2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：3.3.3函数的最大(小)值与导数 Word版含答案

►基础梳理
1．函数的最大值与最小值．
一般地，假如在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．函数的最值必在极值点或区间端点取得．
2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的一般步骤：
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3．极值与最值的区分与联系：
(1)极值与最值是不同的，极值只是相对一点四周的局部性质，而最值是相对于整个定义域或所争辩问题的整体性质；
(2)函数的最值通常在极值点或区间端点取得，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值；
(3)求函数的最值一般需要先确定函数的极值．因此函数极值的推断是关键，假如仅仅是求最值，可将导数值为零的点或区间端点的函数值直接求出并进行比较，也可以依据函数的单调性求最值．,►自测自评1．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(C)
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C.无最大值，也无最小值
D．无最大值，但有最小值
解析：f′(x)＝3x2－3.当|x|＜1，f′(x)＜0，
∴函数f(x)在(－1，1)上单调递减，故选C.
2．函数f(x)＝－x2＋4x＋1在区间[3，5]上的最大值和最小值分别是4，－4．
解析：令f′(x)＝－2x＋4＝0，则x＝2，f(x)在[3，5]上是单调函数，排解f(2)，比较f(3)，f(5)，即得．3．函数y＝x ln x在[1，3]内的最小值为0．
解析：y′＝ln x＋1，∵x∈[1，3]，∴y′＞0，
∴函数y＝x ln x在[1，3]内是递增函数，
∴当x＝1时，y min＝0.
1. 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是(C)
A．1，－1B．1，－17
C．3，－17 D．9，－19
解析：依据求最值的步骤，直接计算即可得答案为C.
2．已知f(x)＝
1
2x
2－cos x，x∈[－1，1]，则导函数f′(x)是(D)
A．仅有最小值的奇函数
B．既有最大值又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值又有最小值的奇函数
解析：求导可得f′(x)＝x＋sin x，明显f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sin x，求导得h′(x)＝1＋cos x，当x∈[－1，1]时，h′(x)＞0，所以h(x)在[－1，1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．故选D.
3．函数f(x)＝x2＋ax＋1在点[0，1]上的最大值为f(0)，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意有：f(0)≥f(1)，即1≥2＋a，所以a≤－1.
答案：(－∞，－1]
4．求下列函数的最值：
(1)f(x)＝x3＋2x，x∈[－1，1]；
(2)f(x)＝(x－1)(x－2)2，x∈[0，3]，
解析：(1)当x∈[－1，1]时，f′(x)＝3x2＋2＞0，
则f(x)＝x3＋2x在x∈[－1，1]上单调递增．因而f(x)的最小值时f(－1)＝－3，最大值是f(1)＝3.
(2)由于f(x)＝(x－1)(x－2)2＝x3－5x2＋8x－4，所以f′(x)＝(3x－4)(x－2)
令f′(x)＝(3x－4)(x－2)＝0，得x＝4
3
或x＝2，
∵f(0)＝－4，f⎝⎛⎭⎫4
3
＝4
27
，f(2)＝0，f(3)＝2，
∴f(x)的最大值是2，最小值时－4.
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，求f(m)＋f′(n)的最小值．解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，
f′(x)＝－3x2＋6x，
易知f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，
∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1.
∴当n∈[－1，1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
1．函数f(x)＝x3＋
3
x在(0，＋∞)上的最小值是(A)
A．4 B．
5。