九年级上册压轴题数学考试试卷精选含详细答案

九年级上册压轴题数学考试试卷精选含详细答案
一、压轴题
1．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．
2．已知抛物线2y ax bx c =++经过原点，与x 轴相交于点F ，直线132
y x =+与抛物线交于()()2266A B -，
，，两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点E 是线段OC 上的一个动点(不与端点重合)，过点E 作//EG BC 交BF 于点C ，连接DE DG ，．
（1）求抛物线的解析式及点F 的坐标；
（2）当DEG ∆的面积最大时，求线段EF 的长；
（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点()4H n ，和点P ，使EHP ∆为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．
3．如图，过原点的抛物线y=﹣12
x 2+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ．
（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；
（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；
（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n（0＜n＜2）个单位，点B、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n，使得四边形OB′C″A的周长最短？若存在，请直接写出n的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．
4．已知点P(2，﹣3)在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．
（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；
（2）当L经过(3，3)时，求此时L的表达式及其顶点坐标；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；
（4）点M(x1，y1)，N(x2，y2)是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．
5．如图，A是以BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA 的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接并延长CG与BE相交于点F，连接并延长AF 与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF＝EF；
（2）求证：PA是圆O的切线；
（3）若FG＝EF＝3，求圆O的半径和BD的长度．
6．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
(Ⅰ)将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；
(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C 再次折叠，使得点B 落在边CD 上点B′处，如图③，两次折痕交于点O ；
(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB 、OE 、OC 、FD ，如图④．
（探究）
（1）证明：OBC ≌OED ；
（2）若AB ＝8，设BC 为x ，OB 2为y ，是否存在x 使得y 有最小值，若存在求出x 的值并求出y 的最小值，若不存在，请说明理由．
7．如图1，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于(3,0)A -、(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，作直线BC ．点D 是线段BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过点D 作DE x ⊥轴于点E ．设点D 的横坐标为(04)m m <<．
（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；
（2）线段DE 的长用含m 的式子表示为 ；
（3）以DE 为边作矩形DEFC ，使点F 在x 轴负半轴上、点G 在第三象限的抛物线上． ①如图2，当矩形DEFC 成为正方形时，求m 的值；
②如图3，当点O 恰好是线段EF 的中点时，连接FD ，FC ．试探究坐标平面内是否存在一点P ，使以P ，C ，F 为顶点的三角形与FCD ∆全等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 A (-1，0) ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴与点(0，-3)，抛物线的对称轴为直线x ＝1，点D 为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式；
（2）已知经过点A 的直线y ＝kx +b (k >0)与抛物线在第一象限交于点E ，连接AD ，DE ，BE ，当2ADE ABE S S ∆∆=时，求点E 的坐标．
（3）如图2，在（2）中直线AE 与y 轴交于点F ，将点F 向下平移233
+到Q ，连接QB ．将△OQB 绕点O 逆时针旋转一定的角度α（0°<α<360°）得到
OQ B ''，直线B Q ''与x 轴交于点G ．问在旋转过程中是否存在某个位置使得OQ G '是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．
9．将一个直角三角形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()2,0A ，点B 在第一象限，90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，点P 在边OB 上（点P 不与点,O B 重合）．
（1）如图①，当1OP =时，求点P 的坐标；
（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且OQ OP =，点O 的对应点为O '，设OP t =．
①如图②，若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分为四边形，,O P O Q ''分别与边AB 相交于
点,C D ，试用含有t 的式子表示O D '的长，并直接写出t 的取值范围；
②若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分的面积为S ，当13t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．
10．直线m ∥n ，点A 、B 分别在直线m ，n 上（点A 在点B 的右侧），点P 在直线m 上，AP ＝13AB ，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ，连接AC 交直线n 于点E ，连接PC ，且ABE 为等边三角形．
（1）如图①，当点P 在A 的右侧时，请直接写出∠ABP 与∠EBC 的数量关系是 ，AP 与EC 的数量关系是 ．
（2）如图②，当点P 在A 的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图②，当点P 在A 的左侧时，若△PBC 的面积为934
，求线段AC 的长．
11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为中心的正方形ABCD 的边长为4m ，我们把AB y ∥轴时正方形ABCD 的位置作为起始位置，若将它绕点O 顺时针旋转任意角度α时，它能够与反比例函数(0)k y k x
=>的图象相交于点E ，F ，G ，H ，则曲线段EF ，HG 与线段EH ，GF 围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH”．
（1）①如图1，当AB y ∥轴时，用含m ，k 的代数式表示点E 的坐标为________；此时存在曲边四边形EFGH ，则k 的取值范围是________；
②已知23k m =，把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转45º时，是否存在曲边四边形EFGH ？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转任意角度α时，直接写出使曲边四边EFGH 存在的k 的取值范围．
③若将图1中的正方形绕点O 顺时针旋转角度()0180a a ︒<<︒得到曲边四边形EFGH ，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH 是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH 是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；
（2）正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转到如图2位置，已知点A 在反比例函数
(0)k y k x
=>的图象上，AB 与y 轴交于点M ，8AB =，1AM =，试问此时曲边四边EFGH 存在吗？请说明理由．
12．如图，⊙O 经过菱形ABCD 的三个顶点A 、C 、D ，且与AB 相切于点A ．
（1）求证：BC 为⊙O 的切线；
（2）求∠B 的度数．
（3）若⊙O 半径是4，点E 是弧AC 上的一个动点，过点E 作EM ⊥OA 于点M ，作EN ⊥OC 于点N ，连接MN ，问：在点E 从点A 运动到点C 的过程中，MN 的大小是否发生变化？如果不变化，请求出MN 的值；如果变化，请说明理由．
13．如图①，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ，点M 、P 、N 分别为DE 、BE 、BC 的中点．
（1）观察猜想：图①中，线段PM 与PN 的数量关系是_____________，用含α的代数式表示MPN ∠的度数是________________________；
（2）探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，当120α=︒时，判断PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内任意旋转，若90α=︒，3AD =，7AB =，请直接写出线段MN 的最大值和最小值．
14．公司经销某种商品，经研究发现，这种商品在未来40天的销售单价1y （元/千克）关于时间t 的函数关系式分别为11602
y t =-+（040t <≤，且t 为整数）；
()()21030,3033040,20
t t t y t t ⎧<≤-+⎪=⎨<≤⎪⎩且为整数且为整数，他们的图像如图1所示，未来40天的销售量m （千克）关于时间t 的函数关系如图2的点列所示．
（1）求m 关于t 的函数关系式；
（2）那一天的销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3600元以维持各种开支，求a 的最大值（精确到0.01元）．
15．如图1，与为等腰直角三角形，与 重合，
，．固定
，将绕点顺时针旋转，当边与边重合时，旋转终止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设（或它们的延长线）分别交（或它们的延长线）于点
，如图2． （1）证明：；
（2）当为何值时，
是等腰三角形？
16．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线21
y x bx c 3
=-++交x 轴于点A 、点B(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ，直线()y kx 6k k 0=-≠经过点B ，交y 轴于点D ，且CD OD =，1tan OBD 3
∠=． ()1求b 、c 的值；
()2点()P m,m 在第一象限，连接OP 、BP ，若OPB ODB ∠∠=，求点P 的坐标，并直
接判断点P 是否在该抛物线上；
()3在()2的条件下，连接PD ，过点P 作PF //BD ，交抛物线于点F ，点E 为线段PF 上一点，连接DE 和BE ，BE 交PD 于点G ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，若
DBE 2DEH ∠∠=，求EG EF
的值．
17．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （1,0），B （4,0）与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ，在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求M 的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知矩形ABCD 中，AB=8，AD=6， 点E 是边CD 上一个动点，连接AE ，将△AED 沿直线AE 翻折得△AEF.
(1) 当点C 落在射线AF 上时，求DE 的长;
(2)以F 为圆心，FB 长为半径作圆F ，当AD 与圆F 相切时，求cos ∠FAB 的值;
(3)若P 为AB 边上一点，当边CD 上有且仅有一点Q 满∠BQP=45°，直接写出线段BP 长的取值范围.
19．如图，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，作ABC ∠的平分线交AC 于点D ，在AB 上取点O ，以点O 为圆心经过B 、D 两点画圆分别与AB 、BC 相交于点E 、F （异于点B ）．
（1）求证：AC 是O 的切线；
（2）若点E 恰好是AO 的中点，求BF 的长；
（3）若CF 的长为34． ①求O 的半径长；
②点F 关于BD 轴对称后得到点F '，求BFF '∆与DEF '∆的面积之比．
20．在平面直角坐标系xOy 中，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，它们与直线(0)x t t =>分别相交于点,P Q ．
（1）如图，函数1F 为
1y x =+，当2t =时，PQ 的长为_____； （2）函数1F 为3y x
=，当6PQ =时，t 的值为______； （3）函数1F 为2(0)y ax bx c a =++≠，
①当b t b
=时，求OPQ △的面积； ②若0c >，函数1F 和2F 的图象与x 轴正半轴分别交于点(5,0),(1,0)A B ，当
1c x c ≤≤+时，设函数1F 的最大值和函数2F 的最小值的差为h ，求h 关于c 的函数解析式，并直接写出自变量c 的取值范围．
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一、压轴题
1．（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492
． 【解析】
【分析】
（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12
PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12
PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；
（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．
【详解】
解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，
//PN BD ∴，12
PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =
， AB AC =，AD AE =，
BD CE ∴=，
PM PN ∴=，
//PN BD ，
DPN ADC ∴∠=∠，
//PM CE ，
DPM DCA ∴∠=∠，
90BAC ∠=︒，
90ADC ACD ∴∠+∠=︒，
90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，
PM PN ∴⊥，
故答案为：PM PN =，PM PN ⊥； （2）PMN ∆是等腰直角三角形． 由旋转知，BAD CAE ∠=∠，
AB AC =，AD AE =， ()ABD ACE SAS ∴∆≅∆， ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =，
利用三角形的中位线得，12PN BD =
，1
2
PM CE =， PM PN ∴=，
PMN ∴∆是等腰三角形，
同（1）的方法得，//PM CE ，
DPM DCE ∴∠=∠，
同（1）的方法得，//PN BD ，
PNC DBC ∴∠=∠，
DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠， MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠
BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠
ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠， 90BAC ∠=︒，
90ACB ABC ∴∠+∠=︒，
90MPN ∴∠=︒，
PMN ∴∆是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，
MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，
//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面， MN ∴最大AM AN =+，
连接AM ，AN ，
在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，
22AM ∴=，
在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =
MN ∴=最大
22211114922242
PMN S PM MN ∆∴=
=⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，1
2
PM PN BD ==
， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，
∴点D 在BA 的延长线上，
14BD AB AD ∴=+=， 7PM ∴=，
2211497222
PMN S PM ∆∴=
=⨯=最大． 【点睛】
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出
12PM CE =
，1
2
PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大． 2．（1）抛物线的解析式为211
42
y x x =
-，点F 的坐标为()20，
；（2）4EF =；（3）点P 的坐标为()()()466121456---，，，
，，或()22.-， 【解析】 【分析】
（1）因为抛物线经过原点，A,B 点，利用待定系数法求得抛物物线的解析式，再令y=0，求得与x 轴的交点F 点的坐标。

（2）过点G 作GK x ⊥轴于点K ，先求出直线1
32
y x =
+与坐标轴的两个交点，利用三角函数求出OM 与OE 的比值，再利用配方法求得面积的最值．
（3）利用两点间的距离公式求得240EH =，()2
2
22114242PH x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭
，()2
2
2
21
124
2PE x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，再利用勾股定理与分类讨论求出P 点的坐标．
【详解】
解：()
1抛物线2y ax bx c =++经过原点
0c ∴=
2y ax bx ∴=+
()()2,2,6,6A B -两点在抛物线上
4223666a b a b -=⎧∴⎨+=⎩
解得1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
故抛物线的解析式为211
42
y x x =- 令0y =，则
211
042
x x -= 解得10x =（舍去），22x =
故点F 的坐标为()2,0
()2过点G 作GK x ⊥轴于点K ，
对于1
32
y x =
+ 当0y =时，6x =-； 当0x =时，3y =
()()6,0,0,3C D ∴-
1tan tan 2
GEK DCO ∴∠=∠=
设直线EG 与y 轴交于点M ，直线EC 的解析式为()1
032
y x m m =+<< 则,2OM m OE m ==
3DM m ∴=-，易求直线BF 的解析式为3
32
y x =
- 令
13
322
x m x +=-，解得3x m =+ 故点C 的横坐标为3m +
3233EK m m m =++=+ ()()()()()2
113333331162222
ABC S DM EK m m m m m ∴=
•=-+=--+=--+ 又03m <<
∴当1m =时，DEG ∆的面积最大，此时2OE =
4EF ∴=
()3点P 的坐标为()()()()4,6,6,12,14,562,2----或
【提示】 把()4,H n 代入211
42
y x x =
-，得2n = ()4,2H ∴
2222640EH ∴=+=
设点P 的坐标为211,
42x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
则()2
2
2
2114242PH x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，()2
2221124
2PE x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭
当90PEH ︒∠=时，222EH PE PH +=
即()()22
2
2221111402424242x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得124,6x x =-=-，
故点P 的坐标为()()4,66,12--或 当90PHK ︒∠=时， 222PH EH PE +=
即()()22
2
222111142402424
2x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得14x =(不合题意，舍去)， 214x =-故点P 的坐标为()14,56- 当90HPE ︒∠=时．过点H 作//HQ x 轴．交抛物线于点Q ，连接QE 解得()2,2Q -，此时,QE QH ⊥故点Q 与点P 重合，此时()2,2.P - 综上可知．点P 的坐标为()()()(),,4,66,1214,562,2.----或 【点晴】
本题主要考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，抛物线与x x 轴的交点，二次函数与一次函数的交点，勾股定理，三角形的面积，两点间的距离公式，运用了分类讨论思想． 3．（1）2122
y x x =-
+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=2
7时，
抛物线向左平移． 【解析】 【分析】
（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；
（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2
m
），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；
（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】
解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12
-
x 2
+bx+c ． 得040c b b c =⎧
⎨-++=⎩，
∴02c b =⎧⎨=⎩
．
∴2211
2(2)222
y x x x =-
+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）． （2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．
∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．
∵O′P=OP=m ． ∴C′D=
12O′P=1
2
m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（3
2m ，2
m ）．
当点O′在y=
1
2
-x2+2x上．
则−1
2
m2+2m＝m．
解得：
12
m=，
20
m=（舍去）．∴m=2．
当点C′在y=
1
2
-x2+2x上，
则
1
2
-×(3
2
m)2+2×
3
2
m＝
1
2
m，
解得：
120 9
m=，
20
m=（舍去）．
∴m=20 9
（3）存在n=2
7
，抛物线向左平移．
当m=20
9
时，点C′的坐标为（
10
3
，
10
9
）．
如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．
以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．
∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（10
3
，
10
9
），点B（2，2）．
∴点A′（8
3
，
8
9
）．
∴点A″的坐标为（8
3
，
28
9
）．
设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39
k=，
解得：k=7
6
．
∴直线OA″的解析式为y=7
6 x．
将y=2代入得：7
6
x=2， 解得：x=
127
， ∴点B′得坐标为（12
7
，2）． ∴n=212277
-
=． ∴存在n=2
7
，抛物线向左平移．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2
m
）以及点B′的坐标是解题的关键．
4．（1）k=-3-a ；对称轴x ＝1；y 轴交点(0，-3)；（2）2y=2x -4x-3，顶点坐标(1，-5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2． 【解析】 【分析】
（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线
2a
x==12a
--
，并求得抛物线与y 轴交点； （2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；
（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；
（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围． 【详解】
解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2y=ax -2ax+a+k ， ∴-3=4a 4a a+k=a+k -+ ∴k=-3-a ；
抛物线L 的对称轴为直线-2a
x=-
=12a
，即x ＝1； 将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)； （2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中， ∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ， ∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，
∴L 的表达式为2y=2x -4x-3； 将其表示为顶点式：2y=2(x-1)-5， ∴顶点坐标为(1，-5)；
（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，
∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1， ∴1＜-a-3≤2， ∴-5≤a ＜-4；
（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1， ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上， 即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；
②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去， 综上所述：-1≤t ≤2． 【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
5．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD ＝r ＝ 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件得到∠EBC ＝∠ADC ＝90°，根据平行线分线段成比例定理得出
AG CG GD
==EF CF BF
，等量代换即可得到结论； （2）证明∠PAO ＝90°，连接AO ，AB ，根根据直角三角形斜边中线的性质，切线的性质和等量代换，就可得出结论；
（3）连接AB ，根据圆周角定理得到∠BAC ＝∠BAE ＝90°，推出FA ＝FB ＝FE ＝FG ＝3，过点F 作FH ⊥AG 交AG 于点H ，推出四边形FBDH 是矩形，得到FB ＝DH ＝3，根据勾股定理得
到FH ＝r ，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】
解：（1）∵EB 是切线，AD ⊥BC ， ∴∠EBC ＝∠ADC ＝90°，
∴AD ∥EB ，（同位角相等，两直线平行） ∴
AG CG GD
==EF CF BF
，（平行线分线段成比例） ∵G 是AD 的中点， ∴AG ＝GD ， ∴EF ＝FB ；
（2）证明：连接AO ，AB ，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，（直径所对圆周角为直角）
在Rt△BAE中，由（1）知，F是斜边BE的中点，直角三角形斜边中线为斜边一半，∴AF＝FB＝EF，且等边对等角，
∴∠FBA＝∠FAB，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBO＝90°，
∵∠EBO＝∠FBA+∠ABO＝∠FAB+∠BAO＝∠FAO＝90°，
∴PA是⊙O的切线；
（3）如图2，连接AB，AO，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠BAE＝90°，
∵EF＝FB，
∴FA＝FB＝FE＝FG＝3，
过点F作FH⊥AG交AG于点H，
∵FA＝FG，FH⊥AG，
∴AH＝HG，
∵∠FBD＝∠BDH＝∠FHD＝90°，
∴四边形FBDH是矩形，
∴FB＝DH＝3，
∵AG＝GD，
∴AH＝HG＝1，GD＝2，FH2222
--，
AF AH=31=22
∴BD＝22
设半径为r，在Rt ADO中，
AO=AD+OD，
∵222
∴222r =4，解得：r
＝ 综上所示：BD
＝r
＝ 【点睛】
本题主要考察了平行线的性质及定理、平行线分线段成比例定理、等边对等角、直角三角形斜边中线的性质、圆周角定理、勾股定理及圆的切线及其性质，该题较为综合，解题的关键是在于掌握以上这些定理，并熟练地将其结合应用． 6．（1）见解析；（2）x=4，16 【解析】 【分析】
（1）连接EF ，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS 证明OBC ≌OED 即可；
（2）连接EF 、BE ，再证明△OBE 是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y 与x 的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】
（1）证明：连接EF ． ∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADE ＝∠DAF ＝90° 由折叠得∠DEF ＝∠DAF ，AD ＝DE ∴∠DEF ＝90°
又∵∠ADE ＝∠DAF ＝90°， ∴四边形ADEF 是矩形 又∵AD ＝DE ， ∴四边形ADEF 是正方形 ∴AD ＝EF ＝DE ，∠FDE ＝45° ∵AD ＝BC ， ∴BC ＝DE
由折叠得∠BCO ＝∠DCO ＝45° ∴∠BCO ＝∠DCO ＝∠FDE ． ∴OC ＝OD ． 在△OBC 与△OED 中，
BC DE BCO FDE OC OD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，，
， ∴△OBC ≌△OED （SAS ）；
（2）连接EF 、BE ．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴CD ＝AB ＝8．
由（1）知，BC ＝DE
∵BC ＝x ，
∴DE ＝x
∴CE ＝8－x
由（1）知△OBC ≌△OED
∴OB ＝OE ，∠OED ＝∠OBC ．
∵∠OED ＋∠OEC ＝180°，
∴∠OBC ＋∠OEC ＝180°．
在四边形OBCE 中，∠BCE ＝90°，∠BCE ＋∠OBC ＋∠OEC ＋∠BOE ＝360°，
∴∠BOE ＝90°．
在Rt △OBE 中，OB 2＋OE 2＝BE 2．
在Rt △BCE 中，BC 2＋EC 2＝BE 2．∴OB 2＋OE 2＝BC 2＋CE 2．
∵OB 2＝y ，∴y ＋y ＝x 2＋(8－x)2．
∴y ＝x 2－8x ＋32
∴当x=4时，y 有最小值是16．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
7．（1）211433=--y x x ， (0,4)C -；（2）4m -；（3）①m 的值为54
；②存在；点P 的坐标为(4,2)--或1422(,)55-
-或42(,)55．
【解析】
【分析】
（1）将(3,0)A -、(4,0)B 代入24y ax bx =+-，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组即可求出a 、b 的值，进而可得到抛物线的表达式和点C 的坐标；
（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+即可求出解析式的表达式，令x=m ，即可得到线段DE 的长用含m 的式子表示为4m -；
（3）①由点D 的横坐标为m ，且04m <<，可得OE m =，再根据四边形DEFG 是正方形求出点G 的坐标，代入函数解析式即可求出m 的值；
② 利用①中的方法求出点D 的坐标、CF 、CD 的值，再分不同情况讨论，利用两点间距离公式和全等三角形对应边相等列方程组求解即可.
【详解】
（1）将(3,0)A -、(4,0)B 代入24y ax bx =+-中，
得934016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩
， 解，得1313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ∴抛物线的表达式为211433
=--y x x ． 将0x =代入，得4y =-，
∴点(0,4)C -．
（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+，
将点(4,0)B 、(0,4)C -代入可得，
404k b b +=⎧⎨=-⎩
， 解得14k b =⎧⎨=-⎩
， ∵直线BC 的表达式为4y x =-，
当x=m 时，4y m =-，
即线段DE 的长用含m 的式子表示为4m -.
故答案为：4m -；
（3）①∵点D 的横坐标为m ，且04m <<，
∴OE m =，
∵四边形DEFG 是正方形，
∴4DE EF FG m ===-，
∴442OF EF OE m m m =-=--=-，
∵点G 在第三象限，
∴点G 的坐标为(24,4)m m --，
∵点G 在抛物线211433=--y x x 上， ∴21
1(24)(24)4433
m m m ----=-， 解14m =（不符合题意，舍去），254
m =， ∴当矩形DEFG 成为正方形时，m 的值为
54． ②存在；理由如下：
由①可知FG=DE=4-m ，
∵点O 是线段EF 的中点，
∴点G 的坐标为（-m ，m -4），
∵点G 在抛物线211433=--y x x 上， ∴21
1(24)(24)4433
m m m ----=-， 解10m =（不符合题意，舍去），22m =，
∴点D 的坐标为（2，-2），
∴222425CF =+=，22(20)(24)22CD =-+-+=，
如图，设点的坐标为（x ，y ），分以下三种情况：
I 、当位于点P 时，可得PF=CD ，PC=CF ，
∴22(2)25PF x y =++=22(4)22PC x y =++=
解得1142x y =-⎧⎨=-⎩，224525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（不合题意，舍去），
∴点P 的坐标为(4,2)--；
II 、当位于点P '时，方法同I 可得点P 的坐标为1422(,)55
--； III 、当位于点P ''时，方法同I 可得点P 的坐标为42(,)55；
综上，点P 的坐标为(4,2)--或1422(,)55-
-或42(,)55． 【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定解析式，两点间的距离公式，全等三角形的性质，解本题的关键是确定函数关系式．
8．（1）223y x x =--；（2）点E 的坐标为（
113，289）；（3）存在；点Q '的坐标
32-）或（32，32）或（32-， 【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法代入计算，结合对称轴，即可求出解析式；
（2）取AD 中点M ，连接BM ，过点A 作AE ∥BM ，交抛物线于点E ；然后求出直线AE 的解析式，结合抛物线的解析式，即可求出点E 的坐标；
（3）由题意，先求出点F 的坐标，然后得到点Q 的坐标，得到OQ 和OB 的长度，然后结合等腰三角形的性质进行分类讨论，可分为四种情况进行分析，分别求出点Q '的坐标即可．
【详解】
解：（1）根据题意，设二次函数的解析式为2y ax bx c =++， ∵对称轴为12b x a
=-=，则2b a =-， 把点（-1，0），点（0，-3）代入，有
03a b c c -+=⎧⎨=-⎩
， 又∵2b a =-，
∴1a =，2b =-，3b =-，
∴抛物线的解析式为：223y x x =--；
（2）由（1）223y x x =--可知，
顶点D 的坐标为（1，4-），点B 为（3，0），
∵点A 为（1-，0），
∴AD 的中点M 的坐标为（0，-2）；
如图，连接AD ，DE ，BE ，取AD 中点M ，连接BM ，过点A 作AE ∥BM ，交抛物线于点E ；
此时点D 到直线AE 的距离等于点B 到直线AE 距离的2倍，
即2ADE ABE S S ∆∆=，
设直线BM 为y kx h =+，
把点B 、点M 代入，有302k h h +=⎧⎨
=-⎩， ∴直线BM 为223
y x =-， ∴直线AE 的斜率为
23， ∵点A 为（1-，0），
∴直线AE 为2233
y x =+， ∴2223323y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得：10x y =-⎧⎨=⎩（舍去）或113289x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
； ∴点E 的坐标为（113，289
）； （3）由（2）可知，直线AE 为2233y x =
+， ∴点F 的坐标为（0，
23）， ∵将点F 向下平移233
+Q ， ∴点Q 的坐标为（0，3- ∴3OQ
∵点B 为（3，0），则OB=3，
在Rt △OBQ 中，3tan 33OB OQB OQ ∠===， ∴60OQB ∠=︒， 由旋转的性质，得60Q OQB '∠=∠=︒，3OQ OQ '==， ①当3OG OQ '==时，OQ G '∆是等边三角形，如图：
∴点G 的坐标为（3，0），
∴点Q '的横坐标为
32， ∴点Q '的坐标为（32
，32-）； ②当3OQ Q G ''==，OQ G '∆是等腰三角形，如图：
∵60OQ B ''∠=︒，
∴30Q OG '∠=︒，
∵3OQ '
∴点Q '的坐标为（323 ③当3OG OQ '==OQ G '∆是等边三角形，如图：
此时点G 的坐标为（3-，0），
∴点Q '的坐标为（32-，32
）； ④当3Q G OQ ''==时，OQ G '∆是等腰三角形，如图：
此时30Q OG '∠=︒，
∴点Q '的坐标为（32
-，3）； 综合上述，点Q '332-）或（323332）或（32-，3）． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，也考查了解直角三角形，旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，一次函数的性质，以及坐标与图形，解题的关键是熟练掌握图形的运动问题，正确的确定点Q '的位置是关键；注意运用数形结合的思想，分类讨论的思想进行解题．
9．（1）点P 的坐标为132⎛ ⎝⎭
；（2）①34O D t '=-，t 的取值范围是423t <<；
S ≤≤ 【解析】
【分析】
（1）过点P 作PH x ⊥轴，则90OHP ∠=︒，因为90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，可得60BOA ∠=︒，进而得30OPH ∠=︒，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得
11
22OH OP ==，进而用勾股定理可得2
HP ==，点P 的坐标即求出； （2）①由折叠知，O PQ OPQ '≌，所以O P OP '=，O Q OQ '=；再根据OQ OP =，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形OQO P '为菱形，所以//QO OB '，可得30ADQ B ∠=∠=︒；根据点A 的坐标可知2OA =，加之OP t =，从而有2QA OA OQ t =-=-；而在Rt QAD 中，242QD QA t ==-， 又因为O D O Q QD ''=-，所以得34O D t '=-，由34O D t '=-和2QA t =-的取值范围可得t 的范围是423
t <<； ②由①知，'POQ 为等边三角形，由（1）四边形OQO P '为菱形，所以'AB PQ ⊥,三角形DCQ 为直角三角形，∠Q=60°，从而11(34)22CQ DQ t =
=-，
(34)22CD DQ t =
=-,进而可得
222''3124))47POQ CDQ S S S t t =-=-=-+，又已知t 的取值范
围是13t ≤≤S ≤≤ 【详解】
解：（1）如图，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，则90OHP ∠=︒．
90OAB ∠=︒，30B ∠=︒
9060BOA B ∴∠=︒-∠=︒．
9030OPH POH ∴∠=-∠=︒．
在Rt OHP △中，1OP =，
11
22OH OP =∴=，HP =．
∴点P 的坐标为12⎛ ⎝⎭
．
（2）①由折叠知，O PQ OPQ '≌，
O P OP '∴=，O Q OQ '=．
又OQ OP t ==，
O P OP OQ O Q t ''∴====．
∴四边形OQO P '为菱形．
//QO OB '∴．可得30ADQ B ∠=∠=︒．
点()2,0A ，
2OA ∴=．有2QA OA OQ t =-=-．
在Rt QAD 中，242QD QA t ==-．
O D O Q QD ''=-，
34O D t '∴=-，其中t 的取值范围是423t <<． ②由①知，'POQ 为等边三角形， ∵四边形OQO P '为菱形， ∴'AB PQ ⊥,三角形DCQ 为直角三角形，∠Q=60°，
∴11(34)22CQ DQ t ==-，33(34)22
CD DQ t ==-, ∴222''33731243(34)()48877
POQ CDQ S S S t t t =-=--=--+， ∵13t ≤≤，
∴34387
S ≤≤． ，
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，菱形的判定与性质，求不规则四边形的面积等知识．
10．（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）67 7
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，
∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，
即∠ABP＝∠EBC，
∴△ABP≌△EBC（SAS），
∴AP＝EC；
故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；
（2）成立，理由如下，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，
∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，
即∠ABP＝∠EBC，
∴△ABP≌△EBC（SAS），
∴AP＝EC；
（3）过点C作CD⊥m于D，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，
∴△PBC 是等边三角形，
∴
4
PC 2， ∴PC ＝3， 设AP ＝CE ＝t ，则AB ＝AE ＝3t ，
∴AC ＝2t ，
∵m ∥n ，
∴∠CAD ＝∠AEB ＝60°，
∴AD ＝12
AC ＝t ，CD ， ∵PD 2+CD 2＝PC 2，
∴（2t ）2+3t 2＝9，
∴t （负值舍去），
∴AC ＝2t ＝
7． 【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．
11．（1）①,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
k m m ，204k m <<；②不存在，作图与理由见解析，202<<k m ；③四边形EFGH 是平行四边形，是中心对称图形；（2）存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）①首先确定点E 的纵坐标为2m ，点E 又是反比例函数(0)k y k x
=>的图象上的点即满足反比例函数关系式，代入即可求得相对应的横坐标；点D 是双曲线和正方形能够相交的临界点，从而得到k 的取值范围．
（2）根据（1）的情况，类比进而求解．
【详解】
解：（1）①∵以原点O 为中心的正方形ABCD 的边长为4m ，//AB y
∴点E 的纵坐标为2m
∵点E 在反比例函数(0)k y k x =
>的图象上 ∴2k m x =
∴2k x m
=。