二次函数 单元检测试卷(含答案)

二次函数单元检测试卷(含答案)
二次函数复套卷
时间：120分钟满分：150分
班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1.下列各式中，y是x的二次函数的是（）
A。

y = 1/2x
B。

y = 2x + 1
C。

y = x^2 + x - 2
D。

y^2 = x^2 + 3x / x
2.抛物线y = 2x^2 + 1的顶点坐标是（）
A。

(2.1)
B。

(0.1)
C。

(1.0)
D。

(1.2)
3.二次函数y = ax^2 + bx - 1 (a ≠ 0)的图像经过点(1.1)，则
a +
b + 1的值是（）
A。

-3
B。

-1
C。

2
D。

3
4.抛物线y = x^2 - 2x - 3与x轴的交点个数是（）
A。

0个
B。

1个
C。

2个
D。

3个
5.下列函数中，当x。

0时，y随x值的增大而先增大后减小的是（）
A。

y = x^2 + 1
B。

y = x^2 - 1
C。

y = (x + 1)^2
D。

y = -(x - 1)^2
6.二次函数y = ax^2 + bx + c的部分对应值如下表：
x。

y
2.5
1.-3
1.-4
2.-3
3.…
二次函数图像的对称轴是（）
A。

直线x = 1
B。

y轴
C。

直线x = -1
D。

直线x = -2
7.如图，二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴相交于(-2.0)和(4.0)两点，当函数值y。

0时，自变量x的取值范围是（）
A。

x < -2
B。

-2 < x < 4
C。

x。

0
D。

x。

4
8.二次函数y = ax^2 + bx + c的图像如图所示，那么一次
函数y = ax + b的图像大致是（）
9.某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210
元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每
件服装每降价2元，每天可多卖出1件。

在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与
x的函数关系式为（）
A。

y = -x^2 + 10x + 1200 (0 < x < 60)
B。

y = -x^2 - 10x + 1200 (0 < x < 60)
C。

y = -x^2 + 10x + 1250 (0 < x < 60)
D。

y = -x^2 - 10x + 1250 (x ≤ 60)
10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = x^2经过平移
得到抛物线y = x^2 - 2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的
阴影部分的面积为（）
A。

2
B。

4
C。

8
D。

16
删除有问题的段落）
二、简答题（本题共4小题，每小题10分，共40分）
1.什么是二次函数？其一般式是什么？
答：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中a、b、c是实数，x、y是变量。

其一般式是y = ax^2 + bx + c。

2.什么是二次函数的顶点？如何求二次函数的顶点坐标？
答：二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。

求二次函数的顶点坐标的方法是，将二次函数化为标准式y = a(x - h)^2 + k，其中(h。

k)就是顶点坐标。

3.什么是二次函数的对称轴？如何求二次函数的对称轴？
答：二次函数的对称轴是抛物线的对称轴，即抛物线两侧关于对称轴对称。

求二次函数的对称轴的方法是，对于一般式y = ax^2 + bx + c，其对称轴的方程为x = -b / 2a。

4.什么是平移变换？如何利用平移变换求出二次函数的图像？
答：平移变换是指将图像沿着x轴或y轴移动一定的距离的变换。

利用平移变换求出二次函数的图像的方法是，对于一般式y = ax^2 + bx + c，设其顶点坐标为(h。

k)，则将x坐标平移h，y坐标平移k即可得到平移后的图像。

例如，将y = x^2的图像向右平移2个单位，就变成了y = (x - 2)^2的图像。

11.抛物线y=-x^2+6x-9的顶点为A，与y轴的交点为B。

如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD 为平行四边形，那么点D的坐标是（）
解析：首先求出抛物线的顶点坐标，由于a<0，所以顶点
在x轴上方，即x=3.代入抛物线方程可得y=0，故顶点坐标为
A(3,0)。

由于B点在y轴上，故坐标为B(0,-9)。

由于ABCD
为平行四边形，故AD和BC平行，即斜率相等。

设C点坐标
为(x,0)，则斜率为(0-(-9))/(x-0)=9/x，而AD的斜率为(0-(-
9))/(x-3)=9/(x-3)，故有9/x=9/(x-3)，解得x=9.故点D的坐标为(9,0)。

因此选D。

12.如图是抛物线y1=ax^2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，抛
物线的顶点坐标是A(1,3)，与x轴的一个交点为B(4,0)，直线
y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=；
②abc＞；③方程ax^2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物
线与x轴的另一个交点是(-1,0)；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）
解析：首先求出抛物线的解析式。

由于顶点坐标为A(1,3)，故h=1，k=3.又因为抛物线经过点B(4,0)，代入可得
16a+4b+c=0.又因为直线y2=mx+n与抛物线交于A，B两点，
故有mx+n=a(x-1)^2+3，代入B点坐标可得4a+b=4m+n。

解得
b=4m+n-4a，代入16a+4b+c=0可得c=-16a-4(4m+n)+64a=-
16a+16m-4n。

因此抛物线的解析式为y1=ax^2+(4m+n-4a)x-
16a+16m-4n。

①将A点坐标代入可得3=a+b+c，又因为c=-16a+16m-4n，代入可得b=16a-16m+4n-3.因此2a+b=2a+16a-16m+4n-3=18a-
16m+4n-3.
②将抛物线的解析式中的a、b、c代入可得abc=-
16a^3+16am^2-4an^2+64a^2m-16amn+16mn^2.由于a≠0，故可
以除以a，得到-16a^2+16m^2-4n^2+64am-16n+16n^2/a。

由于
顶点坐标为A(1,3)，故a<0，故abc<0.
③由于抛物线对称轴为x=1，故方程ax^2+bx+c=3有两个
相等的实数根，当且仅当抛物线与y=3相切，即顶点到直线
的距离为0.由于直线y2=mx+n与抛物线交于A，B两点，故
直线经过点(4,0)和(1,3)，设直线方程为y=mx+n，则有
0=4m+n，3=m+n，解得m=3，n=-12.代入抛物线的解析式可
得顶点到直线的距离为0，故方程ax^2+bx+c=3有两个相等的
实数根。

④由于抛物线经过点B(4,0)，故另一个交点的横坐标为-1，代入抛物线的解析式可得16a-4m+4n-16a+16m-4n+c=0，即
c=0.因此抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0)。

⑤当1＜x＜4时，抛物线的开口向下，故y1在顶点左右
单调递减。

由于直线y2=mx+n与抛物线交于A，B两点，且m>0，故直线斜率大于抛物线斜率，即y2<y1，因此选C。

13.当a=1时，函数y=(a-1)x/(a^2+1)+x-3是二次函数。

解析：将函数化简可得y=(1-1/a^2)x+(x-3)/(a^2+1)，因为
一次项系数为常数，故为二次函数。

14.把二次函数y=x^2-12x化为形如y=a(x-h)^2+k的形式为。

解析：将y=x^2-12x=1(x^2-12x+36-36)=1(x-6)^2-36化为
所求形式，得到a=1，h=6，k=-36.
15.已知A(4,y1)，B(-4,y2)是抛物线y=(x+3)^2-2的图象上两点，则y1y2=。

解析：将A、B点的坐标代入抛物线方程可得
y1=(4+3)^2-2=23，y2=(-4+3)^2-2=-2，因此y1y2=-46.
16.若抛物线y=x^2-2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为y=(x-1)^2+2.
解析：将平面直角坐标系xOy向右平移1个单位，相当于将抛物线的顶点坐标向左平移1个单位，即h'=h-1=1-1=0；再将平面直角坐标系向上平移3个单位，相当于将抛物线的顶点坐标向上平移3个单位，即k'=k+3=3+3=6.因此新的抛物线解析式为y=(x-0)^2+6=(x-1)^2+2.
17.教练对XXX推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-(x-4)^2+3，由此可知铅球推出的距离是8m。

解析：由于抛物线对称轴为x=4，故铅球推出的距离为对称轴到抛物线与x轴的交点的距离，即4-(-3)=7，故铅球推出的距离是8m。

18.若函数y=(a-1)x^2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为-1/3.
解析：当函数与x轴有且只有一个交点时，其判别式
D=b^2-4ac=0.代入题中函数可得16a^2-8a-4=0，解得a=-1/3或a=2.但当a=2时，函数的开口向上，与x轴有两个交点，故舍去。

因此a的值为-1/3.
19.二次函数的图象如图所示，求这条抛物线的解析式(结果化成一般式)。

解析：由于顶点坐标为(2,3)，故h=2，k=3.又因为抛物线经过点(0,-1)，代入可得c=-1.又因为抛物线经过点(4,3)，代入可得16a+4b+c=3.解得a=1/2，b=-2.因此抛物线的解析式为
y=1/2(x-2)^2-1.
20.已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.
写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长。

解析：设BC的长为x，BC边上的高为h，则有x+h=20.
又因为△ABC的面积为y=1/2*x*h，代入可得y=1/2*x(20-x)=-
1/2*x^2+10x。

当y=48时，解得x=8或x=12，因此BC的长为8或12.
22.已知抛物线经过点A(0,6)和B(3,0)，与y轴相交于点C，求抛物线的解析式和△XXX的面积。

解析。

1) 因为抛物线经过点A(0,6)，所以c=6；
因为抛物线经过点B(3,0)，所以9a+3b+6=0，即3a+b=-2；
因为抛物线与y轴相交于点C，所以c=0.
将c=6代入3a+b=-2，得到3a+b=8.
解方程组得到a=2，b=-8，c=6，所以抛物线的解析式为
y=2x^2-8x+6.
2) 由题可知△ABC是由x轴和抛物线所围成的面积，所
以可以用定积分求出。

0^3 (2x^2-8x+6)dx = [2/3x^3-4x^2+6x]0^3 = 18
所以△ABC的面积为18平方单位。

23.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120
元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用。

设每个房间定价增加10x元(x为整数)。

1) 直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；
2) 设宾馆每天的利润为w元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大？最大利润是多少？
解析：
1) 当每个房间定价为120+10x元时，房间的数量为50-x，因为每个房间每天支出20元的费用，所以每天的收益为
(120+10x-20)(50-x) = (100+10x)(50-x) = 5000-600x+10x^2.
因此，游客居住的房间数量y与x的函数关系式为y =
50-x，每天的收益为w(x) = 5000-600x+10x^2.
2) 宾馆每天的利润为每天的收益减去每个房间每天支出
的费用，即w(x) = (100+10x)(50-x)-20(50-x) = -10x^2+200x-1000.
w(x)是一个二次函数，开口向下，所以最大值出现在顶点处，即x = -b/2a = -200/-20 = 10.
因此，每间房价定价为220元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润为w(10) = 800元。

24.已知抛物线y=x^2-px-q与y轴交于点(0,-q)，与x轴交
于点(x1,0)，其中p,q为常数。

1) 若抛物线与y轴交点的坐标为(0,1)，求抛物线与x轴交点的坐标；
2) 证明：无论p为何值，抛物线与x轴必有交点。

解析：
1) 因为抛物线与y轴交点的坐标为(0,1)，所以q=1；
因为抛物线与x轴交于点(x1,0)，所以x1^2-px1+1=0，解
得x1 = (p+√(p^2-4))/2 或 x1 = (p-√(p^2-4))/2.
因为抛物线与x轴交点的y坐标为0，所以x轴交点的坐
标为(x1,0)。

2) 抛物线与x轴交点的纵坐标为q，即x轴交点的坐标为(x1,0)，其中x1满足x1^2-px1+q=0.
因为抛物线与x轴相交，所以判别式p^2-4q≥0，即
p^2≥4q。

因为p^2≥0，所以无论p为何值，p^2≥4q恒成立，所以抛物线与x轴必有交点。

25.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米。

1) 若苗圃园的面积为72平方米，求x的值；
2) 若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由。

解析：
1) 因为苗圃园的面积为72平方米，所以另一条边的长度为4/x米；
因为一边靠墙，所以另一条边的长度为18/x米；
因为另外两条边用长为30米的篱笆围成，所以有
2(4/x+18/x)=30，解得x=6.
所以苗圃园垂直于墙的一边的长为6米。

2) 设平行于墙的一边的长度为y米，则另一条边的长度
为(72/y)米；
因为一边靠墙，所以另一条边的长度为18/y米；
因为另外两条边用长为30米的篱笆围成，所以有
2(y+18/y)=30，解得y=3或y=6.
当y=3时，苗圃园的面积为72/3=24平方米；
当y=6时，苗圃园的面积为72/6=12平方米。

所以当平行于墙的一边长为3米时，苗圃园的面积最大，为24平方米；当平行于墙的一边长为6米时，苗圃园的面积
最小，为12平方米。

26.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0,4)，B(1,0)，C(5,0)，其对称轴与x轴相交于点M。

1) 求抛物线的解析式和对称轴；
2) 在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周
长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
3) 连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一
点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；
若不存在，请说明理由。

解析：
1) 因为抛物线经过点A(0,4)，所以c=4；
因为抛物线经过点B(1,0)，所以a+b+c=0，即a+b=-4；
因为抛物线经过点C(5,0)，所以25a+5b+c=0，即5a+b=-4；
解方程组得到a=1，b=-5，c=4，所以抛物线的解析式为
y=x^2-5x+4；
对称轴为直线x=5/2.
2) 因为P点在对称轴上，所以设P的坐标为(5/2,k)；
因为△PAB的周长为PA+PB+AB，所以△PAB的周长为
√(k^2+1)+√((k-4)^2+1)+√17；
求导得到f(k) = √(k^2+1)+√((k-4)^2+1)+√17的最小值出现
在k=1，即P点的坐标为(5/2,1)时，△PAB的周长最小。

3) 因为抛物线经过点A(0,4)和C(5,0)，所以对称轴上的点
N的坐标为(5/2,k)；
因为△NAC的面积为(1/2)(5k)，所以△NAC的面积最大
当且仅当k=0，即点N的坐标为(5/2,0)。

1.正确；由抛物线图象可知，a0，x= -b/2a，∴b0.
2.删除。

3.正确；设抛物线与x轴的另一个交点是(x2，0)，由抛物线的对称性可知x2= -b/2a，即抛物线与x轴的另一个交点是(-2，0)。

4.删除。

5.正确；通过函数图象可直接得到当1<x<4时，有y2<y1.
13.y = (x-6)^2 - 36
15.y = x^2 - 1
16.y = 1 or 2 or -1
19.解：由图象可知抛物线的顶点坐标为(1，4)，设此二次函数的解析式为y = a(x-1)^2 + 4.把点(3，0)代入解析式，得4a + 4 = -1，即a = -1.所以此函数的解析式为y = -(x-1)^2 + 4 = -x^2 + 2x + 3.
20.解：y = x(20-x) = -x^2 + 10x。

解方程48 = -x^2 + 10x，得x1 = 12，x2 = 8.∴△ABC的面积为48时，BC的长为12或8.
21.解：(1) y = (x-3)^2 - 1；(2) -1；(3) 2<x<4.
22.解：(1) 把点B的坐标(3，0)代入抛物线y = x^2 + bx + 6得9 + 3b + 6，解得b = -5.∴抛物线的表达式为y = x^2 - 5x +
6；(2) 抛物线的表达式y = x^2 - 5x + 6，令y = 0，即x^2 - 5x
+ 6 = 0，解得x1 = 2，x2 = 3.令x1 = 0，则y = 6.∴A(2，0)，
B(3，0)，C(0，6)。

∴AB = 1，OC = 6，S△ABC = 3.
23.解：(1) y = 50 - x (0≤x≤50，x为整数)；(2) w = (120 +
10x - 20)(50 - x) = -10x^2 + 400x + 5000 = -10(x - 20)^2 +
9000.∵a = -10<0，∴当x = 20时，w取得最大值，最大值为9000.此时每个房间定价为120 + 10x = 320(元)。

当每间房价定
价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元。

24.解：对于抛物线 $y=x^2-px+q$，将 $x=2$，$y=1$ 代
入得 $1=4-2p+q$，解得 $p=1$，$q=2$，$\therefore$ 抛物线的
解析式为 $y=x^2-x+2$。

令 $y=0$，得 $x^2-x+2=0$，解得
$x=1\pm i\sqrt{7}$，则抛物线与 $x$ 轴交点的坐标为
$(1+i\sqrt{7},0)$，$(1-i\sqrt{7},0)$，$(2,0)$。

证明：
$\because\Delta=p^2-4q=(p-2)^2-4\geq 0$，$\therefore$ 无论
$p$ 为何值，抛物线与 $x$ 轴必有交点。

25.解：(1) 根据题意，得 $(30-2x)x=72$，解得 $x_1=3$，$x_2=12$。

$\because 30-2x\leq 18$，$\therefore x\geq 6$，
$\therefore x=12$；(2) 设苗圃园的面积为 $y$，则 $y=x(30-
2x)=-2x^2+30x$。

由题意得 $30-2x\geq 8$，$\therefore x\leq
11$。

由 (1) 得 $6\leq x\leq 11$。

$\because a=-2<0$，对称轴为
直线 $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{1}{4}$，$\therefore$ 当
$x=\dfrac{1}{4}$ 时，$y$ 取最大值，最大值为 $-2\times
\dfrac{1}{16}+30\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{2}$；当
$x=11$ 时，$y$ 取最小值，最小值为 $-2\times 121+30\times
11=88$。

答：当平行于墙的一边长不小于 $8$ 米时，这个苗圃园的面积的最大值为 $\dfrac{15}{2}$ 平方米，最小值为 $88$ 平方米。

26.解：(1) 根据已知条件可设抛物线的解析式为 $y=a(x-
1)(x-5)$。

把点 $A(0,4)$ 代入上式，得
$a=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$，$\therefore y=(x-1)(x-5)=x^2-
x+4=(x-3)^2-5$，$\therefore$ 抛物线的对称轴是直线 $x=3$；(2) 存在。

理由如下：$\because$ 点 $A(0,4)$，抛物线的对称轴是直线 $x=3$，$\therefore$ 点 $A$ 关于对称轴的对称点
$A'$ 的坐标为$(6,4)$。

如图，连接$BA'$ 交对称轴于点$P$，连接 $AP$，此时 $\triangle PAB$ 的周长最小。

设直线
$BA'$ 的解析式为 $y=kx+b$，把 $A'(6,4)$，$B(1,0)$ 代入得
$\begin{cases}4=6k+b,\\0=k+b,\end{cases}$ 解得
$\begin{cases}b=\dfrac{4}{3},\\k=-\dfrac{5}{3},\end{cases}$，$\therefore y=-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{4}{3}$。

$\because$ 点
$P$ 的横坐标为 $3$，$\therefore y=\dfrac{-5}{3}\times
3+\dfrac{4}{3}=3$，$\therefore P(3,3)$。

$\therefore$ 点 $P$ 到$A$ 的距离最小，$\triangle PAB$ 的周长最小。

注：图示中的 $P$ 应该在对称轴上，但是由于无法输入LaTeX 中的图形，所以只能近似表示。

在直线AC的下方的抛物线上存在一个点N，使得△XXX 的面积最大。

设N点的横坐标为t，纵坐标为5t2－5t＋4，其
中0＜t＜5.如图②所示，过点N作NG∥y轴，与AC交于点G，作AD⊥NG于点D。

由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直
线AC的解析式为y＝－5x＋4.因此G的坐标为(t，－5t＋4)，NG的长度为－5t2＋4t。

由于AD＋CF＝CO＝5，因此△ACN
的面积等于△ANG和△XXX的面积之和。

根据计算可得，△ACN的面积为－2t2＋10t＋2.当t＝2时，△ACN的面积取得最大值，为2.此时N的坐标为(2，－3)。