人教版数学八年级上册 12.2【三角形全等的判定】基础巩固训练(一)

12.2【三角形全等的判定】基础巩固训练（一）
一．选择题
1．下列说法不正确的是（）
A．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
C．底边和顶角分别相等的两个等腰三角形全等
D．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，BE＝BC，连接BD，若AC ＝8cm，则AD+DE等于（）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
3．下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是（）
A．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′
B．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
C．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C′
D．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′
4．如图，已知∠ABC＝∠DCB．若再增加下列条件中的某一个，仍不能判定△ABC≌△DCB，则这个条件是（）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DBC
5．如图，点B，E，C，F在条直线上，AB＝DE，∠B＝∠DEF，下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（）
A．BE＝CF B．∠BCA＝∠F C．∠A＝∠D D．AC＝DF
6．△ABC中，若AC＝7，AB＝9，则中线AD的取值范围是（）
A．2＜AD＜16B．4＜AD＜32C．1＜AD＜16D．1＜AD＜8
7．小明发现有两个结论：在△A1B1C1与△A2B2C2中，
①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，且它们的周长相等，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1＝∠A2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2．
对于上述的两个结论，下列说法正确的是（）
A．①，②都错误B．①，②都正确
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
8．已知⊙O的半径为3，A为圆内一定点，AO＝1，P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APQ，AP ＝PQ，∠APQ＝120°，则OQ的最大值为（）
A．1+3B．1+2C．3+D．3
9．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，已知AB＝DE，AC＝DF，添加下列条件还不能判定△ABC≌△DEF的是（）
A．∠ABC＝∠DEF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．BC＝EF
10．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠A＝50°，则∠FDE的度数为（）
A．75°B．70°C．65°D．60°
二．填空题
11．如图，如果AD∥BC，AD＝BC，AC与BD相交于O点，则图中的全等三角形一共有对．
12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝20°，∠2＝25°，则∠3＝．
13．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点．若AB＝13cm，CF＝7cm，则BD＝cm．
14．一个三角形的两边长分别为2、3，则第三边上的中线a的范围是．
15．（多选）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当△ACP与△BPQ全等时，点Q的运动速度为cm/s．
A.；
B.1；
C.1.5；
D.2．
三．解答题
16．如图，已知AE＝BD，AC⊥BC，DF⊥EF，垂足分别为点C，F，且BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF．
17．已知，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，E在△ABC的外部，连接AD、AE、CE，且AD ＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图1，求证：BD＝CE．
（2）如图2，当∠B＝45°，∠BAD＝22.5°时，连接DE交AC于点F，作DG⊥DE交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个顶角为45°的等腰三角
形．
18．已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α，点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
（1）如图1，当α＝60时，
①请直接写出△ABC和△DEC的形状；
②求证：AD＝BE；
③请求出∠AEB的度数；
（2）如图2，当α＝90°时，请直接写出：
①∠AEB的度数；
②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，线段AF的长．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝128°时，∠EDC＝，∠AED＝；
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
20．如图，△ABC，AB＝AC，点D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，BE＝CF．
（1）若∠DEF＝∠ABC，求证：DE＝EF；
（2）把（1）中的条件和结论反过来，即：若DE＝EF，则∠DEF＝∠ABC；这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，所以A选项的说法正确；
B、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，所以B选项的说法正确；
C、底边和顶角分别相等的两个等腰三角形全等，所以C选项的说法正确；
D、两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，所以D选项的说法不正确．
故选：D．
2．解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴CD＝DE，
∴AD+DE＝AD+CD＝AC，
∵AC＝8cm，
∴AD+DE＝AC＝8cm．
故选：C．
3．解：A、根据SAS可以判定两个三角形确定．本选项不符合题意．
B、根据ASA可以判定两个三角形确定．本选项不符合题意．
C、根据AAS可以判定两个三角形确定．本选项不符合题意．
D、SSA不可以判定两个三角形确定．本选项符合题意．
4．解：∵∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴若AB＝CD，则△ABC≌△DCB（SAS），故选项A不符合题意；
若AC＝BD，则无法判断△ABC≌△DCB，故选项B符合题意；
若∠A＝∠D，则△ABC≌△DCB（AAS），故选项C不符合题意；
若∠ACB＝∠DBC，则△ABC≌△DCB（ASA），故选项D不符合题意；
故选：B．
5．解：已知AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加的一个条件是BE＝CF，得出BC＝EF，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项A不符合题意；
已知AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加的一个条件是∠BCA＝∠F，根据AAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
已知AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加的一个条件是∠A＝∠D，根据ASA可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
已知AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加的一个条件是AC＝DF，根据条件不能证明△ABC≌△DEF，故选项D符合题意；
故选：D．
6．解：如图，延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，
∵AD为△ABC的中线，
∵∠ADB＝∠EDC，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝EC，
∵AB＝9，
∴EC＝9，
∵AC＝7，
∴9﹣7＜AE＜9+7，即2＜AE＜16，
∴1＜AE＜8．
故选：D．
7．解：在△A1B1C1与△A2B2C2中，
，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS）；
∴①正确．
若∠A1＝∠A2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，SSA不可以判定△A1B1C1≌△A2B2C2．∴②错误．
故选：C．
8．解：如图，
以点P为顶点作等腰三角形OPM，OP＝PM，
∠OPM＝120，
∵∠APQ＝120°，
∴∠OPM＝∠APQ，
∵∠OPA+∠APM＝∠MPQ+∠APM，
∴∠OPA＝∠MPQ，
∵AP＝PQ，OM＝PM，
∴△AOP≌△QMP（SAS），
∴MQ＝OA＝1，
∵∠POM＝30°，
∴OM＝2×OP•cos30°＝3，
∴OQ≤OM+MQ＝3+1，
当且仅当M在OQ上时，取等号，
则OQ的最大值为1+3．
故选：A．
9．解：已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是∠ABC＝∠DEF，根据条件不可以证明△ABC ≌△DEF，故选项A符合题意；
已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是∠A＝∠D，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故
选项B不符合题意；
已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是EB＝CF，可得到BC＝EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是BC＝EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意；
故选：A．
10．解：∵在△BFD和△CDE中，
，
∴△BFD≌△CDE（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠B＝∠C，∠A＝50°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°，
∴∠FDB+∠CDE＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝115°，
∴∠FDE＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）＝180°﹣115°＝65°，
故选：C．
二．填空题
11．解：共4对，△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，理由是：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD．
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
同理△ACD≌△CAB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
同理△AOD≌△COB，
故答案为：4．
12．解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+20°＝45°．故答案为：45°．
13．解：∵AB∥CF，
∴∠ADE＝∠EFC，
∵∠AED＝∠FEC，E为DF的中点，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF＝7cm，
∵AB＝13cm，
∴BD＝13﹣7＝6cm．
故答案为6
14．解：如图，延长中线AD到E，使DE＝AD，∵AD是三角形的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
∵，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，
∵三角形两边长为2，3，第三边上的中线为x，∴3﹣2＜2x＜3+2，即1＜2x＜5，
∴0.5＜x＜2.5．
故答案为：0.5＜x＜2.5
15．解：当△ACP≌△BPQ时，
则AC＝BP，AP＝BQ，
∵AC＝3cm，
∴BP＝3cm，
∵AB＝4cm，
∴AP＝1cm，
∴BQ＝1cm，
∴点Q的速度为：1÷（1÷1）＝1（cm/s）；
当△ACP≌△BQP时，
则AC＝BQ，AP＝BP，
∵AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，
∴AP＝BP＝2cm，BQ＝3cm，
∴点Q的速度为：3÷（2÷1）＝1.5（cm/s）；
故选：B、C．
三．解答题
16．证明：∵AC⊥BC，DF⊥EF，
∴∠C＝∠F＝90°，
∵AE＝BD，
∴AB＝DE，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．17．证明（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵∠B＝45°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°＝∠DAE，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∵DG⊥DE，
∴∠GDE＝90°，
∴∠GDA＝45°，
∵∠BAD＝22.5°，
∴∠DAF＝67.5°，∠BGD＝∠BAD+∠ADG＝67.5°，
∴∠BDG＝180°﹣∠B﹣∠BGD＝67.5°＝∠BGD，∠AFD＝180°﹣∠ADF﹣∠DAF＝67.5°＝∠DAF，∠ADC＝180°﹣∠ACB﹣∠DAC＝67.5°＝∠DAC，
∴△BDG，△ADC，△ADF都是顶角为45°的等腰三角形，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠B＝∠ACE＝45°，
又∵∠AFD＝∠CFE＝67.5°，
∴∠CFE＝∠CEF＝67.5°，
∴△CEF是顶角为45°的等腰三角形．
18．解：（1）①∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴△ABC和△DEC是等边三角形；
②∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴AD＝BE，
③∵△CDA≌△CEB，
∴∠CEB＝∠CDA＝120°，
又∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°；
（2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，∠CDE＝45°＝∠CED，
∴∠ADC＝135°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝90°，
②∵△ACD≌△BCE，
∴BE＝AD＝2，
∵∠CAF＝∠BAF＝22.5°，∠CDE＝45°＝∠CAD+∠ACD，
∴∠ACD＝∠CAD＝22.5°，
∴AD＝CD＝2，
∵∠DCF＝90°﹣∠ACD＝67.5°，∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝67.5°，
∴∠DCF＝∠AFC，
∴DC＝DF＝2，
∴AF＝AD+DF＝4．
19．解：（1）∵AB＝AC，
∵∠ADE＝36°，∠BDA＝128°，
∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝16°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝16°+36°＝52°，
故答案为：16°；52°；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵AB＝2，DC＝2，
∴AB＝DC，
∵∠C＝36°，
∴∠DEC+∠EDC＝144°，
∵∠ADE＝36°，
∴∠ADB+∠EDC＝144°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形，①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝72°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝72°+36°＝108°；
②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝36°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝36°，
∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝36°+36°＝72°；
综上所述，当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形．20．解：（1）如图1所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠DEC＝∠ABC+∠BDE，
∠DEC＝∠DEF+∠CEF，
∠DEF＝∠ABC，
∴∠BDE＝∠CEF，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴DE＝EF；
（2）成立．理由如下：
过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥BC
相交于点M、N两点，如图2所示：
∵EM⊥AB，FN⊥BC
∴∠BME＝∠CNF＝90°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△MBE和△NCF中，
，
∴△MBE≌△NCF（AAS），
∴ME＝FN，
又∵DE＝EF，
∴Rt△DME≌Rt△ENF（HL），
∴∠MDE＝∠NEF，
又∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF，
∠DEC＝∠MDE+∠ABC，
∴∠DEF＝∠ABC．
即若DE＝EF，则∠DEF＝∠ABC此命题成立．。