高考数学(理)一轮复习课件：统计与概率-3变量间的相关关系与统计案例(人教A版)
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第十章 统计与概率
第3课时 变量间的相关关系与统计案例
考纲下载 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点 图认识变量间的相关关系． 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方 程系数公式建立线性回归方程．
3.了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、 方法及其简单应用．
4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
y2 总计
x1
a
x2
2
总计 b
21 73 25 27 46
则表中a、b处的值分别为( )
A．94、96
B．52、50
C．52、54
D．54、52
答案：C 解析：a＝73－21＝52，b＝a＋2＝54，故选C.
5. [原创]某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的 作用，把 500 名使用过血清的人与另外 500 名未使用血清 的人一年中的感冒记录作比较，提出假设 H0：“这种血清 不能起到预防感冒的作用”，利用 2×2 列联表计算得 K2 ≈3.918，经查临界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论 中，正确结论的序号是________．
x1 x2 总计
y1 a c a＋c
y2 b d b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
随机变量 K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d）， 其中 n＝a＋b＋c＋d 为样本容量．
(3)独立性检验 利用随机变量 K2 来确定在多大程度上可以认为“两
个分分类类变变量量有有关关系系”的方法称为两个分类变量的独立性
nn
（xi － x ）（y i－ y ）
ii＝＝11
为：^b=
, ^a=y-y-－－^b^bx-x- .
n
（xi－ x ）2
i＝＝1
其中x-＝n1i＝n1xi，-y＝n1i＝n1yi，（（x-x-，，-yy-））称为样本点的中心，
线性回归方程为^y＝^bx+^a . 5.残差分析 (1)残差：对于样本点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，
请注意！ 1．以考查线性回归系数为主，同时可考查利用散点 图判断两个变量间的相关关系． 2．以实际生活为背景，重在考查回归方程的求法．
高考考点预览
■ ·考点梳理· ■
正相关：点散布在从左下角 到右上角 的区域. 1．两个变量的相关关系负相关：点散布在从左上角 到右下角 的区域. 2.线性相关关系与回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附
线性回归分析
例2 [2012·淄博模拟]某种产品的宣传费支出x与销 售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x2456 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图； (2)求回归直线方程； (3)试预测宣传费支出为10万元时，销售额多大？
[思路点拨]
画散 点图
二―最―乘小→法
求回归 方程
1. [2010·湖南]某商品销售量y(件)与销售价格x(元/ 件)负相关，则其回归方程可能是( )
A.^y＝－10x＋200
B.^y ＝10x＋200
C.^y＝－10x－200
D.^y＝10x－200
答案：A
解析：由图象知选项B、D为正相关，选项C不符合实 际意义，故选A.
2. [2012·山东聊城市模拟]已知x、y的取值如下表所
ii＝＝11
(3)相关指数 R2＝1－－
.
nn
（（yyi－i－yy））22
ii＝＝11
R2 越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果 越好．R2 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越 差．在线性回归模型中，R2 表示解释变量对于预报变量变 化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好．
我们将这个方程叫做回归直线方程，^a、^b叫做回归系 数，相应的直线叫做回归直线．
②最小二乘法 使总体偏差 Q＝(y1－bx1－aa))22＋＋((yy22－－bbxx22－－aa))22＋＋……＋＋ (ynn－bxnn－a)22 为最小的方法，叫做最小二乘法．
4.回归分析
在具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2 )，…， (xn，yn)中，回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k
越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的命
题是( )
A．①④
B．②③
C．①③
D．②④
答案：B
解析：①中抽样间隔相同，应是系统抽样；④中K2
的观测值越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故应
选②③.
4. [教材改编]下面是一个2×2列联表
y1
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的 作用”；
②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的 可能性得感冒；
③这种血清预防感冒的有效率为95%； ④这种血清预防感冒的有效率为5%.
答案：①
解析：因为 K2≈3.918≥3.841，而 P(K2≥3.814)≈0.05， 所以有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作 用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感 冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．
→
结合方程进 行回归分析
[解] (1)根据表中所列数据可得散点图如图所示：
(2)计算得：x-＝255＝5，-y＝2550＝50，
5
5
x2i =145, x iyi＝1380.
i＝1
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
于是可得^b＝
5
＝138104－5－5×5×5×52 50
xi2－5 x 2
近，就称这两个变量之间具有线性相关关系．这条直线
叫做回归直线．
思考：相关关系与函数关系有什么异同点？ 提示：相同点：两者均是指两个变量的关系． 不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系 是一种非确定的关系．②函数关系是一种因果关系，而 相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
3.回归直线方程与最小二乘法 ①n 个观测值的 n 个点大致分布在一条直线的附近， 若所求的直线方程为^y＝^^bbxx＋＋^^aa，则
示：
x23 4 y 64 5 如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为 ^y ＝bx＋
123，则b＝( )
A．－12
1 B.2
C．－110
1 D.10
答案：A
解析：∵x-＝3，-y＝5，
回归直线过点(x，y)， ∴5＝3b＋123，∴b＝－12.
3. [2012·厦门一模]以下四个命题： ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分 钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这种抽样是分 层抽样； ②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值 越接近于1； ③在回归直线方程 ^y ＝0.2x＋12中，当解释变量x每 增加1个单位时，预报变量^y 平均增加0.2个单位；
图；②求x-，-y，n
n
x2 i,
xiyi；③求^a，^b；④得回归直线
i＝1
i＝1
方程． (2)求回归直线方程前应先进行相关性检验，可以用观
察所得到的数据作散点图进行直观验证，也可用相关系数 r 进行检验，只有检验后求出的回归方程才有意义，才能 作预报工作．
[变式探究 2] 某车间为了规定工时定额，需要确定 加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据 如下：
yn），它们的随机误差为 ei＝yi－bxi－a，i＝1，2，…，n， 其估计值为^ei＝yi－^yi＝yi－^bxi－^a，i＝1，2，…，n， ^ei 称为相应于点（xi，yi）的残差.
(2)残差平方和nn （（yyii－－^y^y ii））22. ii＝＝11
nn
（（yyii －－
i＝1
解：(1)散点图如下图.
4
(2)由表中数据得
xiyi＝52.5， x- ＝3.5， -y ＝3.5，
i＝1
4
xi2＝54，
i＝1
∴b＝0.7.∴a＝1.05.
∴^y ＝0.7x＋1.05.回归直线如图所示．
(3)将x＝10代入回归直线方程得，y＝0.7×10＋1.05 ＝8.05(小时)，
[温馨提示] 函数关系是一种理想的关系模型，而相 关关系是一种更为一般的情况．
[变式探究1] [2012·苏州模拟]观察下列各图形：
其中两个变量x、y具有相关关系的图是( )
A．①②
B．①④
C．③④
D．②③
答案：C
解析：相关关系有两种情况：所有点看上去都在一 条直线附近波动，是线性相关；若所有点看上去都在某 条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关．①② 是不相关的，而③④是相关的．故选C.
检验．
思考：在独立性检验中经常由 K2 得到观测值 k，则 k ＝ K2吗？
提示：K2 与 k 的关系并不是 k＝ K2，k 是 K2 的观测 值，或者说 K2 是一个随机变量，它在 a，b，c，d 取不同 值时，K2 可能不同，而 k 是取定一组数 a，b，c，d 后的 一个确定的值．
■ ·考点自测· ■
根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重 之间是否有相关关系．
[思路点拨] 建立直角坐标系 → 描点 →
判断两变量的关系
[解] 以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的 散点图如图所示：
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相 关．
[规律总结] 在散点图中，如果所有的样本点都落在 某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关 系，即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点都落 在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果 所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性 相关关系．
∴预测加工10个零件需要8.05小时.
独立性检验
例3 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径
尺寸(单位：mm)的值落在[29.94，30.06)的零件为优质
品，从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径
尺寸，得结果如下表：
甲厂：
[29.86， 分组
29.90)
频数 12
[29.90， [29.94， [29.98， [30.02， [30.06， [30.10， 29.94) 29.98) 30.02) 30.06) 30.10) 30．14)
高考测点典例研习
散点图与相关关系的判定 例1 [教材改编]在某地区的12～30岁居民中随机抽取 了10个人的身高和体重的统计资料如下表：
身高(cm) 143 156 159 172 165 171 177 161 164 160 体重(kg) 41 49 61 79 68 69 74 69 68 54
i＝1
＝6.5，
^a＝-y－^bx-＝50－6.5×5＝17.5，
因此，所求回归直线方程是 ^y＝6.5x＋17.5. (3)由上面求得的回归直线方程可知，当宣传费支出为 10 万元时，^y＝6.5×10＋17.5＝82.5(万元)， 即这种产品的销售额大约为 82.5 万元．
[规律总结] (1)求回归直线方程的步骤是：①作散点
(2)由以上统计数据填下面 2×2 列联表，并问是否有
99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
甲厂 乙厂 合计
优质品
非优质品
合计
附：χ2＝nn（1＋＋n11nn22＋2＋－nn＋121n＋21n）＋22， P(χ2≥k) 0.05 0.01
k
3.841 6.635
[解] (1)甲厂抽查的产品中有 360 件优质品，从而甲 厂生产的零件的优质品率估计为356000＝72%；
零件的个数 x(个) 2 3 4 5 加工的时间 y(小时) 2.5 3 4 4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程 ^y ＝bx＋a，并在坐标 系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
n
xiyi－n x y
i＝1
(注：b＝
, a=y--bx-)
6.独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不不同
类别，像这类变量称为分类变量．
(2)列联表：列出的两个分类变量的频频数数表表，称为列联
表．假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为
{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联
表)为
2×2 列联表
63
86
182
92
61
4
乙厂：
[29.86， [29.90， [29.94， [29.98， [30.02， [30.06， [30.10， 分组
29.90) 29.94) 29.98) 30.02) 30.06) 30.10) 30．14)
频数 29
71
85
159
76
62
18
(1)试分别估计两个分厂生产零件的优质品率；
第3课时 变量间的相关关系与统计案例
考纲下载 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点 图认识变量间的相关关系． 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方 程系数公式建立线性回归方程．
3.了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、 方法及其简单应用．
4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
y2 总计
x1
a
x2
2
总计 b
21 73 25 27 46
则表中a、b处的值分别为( )
A．94、96
B．52、50
C．52、54
D．54、52
答案：C 解析：a＝73－21＝52，b＝a＋2＝54，故选C.
5. [原创]某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的 作用，把 500 名使用过血清的人与另外 500 名未使用血清 的人一年中的感冒记录作比较，提出假设 H0：“这种血清 不能起到预防感冒的作用”，利用 2×2 列联表计算得 K2 ≈3.918，经查临界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论 中，正确结论的序号是________．
x1 x2 总计
y1 a c a＋c
y2 b d b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
随机变量 K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d）， 其中 n＝a＋b＋c＋d 为样本容量．
(3)独立性检验 利用随机变量 K2 来确定在多大程度上可以认为“两
个分分类类变变量量有有关关系系”的方法称为两个分类变量的独立性
nn
（xi － x ）（y i－ y ）
ii＝＝11
为：^b=
, ^a=y-y-－－^b^bx-x- .
n
（xi－ x ）2
i＝＝1
其中x-＝n1i＝n1xi，-y＝n1i＝n1yi，（（x-x-，，-yy-））称为样本点的中心，
线性回归方程为^y＝^bx+^a . 5.残差分析 (1)残差：对于样本点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，
请注意！ 1．以考查线性回归系数为主，同时可考查利用散点 图判断两个变量间的相关关系． 2．以实际生活为背景，重在考查回归方程的求法．
高考考点预览
■ ·考点梳理· ■
正相关：点散布在从左下角 到右上角 的区域. 1．两个变量的相关关系负相关：点散布在从左上角 到右下角 的区域. 2.线性相关关系与回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附
线性回归分析
例2 [2012·淄博模拟]某种产品的宣传费支出x与销 售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x2456 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图； (2)求回归直线方程； (3)试预测宣传费支出为10万元时，销售额多大？
[思路点拨]
画散 点图
二―最―乘小→法
求回归 方程
1. [2010·湖南]某商品销售量y(件)与销售价格x(元/ 件)负相关，则其回归方程可能是( )
A.^y＝－10x＋200
B.^y ＝10x＋200
C.^y＝－10x－200
D.^y＝10x－200
答案：A
解析：由图象知选项B、D为正相关，选项C不符合实 际意义，故选A.
2. [2012·山东聊城市模拟]已知x、y的取值如下表所
ii＝＝11
(3)相关指数 R2＝1－－
.
nn
（（yyi－i－yy））22
ii＝＝11
R2 越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果 越好．R2 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越 差．在线性回归模型中，R2 表示解释变量对于预报变量变 化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好．
我们将这个方程叫做回归直线方程，^a、^b叫做回归系 数，相应的直线叫做回归直线．
②最小二乘法 使总体偏差 Q＝(y1－bx1－aa))22＋＋((yy22－－bbxx22－－aa))22＋＋……＋＋ (ynn－bxnn－a)22 为最小的方法，叫做最小二乘法．
4.回归分析
在具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2 )，…， (xn，yn)中，回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k
越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的命
题是( )
A．①④
B．②③
C．①③
D．②④
答案：B
解析：①中抽样间隔相同，应是系统抽样；④中K2
的观测值越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故应
选②③.
4. [教材改编]下面是一个2×2列联表
y1
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的 作用”；
②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的 可能性得感冒；
③这种血清预防感冒的有效率为95%； ④这种血清预防感冒的有效率为5%.
答案：①
解析：因为 K2≈3.918≥3.841，而 P(K2≥3.814)≈0.05， 所以有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作 用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感 冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．
→
结合方程进 行回归分析
[解] (1)根据表中所列数据可得散点图如图所示：
(2)计算得：x-＝255＝5，-y＝2550＝50，
5
5
x2i =145, x iyi＝1380.
i＝1
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
于是可得^b＝
5
＝138104－5－5×5×5×52 50
xi2－5 x 2
近，就称这两个变量之间具有线性相关关系．这条直线
叫做回归直线．
思考：相关关系与函数关系有什么异同点？ 提示：相同点：两者均是指两个变量的关系． 不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系 是一种非确定的关系．②函数关系是一种因果关系，而 相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
3.回归直线方程与最小二乘法 ①n 个观测值的 n 个点大致分布在一条直线的附近， 若所求的直线方程为^y＝^^bbxx＋＋^^aa，则
示：
x23 4 y 64 5 如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为 ^y ＝bx＋
123，则b＝( )
A．－12
1 B.2
C．－110
1 D.10
答案：A
解析：∵x-＝3，-y＝5，
回归直线过点(x，y)， ∴5＝3b＋123，∴b＝－12.
3. [2012·厦门一模]以下四个命题： ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分 钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这种抽样是分 层抽样； ②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值 越接近于1； ③在回归直线方程 ^y ＝0.2x＋12中，当解释变量x每 增加1个单位时，预报变量^y 平均增加0.2个单位；
图；②求x-，-y，n
n
x2 i,
xiyi；③求^a，^b；④得回归直线
i＝1
i＝1
方程． (2)求回归直线方程前应先进行相关性检验，可以用观
察所得到的数据作散点图进行直观验证，也可用相关系数 r 进行检验，只有检验后求出的回归方程才有意义，才能 作预报工作．
[变式探究 2] 某车间为了规定工时定额，需要确定 加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据 如下：
yn），它们的随机误差为 ei＝yi－bxi－a，i＝1，2，…，n， 其估计值为^ei＝yi－^yi＝yi－^bxi－^a，i＝1，2，…，n， ^ei 称为相应于点（xi，yi）的残差.
(2)残差平方和nn （（yyii－－^y^y ii））22. ii＝＝11
nn
（（yyii －－
i＝1
解：(1)散点图如下图.
4
(2)由表中数据得
xiyi＝52.5， x- ＝3.5， -y ＝3.5，
i＝1
4
xi2＝54，
i＝1
∴b＝0.7.∴a＝1.05.
∴^y ＝0.7x＋1.05.回归直线如图所示．
(3)将x＝10代入回归直线方程得，y＝0.7×10＋1.05 ＝8.05(小时)，
[温馨提示] 函数关系是一种理想的关系模型，而相 关关系是一种更为一般的情况．
[变式探究1] [2012·苏州模拟]观察下列各图形：
其中两个变量x、y具有相关关系的图是( )
A．①②
B．①④
C．③④
D．②③
答案：C
解析：相关关系有两种情况：所有点看上去都在一 条直线附近波动，是线性相关；若所有点看上去都在某 条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关．①② 是不相关的，而③④是相关的．故选C.
检验．
思考：在独立性检验中经常由 K2 得到观测值 k，则 k ＝ K2吗？
提示：K2 与 k 的关系并不是 k＝ K2，k 是 K2 的观测 值，或者说 K2 是一个随机变量，它在 a，b，c，d 取不同 值时，K2 可能不同，而 k 是取定一组数 a，b，c，d 后的 一个确定的值．
■ ·考点自测· ■
根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重 之间是否有相关关系．
[思路点拨] 建立直角坐标系 → 描点 →
判断两变量的关系
[解] 以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的 散点图如图所示：
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相 关．
[规律总结] 在散点图中，如果所有的样本点都落在 某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关 系，即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点都落 在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果 所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性 相关关系．
∴预测加工10个零件需要8.05小时.
独立性检验
例3 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径
尺寸(单位：mm)的值落在[29.94，30.06)的零件为优质
品，从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径
尺寸，得结果如下表：
甲厂：
[29.86， 分组
29.90)
频数 12
[29.90， [29.94， [29.98， [30.02， [30.06， [30.10， 29.94) 29.98) 30.02) 30.06) 30.10) 30．14)
高考测点典例研习
散点图与相关关系的判定 例1 [教材改编]在某地区的12～30岁居民中随机抽取 了10个人的身高和体重的统计资料如下表：
身高(cm) 143 156 159 172 165 171 177 161 164 160 体重(kg) 41 49 61 79 68 69 74 69 68 54
i＝1
＝6.5，
^a＝-y－^bx-＝50－6.5×5＝17.5，
因此，所求回归直线方程是 ^y＝6.5x＋17.5. (3)由上面求得的回归直线方程可知，当宣传费支出为 10 万元时，^y＝6.5×10＋17.5＝82.5(万元)， 即这种产品的销售额大约为 82.5 万元．
[规律总结] (1)求回归直线方程的步骤是：①作散点
(2)由以上统计数据填下面 2×2 列联表，并问是否有
99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
甲厂 乙厂 合计
优质品
非优质品
合计
附：χ2＝nn（1＋＋n11nn22＋2＋－nn＋121n＋21n）＋22， P(χ2≥k) 0.05 0.01
k
3.841 6.635
[解] (1)甲厂抽查的产品中有 360 件优质品，从而甲 厂生产的零件的优质品率估计为356000＝72%；
零件的个数 x(个) 2 3 4 5 加工的时间 y(小时) 2.5 3 4 4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程 ^y ＝bx＋a，并在坐标 系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
n
xiyi－n x y
i＝1
(注：b＝
, a=y--bx-)
6.独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不不同
类别，像这类变量称为分类变量．
(2)列联表：列出的两个分类变量的频频数数表表，称为列联
表．假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为
{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联
表)为
2×2 列联表
63
86
182
92
61
4
乙厂：
[29.86， [29.90， [29.94， [29.98， [30.02， [30.06， [30.10， 分组
29.90) 29.94) 29.98) 30.02) 30.06) 30.10) 30．14)
频数 29
71
85
159
76
62
18
(1)试分别估计两个分厂生产零件的优质品率；