2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数1 章末高效整合 精品

2．明确三角函数的定义，牢记三角函数值的符号 (1)定义：角 α 的顶点放在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，角 α 的终边 与单位圆的交点为 P(x，y)，则 y＝sin α，x＝cos α，xy＝tan α(x≠0)． 即①y 叫作 α 的正弦，记作 sin α； ②x 叫作 α 的余弦，记作 cos α； ③xy叫作 α 的正切，记作 tan α.
A．ω＝2π，φ＝π6 B．ω＝π，φ＝π6 C．ω＝π，φ＝π3 D．ω＝2π，φ＝π3
(2)经过怎样的变换由函数 y＝sin 2x 的图象可得到 y＝cos x＋π4的图象？ 解析： (1)由函数的图象可知 A＝2，T＝4×56－13＝2，所以 ω＝2Tπ＝π，因 为函数的图象经过13，2，所以 2＝2sinπ3＋φ，得π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，因为|φ| ＜π2，所以取 k＝0，所以 φ＝π6，所以 ω＝π，φ＝π6.
(2)利用诱导公式，可以把任意角的正弦、余弦函数值化为锐角三角函数值， 其一般步骤为：负化正(公式三或一)、大化小(公式一)、锐角求值(公式二或四)．
化简求值中注意利用角与角之间隐含的互余或互补关系，从而简化解题过 程．
5．探究性质应用，对比周期公式 (1)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的周期是 2π，y＝tan x 的周期是 π；函数 y＝ Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的周期是|2ωπ|，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是|ωπ|. (2)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的有界性为－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1；函数 y＝ tan x 没有最值，其有界性可用来解决三角函数的最值问题． (3)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角 转化到同一单调区间内．求形如 f(ωx＋φ)(f 为 sin，cos，tan)的单调区间时，应 采用整体代换的思想将 ωx＋φ 视为整体，求解时注意 x 的范围以及 ω，f 的符号 对单调性的影响．
已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的图象如图． (1)求 y＝f(x)的解析式； (2)若函数 y＝g(x)与 y＝f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，求 y＝g(x)的解析式．
[边听边记] (1)由题意，知 A＝2，T＝7－(－1)＝8， 故 ω＝2Tπ＝π4. ∵图象过点(－1，0)，∴－π4＋φ＝0，∴φ＝π4. ∴所求的函数解析式为 f(x)＝2sinπ4x＋π4.
(2)∵g(x)与 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称， ∴g(x)的图象是由 f(x)的图象沿 x 轴平移得到的，找出 f(x)上的点(1，2)关于 直线 x＝2 的对称点(3，2)，代入 g(x)＝2sinπ4x＋θ，得 θ＝－π4， ∴g(x)的解析式为 g(x)＝2sinπ4x－π4.
3．(1)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象(部分) 如图所示，则 ω，φ 分别为( )
6．注重五点作图，把握图象变换 (1)y＝sin x，x∈[0，2π]图象上关键五点：(0，0)，π2，1，(π，0)，32π，－1， (2π，0)； y＝cos x，x∈[0，2π]图象上关键五点：(0，1)，π2，0，(π，－1)，32π，0， (2π，1)． 五点即为图象的最高点、最低点及与 x 轴的交点，描点作图并向左向右平移 即得正弦曲线和余弦曲线．
(2)由 f(α)＝sin α·cos α＝18可知， (cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α
＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34，
又∵π4＜α＜π2，∴cos α＜sin α，即 cos α－sin α＜0.
∴cos
α－sin
α＝－
3 2.
1．求证： 2sin1－θ－2s3i2πn2c（osπ＋θ＋θ）π2－1＝ttaann（（9ππ＋＋θθ））－＋11.
证明： 左边＝－2sin32π－1－θ2·（sin－2θsin θ）－1 ＝2sinπ＋1－π2－2siθn2sθin θ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2iθn θ－1
＝co－s2θ2＋cossinθ2sθin－θ2－sin12θ＝（ssiinn2θθ＋－ccooss2θθ）2
＝sin sin
热点考点例析
三角函数的化简、求值与证明 1. 本 章 的 所 讲 三 角 函 数 的 求 值 与化简问题，主要是利用同角的三角函数关系以及诱导公式来进行，一般解法灵 活、技巧性较强，对三角函数的恒等变形能力要求较高．要注意公式的逆用、正 用及变形应用，化简的结果一般要求次数尽可能的低，函数名称尽量少，能求值 的一定要求出值．
(2)任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点 P 在终边上的位 置无关；角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函 数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应．
(3)三角函数的值在各象限的符号有如下口诀：一全正、二正弦、三正切、四 余弦．依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限．
θ＋cos θ－cos
θ θ.
右边＝ttaann（（9ππ＋＋θθ））－＋11＝ttaann
θθ＋ －11＝ssiinn
θ＋cos θ－cos
θ θ.
所以左边＝右边，故原式成立．
三角函数式的值域与最值 三角函数式的值域与最值一般有以下两种形式： 1．将所给三角函数式转化为 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的形式，然 后结合角 x 的范围求解． 2．形如 y＝asin2x＋bcos x＋c 或 y＝acos2x＋bsin x＋c 的函数，可以先转化 成同名函数，然后结合二次函数的性质求解，在转化过程中要注意 sin x 或 cos x 的有界性，若自变量 x 有特定范围，则 sin x 或 cos x 应在其取值范围内讨论． 注：换元法、数形结合法是解决此类问题的常用方法．
(2)同角三角函数的基本关系的作用：已知某任意角的一种三角函数值，就能 求出另两种三角函数值．
①在应用平方关系求角的三角函数值时，一定要先确定角所在的象限，进一 步确定三角函数值的符号．
②要注意公式的合理选择，尽量少使用平方关系．
4．辨析诱导公式，未知转化已知 (1)①2kπ＋α(k∈Z)，－α，2π－α，π±α 与 α 的正(余)弦函数值的关系为：函 数名不变，符号看象限． ②π2±α 与 α 的正(余)弦函数值的关系为：函数名改变，符号看象限． 由于 6 组公式涉及的角都可以改写为 k·π2＋α(k∈Z)的形式，故有如下口诀： 奇变偶不变，符号看象限．其中把 α 看成锐角只是为了记忆公式上的方便，实际 上 α 可以是任意角．
向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位长度 或者 y＝sin x ――――――――――――――――→
y＝sin(x＋φ)―横―坐――标―变―成―原―来―的―1ω―倍―，―纵―坐―标――不―变→ 纵坐标变成原来的A倍，横坐标不变
y＝sin(ωx＋φ) ―――――――――――――――→ y＝Asin(ωx＋φ)． 注意，二者平移量不同． (3)依据 y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以确定周期和振幅，依据图象上的特殊点可 确定 A，ω，φ，可得对应的函数解析式．
(1)求函数 y＝cosx＋π6，x∈0，π2的值域； (2)已知|x|≤π4，求函数 f(x)＝cos2x＋sin x 的最小值．
解析： (1)由 y＝cosx＋π6x∈0，π2可得π6≤x＋π6≤23π.
由于函数
y＝cos
x
在区间π6，23π上单调递减，所以函数的值域为－12，
3
2
.
(2)y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2 x＋sin x＋1.
(2)伸缩变换 ①沿 x 轴伸缩：当 ω＞1 时，横坐标缩短到原来的ω1 倍，纵坐标不变；当 0 ＜ω＜1 时，横坐标伸长到原来的ω1 倍，纵坐标不变． ②沿 y 轴伸缩：当 A＞1 时，纵坐标伸长到原来的 A 倍，横坐标不变；当 0 ＜A＜1 时，纵坐标缩短到原来的 A 倍，横坐标不变．
2．已知解析式作图象或已知图象求解析式 (1)用“五点法”作 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令 ωx＋φ＝0，π2，π，32π，2π. (2)由已知函数图象求函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的 解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定 A，由周期确定 ω，由适 合解析式的点的坐标来确定 φ，通常取图象的最值点代入求解，或将图象中的已 知点与“五点法”作图中的五个点对照得解．
2．对三角函数变形时，需特别注意角的范围，角的终边所在的象限，求值 时一定要先确定符号．
3．证明三角恒等式或条件等式，是三角变换中的一个基本题型，证明三角 恒等式要充分观察要证等式的特点，利用同角三角函数关系或诱导公式，通过切 化弦化异次为同次，对三角恒等式进行恒等变形是证明三角恒等式的关键，证明 三角恒等式常用“由左向右”“由右向左”以及分析法、综合法等．
(2)图象变换如下： y＝sin x横坐――标―变―成―原―来―的―1ω―倍―，―纵―坐―标―→不变 y＝sin ωx――向―左―（―φ―>0―）―或―向―右―（―φ―<0―）―平―移―| ―φω―|个―单―位―长―度―→
纵坐标变成原来的A倍，横坐标不变 y＝sin(ωx＋φ)――――――――――――――――→ y＝Asin(ωx＋φ)．
第一章
三角函数
知能整合提升
1．理解任意角的概念，掌握角度与弧度的换算 (1)角是由射线的旋转所产生的，那么就有旋转量与旋转方向的问题，所以在 确定一个角的大小时，不仅要看它的始边与终边的位置，还要看它的旋转方向． (2)角度制与弧度制的换算公式是 180°＝π，在解题时两种度量制度不能混用． (3)象限角、轴线角的范围都是用终边相同的角来表示的区域角．判断给定角 是第几象限角，一般是将该角转化为 0°到 360°之间终边相同的角来判断．
令
t＝sin
x，∵|x|≤π4，∴－
2 2 ≤sin
x≤
22，
即
t∈－
22，
2
2
.
又∵y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54，∴当 t＝－ 22，
即 x＝－π4时，f(x)有最小值 f－π4＝
－－
22－122＋54＝1－2
2 .
2．函数 y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(
已知 f(α) ＝sin2（sπi－n（α）－·πc＋os（α）2π·t－anα（）－·taαn＋（3－π）π＋α）. (1)化简 f(α)； (2)若 f(α)＝18，且π4＜α＜π2，求 cos α－sin α 的值．
解析： (1)f(α)＝（－ssinin2αα·c）os（α－·tatnanα α）＝sin α·cos α.
3．体会同角三角函数的基本关系，熟练应用技巧 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； 商数关系：csions αα＝tan α. ①正确理解“同角”的含义：只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，不 拘泥于“角的形式”． ②同角三角函数的基本关系式及其等价形式，对于使等式两边都有意义的角 来说都成立，也就是说在角的自变量允许的范围内，不论角 α 取什么值等式都成 立，所以它们都是三角恒等式．
)
A．2－ 3
B．0
C．－1
D．－1－ 3
解析： 因为函数 y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)，所以π6x－π3∈－π3，76π，所以 2sinπ6x－π3∈[－ 3，2]，
所以函数 y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 2－ 3. 答案： A
三角函数的图象 三角函数的图象，是研究三角函数性质的基础，也是三角函数性质的具体体现， 此类问题主要有两种类型： 1．三角函数的图象变换 (1)平移变换． ①沿 x 轴平移，按“左加右减”的法则． ②沿 y 轴平移，按“上加下减”的法则． ③记忆方法：对单个的 x 或 y 按照“正减负加”进行变形，即若向 x(或 y)轴的正 方向平移，则对 x(或 y)进行减，若向 x(或 y)轴的负方向平移，则对 x(或 y)进行加．