于1的正项等比数列，且3a 和26a a 是方程2540x x -+=的两根，若正实数x ，y 满足4x y a +=，则12x y+的最小值为（）A.1B.32+C.2D.3+【答案】B 【解析】【分析】先利用等比数列的性质得到2635a a a a =，结合韦达定理2365a a a +=，2364a a a =，得到233540a a -+=，求出31a =或4，结合公比1q >，求出2q =，得到432a a q ==，利用基本不等式“1”的妙用求出12x y+的最小值.【详解】由题意得：2365a a a +=，2364a a a =，因为{}n a 为公比大于1的正项等比数列，所以2635a a a a =，故3355a a a +=，2354a a =，由2354a a =得5234a a =，将其代入3355a a a +=得：233540a a -+=，解得：31a =或4，设公比为q ，则1q >，当31a =时，52344a a ==，所以2534a q a ==，因为1q >，解得：2q =当34a =时，523414a a ==，所以253116a q a ==，因为1q >，不合题意，舍去；所以432a a q ==，即2x y +=，()1211212131232222xx y x y x y y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎝+⎭⎭⎝，当且仅当2y x xy=，即2,4x y ==-时，等号成立，故选：B8.已知()f x 满足()()0f x f x +-=，且当0x <时，21()f x x x=+，则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为()A.10x y +-=B.320x y --=C.330x y --=D.20x y --=【答案】C 【解析】【分析】根据()()0f x f x +-=判断函数的奇偶性，再根据奇偶性和x ＜0时的解析式，求出f (x )在x ＞0时的解析式，再根据导数的几何意义即可求解．【详解】已知()f x 满足()()0f x f x +-=，∴()f x 为奇函数，当0x >时，0x -<，因此()()()2211f x x f x f x x x x -=-+=-⇒=-，则x ＞0时，()()332121f x xx-'=--=+，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线斜率()321131k f '==+=，又()211101f =-=，∴曲线()y f x =在点()1,(1)f ，即(1，0)处的切线方程为()031y x -=-，整理得330x y --=﹒故选：C ．9.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()cos 2()g x x xf x =-，对于[)0,∞+上任意两个不相等实数1x 和2x ，()g x 都满足1212()()0g x g x x x ->-，若12log 7.1a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.9(2)b g =， 1.1(3)c g =，则,,a b c 的大小关系为（）A.b a c <<B.c b a<< C.a b c<< D.b<c<a【答案】A 【解析】【分析】由题知函数()g x 为偶函数，在[)0,∞+上单调递增，进而根据0.91.1222log 7.133<<<<结合函数的性质比较大小即可.【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()cos 2()cos 2g x x x f x x xf x g x -=----=-=，即函数()g x 为偶函数，因为对于[)0,∞+上任意两个不相等实数1x 和2x ，()g x 都满足1212()()0g x g x x x ->-，所以函数()g x 在[)0,∞+上单调递增，因为()()1222log 7.1log 7.1log 7.1a g g g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，因为0.91.1222log 7.133<<<<，所以，()()()0.91.122log7.13g g g <<，即b a c <<.故选：A10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论错误的是（）A.若sin sin A B >，则A B>B.若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>C.若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形D.若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 可以是钝角三角形【答案】D 【解析】【分析】A.由正弦定理及三角形中大角对大边即可判断.B.通过内角和为π化简，再借助角C 为锐角得到角,A B 满足的关系，在再取角的正弦值化简即可.C.边化角，运用两角差的正弦公式化简，得到角,,A B C 的关系，再借助内角和为π计算即可得到.D.通过内角和为π化简角C ，再利用两角和的正切公式化简即可得到tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=>，然后判断即可.【详解】A.因为sin sin A B >，所以由正弦定理知a b >，又因为在三角形中大角对大边，所以A B >.故选项A 正确.B.因为ABC 为锐角三角形，所以2A B C ππ+=->，即2A B π>-，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭.故选项B 正确.C .由正弦定理边化角得()sin sin cos sin cos sin C A B B A A B =-=-,则C A B =-或C A B π+-=（舍），则A B C A π=+=-,即2A π=，则ABC 一定为直角三角形.故选项C 正确.D .()()tan tan tan tan tan 1tan tan A BC A B A B A Bπ+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦- ()tan tan tan tan tan 1A B C A B ∴+=-()tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan 0A B C C A B C A B C ∴++=-+=>又因为最多只有一个角为钝角，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，即三个角都为锐角,所以ABC 为锐角三角形.故选项D 错误.故选：D.11.在ABC 中，3AC =，5BC =，D 为线段BC 的中点，12AD BC =，E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点，则2AE CB ⋅=（）A.73B.4C.7D.6-【答案】C 【解析】【分析】先根据题意得ABC 为直角三角形，2A π=，进而得216AB =，再根据AE AD DE =+ ，CB AB AC =- ，DE CB ⊥得22722AE CB C D B A AB AC =-⋅==⋅ .【详解】解：因为在ABC 中，D 为线段BC 的中点，所以()12AD AB AC =+ ，即2AD AB AC =+ ，因为3AC =，5BC =，12AD BC =，所以22242cos AD AB AC AC AB A =++ ，即2166cos AB AB A =+，因为BC AC AB=-，所以2222cos BC AC AB AC AB A =+- ，即2166cos AB AB A =-，所以，22166cos 6cos AB AB A AB AB A =+=-，即12cos 0AB A = ，所以cos 0A =，因为()0,A π∈，所以2A π=，即ABC 为直角三角形，所以22216AB BC AC=-=因为E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点，所以AE AD DE =+ ，CB AB AC =- ，DE CB ⊥，所以()()22222AE CB CB C A AD DE AD A B B ACD ⋅⋅=⋅=⋅-=+ ()()221697AB AC AB AC AB AC =+-=-=-= 故选：C12.已知向量,a b的夹角为60°，22a b == ，若对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，122112112x nx x nx a b x x ->--，则m 的取值范围是（）A.)3e ,∞⎡+⎣ B.[)e,+∞ C.1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D.1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】根据向量数量积的定义求得1a b ⋅=，于是由数量积的应用可得22a b -= ，对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，则将1221121n 1n 2x x x x a b x x ->-- 转化为1221121n 1n 2x x x x x x ->-，即21211n 2ln 2x x x x --<，则构造函数()ln 2x f x x-=得函数在(),m +∞上单调递减，求导判断()f x 单调性，即可得m 的取值范围.【详解】解：已知向量,a b 的夹角为60°，22a b == ，则1cos 602112a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯=所以22a b -== 所以对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，1221121n 1n 2x x x x x x ->-，则1221121n 1n 22x x x x x x -<-所以2121211n 1n 22x x x x x x -<-，即21211n 2ln 2x x x x --<，设()ln 2x f x x-=，即()f x 在(),m +∞上单调递减又()0,x ∈+∞时，()23ln 0xf x x'-==，解得3e x =，所以()30,ex ∈，()0f x ¢>，()f x 在()30,e x ∈上单调递增；()3e ,x ∞∈+，()0f x '<，()f x 在()3e ,x ∞∈+上单调递减，所以3e m ≥.故选：A .第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上．2．试卷中横线的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答．本卷包括必考题和选考题两部分．第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(0,4)a m =- ，()21,b m m =+ ，若a 与b 垂直，则实数m 等于____．【答案】0或4【解析】【分析】根据向量坐标运算的垂直关系计算即可.【详解】向量(0,4)a m =- ，()21,b m m =+ ，若a 与b垂直，则22(0,4)(1,)40a b m m m m m ⋅=-⋅+=-=，解得0m =或4m =，故答案为：0或4.14.2353π8lg +2lg 2sin 22+-=__【答案】6【解析】【分析】根据指数、对数、三角函数等知识确定正确答案.【详解】原式()()232352lg lg 212=++--252lg 415lg105162⎛⎫=+⨯+=+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：615.若命题“2000,10∃∈-+≤x R ax ax ”是假命题，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[0,4)【解析】【分析】由题意，命题的否定为真命题，分别讨论0a =和0a ≠两种情况，根据二次函数的性质，即可得答案.【详解】因为命题“2000,10∃∈-+≤x R ax ax ”是假命题，所以命题的否定：2,10x R ax ax ∀∈-+>为真命题，当0a =时，10>恒成立，符合题意，当0a ≠时，由题意得：240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<.综上实数a 的取值范围是[0,4).故答案为：[0,4)16.正割（Secant ，sec ）是三角函数的一种，正割的数学符号为sec ，出自英文secant ．该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用，正割与余弦互为倒数，即1sec cos x x=．若函数()sec sin f x x x x =⋅-，则下列结论正确的有__①函数()f x 的图像关于直线x π=②函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线与x 轴平行，且与x 轴的距离为π；③函数()f x 在区间95,168ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④()f x 为奇函数，且()f x 有最大值，无最小值．【答案】②③【解析】【分析】根据(0)(2)f f π≠判断①；根据导数的几何意义求切线方程判断②；根据导数求解函数的单调性判断③；结合函数的单调性判断④.【详解】解：对于①，由题知(0)0f =，1(2)2sin 22cos 2f πππππ=⋅-=，显然(0)(2)f f π≠，故函数()f x 的图像不关于直线x π=对称，故①错误；对于②，1()sin cos f x x x x =⋅-，2cos sin ()cos cos x x x f x x x+'=-，所以2cos sin ()cos 0cos f ππππππ+'=-=，1()sin cos f πππππ=⋅-=-，所以，函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线方程为y π=-，所以，函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线与x 轴平行，且与x 轴的距离为π，故正确；对于③，因为()2322cos 1cos sin cos sin cos ()cos cos x x x xx x x x f x x x-++-'==2221sin 2sin cos sin sin 2cos cos x x x x x x x x x⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，令()1sin 22g x x x =+，则()cos 210g x x =+≥'恒成立，所以，()1sin 22g x x x =+在R 上单调递增，因为()00g =，所以，(),0x ∈-∞时，()0g x <；()0,x ∈+∞时，()0g x >，因为函数()f x 的定义域为,Z 2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭所以，当95,,1682x ππππ⎡⎤⎛∈⊆ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭时，()0g x >，()0f x '>，所以，函数()f x 在区间95,168ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故正确；对于④，函数的定义域为,Z 2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，()()()()1sin cos f x x x f x x -=-⋅--=--，故函数()f x 为奇函数；由③知，当02x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，函数()f x 为增函数，所以，当x 从0趋近于2π时，函数值()f x 趋近于+∞，故函数()f x 无最大值，当x 从π趋近于2π时，函数值()f x 趋近于-∞，故函数()f x 无最小值，故④错误.所以，正确的结论有：②③故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合}{32A x x =-<≤，函数()g x =的定义域为集合B ．（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）设命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(){}3,12A B =- （2）(](),42,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）根据题意得{|1B x x =<或2}x ≥，再求交集运算即可；（2）由题知|1{B x x a =≥+或}x a <，A B Ü，再根据集合关系求解即可.【小问1详解】解：当1a =时，()g x ==由题意201x x -≥-，解得1x <或2x ≥，所以{|1B x x =<或2}x ≥，又{}|32A x x =-<≤，所以(){}3,12A B =- .【小问2详解】解：由题意(1)0x a x a -+≥-，即()[(1)]00x a x a x a --+≥⎧⎨-≠⎩，解得：1x a ≥+或x a <，所以|1{B x x a =≥+或}x a <，因为p 是q 的充分不必要条件，所以，集合A 是集合B 的真子集，所以2a >或13a +≤-，解得2a >或4a ≤-故实数a 的取值范围(](),42,-∞-+∞ ．18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足3520a a +=，48a =，数列{}n b 的通项公式为212n n b +=（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n p q a b =，求数列12(1)n n p q n n ⎧⎫+-⎨⎬+⎩⎭的前n 项和T n ．【答案】（1）12n n a -=（2）21nn n ++【解析】【分析】(1)利用等比数列的通项公式化简条件，求出等比数列的公比，由此可得数列{}n a 的通项公式；(2)由(1)可得22n n p q -=，利用裂项相消法和组合求和法求数列21(1)n n ++的前n 项和T n .【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，由3520a a +=，48a =，可得2333208a a q a q ⎧+=⎨=⎩，即得22520q q -+=，解得2q =或12q =（舍去），故4414822n n n n a a q ---==⨯=，所以{}n a 的通项公式为12n n a -=；【小问2详解】若n n p q a b =，则12122n n p q -+=，故121n n p q -=+，即22n n p q -=，即1111222(1)(1)1n n p q n n n n n n +-=+=-++++所以1111112222231n T n n =-++-+++-++11111(12222311n nT n n n n n =-+-++-+=+++ .19.已知函数323()2a f x x x axb +=-++（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a =时，函数()y f x =的图象与抛物线25532y x x =-+恰有三个不同交点，求实数b 的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）1(,1)2.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再分类讨论求解不等式即可作答.（2）根据给定条件，构造函数，求出三次函数的极值，列出不等式求解作答.【小问1详解】函数323()2a f x x x ax b +=-++定义域R ，求导得()()()233313a f x x a x a x x ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭'，若3a >，当13a x <<时，()0f x '<，当1x <或3a x >时，()0f x ¢>，即()f x 在(1,)3a上单调递减，在(,1)-∞和(,)3a+∞上单调递增；若3a =，恒有()0f x '≥．即()f x 在R 上单调递增；若3a <，当13ax <<时，()0f x '<；当3a x <或1x >时，()0f x '>，即()f x 在(,1)3a 上单调递减，在(,3a-∞和(1,)+∞上单调递增，所以当3a <时，函数()f x 的递减区间是(,1)3a，递增区间是(,)3a -∞和(1,)+∞；当3a =时，函数()f x 在R 上单调递增；当3a >时，函数()f x 的递减区间是(1,)3a ，递增区间是(,1)-∞和(,)3a +∞.【小问2详解】当1a =时，32()2f x x x x b =-++，令23259()()(53)6322g x f x x x x x x b =--+=-++-，因函数()y f x =的图象与抛物线25532y x x =-+恰有三个不同交点，则函数()y g x =图象与x 轴有三个交点，而2()3963(1)(2)g x x x x x '=-+=--，由()0g x '>，解得1x <或2x >，由()0g x '<，解得12x <<，因此函数()y g x =在(,1),(2)-∞+∞上单调递增，在(1,2)上单调递减，于是得()g x 在1x =时取得极大值1(1)2g b =-，()g x 在2x =时取得极小值(2)1g b =-，依题意，1210b b ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解得112b <<，所以实数b 的取值范围为1(,1)2．20.已知函数21()cos sin sin()32f x x x x π=+⋅+-（1）求函数()f x 的对称中心及()f x 在[]0,π上的单调递增区间；（2）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，1()2f C =，22225b c a =-，求sin A 的值．【答案】（1）对称中心为1(,Z 2124k k -∈ππ；单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3（2）2114【解析】【分析】（1）由三角恒等变换得()11sin 2264f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据整体代换求解即可；（2）结合（1）得1sin(262C π+=，进而得3C π=，再根据余弦定理和已知条件得3b a =，c =，进而结合正弦定理求解即可.【小问1详解】解：函数2311()sin (cos sin )cos 222f x x x x x =++-()22211cos sin 1cos cos cos 22x x x x x x x =+-+=+111112cos2)sin 2224264x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．由26x k ππ+=，Z k ∈，解得212k x ππ=-，Z k ∈故所求对称中心为1,,Z 2124k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．由222262k x k πππππ-≤+≤+，Z k ∈，解得36k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈令0k =，有36x ππ-≤≤，令1k =，有2736x ππ≤≤又[]0,x π∈，所以所求的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3【小问2详解】解：因为1()2f C =，所以111sin(2)2642C ++=π，即1sin(262C π+=又在ABC 中(0,)C π∈，132,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以5266C ππ+=，即3C π=，由余弦定理知，2222cos a b c ab C ab +-==，又22225b c a =-所以22230b ab a --=，解得3b a =，c =，由正弦定理知，sin sin a c A C=，所以sin sin 14a C A c ===21.已知函数()ln f x x x =+，()e x g x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）令42e ()4e 11x x x τ=+---，求证：对[)2,x ∀∈+∞，有()()g x x τ>成立；（3）若不等式()()()0R g x af x a +≥∈在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）210x y --=；（2）证明见解析；（3）[)e -+∞.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线的斜率，利用点斜式求切线方程；（2）利用导数求函数()g x 的最小值，利用基本不等式求()x τ的最大值，由此证明()()g x x τ>；（3）由已知可得e ln(e )0x x x a x +≥在()1,+∞上恒成立，设e x x μ=，则ln a μμ-≥在(e,)+∞上恒成立，利用导数求函数ln y μμ-=的最大值，可求a 的取值范围．【小问1详解】因为()ln f x x x =+，所以1()1f x x'=+，所以(1)1f =，(1)2f '=，所以曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线的斜率为2，故切线方程为()121y x -=-，即210x y --=；【小问2详解】因为()e x g x x =，当2x ≥时，()(1)e 0x g x x '=+>，故()g x 在[)2,+∞上单调递增，所以2min ()(2)2e g x g ==，又4422e e ()4e 14e (1)11x x x x x τ⎡⎤=+--=--+⎢⎥--⎣⎦，因为[)2,x ∞∈+，所以11x -≥，4e 01x >-，所以()224e 2e x τ≤-，当且仅当4e 11x x -=-，即[)2e 12,x =+∈+∞时取等号，即当2e 1x =+时，[]2max ()2e x τ=，由于()g x 的最小值等于()x τ的最大值，且不是在同一点取得，故有()()g x x τ>成立【小问3详解】由不等式()()0g x af x +≥在()1,+∞上恒成立，即不等式e (ln )0x x a x x ++≥在()1,+∞上恒成立，得e ln(e )0x x x a x +≥在()1,+∞上恒成立，令e x x μ=，由(2)e x x μ=在()1,+∞上单调递增，所以e μ>，则ln 0a μμ+≥在(e,)+∞上恒成立，ln a μμ-≥在(e,)+∞上恒成立，令()(e)ln μϕμμμ-=>，则21ln (0(ln )μϕμμ-'=<()ϕμ∴在(e,)+∞递减，()(e)eϕμϕ<=-所以实数a 的取值范围是[),e -+∞【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)()a f x ≥恒成立⇔()max a f x ≥；(2)()a f x ≤恒成立⇔()min a f x ≤.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程］22.平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 与2C 交于M ，N 两点，求与直线MN 平行且过原点的直线l 的极坐标方程及MN 的值．【答案】（1）221x y +=；220x y x +-=（2）5()6R πθρ=∈【解析】【分析】（1）求曲线1C 的普通方程只需把,x y 平方即可，求曲线2C 的方程只需极坐标与直角坐标的转化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化简即可.（2）两圆方程联立即可求相交弦方程，即直线MN 的方程，再根据平行求出直线l 的方程，进而可求直线l 的极坐标方程，再利用圆的弦长与圆心到直线的距离，半径之间的关系即可求出MN 的值．【小问1详解】由曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），可得2222cos sin 1x y αα+=+=，即曲线1C 的普通方程为221x y +=；曲线2C 的极坐标方程为2sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭⇒2sin cos ρθρθ+⇒22x y x +=+.故曲线2C的直角坐标方程为220x y x +--=.【小问2详解】由（1）得22221100x y x x y x ⎧+=⎪⇒+-=⎨+--=⎪⎩即直线MN的方程为10x +-=，则与直线MN 平行且过原点的直线l 的方程为33y x =-，其倾斜角为56π所以直线l 的极坐标方程为()56R πθρ=∈；设曲线221:1C x y +=的圆心(0,0)到直线MN 的距离为d ，则12d =，故MN ==．故：MN =.［选修4—5：不等式选讲］23.已知函数()()2R f x x x a x a =-+∈（1）当1a =时，解不等式()1f x >；（2）若()2f x x <+对于任意的13,42x Î恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1{12xx <<∣或1}x >（2）5,26⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论求解即可；（2）根据题意1x a x -<且1a x x<+对任意的13,42x Î恒成立，再求对应的最值即可得答案.【小问1详解】解：当1a =时，不等式()1f x >，即2|1|1x x x -+>，所以12(1)1x x x x ≥⎧⎨-+>⎩或12(1)1x x x x <⎧⎨-+>⎩，即得21210x x x ≥⎧⎨-->⎩或212310x x x <⎧⎨-+<⎩，解得112x <<或1x >，所以不等式()1f x >的解集为1{|12x x <<或1}x >【小问2详解】解：因为()2f x x <+对任意的13,42x Î恒成立，所以，||1x x a -<对任意的13,42x Î恒成立，即1||x a x -<，即11x a x x x-<<+，故只要1x a x -<且1a x x<+对任意的13,42x Î恒成立即可，因为12x x +≥=，13,42x Î，当且仅当1x x =时，即1x =时等号成立，所以min 1()2x x+=，令1()g x x x=-，13,42x Î，因为函数1,y x y x==-在13,42x Î上单调递增，所以()g x 在13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增，从而max 35()()26g x g ==，所以，526a <<，即实数a 的取值范围是5,26⎛⎫⎪⎝⎭第21页/共21页。
高三数学文科模拟考试 (含答案)
高三数学文科模拟考试 (含答案)高三模拟考试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考生作答时，请将答案涂在答题卡上，不要在试题卷和草稿纸上作答。
考试结束后，请将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：请使用2B铅笔在答题卡上涂黑所选答案对应的标号。
第Ⅰ卷共12小题。
1.设集合A={x∈Z|x+1<4}，集合B={2,3,4}，则A∩B的值为A.{2,4}。
B.{2,3}。
C.{3}。
D.空集2.已知x>y，且x+y=2，则下列不等式成立的是A.x1.D.y<-113.已知向量a=(x-1,2)，b=(x,1)，且a∥b，则x的值为A.-1.B.0.C.1.D.24.若___(π/2-θ)=2，则tan2θ的值为A.-3.B.3.C.-3/3.D.3/35.某单位规定，每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费。
某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米。
A.13.B.14.C.15.D.166.已知命题p：“存在实数x使得e^x=1”，命题q：“对于任意实数a和b，如果a-1=b-2，则a-b=-1”，下列命题为真的是A.p。
B.非q。
C.p或q。
D.p且q7.函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当-1≤x≤1时，f(x)=|x|。
若函数y=f(x)的图象与函数y=log_a(x)（a>0且a≠1）的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为A.(4,5)。
B.(4,6)。
C.{5}。
D.{6}8.已知函数f(x)=sin(θx)+3cos(θx)（θ>0），函数y=f(x)的最高点与相邻最低点的距离是17.若将y=f(x)的图象向右平移1个单位得到y=g(x)的图象，则函数y=g(x)图象的一条对称轴方程是A.x=1.B.x=2.C.x=5.D.x=6删除了格式错误的部分，对每段话进行了简单的改写，使其更流畅易懂。
湖南省高三下学期模拟考试(文科)数学试卷-附含答案解析
湖南省高三下学期模拟考试(文科)数学试卷-附含答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}1,0,1,|1A B x N x =-=∈<，则A B ⋃=（ ） A ．{}0B ．{}1,0-C ．{1,-0，1}D ．(),1-∞2．设m 、n 是两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β且m ⊥n ，则α⊥βD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β3．已知角α的终边经过点()sin150,cos30A ，则tan α=（ ）A B ．C D ．4．在中国传统佳节元宵节中赏花灯是常见的活动.某单位拟举办庆祝元宵的活动，购买了A ，B ，C 三种类型的花灯，其中A 种花灯4个，B 种花灯5个，C 种花灯1个，现从中随机抽取4个花灯，则A ，B ，C 三种花灯各至少被抽取一个的情况种数为（ ） A ．30B ．70C ．40D ．845．已知函数()32233f x x ax x =-++是定义在R 上的奇函数，则函数()f x 的图像在点()()2,2f --处的切线的斜率为（ ） A ．27-B ．25-C ．23-D ．21-6．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.222:1(0)y C x b b-=>的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若P 为C 右支上的一点，F 为C 的左焦点，则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩（0a >且1a ≠）．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,11,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()()0,11,4⋃二、多选题9．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.由直方图推断，下列选项正确的是（ ） A ．直方图中a 的值为0.38B ．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒C ．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的人数为54D ．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒10．已知狄利克雷函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的值域为[]0,1B ．()f x 定义域为RC ．()()1f x f x +=D ．()f x 是奇函数11．已知拋物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 与圆22:(2)1M x y ++=上点的距离的最小值为2，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，以,A B 为切点的抛物线的两条切线的交点为P ，则下列结论正确的是（ ） A ．2p =B ．当l 与M 相切时，则l 的斜率是C ．点P 在定直线上D ．以AB 为直径的圆与直线1y =-相切12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别为1,BB AB 的中点.下列说法正确的是（ ）A ．点M 到平面1ANDB ．正方体1111ABCD A BCD - C ．面1AND 截正方体1111ABCD A B C D -外接球所得圆的面积为34πD ．以顶点A三、填空题13．已知角α终边与单位圆相交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则化简()()()()sin 3sin sin 2cos 4παπααπαπ+---+--得___________. 14．若512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为________.15．若函数21()ln 22f x a x x bx =++在区间[1,2]上单调递增，则4a b +的最小值是__________． 16．定义x 是与实数x 的距离最近的整数（当x 为两相邻整数的算术平均值时，则x 取较大整数），如451,2,22,2.5333====‖‖‖‖，令函数()K x x =，数列{}n a 的通项公式为n a =其前n 项和为n S ，则4S =__________；2023S =__________.四、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin sin 1sin sin sin sin A b BB C b A c B+=++(1)求角C ；(2)CD 是ACB ∠的角平分线，若CD =，ABC的面积为c 的值. 18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,(1)n S a n n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭的公差为13的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a ++⋅⋅⋅+< 19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 是斜边PA的长为E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点，M 是棱BC 上一点(1)求证：平面DFM ⊥平面PBC ；(2)若直线MF 与平面ABCD EDM 与平面DMF 夹角的余弦值． 20．国家发改委和住建部等六部门发布通知提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋､焚烧､堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y （单位：座）进行统计，得到如下表格：(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y 与变量x 之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；(2)求出y 关于x 的经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑ 参考数据：88882211112292,204,730348,12041i iii i i i i i y x y x y ========∑∑∑∑257385.84=≈ 21．已知函数()f x ax =(1)当1a =-时，则证明：当1x ≥x .(2)当0a =时，则对任意的1x ≥都有()22x m mf x x -≥-成立，求m 的取值范围.22．已知函数()()ln 1f x x ax =+-在12x =-处的切线的斜率为1．(1)求a 的值及()f x 的最大值． (2)证明：()1111ln 123n n++++>+()*N n ∈ (3)若()()e xg x b x =-，若()()f x g x ≤恒成立，求实数b 的取值范围．参考答案与解析1．C【分析】首先简化集合B ，然后根据并集的定义得结果. 【详解】B={x ∈N|x ＜1}={0}A ∪B={-1，0，1}∪{0}={-1，0，1}． 故选C ．【点睛】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 2．B【分析】A. 利用空间直线的位置关系判断；B.利用线面垂直的性质定理判断；C.利用平面与平面的位置关系判断；D.利用平面与平面的位置关系判断.故选：B 3．C【分析】根据三角函数的定义直接求得答案.【详解】由题意可知12A ⎛ ⎝⎭则tan 2α=故选：C. 4．B【解析】由题可得,,A B C 三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种，列式计算即可. 【详解】由题意可知,,A B C 三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种：A 种花灯选2个，B 种花灯选1个，C 种花灯选1个； A 种花灯选1个，B 种花灯选2个，C 种花灯选1个.故不同的抽取方法有211121451451304070C C C C C C +=+=(种).故选：B. 5．D【分析】先由奇函数的性质求a ，再由导数的几何意义求切线的斜率.【详解】因为函数()32233f x x ax x =-++是定义在R 上的奇函数所以()()f x f x -=-，即()()()3232233233x a x x x ax x -+-+=----所以3232233233x ax x x ax x -+--= 所以0a =所以()323f x x x =-+，故()263f x x '=-+所以()221f '=-所以函数()f x 的图像在点()()2,2f --处的切线的斜率为21-. 故选：D. 6．C【分析】根据双曲线的离心率求得双曲线C 的方程，求得双曲线右焦点到渐近线的距离，结合双曲线的定义求得所求的最小值.【详解】由题意可知1,ca e c a====2224,2b c a b =-=∴= 双曲线方程为22:14y C x -=，一条渐近线方程为20x y -=焦点)2F 到渐近线20x y -=的距离为2==d 22PF a PF =+，2PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为2d =所以PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为224a +=. 故选：C 7．C【分析】根据三角函数的性质，利用整体思想，由单调区间与周期的关系，根据零点与对称轴之间的距离，表示所求参数，逐个检验取值，可得答案.【详解】由f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，即12618T ππ≥-，可得29T π≥，则ω≤9；∵4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴根据三角函数的图象可知零点与对称轴之间距离为：()1214T k ⨯-，k ∈N *．要求ω最大，则周期最小，∴()12142k T π-⨯=，则T 221k π=-；∴ω＝2k ﹣1；当9ω=时，则由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 94f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭易知()f x 在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，在5,366ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，不合题意； 当7ω=时，则由2πϕ≤，则4πϕ=，可得()cos 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭易知()f x 在3,1828ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，在3,286ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，不合题意；当5ω=时，则由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 54f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭易知()f x 在,186ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，符合题意；故选：C ． 8．C【分析】根据原点对称的性质，求出当40x -≤<时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合的方法，再结合对数函数的性质进行求解即可【详解】当40x -≤<时，则函数|3|y x =+关于原点对称的函数为|3|y x -=-+，即|3|,(04)y x x =--+≤≤ 若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象如图：若1a >时，则()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点，满足条件； 当4x =时，则|43|1y =--+=-若01a <<时，则要使()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点则要满足(4)1f <-，即1log 41log a a a -<-=解得故114a <<； 综上a 的取值范围是()1,11,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭故选：C 9．BC【分析】A ：根据频率直方图中，所有小矩形的面积之和为1，进行求解判断即可； B ：根据众数的定义，结合频率直方图进行判断即可； C ：根据直方图，结合题意进行判断即可；D ：根据中位数的定义，结合结合频率直方图进行判断即可. 【详解】A ：因为频率直方图中，所有小矩形的面积之和为1所以(0.080.160.30.520.30.120.080.04)0.510.4a a ++++++++⨯=⇒= 因此本选项说法不正确；B ：分布在[)13.5,14小组的矩形面积最大，因此众数出现在这个小组内，因此估计众数为13.51413.752+=，因此本选项说法正确； C ：高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的小组有：频率之和为：(0.080.160.3)0.50.27++⨯=因此估计估计本校高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的人数为0.2720054⨯=，所以本选项说法正确；D ：设中位数为b ，因此有(0.080.160.30.4)0.50.52(13.5)0.513.56b b +++⨯+-=⇒≈ 所以本选项说法不正确 故选：BC 10．BC【分析】根据函数的解析式逐个判定即可. 【详解】对A, ()f x 的值域为{}0,1,故A 错误. 对B, ()f x 定义域为R .故B 正确.对C,当x 是有理数时1x +也为有理数,当x 是无理数时1x +也为无理数故()()1f x f x +=成立.故C 正确. 对D, 因为()01f =,故D 错误. 故选：BC【点睛】本题主要考查了新定义函数性质的判定,属于基础题. 11．ACD【分析】根据题意求出p 的值，判断A ；根据直线和圆相切求出直线的斜率，判断B ；设直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，求出以,A B 为切点的抛物线的两条切线的方程，结合根与系数的关系求得点P 坐标，判断C ；求出弦AB 的长以及弦AB 的中点到抛物线准线的距离，即可判断D.【详解】对于A ，由题意拋物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 与圆22:(2)1M x y ++=上点的距离的最小值为2 即F 与圆上的点(0,1)-的距离为2，则||1,2OF p =∴=，A 正确；对于B ，过点(0,1)F 的动直线l 与M 相切时，则斜率必存在，设l 的方程为1y kx =+1=，解得k =B 错误；对于C ，设1122,,(()A x y B x y ),，由24x y =可得12y x '=联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩ 消掉x 得2440x kx --= 216(1)0k ∆=+>所以12124,4x x k x x +==-设在点,A B 的切线斜率分别为12,k k ，则1212,22x x k k == 所以抛物线在点A 点的切线方程为111()2x y y x x -=-，即21124x x y x =-①同理可得在点B 的切线方程为 22224x x y x =-②由①②可得1222P x x x k +==，将122P x x x +=代入①得1214p x xy ==-所以P 点坐标为(21)k -，，即点P 在定直线1y =-上，C 正确；对于D ，由题意知12||42AB x x p k =++=+ AB 的中点的横坐标为124222x x kk +== 可得AB 的中点到抛物线准线1y =-的距离为121||2k AB +=则以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，故D 正确 故选：ACD 12．BCD【分析】A 选项由等体积法11M AND D AMN V V --=求得点M 到平面1AND 的距离即可；B 选项由外接球的直径为体对角线即可判断；C 选项由面1AND 经过外接球球心求得其外接圆圆心，即可求解；D 选项将球面与正方体的表面相交所得的曲线分为两类，按照弧长公式计算即可.【详解】1111211112,2242228AND ANM AD S S =⨯⨯==⨯⨯=，设M 到平面1AND 的距离为d ，由11M AND D AMN V V --=，即1111133AND ANM d S D A S ⨯⨯=⨯⨯，解得4d =，故A 错误；正方体1111ABCD A B C D -=外接球的体积为343π⨯=⎝⎭故B 正确；易得面1AND 经过正方体1111ABCD A B C D -其圆的面积为34π，故C 正确； 如图球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B ､面ABCD 和面11AA D D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C ､面11CC D D 和面1111D C B A 上.在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上因为1A E ==，则16A AE π∠=，同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为6π=，而这样的弧共有三条. 在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，则小圆的圆心为B ，半径为1BF A E ==所以弧FG 2π=，这样的弧也有三条.于是，所得的曲线长33=D 正确. 故选：BCD. 13．34-##0.75-【分析】根据任意角三角函数的概念，可得3tan 4α=-，再利用诱导公式对原式化简，可得原式等于tan α，由此即可求出结果.【详解】因为角α终边与单位圆相交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3tan 4α=-又()()()()()()()()sin 2sin sin 3sin sin 2cos 4sin 2cos 4ππαπαπαπααπαπαπαπ⎡⎤⎡⎤++-++--⎣⎦⎣⎦=-+---++()()sin sin sin sin tan sin cos sin cos πααααααααα+-===--所以()()()()sin 3sin 3sin 2cos 44παπααπαπ+--=--+--.故答案为：34-14．40【分析】由1()(2)n a x x x x +-的展开式中的各项系数的和为2，令x =1，求得1a =，写出51(2)x x-的展开式的通项，分别乘以x ，1x再令x 的指数为0求得r 值，则展开式中的常数项可求． 【详解】解：由1()(2)n a x x xx+-的展开式中的各项系数的和为2 令1x =，得5(1)12a +=，得1a =． ∴5111()(2)()(2)n a x x x x xxxx+-=+-51(2)x x-的通项55521551(2)()(1)2,0,1,2,3,4,5r r r r r r r r T C x C x x r ---+=-=-⋅⋅⋅=．∴511()(2)x x x x+-的展开式中的通项有5625(1)2r r r r C x ---⋅⋅⋅和5425(1)2r r r r C x ---⋅⋅⋅．令420r -=，得2r =，则展开式中的常数项为2325(1)280C -⋅⋅=； 令620r -=，得3r =，则展开式中的常数项为3235(1)240C -⋅⋅=- 所以该展开式的常数项为80-40=40. 故答案为：40． 15．-4【分析】对函数求导可得：22()x bx af x x++'=，函数()f x 在区间[1,2]上单调递增等价于()f x '在区间[1,2]上大于等于零恒成立，即220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立，利用二次函数的图像讨论出a ，b 的关系，再结合线性规划即可得到4a b +的最小值． 【详解】 函数21()ln 22f x a x x bx =++在区间[1,2]上单调递增 ∴22()20a x bx af x x b x x ++'=++=≥在区间[1,2]上恒成立，即220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立，令2()2h x x bx a =++，其对称轴：x b =-当1b -≤，即1b ≥-时，则220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立等价于：1(1)210b h a b ≥-⎧⎨=++≥⎩ 由线性规划可得：min (4)14(1)3a b +=+⨯-=-当2b -≥，即2b ≤-时，则220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立等价于：2(2)440b h a b ≤-⎧⎨=++≥⎩ 由线性规划可得：min (4)44(2)4a b +=+⨯-=-当12b <-<，即21b -<<-时，则220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立等价于：221()0b h b a b -<<-⎧⎨-=-≥⎩ 则244a b b b +≥+，由于24b b +在21b -<<-上的范围为(4,3)--，则443a b -<+<-综上所述4a b +的最小值是-4.【点睛】本题考查导数与函数单调性、线性规划、函数与不等式等知识，考查学生综合运用数学知识的能力，运算能力以及逻辑思维能力，属于难题． 16． 3400345【分析】根据数列新定义可知数列n a =()11111111111111,1,(,,,),(,,,,,),,(,,,)2222333333n nn，且满足第n 组有2n 个数，且每组中所有数之和为122n n⨯=，即可求解. 【详解】因为()()123411111,1,,,2122a a a a K K ======== 所以41111322S =+++=；根据()K x x =以此类推，将n a =()11111111111111,1,(,,,),(,,,,,),,(,,,)2222333333n nn第n 组有2n 个数，且每组中所有数之和为122n n⨯=设2023a =1n +组中则(22)20232n n+≤，可得(1)2023n n +≤解得44n ≤ 所以(20231140032444345452023S K=+=⨯+⨯=故答案为：3 40034517．(1)3C π=；(2)c =【分析】（1）先由正弦定理得21a b b c ba cb+=++，化简整理得222a b c ab +-=，再由余弦定理求得cos C ，即可求解；（2）先由面积求得8ab =，再由角平分线得AD b BD a=，结合平面向量得a bCD CA CB a b a b =+++，平方整理求得6a b +=，再由（1）中222a b c ab +-=即可求出c 的值.【详解】（1）由正弦定理得21a b b c ba cb+=++，即1a b b c a c +=++，整理得()()()()a a c b b c a c b c +++=++ 化简得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,C π∈，则3C π=；（2）由面积公式得11sin 22ab C ab ==，解得8ab =，又CD 是ACB ∠的角平分线，则1sin261sin 26ACD BCDCA CD SCA AD SCB BD CB CD ππ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ 即AD b BD a =，则()b b a b CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB a b a b a b a b=+=+=+-=+++++ 所以()()()2222222222a b a ab b CD CA CB CA CA CB CB a b a b a b a b a b ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪++⎝⎭+++，即()()()2222222162132a b ab a b ab a b a b a b =+⋅⋅++++ 整理得()2221633a b a b =+，又8ab =，解得6a b +=，则()222220a b a b ab +=+-= 由（1）知22220812c a b ab =+-=-=，则c =.18．(1)2n a n =；(2)证明见解析.【分析】（1）利用题意建立等式求出n S ，然后利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出通项即可；（2）先将2221111123n+++⋅⋅⋅+放大为11111223(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯-，然后裂项求和即可. 【详解】（1）因为11a =，所以11122S =⨯ 又因为(1)n S n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是公差为13的等差数列，所以11(1)(1)23n S n n n =+-+ 所以1(1)(21)6n S n n n =++.当2n ≥时，则21,1n n n a S S n n -=-==时，则11a =也满足上式.所以{}n a 的通项公式是2n a n =；（2）当1n =时，则1112a =<，不等式成立； 当2n ≥时，则22212111111111111231223(1)n a a a n n n++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+⨯⨯- 11111111222231n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19．(1)证明见解析【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得PD ⊥平面ABCD ，从而PD BC ⊥，又BC CD ⊥，由线面垂直的判定定理得BC ⊥平面PCD ，则BC DF ⊥，又DF ⊥PC ，得DF ⊥平面PBC ，根据面面垂直的判定定理即可证得结论；（2）取CD 的中点N ，则//NF PD ，112NF PD ==结合（1）得NF ⊥平面ABCD ，结合线面角的定义得FMN ∠是直线MF 与平面ABCD 所成角，求得MN ，MC ，建立空间直角坐标系，分别求出平面EDM 、DMF 的法向量，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为PAD 是斜边PA的长为PD DA ⊥ 2PD DA == 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD DA =，PD ⊂平面PAD ∴PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥又BC CD ⊥，PD CD D ⋂=和,PD CD ⊂平面PCD ，∴BC ⊥平面PCD 因为DF ⊂平面PCD ，∴BC DF ⊥∵PD DC =，F 是棱PC 的中点，∴DF ⊥PC又⋂=PC CB C ，,PC CB ⊂平面PBC ，∴DF ⊥平面PBC ． 又DF ⊂平面DFM ，∴平面DFM ⊥平面PBC ． （2）如图，取CD 的中点N ，连接MN ，NF则//NF PD 112NF PD == 由（1）知PD ⊥平面ABCD ，∴NF ⊥平面ABCD ∴FMN ∠是直线MF 与平面ABCD 所成角 ∴1tan FMN MN ∠==∴MN 23MC =以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系设平面EDM 的法向量为(),,m a b c =，平面DMF 的法向量为(),,n x y z = 则02023DE m a cDM m a b⎧=⋅=+⎪⎨=⋅=+⎪⎩，令3a =-，则()3,1,3m =- 有02023DF n y zDM n x y ⎧=⋅=+⎪⎨=⋅=+⎪⎩，令3x =-，则()3,1,1n =--∴cos 19m n m n m n⋅⋅===⋅∴平面EDM 与平面DMF ． 20．(1)答案见解析(2)ˆ41.12101.46yx =+ 513 (3)答案见解析【分析】（1）根据相关系数的公式，即可代入求值，根据相关系数的大小即可作出判断 （2）利用最小二乘法即可计算求解（3）根据相关关系不是确定的函数关系，而受多因素影响，即可求解. 【详解】（1）1234567892292573,8282x y +++++++====相关系数()()88niii ix x y y x y x yr ---⋅==∑∑957312041817270.9820.585.84-⨯⨯=≈≈⨯因为y 与x 的相关系数0.98r =，接近1，所以y 与x 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）()()()8118222118ˆ8n iii ii i niii i x x y y x y x ybx x xx====---⋅==--∑∑∑∑957312041817272241.12814220484-⨯⨯==≈-⨯ 5739ˆˆ41.12101.4622ay bx =-≈-⨯= 所以y 与x 的线性回归方程为ˆ41.12101.46yx =+ 又2022年对应的年份代码10x =，当10x =时，则41.1210101.46512.6513ˆ6y=⨯+=≈ 所以预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为513.（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由（2）所求的线性回归方程预测，理由如下（说出一点即可）：①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建； ③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式. 21．(1)证明见解析. (2)[2,1]-【分析】（1）方法1：由分析法可证得结果. 方法2：换元法求()f x 的最大值即可证得结果.（2）设出不等号两边的函数，转化为对任意的1x ≥都有()()g x h x ≥成立，对参数分类讨论，分别研究两个函数的单调性、最值即可. 【详解】（1）方法1：∵1x ≥ ∴2(1)0x -≥ ∴原命题得证. 方法2：对称轴1t =，()h t 在[1,)+∞上单调递减 ∴max ()(1)0h t h ==∴()0h t ≤，即：当1x ≥时，则()0f x ≤恒成立即：当1x ≥x .（2）当0a =时，则()f x =即：对任意的1x ≥都有22x m x -≥成立令22()g x x m =-， ()h x x = 即：对任意的1x ≥都有()()g x h x ≥成立 当1x =时，则211m m -≥-，故21m -≤≤. ①当20m -≤≤时，则()g x 在[1,)+∞上单调递增∴2min ()(1)1g x g m ==-，∴2()1g x m ≥-()h x 在[1,)+∞上单调递减，∴max ()(1)1h x h m ==-，∴()1h x m ≤-此时2min max ()()20g x h x m m -=--≥∴min max ()()g x h x ≥即()()g x h x ≥，故20m -≤≤符合.②当01m <≤时，则由（1）知1x ∀≥x ≤恒成立∴1x ∀≥ mx x ≤∴1x ∀≥，0x ≤ 即：1x ∀≥ ()0≤h x又∵()g x 在[1,)+∞上单调递增，∴2min ()(1)1g x g m ==-，∴2()10g x m ≥-≥∴1x ∀≥ ()()g x h x ≥ ∴01m <≤符合. 综述：21m -≤≤【点睛】对于x D ∀∈，()()f x g x ≥恒成立求参数，可以先取特殊值确定参数的初步范围，再利用下面的两种方法.方法1：当x D ∈时，则min [()()]0f x g x -≥； 方法2：当x D ∈时，则min max ()()f x g x ≥. 求最值的方法：方法1：分离参数求最值；方法2：分类讨论研究函数的最值.22．(1)1a = max (0)f x =；(2)证明见解析；(3)[)0,∞+【分析】（1）由题意可得112f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭，可求出a 的值，然后利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值；（2）由（1）得()ln 1x x +≤，令()1N x k k *=∈，则有11ln 1k k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，然后利用累加法可证得结论； （3）由于()()00,0f g b ==，所以()()f x g x ≤恒成立，则0b ≥，然后分0b =和0b >两种情况讨论即可.【详解】（1）函数的定义域为()()11,,1f x a x'-+∞=-+． 由已知得112f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭，得11112a -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，解得1a =． 此时()()()1ln 1,111x f x x x f x x x-'=+-=-=++． 当10x -<<时，则()0f x '>，当0x <时，则()0f x '<所以()f x 在(1,0)-上单调递增，()f x 在(0,)+∞单调递减所以()max ()00f x f ==；（2）由（1）得()ln 1x x +≤，当且仅当0x =时，则等号成立 令()1N x k k *=∈，则11ln 1k k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭ 所以()()1ln 1ln 1,2,3,,k k k n k >+-=将上述n 个不等式依次相加，得()1111ln 123n n++++>+； （3）因为()()00,0f g b ==，若()()f x g x ≤恒成立，则0b ≥①0b =时，则显然成立②0b >时，则由()()e x g x b x =-，得()()e 1x g x b '=-．当()1,0-时，则()()0,g x g x '<单减，当()0,x ∈+∞时，则()()0,g x g x '>单增所以()g x 在0x =处取得极小值，即最小值()()min ()00g x g b f x ==>≥，即()()f x g x ≤恒成立综合①②可知实数b 的取值范围为[)0,∞+.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是先由()()00,0f g b ==，从而可得0b ≥，然后分情况讨论即可得答案，考查数转化思想，属于较难题.。
2023年湘豫名校联考高三5月高考三模文科数学试卷含答案
湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2A x x =≥，{}216x B x =<，则A B = （）A.()2,4 B.[)2,4 C.[)2,+∞ D.{}2,42.已知复数322i i iz -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量a ，b 满足()6,10a b -=- ，()238,15a b +=- ，则a b ⋅=（）A.29- B.29C.13- D.134.已知x ，y 满足约束条件30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则34z x y =+的最大值为（）A.4B.9C.11D.125.某学校统计了10位同学一周的课外体育运动总时长（单位：小时），数据分别为6.3，7.4，7.6，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.7，8.8，则以下数字特征中数值最大的为（）A.平均数B.中位数C.方差D.众数6.若双曲线1C 与双曲线222:17xC y -=有相同的焦距，且1C 过点()3,1，则双曲线1C 的标准方程为（）A.22162x y -=B.221-=C.22162x y -=221= D.22162x y -=或2213x y -=7.函数()3221x f x x x=-+的部分图象大致为（）A.B.C. D.8.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，m 分别为1，1，4，则输出的M =（）A.4B.5C.18D.2729.已知0a >，0b >，且1a b +=，则下列不等式不正确的是（）A .14ab ≤B.2212a b +≥C.1121a b +>+ D.1≤10.已知等差数列{}n a 中，18522a a a +=-，31126a a +=，则数列{}cos πn a n ⋅的前2022项的和为（）A.1010B.1011C.2021D.202211.已知非钝角ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB =，Q 是边BC 上的动点.若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PAQ △周长的最小值为1+-P ABC 外接球的体积为（）A.B.6πC. D.8π12.已知函数()()33f x bx b x =-+在[]1,1-上的最小值为3-，则实数b 的取值范围是（）A.(],4-∞- B.[)9,+∞ C.[]4,9- D.9,92⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若数列{}n a 是公比为2的等比数列，763a a <，写出一个满足题意的通项公式n a =______.14.已知点P 为圆()22:44C x y +-=上的动点，则点P 到直线:3450l x y +-=的距离的最大值为______.15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()220f x f x --+=，又当[)2,0x ∈-时，()22xf x =+，则121log 84f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.16.将函数()sin2f x x =的图像先向右平移π8个单位长度，再把所得函数图像的横坐标变为原来的()20ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，若函数()g x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是______.三、解答题：共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试卷考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，22223cos sin 22B B a c ac ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求证：a ，b ，c 成等比数列；（2）若222sin 3sin sin 4B AC =+，求cos B 的值.18.随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数y （单位：人）与该初级私人健身教练价格x （单位：元/小时）的情况，如下表所示.月份12345初级私人健身教练价格x （元/小时）210200190170150初级私人健身教练课程的月报名人数y （人）587911（1）求(),i i x y （1i =，2，3，4，5）的相关系数r ，并判断月报名人数y 与价格x 是否有很强的线性相关性?（当[]0.75,1r ∈时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）（2）请建立y 关于x 的线性回归方程；（精确到0.001）（3）当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）参考公式：对于一组数据(),i i x y （1i =，2，3，⋯，n ），相关系数()()niix x y y r --=∑归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()niix x y y b --=∑$，ˆˆay bx =-.5.385≈.19.如图，直三棱柱111ABC AB C -中，2AC =，3BC =，AB =D 为1CC 上一点，且1:4:9CD C D =.（1）证明：平面1AB D ⊥平面11ABB A ；（2）若直三棱柱111ABC A B C -的表面积为7713132+，求五面体1ABCDB 的体积.20.已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别为1F ，2F ，离心率为23，过点1F 作直线l （与y轴不重合）交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF 的周长为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 是椭圆C 的上顶点，设直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，1k ，2k ，当0k ≠时，求证：12111k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为定值.21.已知函数()()()e 1cos xf x a x a =+-∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程；（2）若()0,πx ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为33,212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P的极坐标为π6⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB +的值.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()42f x x x a =++-.（1）当2a =时，求不等式()13f x ≤的解集；（2）当0a >时，若()25f x a a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】D【11题答案】【答案】A【12题答案】【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】2n （答案不唯一）【答案】1【14题答案】【答案】215【15题答案】【答案】14964【16题答案】【答案】150,1,44⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦三、解答题：共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试卷考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【17题答案】【答案】（1）证明见解析（2）16【18题答案】【答案】（1）0.929r ≈-，y 与x 有很强的线性相关性（2）0.08623.824ˆyx =-+（3）4人【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）172【20题答案】【答案】（1）22195y x +=（2）证明见解析【21题答案】【答案】（1）()ππe e 1π0x y -+-=（2）π2e ,∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程【22题答案】【答案】（1）0x -=，220x y x +-=（2）32选修4-5：不等式选讲【23题答案】【答案】（1）1313,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）(]0,1。
内蒙古赤峰市2022-2023学年高三上学期期末模拟考试 数学(文)含答案
赤峰市高三年级期末模拟考试试题文科数学（答案在最后）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3A x x =∈≤N ，{}(3)(3)0B x x x =∈-+<R ，则A B ⋂=（ ） A ．{0,1,2}B ．{}33x x ∈-<<RC ．{}13x x ∈≤<RD ．{1,2}2．已知a ∈R ，(5i)i 15i a +=+，（i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1-B ．1C ．3-D ．33．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济价值．如图1所示的统计图是某单位结合近几年的数据，对今后几年的5G 直接经济产出做出的预测．则以下结论错误的是（ ）A ．运营商的5G 直接经济产出逐年增加B ．设备制造商的5G 直接经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的5G 直接经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的5G 直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥ ②若m n ∥，m α⊄，n α⊂，则m α∥ ③若αβ⊥，m α∥，则m β⊥ ④若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥其中正确的命题个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知向量a ，b 的夹角为120︒，||4a =，||2b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ）A ．4B ．2-C D ．1-6．设0.732a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.723b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()334log log 4c =，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<7．函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，(3)1f -=-，则(15)f =（ ） A ．0B ．1-C ．2D ．18．已知函数1()sin()f x x ωϕ=-（其中0ω>，||ϕπ<）的部分图象如图所示，则ω与ϕ分别等于（ ）A ．1，3π-B ．1，23π-C ．2，23π D ．2，3π9．已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．ABC △的面积为且cos cos cos c a bC A B+=+，BC 的中点为D ，则AD 的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D ．10．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左顶点为A ，点M ，N 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AM ，AN 的斜率之积为2-，则C 的离心率为（ ）A B ．2C ．2D 11．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PC 为球O 的直径，且PC OA ⊥，PC OB ⊥，AOB △为等边三角形，三棱锥P ABC -O 的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π12．已知函数2()2ln xe f x a x ax x=+-存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．22,44e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．22,44e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知tan 3α=，则cos2α=______．14．在[1,1]-上随机取一个数a ，则事件“直线y ax =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为______．15．抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过C 上一点P 作C 的准线l 的垂线，垂足为A ，若直线AF 的斜率为a -，则PAF △的面积为______． 16．设有下列四个命题：①1p ：x ∃∈R ，x e m ≤为假命题，则(,0]m ∈-∞；②2p ：函数212115y x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为1+ ③3p ：关于x 的不等式220x ax a -+>对x ∈R 恒成立的一个必要不充分条件是102a <<；④4p ：设函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，如果n m >，且()()f n f m =，令t n m =-，那么t 1；则上述命题为真命题的序号是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（12分）已知单调递增的等差数列{}n a ，且12a =，2a ，32a +，64a +成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k +=⋅⋅⋅之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值．18．（12分）为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调查问卷”，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查．问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占25，选择文科理科无显著差异的人数占15，选择更擅长文科的人数占25：女生选择更擅长理科的人数占15，选择文科理科无显著差异的人数占35，选择更擅长文科的人数占15．据调查结果制作了如下22⨯列联表．（1）请将22⨯的列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为文理科偏向与性别有关；（2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，若所选的2人中更擅长理科的人数恰为1人的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，M 为AD 的中点，24PA AB ==．（1）取PC 中点F ，证明：PC ⊥平面AEF ； （2）求点D 到平面ACE 的距离．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(,0)A a ，(0,)B b ，直线l 过坐标原点O 交椭圆C 于P ，Q 两点（点A ，B 位于直线l 的两侧）．设直线AP ，AQ ，BP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求证：1234k k k k +为定值． 21．（12分）已知函数()ln (1),f x x a x a =-+∈R ．（1）讨论函数的单调性；（2）对任意0x >，求证：22(1)()xe a xf x xe-+>．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244,x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半拍为极轴建立极坐标系，曲线2C sin 104πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，且两曲线1C 与2C 交于M ，N 两点． （1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程； （2）设(2,1)P -，求PM PN -． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|1|2|1|f x x x =++-． （1）解不等式()22f x x ≤+；（2）设函数()f x 的最小值为t ，若0a >，0b >，且a b t +=，证明：22111a b a b +≥++． 赤峰市高三1·30模拟考试试题文科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．45-14．14 15．15216．①④ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（1）解：设递增等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，由22a d =+，322a d =+，625a d =+，有2(222)(2)(254)d d d ++=+++，化简得24d =．则2d =，1(1)2n a a n d n =+-=，所以{}n a 的通项公式为2n a n =．（2）解：因为k a 与1(1,2,)k a k +=⋅⋅⋅之间插入2k ，所以在数列{}n b 中有10项来自{}n a ，10项来自{}2n，所以()102021210(220)2156212T -+=+=-．18．（12分）（1）解：补充的列联表如下：所以22100(2236933)100334.628 3.841554531693123K ⨯⨯-⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯， 所以有95%的把握认为文理科偏向与性别有关．（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科， 用1A ，2A 表示更擅长理科的两人，用1B ，2B ，3B 表示其他三人， 则从这5人中，任取两人共有以下10种情况：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()21,B B ，()31,B B ，()23,B B ，满足条件的有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B 共6种情况，所以概率为35．19．（12分）（1）证明：因为PC 中点F ，在Rt ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，则BC =4AC =． 而4PA =，则在等腰三角形APC 中，PC AF ⊥①．又在PCD △中，PE ED =，PF FC =，则EF CD ∥，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 则PA CD ⊥，又90ACD ∠=︒，即AC CD ⊥，AC PA A ⋂=，则CD ⊥平面P AC ，因为PC ⊂平面P AC ，所以PC CD ⊥，因此EF PC ⊥②． 又EF AFF ⋂=，由①②知PC ⊥平面AEF ；（2）在Rt ACD △中，CD =4AC =，∴ACD S =△，又EM PA ∥，PA ⊥平面ABCD ，∴EM⊥平面ABCD ，即EM 为三棱锥E ACD -的高，∴112333E ACD ACD V S EM -=⋅=⋅=△，在ACE △中，AE CE ==4AC =，∴8ACE S =△，设点D 到平面ACE 的距离为h ，则133D ACE E ACD ACE V V S h --==⋅⋅=△，∴h =D 到平面ACE 的距离为20．（12分）（1）解：由题意得24,1,2a =⎧=解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）点A ，B 的坐标分别为(2,0)，．设点P 的坐标为(,)m n ，由对称性知点Q 的坐标为(,)m n --．所以12n k m =-，22n k m =+．所以2122224n n n k k m m m =⋅=-+-． 又因为点P 在椭圆22:143x y C +=上，所以22143m n +=，即22443m n -=-，所以21223443n k k n ==--． 同理3434k k =-．所以2234333442k k k k ⎛⎫⎛⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为定值．21．（12分）（1）解：由题意得()f x 的定义域是(0,)+∞，11()axf x a x x-=-='， 当0a ≤时，令()0f x '>恒成立，∴()f x 在(0,)+∞单调递增， 当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<，令()0f x '<，解得：1x a>， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增， 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：要证22(1)()x e a x f x xe -+>，即证22ln 0xe x e x ⋅->， 令22()ln x e g x x e x =⋅-，则2222(1)()x x e e x g x e x--='， 令2()2(1)xr x x e e x =--，则2()2x r x xe e '=-，由()r x '在(0,)+∞单调递增，且2(1)20r e e ='-<，2(2)30r e ='>，∴存在唯一的实数0(1,2)x ∈，使得()00r x '=，∴()r x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ∵(0)0r <，(2)0r =，∴当()0r x >时，2x >，当()0r x <时，02x <<，∴()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，∴()(2)1ln20g x g ≥=->，综上，22ln 0x e x e x ⋅->，即22(1)()xe a xf x xe-+>． 22．（10分）选修4- 4：坐标系与参数方程（1）解：由曲线1C 的参数方程消去参数t ，得24y x =，即曲线1C 的直角坐标方程为24y x =． 由曲线2C 的极坐标方程，得sin cos 10ρθρθ+-=，则10x y +-= 即2C 的直角坐标方程为10x y +-=．（2）解：因为(2,1)P -在曲线2C 上，所以曲线2C的参数方程为2,21x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入1C的直角坐标方程，得21702t +-=． 设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=-，1214t t =-，所以12||||||PM PN t t -=+= 23．（10分）选修4-5：不等式选讲（1）解：不等式等价于13122x x x ≤-⎧⎨-+≤+⎩或11322x x x -<<⎧⎨-+≤+⎩或13122x x x ≥⎧⎨-≤+⎩，解得x ∈∅或113x ≤<或13x ≤≤．所以不等式()22f x x ≤+的解集为133x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）解：法一：由31,1()3,1131,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩知，当1x =时，min ()(1)2f x f ==，即2a b +=．法二：()|1|2|1|(|1||1|)|1||11||11|2f x x x x x x x x =++-=++-+-≥+-++-=， 当且仅当1x =时，取得等号，则()f x 的最小值为2，即2a b +=．法一：22222222(1)(1)()()44111(1)(1)()13332a b a b b a ab a b a b a b a b a b ab a b ab ab a b ++++++++====≥=++++++++++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==，不等式取得等号，所以22111a b a b +≥++．法二：由柯西不等式可得：22222111()1114114a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++++=+≥+= ⎪++++⎝⎭．当且仅当1a b ==，不等式取得等号，所以22111a b a b +≥++．。
江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析
江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：__________一、单选题1．设集合{}2560A x x x =--<和{}4,2,0,2,4B =--，则A B =（ ）A ．{}0,2B ．{}2,0-C ．2,0,2D ．{}0,2,42．复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ）. A ．75B ．75-C ．7i 5D ．7i 5-3．在ABC ∆中AB =AC=1，B=30°，和ABC S ∆=，则C = A ．60或120B ．30C ．60D ．454．已知x 与y 的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为0.7 1.05y x =+，则m 的值是（ ）A ．3.8B ．3.85C ．3.9D ．4.05．已知tan 2x =，则sin cos 1x x +=（ ） A ．25B ．75C ．2D ．36．已知直线:210l x y k +++=被圆22:4C x y +=所截得的弦长为4，则k 为（ ） A ．1-B ．2-C ．0D ．27．若0a >，0b >且24a b +=，则4ab的最小值为（ ） A ．2B ．12C ．4D ．148．已知命题:p 已知实数,a b ，则0ab >是0a >且0b >的必要不充分条件，命题:q 在曲线cos y x =上存在 （ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题9．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为7，则框图中①处可以填入（ ）A ．7S >？B ．15S >？C ．21S >？D ．28S >？10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 椭圆C 在第一象限存在点M ，使得112=MF F F ，直线1F M 与y 轴交于点A ，且2F A 是21MF F ∠的角平分线，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()22e (e =--x xf x x x a ）有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1e -）B ．（0，2e -）C ．（0，1）D ．（0，e ）12．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 是正方形BB 1C 1C 的中心，M 为C 1D 1的中点，过A 1M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为（ ）A ．B ．CD ．3二、填空题13．已知向量(),2AB m =，()1,3AC =和()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =______．14．双曲线2219x y -=的渐近线方程为__________.15．已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____．16．已知过点(0,1)M 的直线与抛物线22(0)x py p =>交于不同的A ，B 两点，以A ，B 为切点的两条切线交于点N ，若0NA NB ⋅=，则p 的值为__________．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13log n n b a =，n C ={}n C 的前n 项和n T18．如图，三棱柱111ABC A B C 各棱长均为2，且13C CA π∠=.(1)求证1AC BC ⊥；(2)若1BC 与平面ABC 所成的角为6π，求三棱柱111ABC A B C 的体积. 19．某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为(1)求该产品的次品率；(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与期望()E X ． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且过点()3,1A .(1)求椭圆C 的方程；(2)点M ，N 在椭圆C 上，且AM AN ⊥.证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.21．已知函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当x>0时f (x )<0，且(1)2f =-. (1)判断()f x 的奇偶性；(2)求()f x 在区间[-3,3]上的最大值；(3)若2()22f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，求实数m 的取值范围.22．数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，极坐标方程()1cos a ρθ=+（0a >）表示的曲线为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形.以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.(1)求直线l 的极坐标方程和心形线的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为()2,0，若P 为心形线上的点，直线l 与心形线交于A ，B 两点（异于O 点），求ABP 的面积.23．已知函数()2|1|||(R)f x x x a a =-+-∈． (1)若()f x 的最小值为1，求a 的值；(2)若()||6f x a x <+恒成立，求a 的取值范围．参考答案与解析1．D【分析】求出集合A 中元素范围，然后求A B ⋂即可.【详解】{}{}256016A x x x x x =--<=-<<，又{}4,2,0,2,4B =--{}0,2,4A B ∴=.故选：D. 2．B【解析】根据题意，先得到113z i =+，再由复数的除法运算求出12z z ，即可得出其虚部. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，所以113z i =+ 又22z i =-+所以()()()()1213213263171722241555i i z i i i i i z i i i +--+++--+===-=-=--+-+--+因此其虚部为75-.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何意义，属于基础题型. 3．C【分析】由三角形面积公式可得A ，进而可得解.【详解】在ABC ∆中AB 1AC =与30B =12ABC S AB ACsinA ∆=⋅=，可得1sinA =，所以90A = 所以18060C A B =--=【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题. 4．D【分析】计算样本中心，将样本中心 710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭代入线性回归方程中即可求解. 【详解】因为()17234542x =⨯+++= ()1102.5 3.0 4.544m y m +=⨯+++=．所以样本中心为710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入回归方程0.7 1.05y x =+得1070.7 1.0542m +=⨯+，解得4m =． 故选：D ． 5．B【分析】利用同角三角函数的平方关系、商数关系，将目标式化为2tan 1tan 1xx ++，结合已知即可求值.【详解】222sin cos tan 27sin cos 1111sin cos tan 155x x x x x x x x +=+=+=+=++． 故选：B ． 6．A【分析】利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k . 【详解】设圆心()0,0到直线:210l x y k +++=的距离为d ，则由点到直线的距离公式得|1|d k ==+由题意得：42==1k =-．故选：A 7．A【分析】利用基本不等式可求出2ab ≤，即可得出所求. 【详解】0a > 0b >42a b ∴=+≥2a b =，即1,2a b ==时等号成立所以2ab ≤，则42ab≥，即4ab 的最小值为2.故选：A. 8．C【分析】首先判断命题,p q 的真假，再判断选项.【详解】00ab a >⇒> 且0b >，反过来0a >且00b ab >⇒>，所以0ab >是0a > 且0b >的必要不充分条件，所以命题p 是真命题cos y x =，[]sin 1,1y x '=-∈-根据导数的几何意义可知曲线cos y x =所以命题q是假命题根据复合命题的真假判断可知()p q ∧⌝是真命题. 故选：C 9．C故选：C. 10．B【分析】根据题意和椭圆定义可得到2MF ，AM 和a ，c 的关系式，再根据122MF F MF A ∽△△，可得到关于a ，c 的齐次式，进而可求得椭圆C 的离心率e ． 【详解】由题意得1122F M F F c == 又由椭圆定义得222MF a c =- 记12MF F θ∠=则212AF F MF A θ∠=∠= 121222F F M F MF MAF θ∠=∠=∠= 则2122AF AF a c ==- 所以42AM c a =- 故122MF F MF A ∽△△则2122MF AMF F MF = 则2a c c a c a c --=-，即222010c ac a e e e +-=⇔+-=⇒=（负值已舍）． 故选：B ． 11．A【分析】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a ，得到22e 0-=x x或e 0x x a -=，令()22e =-xg x x ，易知有一个零点，转化为则e 0x x a -=有两个根求解.【详解】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a所以22e 0-=x x 或e 0x x a -=令()22e =-xg x x ，则()()2e '=-x g x x令()2(e )=-x h x x ，则()2(1)e '=-xh x当(,0)x ∈-∞时()0h x '>，h (x )在（－∞，0）上单调递增； 当,()0x ∈+∞时()0h x '<，h (x )在（0，＋∞）上单调递减 所以()(0)20h x h ≤=-<，即()0g x '< 所以g (x )在R 上单调递减，又()2110g e-=->，g （0）＝20-< 所以存在0(1,0)x ∈-使得()00g x =所以方程e 0x x a -=有两个异于0x 的实数根，则xxa e = 令()x x k x e =，则()1xx e xk -=' 当(,1)x ∞∈-时()0k x '>，k (x )在（－∞，1）上单调递增；当(1,)x ∈+∞时()0k x '<，k (x )在（1，＋∞）上单调递减，且()0k x >．所以()1()1k x k e≤= 所以()xxk x e =与y a =的部分图象大致如图所示由图知10a e<< 故选：A ． 12．B【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知1A MNC ，则1A ，,,M C N 四点共面记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥． 连接EF ，则EF MC ⊥EFDF F =，EF DF ⊂，平面DEF所以MC ⊥平面DEF又DE ⊂平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥ NC MC C =则DE ⊥平面1A MCN 所以平面1A MCN 即平面α四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形其对角线1AC = MN =所以其面积12S =⨯=故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 13．1-【分析】根据给定条件，求出向量BC 坐标，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因为向量(),2AB m =，()1,3AC =则(1,1)BC AC AB m =-=-，而()4,2BD =-- 又B ，C ，D 三点共线，则有//BC BD ，因此2(1)4m --=-，解得1m =- 所以1m =-. 故答案为：-1 14．30x y ±-=【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程的形式直接求出双曲线2219x y -=的渐近线方程.【详解】通过双曲线方程可知双曲线的焦点在横轴上,3,1a b ==,所以双曲线2219x y -=的渐近线方程为：1303b y x y x x y a =±⇒=±⇒±-=. 故答案为30x y ±-=【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程,通过双曲线方程判断双曲线的焦点的位置是解题的关键. 15．163【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得函数图象关于6324x πππ+==对称 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342Tππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=. 故答案为163. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题． 16．2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,设直线AB 的方程为1y kx =+，利用“设而不求法”得到122x x p =-.利用导数求出两条切线斜率为1x p 和2x p，得到121x x p p ⋅=-,即可求出p =2.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,且设直线AB 的方程为1y kx =+,代入抛物线的方程得2220x pkx p --=,则122x x p =-.又22x py =,得22x y p=,则x y p '=，所以两条切线斜率分别为1x p 和2x p .由0NA NB ⋅=,知NA NB ⊥,则121x x p p ⋅=-,所以221pp -=-,即p =2. 故答案为：2 17．(1)13n n a =(2)1n T =【分析】（1）由n a 与n S 关系可推导证得数列{}n a 为等比数列，由等比数列通项公式可得n a ； （2）由（1）可推导得到,n n b C ，采用裂项相消法可求得n T . (1)当1n =时111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. (2)由（1）得：131log 3n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭n C ∴==11n T ∴=⋅⋅⋅=18．(1)证明见解析【分析】（1）通过线面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，则进一步知平面1BDC ⊥平面ABC ，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则1C E ⊥平面ABC ，求出1C E 的大小即可求解.【详解】（1）证明：取AC 的中点D ，连接BD ，1C D 和1C A ，则BD AC ⊥因为12CC CA ==，13C CA π∠=所以1ACC △为等边三角形又D 为AC 的中点，所以1C D AC ⊥ 因为1C D BD D =，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以AC ⊥平面1BDC ，.又1BC ⊂平面1BDC ，所以1AC BC ⊥.（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，又AC ⊂平面ABC ，所以平面1BDC ⊥平面ABC平面1BDC 平面ABC BD =，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则E 一定在直线BD 上，因为1BC 与平面ABC 所成的角为6π，所以16C BD π∠= 由题意知1C D BD =，所以123C DB π∠=所以13BC == 所以113sin 62C E BC π==.（或：由题意知1C D BD =13C DE π∠=，所以113sin 32C E CD π===）所以11322sin 232ABC V S C E π=⋅=⨯⨯⨯⨯=△19．(1)14(2)分布列见解析，()34E X =【分析】（1）利用相互独立事件的乘法概率计算公式能求出产品为正品的概率，即可由对立事件求次品概率（2）由题意得X 0=，1，2，3，分别求出其相对应的概率，能求出X 的分布列和数学期望．【详解】（1）产品正品的概率为：11131111011124P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以为次品的概率为31144-= （2）由题意得X 0=，1，2，3，且13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭3327(0)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 2133127(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 223319(2)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 311(3)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ X ∴的分布列如下：∴()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．(1)221124x y += (2)证明详见解析，定点坐标3122⎛⎫ ⎪⎝⎭，-【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得222,,a b c ，从而求得椭圆C 的方程.（2）根据直线MN 的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及·0AM AN =求得定点坐标.【详解】（1）由题意可得：22222911c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2221248a b c ===，， 故椭圆方程为221124x y +=. （2）设点()()1122,,,M x y N x y若直线MN 斜率存在时设直线MN 的方程为：y kx m =+代入椭圆方程消去y 并整理得：()2221363120k x kmx m +++-= 可得122613km x x k +=-+ 212231213m x x k -=+ 因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121233110x x y y --+--=根据1122,kx m y kx m y =+=+有()()()()221212121239110x x x x k x x k m x x m -++++-++-=整理可得： ()()()()22121213190k x x km k x x m ++--++-+= 所以()()()222223126131901313m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭ 整理化简得2299210k km m m ++--=则有()()321310k m k m +++-=得3210k m ++=或310k m +-=若3210k m ++=，则直线MN 的方程为：3122y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，恒过3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 若310k m +-=，则直线MN 的方程为：()31y k x =-+，过A 点，舍去.所以直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当直线MN 的斜率不存在时可得()11,N x y -由·0AM AN =得：()()()()121233110x x y y --+--=得()1221210x y -+-=()2211310x y -+-=，结合22111124x y += 解得：132x = 或23x =（舍去），此时直线MN 方程为32x =,过点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 综上，直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 21．（1）奇函数（2）6（3）{2,m m 或者2}m <-【分析】（1）令x ＝y ＝0⇒f （0）＝0，再令y ＝﹣x ，⇒f （﹣x ）＝﹣f （x ）；（2）设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，结合条件用单调性的定义证明函数f （x ）为R 上的增函数，从而得到()f x 在区间[-3,3]上的最大值；（3）根据函数f （x ）≤m 2﹣2am ﹣2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，说明f （x ）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a 的函数，m 为参数系数，解不等式组，即可得出m 的取值范围．【详解】（1）取x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）；则f （0）=0；取y =﹣x ，则f (x ﹣x )=f (x )+f (﹣x )∴f (﹣x )=﹣f (x )对任意x ∈R 恒成立∴f (x )为奇函数；（2）任取x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0；∴f （x2）+f (﹣x1）=f （x2﹣x1）＜0； ∴f （x2）＜﹣f （﹣x1）又∵f （x ）为奇函数∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数；∴对任意x ∈[﹣3，3]，恒有f （x ）≤f （﹣3）而f （3）=f （2+1）=f （2）+f （1）=3f （1）=﹣2×3=﹣6； ∴f （﹣3）=﹣f （3）=6；∴f （x ）在[﹣3，3]上的最大值为6；（3）由（2）可知函数()f x 在[]1,1-的最大值为()12f -=所以要使()222f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立只需要()()2max 2212m am f x f -+>=-=即220m am ->对所有[]1,1a ∈-恒成立令()[]22,1,1g a m am a =-∈-，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即222020m m m m ⎧+>⎨->⎩解得22m m ><-，或者 所以实数m 的取值范围是{}2,2m m m <-或者【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．22．(1)极坐标方程为π3θ=或4π3θ=；()()222222x y ax a x y +-=+【分析】（1）先消去参数t 得到直线l 的普通方程，进而得到极坐标方程，由()1cos a ρθ=+，得到2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=求解.（2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+得到1a =，进而得到1cos ρθ=+，分别与直线l 的极坐标方程联立，求得A ，B 坐标求解.【详解】（1）解：消去参数t 得到直线l 的普通方程为y = 所以极坐标方程为π3θ=或4π3θ=； （π3θ=（ρ∈R 也正确）由()1cos a ρθ=+，得2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=化简得心形线的直角坐标方程为()()222222x y ax a x y +-=+. （2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+，得1a =∴1cos ρθ=+.由π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得3π,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由4π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得14π,23B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴13π112π2sin 2sin 223223ABP AOP BOP S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△23．(1)0或2(2)[)3,4【分析】（1）根据1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-结合取等条件即可得解；（2）把()||6f x a x <+恒成立，转化为()2160g x x x a a x =-+---<恒成立，分情况讨论去绝对值符号，从而可得出答案.【详解】（1）因为1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()(1)0x a x --≤时取等号()2|1||||1||1||1|f x x x a x a a =-+-≥-+-≥-，当且仅当1x =时取等号 所以11a -=，解得0a =或2a =故a 的值为0或2；（2）令g()2|1|||6x x x a a x =-+---，由题意知()0g x <恒成立 当{1x x x ∈≥且}x a ≥时 ()()()g()21638x x x a ax a x a =-+---=---,要使得()0g x <恒成立则30,a -≤可得3,a ≥当3a ≥时()()()()()34,034,0118,138,a x a x a x a x g x a x a x a a x a x a ⎧-+-<⎪-++-≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪---≥⎩因为()0g x <恒成立, 则max ()0g x <,由图像可知()max ()0g x g = 所以()g()g 040x a ≤=-<,所以4a < 综上可知实数a 的取值范围为[)3,4．。
2023届河南省开封市高三第一次模拟考试文科数学试题【含答案】
开封市2023届高三年级第一次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}13A x x =-<<{}1,0,1,2B =-A B = A.B.C.D.{}2{}1,0-{}0,1,2{}1,0,1,2-2. 设命题，，则是（）:p x ∀∈R e 1xx ≥+p ⌝A. ， B. ，x ∀∈R e 1≤+xx x ∀∈R e 1xx <+C ， D. ，x ∃∈R e 1≤+xx x ∃∈R e 1x x <+3. 若是纯虚数，则实数（ ）4i43i a +-=a A. B. C. D. 2-23-34. 已知中，为边上一点，且，则（ ）ABC D BC 13BD BC =AD =A. B. C. D.1233AC AB+ 2133AC AB+1344AC AB+3144AC AB+5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）D.π36. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A. 4B. 27. 已知则x ＋2y 的最大值为（）30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩A. 2B. 3C. 5D. 68. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则满足()f x R [)0,∞+的的取值范围是（ ）()()2f x f x <-x A.B.C. D.(),2-∞-()2,-+∞(),1-∞()1,+∞9. 已知数列的前项和，若，则（ ）{}n a n 2n S n =()*5,p q p q +=∈N p q a a +=A. B. C. D. 7891010. 已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则（1F 2F 22:14x C y +=12MF MF ⋅）A. 有最大值4B. 有最大值3C. 有最小值4D. 有最小值311. 如图，在正方体中，点M ，N 分别是，的中点，则下述1111ABCD A B C D -1A D 1D B 结论中正确的个数为（）①∥平面；②平面平面；MN ABCD 1A ND ⊥1D MB ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．MN 11B D 45︒1D B 1A ND 45︒A. 1B. 2C. 3D. 412. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）()e x f x a x=-A.B.C.D.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],1-∞(],e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知点、、，则______.()1,0A ()2,2B ()0,3C ⋅=AB AC 14 已知函数，则______.()cos f x x x=-512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭15. 3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印3D得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为______cm ．16. 在数列中，，.记是数列的前项和，{}n a 11a =()()*212nn n a a n ++-=∈N n S {}n a n 则______.20S =三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为、、（单位：240160160件），工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取件样品进行检测.7（1）求抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；7（2）设抽取的件商品分别用、、、、、、表示，现从中再随机抽取7A B C D E F G 件做进一步检测.2（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设为事件“抽取的件商品来自不同地区”，求事件发生的概率.M 2M 18. 在中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，已知，ABC cossin 2B Ca b A +=．23a b =（1）求的值；cos B （2）若，求．3a =c 19. 如图，△ABC 是正三角形，在等腰梯形ABEF 中，，AB EF ∥.平面ABC ⊥平面ABEF ，M ，N 分别是AF ，CE 的中点，.12AF EF BE AB ===4CE=（1）证明：平面ABC ；//MN （2）求三棱锥N －ABC 的体积.20. 已知函数，.()2sin f x x ax=-a ∈R （1）若是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；()f x （2）当时，求在上的最小值.1a =()()ln g x f x x =-0,2π⎛⎤⎥⎝⎦21. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D 为旋杆上的一点且在M ，N 两点之间，且3MN =.当滑标M 在滑槽EF 内做往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将2ND DM=笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF1C所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆的方程；1C （2）以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l 与圆相切，且与椭圆交于A ，B 两1C 2C 2C 1C 点，记△OAB 的面积为S ，若，求直线l 的斜率.S =（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线xOy C 222x pt y pt =⎧⎨=⎩t ()2,4上一点的坐标．C （1）将曲线的参数方程化为普通方程；C （2）过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A ，B ，以直线的斜率O C OA 为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．k AB M [选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数．()21f x x a x =++-（1）当时，求的最小值；1a =()f x （2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：0a >0b >[]1,2x ∈()21f x x b >-+．2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭开封市2023届高三年级第一次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}13A x x =-<<{}1,0,1,2B =-A B = A.B.C.D.{}2{}1,0-{}0,1,2{}1,0,1,2-【答案】C 【解析】【分析】根据交集的定义计算即可.【详解】由题知，，{}13A x x =-<<{}1,0,1,2B =-由交集的定义得，，A B = {}0,1,2故选：C.2. 设命题，，则是（）:p x ∀∈R e 1xx ≥+p ⌝A. ， B. ，x ∀∈R e 1≤+xx x ∀∈R e 1xx <+C. ， D. ，x ∃∈R e 1≤+xx x ∃∈R e 1x x <+【答案】D 【解析】【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动，原题让我们选择一个全称命题的否定，任意和存在是一对，要注意互相变化，大于等于的否定是小于.【详解】，的否定是，.x ∀∈R e 1xx ≥+x ∃∈R e 1xx <+故选：D3. 若是纯虚数，则实数（ ）4i43i a +-=aA. B. C. D. 2-23-3【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，根据纯虚数的概念可得出关于实数的等式与4i43i a +-a 不等式，即可得解.【详解】为纯虚数，则，解得()()()()4i 43i 4i 412316i 43i 43i 43i 2525a a a a +++-+==+--+41203160a a -=⎧⎨+≠⎩.3a =故选：D.4. 已知中，为边上一点，且，则（ ）ABC D BC 13BD BC =AD =A. B. C. D.1233AC AB+ 2133AC AB+1344AC AB+3144AC AB +【答案】A 【解析】【分析】利用向量的线性运算即可求得.【详解】在中，.ABC BC AC AB=-因为，所以.13BD BC =()1133B AC ABD BC ==- 所以.()112333AD AB BD AB A A C AB C AB=++-==+故选：A5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）D. π3【答案】B 【解析】【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．【详解】设圆锥母线长为，高为，底面半径为，l h 1r =则由得，所以，2π1πl ⨯=2l=h ==所以．2211ππ133V r h ==⨯=故选：B ．6. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A. 4B. 2【答案】B 【解析】【分析】由平均数相等求出，再求方差.m 【详解】由可得，80290392180290329189055m ⨯+⨯++++⨯+⨯++++==，即甲同学成绩的方差为8m =()22221211225+++=故选：B7. 已知则x ＋2y 的最大值为（）30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩A 2B. 3C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可．【详解】作出可行域如图：由可得：，2z x y =+122z y x =-+平移直线经过点时，有最大值，12y x=-A z 由解得，3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩(1,2)A ．max 145z =+=故选：C 8. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则满足()f x R [)0,∞+的的取值范围是（ ）()()2f x f x <-x A.B.C. D.(),2-∞-()2,-+∞(),1-∞()1,+∞【答案】D 【解析】【分析】利用的奇偶性、单调性可得，再解不等式可得答案.()f x 2x x-<【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，()f x R ()()f x f x -=又在上单调递减，所以在上单调递增，()f x [)0,∞+(),0∞-若，则，解得.()()2f x f x <-2x x-<1x >故选：D.9. 已知数列的前项和，若，则（ ）{}n a n 2n S n =()*5,p q p q +=∈N p q a a +=A. B. C. D. 78910【答案】B 【解析】【分析】利用与的关系可求得的通项公式，进而可求得的值.n a n S {}n a p q a a +【详解】当时，；1n =21111a S ===当时，.2n ≥()221121n n n a S S n n n -=-=--=-也满足，故对任意的，，11a =21n a n =-N n *∈21n a n =-因此，.()222528p q a a p q +=+-=⨯-=故选：B.10. 已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则（1F 2F 22:14x C y +=12MF MF ⋅）A. 有最大值4B. 有最大值3C. 有最小值4D.有最小值3【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆方程求得，，2a =1b =c =，设，所以，利用对应函数单124MF MF +=1MF t=()21244MF MF t t t t⋅=-=-+调性即可求解．【详解】由椭圆可得，，，所以，，2214x y +=24a =21b =23c =2a =1b =c =因为点在上，所以，M C 1224MF MF a +==设，，即，则1MF t=[],t a c a c ∈-+22t ⎡∈⎣24MF t =-所以，()21244MF MF t t t t⋅=-=-+由对应函数单调性可知，2124MF MF t t⋅=-+当时，有最大值，最大值为2t =2124MF MF t t ⋅=-+4即时，最大值为，122MF MF ==12MF MF ⋅4当时，有最小值，最小值为2t =2124MF MF t t⋅=-+((22421-+=即，时，最小值为，12MF =22MF =+12MF MF ⋅1综上所述：最小值为，最大值为12MF MF ⋅14故选：A ．11. 如图，在正方体中，点M ，N 分别是，的中点，则下述1111ABCD A B C D -1A D 1D B 结论中正确的个数为（）①∥平面；②平面平面；MN ABCD 1A ND ⊥1D MB ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．MN 11B D 45︒1D B 1A ND 45︒A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，2，111(0,0,0),(2,0,2),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,1),(1,1,1)D A B D B M N 由正方体的性质可知：平面，则平面的法向量为，1D D ⊥ABCD ABCD 1(0,0,2)DD =，因为，所以，而平面，(0,1,0)MN =10D D MN ⋅= 1D D MN ⊥ MN ⊄ABCD 因此∥平面，故①对；MN ABCD 设平面的法向量为，，，1A ND (,,)m x y z = (1,1,1)DN =1(2,0,2)DA = 所以有，1100(1,0,1)2200m DN m DN x y z m x z m DA m DA ⎧⎧⊥⋅=++=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ 同理可求出平面的法向量，1D MB (1,0,1)n =因为，所以，因此平面平面，故②正确；110m n ⋅=-= m n ⊥1A ND ⊥1D MB 因为，，(0,1,0)MN =11(2,2,0)B D =-- 所以，111111cos ,MN B D MN B D MN B D ⋅〈〉===⋅因为异面直线所成的角范围为，所以直线与所成的角为，故③正确；(0,90]MN 11B D 45︒设直线与平面所成的角为，1D B 1A ND θ因为，平面的法向量为，1(2,2,2)D B =- 1A ND (1,0,1)m =-所以，111sin cos ,D B m D B m D B mθ⋅=〈〉===≠⋅所以直线与平面所成的角不是，因此④错误，1D B 1A ND 45︒一共有个结论正确，3故选：C12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）()e x f x a x=-A.B.C.D.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],1-∞(],e -∞【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出关于和的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.0x a 【详解】题意得若函数为不动点函数，则满足()e x f x a x=-，即，即()0000e xf x a x x -==00e 2x a x =02e x x a =设，()2e xx g x =()()22e 2e 22e e x xxx x xg x --'==令，解得()0g x '=1x =当时，，所以在上为增函数(),1x ∈-∞()0g x '>()g x (),1-∞当时，，所以在上为减函数()1,x ∈+∞()0g x '<()g x ()1,+∞所以()max 2(1)eg x g ==当时，(),0x ∞∈-()0g x <当时，()0,x ∞∈+()0g x >所以的图象为：()g x要想成立，则与有交点，所以，002e x x a =y a =()g x ()max2e a g x ≤=对应区间为2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知点、、，则______.()1,0A ()2,2B ()0,3C ⋅=AB AC 【答案】5【解析】【分析】计算出向量、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得AB AC的值.AB AC ⋅【详解】由题意可得，，因此，.()1,2AB =()1,3AC =-1235AB AC ⋅=-+⨯=故答案为：.514. 已知函数，则______.()cos f x x x=-512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简，再代入计算可得.【详解】∵函数，()1πcos 2cos 2sin 26f x x x x x x ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭即，()2sin()6f x x π=-∴.5π5πππ()2sin()2sin 121264f =-==.15. 3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印3D得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为______cm．【答案】【解析】【分析】由已知，根据题意，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面x y 直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出之间的关系，由题意底直径为,a b 6cm ，所以双曲线过点，下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点，()3,m 9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径.【详解】由已知，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，x y 设双曲线方程为，()222210,0x y a b a b -=>>由已知可得，，且，ce a ==222c a b =+所以，所以双曲线方程为，224a b =222214x y a a -=底直径为6cm ，所以双曲线过点，()3,m 下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点，代入双曲线方程得：9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得：，()222222914819414m a a m a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩2m a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以喉部（最细处）的直径为故答案为：16. 在数列中，，.记是数列的前项和，{}n a 11a =()()*212nn n a a n ++-=∈N n S {}n a n 则______.20S =【答案】110【解析】【分析】对为奇数、为偶数两种情况讨论，求出数列前项中奇数项和偶数项n n {}n a 20的和，相加可得出的值.20S【详解】当为奇数时，，所以，数列的奇数项成以为首项，公差为n 22n n a a +-={}n a 1的等差数列，2所以，；132010921011002a a a ⨯⨯+++=⨯+= 当为偶数时，，n 22n n a a ++=所以，.()()()2420246818202510a a a a a a a a a +++=++++++=⨯= 因此，.2010010110S =+=故答案为：.110三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为、、（单位：240160160件），工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取件样品进行检测.7（1）求抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；7（2）设抽取的件商品分别用、、、、、、表示，现从中再随机抽取7A B C D E F G 件做进一步检测.2（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设为事件“抽取的件商品来自不同地区”，求事件发生的概率.M 2M 【答案】（1）分别为件、件、件322（2）（i ）答案见解析；（ii ）1621【解析】【分析】（1）利用分层抽样可计算得出所抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数7量；（2）（i ）利用列举法可列举出所有的基本事件；（ii ）列举出事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得的值.M ()P M【小问1详解】解：由已知，从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量之比为，3:2:2由于采用分层抽样的方法从中抽取件商品，7因此应从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品中分别抽取件、件、3737⨯=2727⨯=件.2727⨯=【小问2详解】解：（i ）从抽取的件商品中随机抽取件商品的所有可能结果为：、、、72AB AC AD 、、、、、、、、、、、、、AE AF AG BC BD BE BF BG CD CE CF CG DE 、、、、；DF DG EF EG FG （ii ）不妨设抽取的件商品中，来自甲地区的是、、，来自乙地区的是、，7A B C D E 来自丙地区的是、，F G 则从抽取的件商品中随机抽取的件商品来自相同地区的所有可能结果为：、72AD 、、、、、、、、、、、、、AE AF AG BD BE BF BG CD CE CF CG DF DG 、，共种，EF EG 16所有的基本事件共种，故.21()1621P M =18. 在中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，已知，ABC cossin 2B Ca b A +=．23a b =（1）求的值；cos B （2）若，求．3a =c 【答案】（1）3cos 4B =（2）52c =【解析】【分析】（1）先由三角形内角和的关系将代换，再由正弦定理将边化角，求得cos2B C+角A ，B 的关系，解出的值；cos B （2）由第一问求得的的值，根据余弦定理公式展开列方程求解即可.cos B c 【小问1详解】因为，A B C π++=所以，222B C Aπ+=-得，cossin 22B C A+=因为，cossin 2B Ca b A +=由正弦定理，可得，sin sinsin sin 2AA B A ⋅=⋅又，所以，sin 0A ≠sinsin 2AB =又因为A ，B 均为三角形内角，所以，即，2AB =2A B =又因为，即，23a b =2sin 3sin A B =即，4sin cos 3sin B B B =又，得；sin 0B ≠3cos 4B =【小问2详解】若，则，3a =2b =由（1）知，3cos 4B =由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即，29502c c -+=()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭所以或，2c =52当时，，则，即为等腰直角三角形，2c =b c =22A B C ==ABC 又因为，此时不满足题意，所以．a ≠52c =19. 如图，△ABC 是正三角形，在等腰梯形ABEF 中，，AB EF ∥.平面ABC ⊥平面ABEF ，M ，N 分别是AF ，CE 的中点，.12AF EF BE AB===4CE =（1）证明：平面ABC ；//MN （2）求三棱锥N －ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）2【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面平面，原题即CF D DM DN //MND ABC 得证；（2）取AB 的中点O ，连接OC ，OE ，设，由勾股定理即可12AF EF EB AB a ====求出，进而可求解三棱锥N －ABC 的体积.a 【小问1详解】取CF 的中点D ，连接DM ，DN ，∵M ，N 分别是AF ，CE 的中点，∴，，DM AC ∥DN EF ∥又∵平面ABC ，平面ABC ，∴平面ABC .DM ⊄AC ⊂DM ∥又，∴，同理可得， 平面ABC .EF AB ∥DN AB ∥DN ∥∵平面MND ，平面MND ，，DM⊂DN ⊂DM DN D = ∴平面平面ABC .MND ∥∵平面MND ，∴平面ABC .MN ⊂//MN 【小问2详解】取AB 的中点O ，连接OC ，OE .由已知得OA EF 且OA =EF ，∴OAFE 是平行四边形，∴OE AF 且OE =AF ∥∥∵△ABC 是正三角形，∴OC ⊥AB ，∵平面ABC ⊥平面ABEF ，平面平面ABEF ＝AB ，∴OC ⊥平面ABEF ，ABC ⋂又平面ABEF ，∴OC ⊥OE .OE ⊂设，，12AF EF EB AB a ====OC =在Rt △COE 中，由，解得，即.222OC OE CE +=2a =122AF EF EB AB ====由题意∠FAB ＝60°，M 到AB 的距离即为M 到平面ABC的距离sin 60h AM =︒=又平面ABC ，∴.//MN 11142332N ABC M ABC ABC V V S h --==⋅⋅=⨯⨯⨯=△20. 已知函数，.()2sin f x x ax=-a ∈R （1）若是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；()f x（2）当时，求在上的最小值.1a =()()ln g x f x x =-0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】（1）(],2-∞-（2）2ln 22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由已知可得：即可求解.()2cos 0f x x a '=-≥（2）结合导数和隐零点替换即可求解最值.【小问1详解】由已知可得：恒成立，()2cos 0f x x a '=-≥即恒成立，又的最小值为-2，所以，2cos a x ≤2cos y x =2a ≤-则有.(],2a ∈-∞-【小问2详解】当时，，1a =()()ln 2sin ln g x f x x x x x=-=--()0,x ∈+∞所以，()12cos 1g x x x '=--令，在上单调递减，()()h x g x '=()212sin h x x x '=-+0,2π⎛⎤⎥⎝⎦又因为，，26106h ππ⎛⎫⎛⎫'=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12sin112sin 106h π'=-+<-+=所以存在使得，即，从而0,16x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '=02012sin x x =0cos x =则有x()00,x 0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭()h x '正负()g x '递增递减则有最大值为：()g x '，()00000011112cos 11110g x x x x x x '=--=--<-=-<所以，()0g x '<则在上单调递减，所以最小值为.()g x 0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦2ln 222g πππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D 为旋杆上的一点且在M ，N 两点之间，且3MN =.当滑标M 在滑槽EF 内做往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将2ND DM=笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设EF 与GH交于点O ，以EF 1C 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆的方程；1C （2）以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l 与圆相切，且与椭圆交于A ，B 两1C 2C 2C 1C点，记△OAB 的面积为S ，若，求直线l 的斜率.S =【答案】（1）2214x y +=（2）k =k =【解析】【分析】（1）由，，即可得到椭圆的长半轴长和短半轴长，进而可求解.2ND =1DM =（2）分类讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时不满足题意，故设，l :l y kx m =+联立方程，表达出即可求解.S =【小问1详解】由题意可得，，2ND =1DM =所以椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，所以椭圆的方程为：.1C 1C 2214x y +=【小问2详解】若直线l 的斜率不存在，依题意，，带入方程可得，:1lx =±1C AB=此时，所以直线l 的斜率一定存在，设，S =≠:l y kx m =+l 与圆，即，2C 1=221m k =+联立可得，221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222148440k x kmx m +++-=由得，()()222264161410k m k m ∆=-+->0k ≠，，122814kmx x k -+=+()21224114mx x k -=+2AB x =-===，由得，即，解得S =AB ==4251120k k -+=k =k =（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线xOy C 222x pt y pt =⎧⎨=⎩t ()2,4上一点的坐标．C （1）将曲线的参数方程化为普通方程；C （2）过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A ，B ，以直线的斜率O C OA 为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．k AB M 【答案】（1）2x y =（2）221x y =-【解析】【分析】（1）根据曲线的参数方程为（为参数），消去参数求解；C 222x pty pt =⎧⎨=⎩t t （2）设的斜率为，方程为，则的方程为：，分别与抛物线方OA k y kx =OB 1=-y xk 程联立，求得A ，B 的坐标，再利用中点坐标求解.【小问1详解】解：因为曲线的参数方程为（为参数），C 222x pt y pt =⎧⎨=⎩t 消去参数可得：，将点代入可得，t 22x py =()2,412p =所以曲线的普通方程为：；C 2x y =【小问2详解】由已知得：，的斜率存在且不为0，OA OB设的斜率为，方程为，则的方程为：，OA k y kx =OB 1=-y x k 联立方程可得：，2,,y kx x y =⎧⎨=⎩()2,A k k 同理可得：，211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭设，所以(),M x y 2211,211,2x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩所以，22214222x k y k =+-=-所以即为点轨迹的普通方程．221x y =-M [选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数．()21f x x a x =++-（1）当时，求的最小值；1a =()f x （2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：0a >0b >[]1,2x ∈()21f x x b >-+．2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）2； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分段求解的最小值和范围，即可求得结果；()f x （2）转化为，结合二次函数在区间上的最值，利用()21f x x b >-+233a b x x +>-+不等式，即可证明.【小问1详解】当时，，1a =()121f x x x =++-当，，；1x ≤-()31f x x =-+()min ()14f x f =-=当，，；11x -<<()3f x x =-+()()2,4f x ∈当，，；1x ≥()31f x x =-()min ()12f x f ==∴当时，的最小值为2．1a =()f x 【小问2详解】，，当时，0a >0b >12x ≤≤可化为，2211x a x x b ++->-+233a b x x +>-+令，，，∴()233h x x x =-+[]1,2x ∈()()()max 121h x h h ===1a b +>∴，22222111()122222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=++++≥+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时取得等号；a b =又当时，，1a b +>2()122a b a b ++++2>故.2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
甘肃省兰州市第五十八中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学(文科)试题(含答案解析)
甘肃省兰州市第五十八中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学（文科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U ＝{x ∈Z|0<x <8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为()A ．M ∩(∁UN )B ．∁U (M ∩N )C ．∁U (M ∪N )D ．(∁UM )∩N2．若i 是虚数单位，则复数231ii++的实部与虚部之积为A ．54-B ．54C ．5i4D ．5i4-3．直线1:210l ax y +-=与()22:10l x a y a +-+=平行,则=a （）A ．1-B ．2C ．1-或2D ．0或14．已知m ，n 是直线，α是平面，且m ∥α，则下列结论中正确的是（）A ．∀n ⊂α，都有m ∥nB ．∃n ⊂α，使m ⊥nC ．∀n ∥m ，都有n ∥αD ．∃n ⊥α，使m ∥n5．cos85sin 25cos30cos 25︒+︒︒︒等于（）A．B．2C ．12D ．16．关于x y 、的不等式组360,20,40,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域的面积为A ．3B ．52C ．2D ．327．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若264a a =，且47522a a +=，则5S =（）A ．29B ．30C ．31D ．328．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（）A ．12B ．13C ．2D ．239．已知函数()2sin(1)f x x π=+，若对于任意的x R ∈，都有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（）A ．2B ．1C ．4D ．1210．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，从A ，B ，C ，D 四点中任取三点和顶点P 所形成的四面体中，任取两个四面体，则其中一个四面体为鳖臑的概率为A ．14B ．23C ．35D ．31011．已知双曲线()222104x y b b-=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，抛物线216y x =-的焦点为F ，若ABF △为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（）A ．12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．)+∞C ．()1,3D ．11,2⎛ ⎝⎭12．已知函数()2e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ，函数()ln 2x h x x =的最大值为2x ，则（）A ．12x x >B ．21x x >C ．12x x ≥D ．21x x ≥二、填空题13．直线y x =与函数22,()42,x mf x x x x m >⎧=⎨++≤⎩的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是_______.14．已知向量,a b 满足5a ＝，6a b - ＝，a b + ＝4，则向量b 在向量a上的投影为______．15．数列{}n a 的前n 项积为2n ，那么当2n ≥时，n a ＝______．三、双空题16．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为_____；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时，980小时，1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为______．四、解答题17．某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A 1，但不包括B 1的概率．18．已知边长为2的正方形ABCD 与菱形ABEF 所在平面互相垂直，M 为BC 中点．(1)求证：//EM 平面ADF ；(2)若60ABE ︒∠=，求四面体M ACE -的体积．19．已知各项都为正数的数列{an }满足an ＋2＝2an ＋1＋3an .(1)证明：数列{an ＋an ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32，求{an }的通项公式.20．椭圆E ：2222x y a b+=1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2离心率e =12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且∆ABF 2的周长为8.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线AB∆ABF 2的面积.21．已知函数()()ln f x x ax a R =-∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，求函数()f x 在[]1,2上最小值.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，以该直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长是多少？23．已知()11f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时，不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．参考答案：1．C【详解】由N 中方程解得：x =2或x =6,即N ={2,6}，∵全集U ={x ∈Z |0<x <8}={1,2,3,4,5,6,7},M ={2,3,5}，∴M ∪N ={2,3,5,6}，则M ∩(∁UN )={1,2,3,4,5,7};∁U (M ∩N )={1,3,4,5,6,7};∁U (M ∪N )={1,4,7};(∁UM )∩N ={2,6}，故选C.点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．B【详解】由复数的运算法则有：()()()()23123551111222i i i i i i i i +-++===+++-，则实部和虚部之积为515224⨯=.本题选择B 选项.3．B【分析】根据两条直线平行的条件列方程，由此解出a 的值，排除两条直线重合的情况，由此得出正确选项.【详解】由于两条直线平行，所以()2120,20a a a a --=--=，解得2a =或1a =-，当1a =-时，两条直线方程都为210x y -+=，即两条直线重合，不符合题意，故2a =，所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查两条直线平行求参数，考查两条直线重合，属于基础题.4．B【分析】根据线面位置关系逐一说明选项.【详解】若m ∥α，n ⊂α，则m ，n 平行或异面，所以A 错误；若m ∥α，则∃l ⊂α，使m ∥l ,因此∃n ⊂α，使l ⊥n ,即m ⊥n ，所以B 正确；若m ∥α，n ∥m ，则n ∥α或n 在α内，所以C 错误；若m ∥α，则∃l ⊂α，使m ∥l ,因此若n ⊥α，则l ⊥n ,即m ⊥n ，所以D 错误；故选：B【点睛】本题考查线线以及线面位置，考查空间想象能力以及基本判断能力，属基础题.5．C【分析】由cos85sin 5=o o ，观察可得53025=-o o o ，代入根据两角差的正弦定理展开整理即可得出答案.【详解】因为cos85sin 5=o o ，所以sin 525cos85sin 25cos302cos 25cos 25︒+︒︒+︒︒=︒︒()1sin 3025sin 25cos 25122cos 25cos 252︒-︒+︒︒===︒︒.故选：C.6．C【详解】可行域为一个直角三角形ABC ，其中(3,1),(2,0),(1,3),A B C所以面积为11222AB BC ⨯⨯==，选C.7．C【解析】根据等比数列性质由264a a =求出4a ，进而求出7a ，求出公比q ，即可求出结论.【详解】426424,0,2n a a a a a =>∴== ,477512,24a a a +==，设{}n a 的公比为37411,,82a q q q a ===，4541()22n n n a a --==，516842131S =++++=.故选:C.【点睛】本题考查等比数列性质、等比数列通项基本量的运算，属于基础题.8．B【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+ ,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ的值，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+ ,因为AD AB AC λμ=+ ，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ．【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.9．B【解析】由题意可知1()f x 是函数的最小值,2()f x 是函数的最大值,则12||x x -的最小值就是函数的半周期.【详解】对任意的x ∈R ,()()12()f x f x f x ≤≤成立,所以()1min ()2f x f x ==-,()2max ()2f x f x ==,所以12min2Tx x -=,又()2sin(1)f x x π=+的周期22T ππ==,所以12min1x x -=,故选:B .【点睛】本题主要考查三角函数的性质运用,考查分析理解能力,难度不大10．B【分析】根据鳖臑的概念，逐个判断4个四面体是否为鳖臑，然后根据古典概型的概率公式，即可求出概率.【详解】由已知可得，PD AD ⊥，PD CD ⊥，AD CD ⊥，所以PD 、AD 、CD 三条直线两两垂直.因为PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD CD D ⋂=，所以有AD ⊥平面PCD ，又//BC AD ，所以BC ⊥平面PCD .同理可得，CD ⊥平面PAD ，又//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD .所以，又PA ⊂平面PAD ，AB PA ⊥，PAB 为直角三角形.同理可得，PAD 、PCD 、PBC 、PBD △、ABC 、ACD 、BCD △、ACD 均为直角三角形.从A ，B ，C ，D 四点中任取三点和顶点P 所形成4个四面体为：-P ABC ，P ABD -，P ACD -，P BCD -，四面体-P ABC 中，PAC △都不是直角三角形，所以四面体-P ABC 不是鳖臑；四面体P ACD -中，PAC △都不是直角三角形，所以四面体-P ABC 不是鳖臑；四面体P ABD P BCD ，--各个面都是直角三角形，所以四面体P ABD P BCD ，--为鳖臑.在4个四面体中任取2个的所有情况为(),P ABC P ABD --，(),P ABC P ACD --，(),P ABC P BCD --，(),P ABD P ACD --，(),P ABD P BCD --，(),P ACD P BCD --，共6种情况，并且这6种情况是等可能的；其中一个四面体为鳖臑的情况有(),P ABC P ABD --，(),P ABC P BCD --，(),P ABD P ACD --，(),P ACD P BCD --，共4种，根据古典概型的概率公式可知，任取两个四面体，其中一个四面体为鳖臑的概率4263P ==.故选：B.11．D【分析】根据14AFF π∠<，22224b c a c =-=-可得11c <<+得1122c a +<<，又1c e a =>，可得1e <<【详解】在抛物线216y x =-中，(4,0)F -，在双曲线22214x y b -=中，当x c =时，22by =±，取2,2b A c ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为ABF △是锐角三角形，所以14AFF π∠<，则212tan tan 144b AFFc π∠=<=+，即282b c <+．因为双曲线22214x y b-=中2a =，所以22224b c a c =-=-，所以2482c c -<+，解得11c <<1122c a <<．因为1ce a =>，则112e +<<，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了双曲线的离心率，属于基础题.12．A【分析】对()2e ln 2xx f x x =+-求定义域，求导，观察出导函数单调递增，结合零点存在性定理得到111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对()ln 2x h x x =求定义域，求导，得到其单调性和极值，最值，得到2112e 4x =<，判断出12x x >.【详解】()2e ln 2xx f x x =+-的定义域为()0,∞+，()1e xf x x x '=+-在()0,∞+上单调递增，且1213022e f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，41e 154104f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以111,42x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，1111e 0xx x +-=．()ln 2x h x x =的定义域为()0,∞+，由()2222ln 1ln 42x xh x x x --'==，当()0,e x ∈时，()0h x '>，当()e,+x ∈∞时，()0h x '<，故()ln 2x h x x =在e x =处取得极大值，也是最大值，()()max ln e 1e 2e 2eh x h ===，即2112e 4x =<．所以12x x >．故选：A 13．[1,2)-【分析】因为分段函数的分段点是含有参数的，所以需要将两个部分函数图象先行画出，并且画出y x =的图象，然后平移x m =，查看交点的个数，由此判断m 的取值范围即可.【详解】242y xy x x =⎧⎨=++⎩，即()()120x x ++=，解得12x =-，21x =-；2y xy =⎧⎨=⎩时，解得32x =，当2m <-时，直线y x =与函数()f x 有一个交点，为32x =处，不满足；当21m -≤<-时，直线y x =与函数()f x 有两个交点，为12x =-、32x =处，不满足；当12m -≤<时，直线y x =与函数()f x 有三个交点，为12x =-、21x =-、32x =，满足；当2m ≥，直线y x =与函数()f x 有两个交点，为12x =-、21x =-，不满足；故m 的取值范围是[)1,2-.故答案为：[)1,2-14．－1【分析】由条件根据数量积的性质求,a b b ⋅ ，再由向量的投影的定义求向量b 在向量a上的投影.【详解】∵向量,a b满足5a ＝，6a b - ＝，a b + ＝4，∴2225236a b b a b -=+-⋅=，2225216a b b a b +=++⋅=∴5a b ⋅=-，1b = ，∴向量b 在向量a上的投影为5cos ,15a b a b b a b b a b a⋅⋅-⋅=⋅===-⋅，故答案为：-1.15．22(1)n n -【分析】设数列{}n a 的前n 项积为n T ，利用1nn n T a T -=求出答案.【详解】设数列{}n a 的前n 项积为n T ，则2n T n =，当2n ≥时，()1221n n n T n a T n -==-．故答案为：22(1)n n -16．501015小时【分析】第一空按照比例抽样即可，第二空按照频率与每个厂平均寿命乘积的和表示.【详解】第一分厂应抽取的件数为100×50%=50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5+980×0.2+1030×0.3=1015(小时)．故答案为：50；1015小时.17．（1）15P =；（2）29P =【详解】试题分析：利用列举法把试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A 中的基本事件数,利用公式P (A )＝求出事件A 的概率.试题解析：（Ⅰ）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121323111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A B A B A B A B A B A B A B {}{}{}121323,,,,,B B B B B B ，共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ,共3个，则所求事件的概率为：31155P ==.（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,{,},,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B ，共9个，包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个，所以所求事件的概率为：29P =.【考点】古典概型【名师点睛】(1)对于事件A 的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A 是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所包含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P (A )＝求出事件A 的概率,这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.18．(1)证明见解析3【分析】(1)先根据面面平行的判定定理证明平面BCE ∥平面ADF ，即可证明线面平行；(2)先用面面垂直的性质定理确定三棱锥的高，再用椎体体积公式求解.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ∥AD ．∵BC ⊄平面ADF ，AD ⊂平面ADF ，∴BC ∥平面ADF ．∵四边形ABEF 是菱形，∴BE ∥AF ．∵BE ⊄平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，∴BE ∥平面ADF ．∵BC ∥平面ADF ，BE ∥平面ADF ，,BC BE B = ,BC BE ⊂平面BCE ，∴平面BCE ∥平面ADF ．∵EM ⊂平面BCE ，∴EM ∥平面ADF ．（2）取AB 中点P ，连接PE ．∵在菱形ABEF 中，∠ABE ＝60°，∴△AEB 为正三角形，∴EP ⊥AB ．∵AB ＝2，∴EP∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF ＝AB ，EP ⊂平面ABEF,∴EP ⊥平面ABCD ，∴EP 为四面体E -ACM 的高．∴13M ACE E ACM ACM V V S EP --=⨯=△1112.323=⨯⨯⨯⨯19．(1)证明见解析(2)an ＝12×3n－1【分析】（1）将an ＋2＝2an ＋1＋3an ，变形为an ＋2＋an ＋1＝3(an ＋1＋an )，利用等比数列的定义证明；（2）由（1）得到an ＋an ＋1＝2×3n －1，再由an ＋2＝2an ＋1＋3an ，得到an ＋2－3an ＋1＝－(an ＋1－3an )，结合求解.【详解】（1）证明：因为an ＋2＝2an ＋1＋3an ，所以an ＋2＋an ＋1＝3(an ＋1＋an )，因为{an }中各项均为正数，所以an ＋1＋an ＞0，所以211n n n na a a a +++++＝3，所以数列{an ＋an ＋1}是公比为3的等比数列.（2）由题意及（1）知，an ＋an ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为an ＋2＝2an ＋1＋3an ，所以an ＋2－3an ＋1＝－(an ＋1－3an )，a 2＝3a 1，所以a 2－3a 1＝0，所以an ＋1－3an ＝0，故an ＋1＝3an ，所以4an ＝2×3n －1，即an ＝12×3n －1.20．（1）2243x y +=1；（2）5【分析】(1)利用椭圆的离心率以及△ABF2的周长为8，求出a ，c ,b ,即可得到椭圆的方程；(2)求出直线方程与椭圆方程联立，求出A ，B 坐标，然后求解三角形的面积即可.【详解】（1）因为过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且∆ABF 2的周长为8，48a =所以48a =，即2a =，又椭圆离心率e =12，可得12c a =，即1c =，2223b a c ∴=-=，所以椭圆方程为：22143x y +=.（2）设直线方程为：1)y x =+由221)143y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：2580x x +=，解得：1280,5x x ==-所以125y y ==-，则212122ABF S c y y =⨯⋅-=V 【点睛】本题考查椭圆的方程的求法,椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，属于中档题.21．（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）求导后，根据导函数在定义域内的正负可确定()f x 的单调区间；（2）由（1）可知()f x 单调性，分别在11a≤、12a ≥和112a <<三种情况下，根据单调性确定最小值点，由此求得最小值.【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()11axf x a x x-'=-=，①当0a ≤时，10ax ->，()0f x '∴>，()f x \的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；②当0a >时，令()0f x '=，解得：1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；()f x \的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知：当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；①当11a≤，即1a ≥时，()f x 在[]1,2上单调递减，()()min 2ln 22f x f a ∴==-；②当12a ≥，即102a <≤时，()f x 在[]1,2上单调递增，()()min 1ln1f x f a a ∴==-=-；③当112a<<，即112a <<时，()f x 在11,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，()()(){}min min 1,2f x f f ∴=.()1f a =- ，()2ln 22f a =-，当ln 22a a -≤-，即1ln 22a <≤时，()()min 1f x f a ==-；当ln 22a a ->-，即ln 21a <<时，()()min 2ln 22f x f a ==-；综上所述：当(]0,ln 2a ∈时，()min f x a =-；当()ln 2,a ∈+∞时，()min ln 22f x a =-.【点睛】思路点睛：求解()f x 在[]1,2上的最小值的基本思路是通过分类讨论的方式，确定()f x 在[]1,2上的单调性，由此确定最小值点.22．(1)10x y --=，24y x =(2)8【分析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程，根据公式cos x ρθ=，222x y ρ=+可得曲线C 的直角坐标方程；（2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可求出结果.【详解】（1）由122x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y --=．∵曲线C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=，即222cos 4cos 0ρθρθρ+-=，将cos x ρθ=，222x y ρ=+代入得22240x x x y +--=，即24y x =.∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（2）联立2410y xx y ⎧=⎨--=⎩，得2610x x -+=，364320∆=-=>，设直线l 与抛物线C 交于点()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x +=，121=x x ，故直线l 被曲线C 截得的弦长为||8AB =．23．(1)12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭(2)(0,2]【分析】（1）当1a =时，将()f x 写出分段函数，再分类讨论求出不等式的解集;（2）题意可转化成当(0,1)x ∈时，11ax -<成立，分0a ≤和0a >两种情况进行分析即可【详解】（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，当1x ≤-时，()21f x =-<，题设不等式中x 无解；当11x -<<时，()21f x x =>，即112x <<；当1x ≥时，()21f x =>，即1x ≥；综上，故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．（2）当(0,1)x ∈时，11x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时，11ax -<成立，若0a ≤，则当(0,1)x ∈时，()11,1ax a -∈--,故11ax ->，不满足题意，舍去；若0a >，则11ax -<即111ax -<-<，解集为20x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，所以21a≥，故02a<≤，综上，a的取值范围为(0,2]．。
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高三年级第二次模拟考试数学试题（文科）
总分：100分 考试时间:100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.若集合A=},21log |{2
1
≥x x 则=A C R （ ）
A ．),2
2(]0,(+∞⋃-∞ B.),22
(+∞
C. ),22[]0,(+∞⋃-∞
D. ),22[+∞2.函数f(x)=23x
x +的零点所在的一个区间是( )
A.（-2，-1）
B.（-1,0）
C.（0,1）
D.（1,2）
3.已知集合},lg |{x y R x M =∈= },1|{2+=∈=x y R y N 则集合M ∪N 等于（ ）
),0.(+∞A ),1.[+∞B Ｃ．),(+∞-∞ ]1,0.(D
４．函数()()
2log 31x
f x =+的值域为（ ）
A. ()0,+∞
B. )0,+∞⎡⎣
C. ()1,+∞
D. )1,+∞⎡
⎣ 5. 已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为
31
812343
y x x =-+-， 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
（A ）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件
6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5
()2
f -=( )
(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)1
2
7. 下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ）”的是
( )
（A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数
8.若a,b 是非零向量，且b a ⊥，||||b a ≠，则函数))(()(a b x b a x x f -+=是( )
（A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数
（C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数
9.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （ ） （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.
（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. １０．设0abc >，二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是( )
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．)
11. 已知函数f （x ）＝232,1,
,1,
x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ .
12.函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________。
13.在ABC ∆中。
若1b =，3c =，23
c π
∠=
，则a= 。
14.若曲线2
y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则.____________,
==b a 15．函数f x （）的定义域为A ，若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）时总有12x =x f x ，则称（）为单函数.例如，函数f x （）=2x+1（x R ∈）是单函数.下列命题： ① 函数f x （）=2
x （x ∈R ）是单函数；
② 若f x （）为单函数，121212x x A x x f x f x ∈≠≠，且，则（）（）； ③ 若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④ 函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数. 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共4小题,每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.
17.已知函数2()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。
(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。
18.设()321f x x ax bx =+++的导数()f x '满足(1)2,(2),f a f b ''==-其中常数,a b R ∈. （Ⅰ）求曲线 在点()1,(1)f 处的切线方程。
（Ⅱ）设()().x
g x f x e -'=求函数()g x 的极值。
19.已知函数b ax x x f ++=2)(2的图像过点（1，3），且f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立，函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于原点对称。
（1）求f(x)与g(x)的解析式；
(2)若F(x)=g(x)-)(x f λ在（-1，1]上是减函数，求实数λ的取值范围。
文科答案
1-5：ABAAC 6-10:ACACD 11:2 12.),2
1
(+∞- 13:1 14: 1,1a b ==15:2,3 16.解
在ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得
cos ∠2222AD DC AC AD DC
+-=10036196121062+-=-⨯⨯, ∴∠ADC=120°, ∠ADB=60° 在△ABD 中，AD=10, ∠B=45°,
∠ADB=60°， 由正弦定理得sin sin AB AD ADB B
=∠, ∴AB =3
10sin 10sin 60256sin sin 452
AD ADB B
⨯∠︒===︒
. 17.
18.解析：（Ⅰ）因
()321f x x ax bx =+++，故()232f x x ax b '=++，
令1x
=，得()132f a b '=++，由已知()12f a '=，解得3b =-
又令2x =，得()2124f a b '=++，由已知()2f b '=-，解得3
2
a =-
因此
()323312f x x x x =-
-+，从而()512
f =- 又因为
()123f a '==-，故曲线().y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为()5312y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭
，即
6210x y +-=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()2333.x g
x x x e -=--，从而有()()239.x g x x x e -'=-+，令()0g x '=，解得
120,3x x ==。
当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，故()g x 在(),0-∞为减函数，
当()0,3x ∈
时，()0g x '>，故()g x 在()0,3为增函数，
当()3,x ∈
+∞时，()0g x '<，故()g x 在()3,+∞为减函数，
从而函数()g
x 在10x =处取得极小值()03g =-，在23x =出取得极大值()3315g e -=.
19.解：(1)由于f(x)的图像过点（1，3），于是1+2a+b=3,又对称轴为x=-1,则有-a=-1,a=1,b=0,于是x x x f 2)(2+=.顶点
为（-1，-1），故g(x)的顶点为（1，1），开口下下，g(x)= .221)1(22+-=+-x x x
(2)F(x)=1,2)22()1(2
≠++--λλλx x
.当,1=λ时成立；当1>λ时，减区间是],1,1(),11[-⊇+∞-+λ
λ
满足则.1>λ；当1<λ时，减区间是],1,1(]11,
(-⊇-+-∞λ
λ
于是10<≤λ，综上，知.0≥λ。