高考中的抽象函数专题练习(含答案)

定义域为 [
3, 3
3 3
]
故②不成立，因为函数
y
log2
(
x2
2x
3)
的定义域为
x2
2x
3
0,
x
3
或 x 1所以递增区间为 (1, ) 不正确，所以③不成立.因为函数 y f (2x 1) 与函数 y f (1 2x) 的
图像关于 y 轴对称，所以④不正确.故选 A
2.答案：C
分析：由 f (0) 0, f (x) f (1 x) 1，得 f (1) 1 ， f (1) 1，又 f ( x) 1 f x ， f (1) 1 ，
其中正确的个数为 (
)
A. 0 个
B. 1个 C. 2 个 D. 3 个
2.定义在 R
上的函数
f
(x) 满足
f
(0)
0,
f
(x)
f
(1
x)
1,
f
(x) 5
1 2
f
(x) ，且当 0
x1
x2
1
时，
f
(x1)
f
(x2 ) ，则
f
( 1 ) 等于（ 2021
）
A. 1 2
B. 1 16
C. 1 32
D. 1 64
3.已知 f (x) 是定义在 R 上的函数，且 f (x 3)[1 f (x)] 1 f (x) ， f (2) 3 2 ，则 f 2021
2
值为（
）
A. 2 3 B. 2 3 C. 3 2 D. 2 3
4.已知 f (x 1) f (x 1), f (x) f (x 2) ，方程 f (x) 0 在[0,1] 内有且只有一个根 x 1 ，则 2
9.已知 f x 是定义在 (0, ) 上的增函数，且满足
(1) 求证： f (2) 1 (2) 求不等式 f (x) f (x 3) 1的解集.
f (xy) f (x) f (y) ，
f (1) 1 2
10.已知函数 f (x) 满足对一切 x1, x2 R 都有 f (x1 x2 ) f (x1) f (x2) 2 ，且 f (1) 0 ，当 x 1 时有 f (x) 0 .
(2) 判定函数 f (x) 在 R 上的单调性，并加以证明；
(3) 若函数 F( x)
f (max{ x , 2x x2
})
f
(
k
)
(1其 中
m a x {a
b,
}
a, b,
(a (a
b) b)
)
有
三
个
零
点
x1, x2, x3 ，求 u (x1 x2 x3) x1 x2 x3 的取值范围．
1 ab
1 ab
(3) 若 f ( 1) 1，试解关于 x 的方程 f (x) 1 ．
2
2
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8.已知函数 f (x)(x R) 满足：对于任意实数 x, y ，都有 f (x y) f (x) f ( y) 1 恒成立，且当 2
x 0 时， f (x) 1 恒成立； 2
(1) 求 f (0) 的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数；
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答案和解析
1.答案：A
分析：因为函数 y x2 的定义域为 R ， y ( x)2 的定义域为 x [0, ) 所以①不成立. 由函数 f (x 1) 的定义域为[1, 2] ，所以 0 x 1 1所以函数 f (3x2 ) 要满足 0 3x2 1 ，所以函数 f (3x2 ) 的
高考中的抽象函数专题练习
1、下列结论：①函数 y x2 和 y ( x)2 是同一函数；②函数 f (x 1) 的定义域为[1, 2] ，
则函数 f (3x2 ) 的定义域为[0,
3 3
]
；③函数
y
log2
(x2
2x
3)
的递增区间为
(1,
)
；④若
函数 f (2x 1) 的最大值为 3 ，那么 f (1 2x) 的最小值就是 3
f (x) 0 在区间0, 2021 内根的个数为（
）
A.4042 B.1015 C.2021 D. 1016
5.已知函数 f (x) 对任意实数 x ， y 满足 f (x y) f (x) f ( y) ，且 f (1) 2 .若存在整数 m ，使 得 f (2) m2 m 4 0 ，则 m 取值的集合为______.
(1) f (0) 1 (2) 证明： f (x) 是 R 上的增函数； 12.已知函数 f (x) 对任意实数 x ， y 都有 f (x y) f (x) f ( y) ，且当 x 0 时， f (x) 0 ， f (1) 2 ，求 f (x) 在[2,1]上的值域.
22
52
52
f
(4) 5
1 ，又 0 2
x1
x2
1时，
f
x1
f
x2
，所以若
x
[
1 5
,
4 5
]
，
f
(x)
1 2
，
f
(x) 5
1 2
f
(x) ，
则在
[
1 5n
,
4 5n
] 区间上
f
(x)
1 2n
，又
1 2021
其中正确的序号为_________.
7.已知函数 f (x) 定义在 (1,1) 上，对于任意的 x, y (1,1) ，有 f (x) f (y) f ( x y )，且当 1 xy
x 0 时， f (x) 0 .
(1) 验证函数 f (x) ln 1 x 是否满足这些条件； 1 x
(2) 若 f ( a b ) 1, f ( a b ) 2 ，且| a |1,| b |1，求 f (a), f (b) 的值．
6.定义在 R 上的函数 f (x) 满足： f (x 2) f (x) 0 ，且函数 f (x 1) 为奇函数，对于下列命题： ①函数 f (x) 满足 f (x 4) f (x) ；②函数 f (x) 图象关于点 (1, 0) 对称；③函数 f (x) 的图象关于直 线 x 2 对称；④函数 f (x) 的最大值为 f (2) ；⑤ f (2021) 0 .
(1) 求 f (1) 的值； (2) 判断并证明函数 f (x) 在 R 上的单调性； (3) 解不等式：[ f (x2 2x)]2 2 f (x2 2x 1) 12 0 .
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11. 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) ， f (0) 0 ， 当 x 0 时 ， f (x ) 1， 且 对 任 意 实 数 a,b ， 有 f ( a b) f( a) f( b，) 求证：