2015年吉林省松原市长岭县中考一模数学试卷(解析版)

2015年吉林省松原市长岭县中考数学一模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）的倒数是（）
A．﹣2B．2C．D．
2．（3分）据统计，2013年长春市第十届汽博会展会观众累计约690000人次．将690000这个数用科学记数法表示为（）
A．69×104B．7×106C．6.9×106D．6.9×105 3．（3分）下列图形是正方形展开图的是（）
A．B．
C．D．
4．（3分）不等式组的解集为（）
A．x≥﹣2B．﹣2＜x＜3C．x＞3D．﹣2≤x＜3 5．（3分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若∠BAD ＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的大小为（）
A．150°B．140°C．130°D．120°
6．（3分）如图，直线l1∥l2，∠A＝50°，∠1＝45°，则∠2的度数为（）
A．95°B．85°C．65°D．45°
7．（3分）如图，AB、CD是⊙O弦，且AB⊥CD，若∠CDB＝50°，则∠ACD 的大小为（）
A．30°B．35°C．40°D．50°
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点B与原点O 重合，顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，将Rt△ABC沿直线y＝2x向上平移得到Rt△A′B′C′，纵坐标为4，若AB＝BC＝3，则点A′的坐标为（）
A．（3，7）B．（2，7）C．（3，5）D．（2，5）
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）计算（﹣a）3•a2＝．
10．（3分）为了帮助某地区重建家园，某班全体学生积极捐款，捐款金额共2600元，其中18名女生人均捐款a元，则该班男生共捐款元．（用含有a 的代数式表示）
11．（3分）如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H．若∠D＝116°，则∠DHB的大小为度．
12．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A′B′C′，则图中阴影部分图形的面积为．（结果保留π）．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+c与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在第二象限，∠C＝60°，函数y＝（k＜0，x＜0）的图象经过点B．若菱形OABC的面积为2，则k的值为．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）先化简，再求值：（a+）（a﹣）﹣a2+2a，其中a＝﹣3．16．（6分）一个不透明的袋子中装有3个球，上面分别标有数字1、2、3，每个小球除所标数字不同外其余都相同．先将小球搅匀，从袋中随机取出1个小
球，记下数字后放回，再将小球搅匀，从袋中随机取出1个小球，记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求记下的两个数字之和等于3的概率．17．（6分）某中学举行室内健身操比赛，为奖励优胜班级，购买了一些篮球和足球，篮球单价是足球单价的1.5倍，购买篮球用了2250元，购买足球用了2400元，购买的篮球比足球少15个，求篮球、足球的单价．
18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，AC＝3，过点B作BE平行AC交DC的延长线于点E，连结AE，AE交BC于点F，若AB⊥AC，求△ADE的周长．
19．（7分）如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处24米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，求旗杆的高CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝
0.85，tan32°＝0.62】
20．（7分）为了了解某校全体学生参加消防知识竞赛的成绩（均为整数），从中抽取了10%的学生竞赛成绩，整理后绘制如下的频数分布直方图，其中，每组可含量最低值，不含最高值．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）求参加消防知识竞赛的学生总人数．
（2）求抽取的部分学生中竞赛成绩在85～90的频率．
（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可以获得奖励，请估计该校全体学生中获得奖励的人数．
21．（8分）感知：如图①，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB 上，若AE＝CD，易知△ACE≌△CBD．
探究：若图①中的点D、E分别在边AC、BA的延长线上时，如图②，△ACE 与△CBD是否仍然全等？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．应用：若图②中的等边三角形ABC为等腰三角形，且AC＝BC，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D、E分别在AC、OA的延长线上，如图③，若AE＝CD，∠ACB＝α，∠ADB＝β，则∠ACE的大小为（用含α和β的代数式表示）．
22．（9分）某仓库有甲、乙、丙三辆运货车，在满载的情况下，甲车每小时可运货6吨，乙车每小时可运货10吨，某天只有乙车负责进货，甲车和丙车负责出货．如图是从早晨上班开始库存量y（吨）与时间x（时）之间的函数图象，OA段表示甲、乙两车一起工作，AB段表示乙、丙两车一起工作，且在工作期间，每辆车都是满载的．
（1）m＝．
（2）在满载的情况下，丙车每小时可运货吨．
（3）求AB段中库存量y（吨）与时间x（时）之间的函数表达式．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A （﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，线段BC与抛物线的对称轴交于点E、P为线段BC上的一点（不与点B、C重合），过点P作PF∥y轴交抛物线于点F，连结DF．设点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线所对应的函数表达式．
（2）求PF的长度，用含m的代数式表示．
（3）当四边形PEDF为平行四边形时，求m的值．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D为BC 的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向点B 运动，当点P离开点A后，过点P作PE⊥AB交BC于点E，过点E作EF⊥AC于F，设点P运动时间为t（秒），矩形PEF A与△ADE重叠部分的面积为S平方单位长度．
（1）PE的长为（用含t的代数式表示）；
（2）求S与t之间的函数表达式；
（3）求S的最大值及S取得最大值时t的值；
（4）当S为△ABC面积的时，t的值有个．
2015年吉林省松原市长岭县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）的倒数是（）
A．﹣2B．2C．D．
【解答】解：的倒数是﹣2，
故选：A．
2．（3分）据统计，2013年长春市第十届汽博会展会观众累计约690000人次．将690000这个数用科学记数法表示为（）
A．69×104B．7×106C．6.9×106D．6.9×105
【解答】解：690000＝6.9×105，
故选：D．
3．（3分）下列图形是正方形展开图的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解A、上底面重合，没有后面，故A错误；
B、上底面重合，没有后面，故B错误；
C、上底面重合，没有下底面，故C错误；
D、每个面都有唯一的对面，故D正确；
故选：D．
4．（3分）不等式组的解集为（）
A．x≥﹣2B．﹣2＜x＜3C．x＞3D．﹣2≤x＜3【解答】解：，
解①得：x＞3，
解②得：x≥﹣2，
所以不等式组的解集为：x＞3．
故选：C．
5．（3分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若∠BAD ＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的大小为（）
A．150°B．140°C．130°D．120°
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，∠B＝40°，
∴∠D＝∠B＝40°．
又∵∠BAD＝150°，
∴∠BCD＝360°﹣150°﹣40°﹣40°＝130°．
故选：C．
6．（3分）如图，直线l1∥l2，∠A＝50°，∠1＝45°，则∠2的度数为（）
A．95°B．85°C．65°D．45°
【解答】解：如图：
∵直线l1∥l2，∠1＝45°，
∴∠3＝∠1＝45°，
∵∠A＝50°，
∴∠2＝∠4＝180°﹣∠A﹣∠3＝85°．
故选：B．
7．（3分）如图，AB、CD是⊙O弦，且AB⊥CD，若∠CDB＝50°，则∠ACD 的大小为（）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【解答】解：∵AB⊥CD
∴∠DEB＝90°，
∵∠CDB＝50°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∴∠ACD＝∠B＝40°．
故选：C．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点B与原点O 重合，顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，将Rt△ABC沿直线y＝2x向上平移得到Rt△A′B′C′，纵坐标为4，若AB＝BC＝3，则点A′的坐标为（）
A．（3，7）B．（2，7）C．（3，5）D．（2，5）
【解答】解：∵纵坐标为4，
∴2x＝4，
解得x＝2，
所以，点B′的坐标为（2，4），
∵Rt△ABC沿直线y＝2x向上平移得到Rt△A′B′C′，AB＝BC＝3，
∴A′的横坐标为2，纵坐标为4+3＝7，
∴点A′的坐标为（2，7）．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）计算（﹣a）3•a2＝﹣a5．
【解答】解：（﹣a）3•a2＝﹣a3•a2＝﹣a5，
故答案为：﹣a5．
10．（3分）为了帮助某地区重建家园，某班全体学生积极捐款，捐款金额共2600元，其中18名女生人均捐款a元，则该班男生共捐款（2600﹣18a）元．（用含有a的代数式表示）
【解答】解：由题意得：18名女生共捐款18a元，
则该班男生共捐款（2600﹣18a）元．
故答案为：（2600﹣18a）．
11．（3分）如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H．若∠D＝116°，则∠DHB的大小为32度．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠ABD＝180°，
又∵∠D＝116°，
∴∠ABD＝64°，
由作法知，BH是∠ABD的平分线，
∴∠DHB＝∠ABD＝32°；
故答案为：32．
12．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A′B′C′，则图中阴影部分图
形的面积为．（结果保留π）．
【解答】解：根据旋转的性质和勾股定理得到：A′B2＝AB2＝22+32＝13．
S阴影＝﹣×2×3＝．
故答案是：．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+c与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为12．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+4x+c的对称轴是x＝＝2，
作CD⊥AB于点D，则AD＝2，
则AB＝2AD＝4，
则AB为边的等边△ABC的周长为3×4＝12．
故答案是：12．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在第二象限，∠C＝60°，函数y＝（k＜0，x＜0）的图象经过点B．若菱形OABC的面积为2，则k的值为﹣．
【解答】解：作BD⊥OA于D，如图所示：
∵四边形OABC是菱形，
∴AB＝OA，∠A＝∠C＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∴OA＝AB＝2AD，
∴AD＝OD＝OA，
设AD＝ODx，则O＝2x，BD＝AD×tan60°＝x，
∵菱形OABC的面积为2，
∴2x•x＝2，
解得：x＝±1（负值舍去），
∴x＝1，
∴OD＝1，BD＝，
∴点B的坐标为（﹣，1），
把点B（﹣，1）代入y＝（k＜0，x＜0）得：k＝﹣；
故答案为：﹣．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）先化简，再求值：（a+）（a﹣）﹣a2+2a，其中a＝﹣3．
【解答】解：原式＝a2﹣5﹣a2+2a
＝2a﹣5，
当a＝﹣3时，原式＝2×（﹣3）﹣5＝﹣11．
16．（6分）一个不透明的袋子中装有3个球，上面分别标有数字1、2、3，每个小球除所标数字不同外其余都相同．先将小球搅匀，从袋中随机取出1个小球，记下数字后放回，再将小球搅匀，从袋中随机取出1个小球，记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求记下的两个数字之和等于3的概率．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两个数字之和等于3的结果数为2，
所以两个数字之和等于3的概率＝．
17．（6分）某中学举行室内健身操比赛，为奖励优胜班级，购买了一些篮球和足球，篮球单价是足球单价的1.5倍，购买篮球用了2250元，购买足球用了2400元，购买的篮球比足球少15个，求篮球、足球的单价．
【解答】解：足球的单价分别为x元，篮球单价是1.5x元，
可得：，
解得：x＝60，
经检验x＝60是原方程的解，且符合题意，
1.5x＝1.5×60＝90，
答：足球单价是60元，篮球单价是90元．
18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，AC＝3，过点B作BE平行AC交DC的延长线于点E，连结AE，AE交BC于点F，若AB⊥AC，求
△ADE的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵AB⊥AC，
∴四边形ABEC是矩形，
∴CE＝AB＝，AE＝BC，
∵AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC＝＝2，
∴AD＝2，AE＝2，
∴△ADE的周长＝AE+（CD+CE）+AD＝2+2+2＝6．
19．（7分）如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处24米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，求旗杆的高CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝
0.85，tan32°＝0.62】
【解答】解：作BE⊥CD于E，
由题意得，BE＝AC＝24米，∠DBE＝32°，
在Rt△DBE中，DE＝BE•tan∠DBE＝24×0.62＝14.88米，
CD＝CE+DE＝16.38≈16.4米，
答：旗杆的高CD约为16.4米．
20．（7分）为了了解某校全体学生参加消防知识竞赛的成绩（均为整数），从中抽取了10%的学生竞赛成绩，整理后绘制如下的频数分布直方图，其中，每组可含量最低值，不含最高值．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）求参加消防知识竞赛的学生总人数．
（2）求抽取的部分学生中竞赛成绩在85～90的频率．
（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可以获得奖励，请估计该校全体学生中获得奖励的人数．
【解答】解：（1）依题意得：（16+13+10+7+4）÷10%＝500（人）．
答：参加消防知识竞赛的学生总人数是500人；
（2）16÷50＝3.2．
所以抽取的部分学生中竞赛成绩在85～90的频率是0.32；
（3）（13+7）÷10%＝200（人）．
所以，该校全体学生中获得奖励的人数约为200人．
21．（8分）感知：如图①，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB 上，若AE＝CD，易知△ACE≌△CBD．
探究：若图①中的点D、E分别在边AC、BA的延长线上时，如图②，△ACE 与△CBD是否仍然全等？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．应用：若图②中的等边三角形ABC为等腰三角形，且AC＝BC，点O是AC边
的垂直平分线与BC的交点，点D、E分别在AC、OA的延长线上，如图③，若AE＝CD，∠ACB＝α，∠ADB＝β，则∠ACE的大小为α﹣β（用含α和β的代数式表示）．
【解答】解：感知：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝CB，∠CAE＝∠B＝60°，
在△ACE和△CBD中，
∴△ACE≌△CBD（SAS）．
探究：△ACE与△CBD是否仍然全等，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝CB，∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝∠DCB，
在△ACE和△CBD中，
∴△ACE≌△CBD．
应用：∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴CO＝AO，
∴∠ACB＝∠CAO＝α，
∵∠ACB+∠BCD＝180°，∠EAC+∠CAO＝180°，
∴∠EAC＝∠DCB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，
在△EAC和△DCB中，
∴△EAC≌△DCB，
∴∠AEC＝∠CDB＝β，
∵∠CAB＝∠ACE+∠AEC，
∴∠ACE＝∠CAB﹣∠AEC＝α﹣β．
故答案为：α﹣β．
22．（9分）某仓库有甲、乙、丙三辆运货车，在满载的情况下，甲车每小时可运货6吨，乙车每小时可运货10吨，某天只有乙车负责进货，甲车和丙车负责出货．如图是从早晨上班开始库存量y（吨）与时间x（时）之间的函数图象，OA段表示甲、乙两车一起工作，AB段表示乙、丙两车一起工作，且在工作期间，每辆车都是满载的．
（1）m＝20．
（2）在满载的情况下，丙车每小时可运货15吨．
（3）求AB段中库存量y（吨）与时间x（时）之间的函数表达式．
【解答】解：（1）由图可知：甲、乙两车一起工作，每小时进货10﹣6＝4吨，则m＝4×5＝20；
（2）由图可知：乙、丙两车一起工作，
7﹣5＝2小时出货20﹣10＝10吨，
10+10÷2＝15吨
丙车每小时可运货15吨；
（3）由（1）（2）可知A（5，20），B（7，10），
设AB段中库存量y（吨）与时间x（时）之间的函数表达式为y＝kx+b，
则，
解得，
即AB段的函数表达式为y＝﹣5x+45．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A （﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，线段BC与抛物线的对称轴交于点E、P为线段BC上的一点（不与点B、C重合），过点P作PF∥y轴交抛物线于点F，连结DF．设点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线所对应的函数表达式．
（2）求PF的长度，用含m的代数式表示．
（3）当四边形PEDF为平行四边形时，求m的值．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），点B（3，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，解得，
此抛物线所对应的函数表达式y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵此抛物线所对应的函数表达式y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3）．
设BC所在的直线的函数解析式为y＝kx+b，将B、C点的坐标代入函数解析式，得
，解得，
即BC的函数解析式为y＝﹣x+3．
由P在BC上，F在抛物线上，得
P（m，﹣m+3），F（m，﹣m2+2m+3）．
PF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．
（3）如图，
∵此抛物线所对应的函数表达式y＝﹣x2+2x+3，
∴D（1，4）．
∵线段BC与抛物线的对称轴交于点E，
当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，
∴E（1，2），
∴DE＝4﹣2＝2．
由四边形PEDF为平行四边形，得
PF＝DE，即﹣m2+3m＝2，
解得m1＝1，m2＝2．
当m＝1时，线段PF与DE重合，m＝1（不符合题意，舍）．
当m＝2时，四边形PEDF为平行四边形．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D为BC 的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向点B 运动，当点P离开点A后，过点P作PE⊥AB交BC于点E，过点E作EF⊥AC于F，设点P运动时间为t（秒），矩形PEF A与△ADE重叠部分的面积为S平方单位长度．
（1）PE的长为（4﹣t）（用含t的代数式表示）；
（2）求S与t之间的函数表达式；
（3）求S的最大值及S取得最大值时t的值；
（4）当S为△ABC面积的时，t的值有4个．
【解答】解：（1）如图1中，∵EP∥AC，
∴＝，
∴＝，
∴PE＝（4﹣t）．
故答案为（4﹣t）．
（2）①当0＜t≤2时，
∵∠BAC＝90°，CD＝DB，
∴∠DAB＝∠B，∵∠APG＝∠BAC＝90°，
∴△APG∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴PG＝t，
∴EG＝3﹣t，
∴S＝•EG•AP＝﹣t2+t．
②当2＜t≤4时如图2中，∵∠F AG＝∠C，∠AFG＝∠BAC，∴△AFG∽△CAB，
∴＝，
∴FG＝4﹣t，GE＝2t﹣4，
∴S＝•GE•AF＝﹣t2+﹣6．
综上所述S＝．
（3）当0＜t≤2时，S＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，
∴t＝1时，S最大值为，
当2＜t≤4时，S＝﹣（t﹣3）2+，∵﹣＜0，
∴t＝3时，S最大值为．
综上所述t＝1或3时，S最大值都是．
（4）由题意﹣+t＝，整理得到5t2﹣10t+4＝0，t＝符合题意．或﹣+t﹣6＝，整理得到5t2﹣30t+44＝0，t＝符合题意，
∴S为△ABC面积的时，t的值有四个，
故答案为4．。