人教版数学八年级下册第十八章平行四边形的对角线性质课件

人教版数学八年级下册
第十八章
18.1.2 平行四边形的对角线性质
学习目标
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质. 2．利用平行四边形对角线互相平分解决有关 问题.
导入新知
同学们，今天这节课，我们就一 起来学习关于平行四边形的对角线性 质的相关知识。
平行四边形的对角线性质
合作探究
因为AC＝8，BD＝14，
OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8， 【中考·泸州】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是( )
性质，先连接BD交AC于点O，再进行证明．
平行四边形的对角线互相平分
2在一平条行直四线边上形，的求对∴证角：线AA性E质B＝C＋F. BC＝30，AB－BC＝8.
又由△AOB的周长比△BOC的周长长8，
的结论吗？ 性质，先连接BD交AC于点O，再进行证明．
在▱ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD.
如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
我们猜想，在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD.
由此我们又得到平行四边形的一个性质： 平行四边形的对角线互相平分
C．20 cm2
D．16 cm2
【点拨】易知 S▱ABCD＝2S△ABC，在△ABC 中作 BE⊥AC 于 E 点， 由∠CAB＝30°可得 BE＝12AB＝3 cm，则 S△ABC 可求出．
即这个平行四边形各边长分别为19，11，19，11.
BD，并设它们相交于点O, OA与OC， 行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边
△DBC的周长－△ABC的周长＝24＋AB－(18＋AB)
＝24＋CD＝24＋AB，
∵A．四4边形ABBC．DO是3 B平行与四C边．O形2D， 有D什．1么关系？你能证明发现
C．2
D．1
例所3以∠如EA图O，＝在∠▱FACBO∴C.D中O，AAB＝=10O，ACD=，8，AOC⊥BB＝C. OD，AB＝CD，AD＝BC.
平行四边形的对角线互相平分
∵＝A2B4＋＋BACB＋－C18D－＋AD∵BA＝＝A66，0B， ＋BC＋CD＋DA＝60，
对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．
2 【中考·包头】如图，过▱ABCD的对角线BD上一 点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH， 那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2 的大小关系是( C ) A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．2S1＝S2
3 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角 线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分 的面积为( C ) A．3 B．6 C．12 D．24
2．等底等高的平行四边形的面积相等．
例3 如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及▱ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=8， CD=AB=10. ∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形. 根据勾股定理， A C A B 2 B C 21 0 2 8 2 6 . 又 OA=OC，∴OA= 1 AC=3， 2 S▱ABCD=BC • AC=8×6=48.
6．平行四边形的面积等于_底__、__高___的积；过平行四边形对角线 __交__点____的任一直线都将平行四边形分成面积相等的两部分．
7．在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若△AOB 的面
积为 3，则▱ABCD 的面积为( C )
A．6
B．9
ห้องสมุดไป่ตู้
C．12
D．18
8．如图，在▱ABCD 中，AC＝8，BD＝6，AD＝5，则▱ABCD 的 面积为( C ) A．6 B．12 C．24 D．48
9．如图，在▱ABCD 中，AC，BD 为对角线，BC＝6，BC 边上
的高为 4，则图中阴影部分的面积为( C )
A．3
B．6
C．12
D．24
*10.▱ABCD 的对角线 AC 的长为 10 cm，∠CAB＝30°，AB 的长
为 6 cm，则▱ABCD 的面积为( B )
A．60 cm2
B．30 cm2
4 【中考·青岛】如图，▱ABCD的对角线AC与BD
相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AC
＝2，BD＝4，则AE的长为( D )
A. 3
2
B. 3
2
C. 2 1
7
D. 2 2 1
7
5 【中考·眉山】如图，EF过▱ABCD对角线的交点 O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18， OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( C ) A．14 B．13 C．12 D．10
探究 又因为∠AOE＝∠COF，
求BC，CD，AC，OA的长，以及▱ABCD的面积.
例3 如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.
同学们，今天这节课，我们就一起来学习关于平行四边形的对角线性质的相关知识。
如图 ，在▱ABCD 中，连接 AC， 平行四边形的对角线互相平分
S▱ABCD=BC • AC=8×6=48.
2 如图， ▱ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF
过点O且与AB，CD分 别相交于点E，F. 求证OE=OF. 解：因为四边形ABCD为平行四边形， 所以OA＝OC，AB∥CD， 所以∠EAO＝∠FCO. 又因为∠AOE＝∠COF， 所以△OAE≌△OCF. 所以OE＝OF.
3 【中考·泸州】如图，▱ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则 △ABO的周长是( B ) A．10 B．14 C．20 D．22
决平行四边形的有关问题中，应注意运用平行四边形
1 如图，在▱ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.
例3 如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.
解：∵四边形ABCD是平行四边形， 平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的
线互相平分这一性质．因此本例要证对角线上
A．4
B．3
巩固新知
1 如图，在▱ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.
△AOD 的周长是多少?△ABC与△DBC的周长 哪个长？长多少？
解：在▱ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD.
因为AC＝8，BD＝14，
所以OA＝OC＝ 1 AC＝ 1 ×8＝4，
OB＝OD＝ 1
2 BD＝
1
2 ×14＝7.
求证OE=OF.
因为四边形ABCD为平行四边形，
如图 ，在▱ABCD 中，连接 AC，
知识点 1 对角线AC，BD相交于点O，
∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形.
平行四边形的对角线互相平分
5，则四边形EFCD的周长为( )
【中考·青岛】如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE的长为( )
∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形.
＝24＋CD＝24＋AB，
例2 如图，已知▱ABCD与▱EBFD的顶点A，E，F，C
在一条直线上，求证：AE＝CF. 导引：平行四边形的性质提供了边的平行
与相等，角的相等与互补，对角线 的平分，当所要证明的结论中的线 段在对角线上时，往往利用平行四边形的对角 线互相平分这一性质．因此本例要证对角线上 的AE＝CF，可考虑利用对角线互相平分这一 性质，先连接BD交AC于点O，再进行证明．
【点拨】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC， OD＝OB，OA＝OC. ∵OD＝OB，OA＝OC，∠AOD＝∠COB， ∴△AOD≌△COB(SAS)．同理可得△AOB≌△COD(SAS)． ∵AD＝CB，AB＝CD，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB(SSS)． 同理可得△ACD≌△CAB(SSS)，因此本题共有 4 对全等三角形．
【答案】C
3．如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AB＝3，
△ABO 的周长比△BOC 的周长小 1，则▱ABCD 的周长是
( C) A．10
B．12
C．14
D．16
4．(2020·益阳)如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，若
AC＝6，BD＝8，则 AB 的长可能是( D )
6 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，
则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③DE＝BF；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是( B )
A．4 B．3 C．2
D．1
合作探究
知识点 2 平行四边形的面积
1．面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平 行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边 间的距离)．
A．10
B．8
C．7
D．6
*5.(2019·遂宁)如图，▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， OE⊥BD 交 AD 于点 E，连接 BE.若▱ABCD 的周长为 28，则 △ABE 的周长为( ) A．28 B．24 C．21 D．14
【点拨】∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. ∵▱ABCD 的周长为 28，∴AB＋AD＝14. ∵OE⊥BD，∴OE 是线段 BD 的垂直平分线． ∴BE＝ED. ∴△ABE 的周长＝AB＋BE＋AE＝AB＋ED＋AE＝AB＋AD＝ 14.【答案】D
归纳新知
1. 平行四边形的对角线互相平分． 2. 平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的
任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．
课后练习
1．平行四边形的对角线__互__相__平__分__，并将平行四边形分成___4___ 对全等的三角形，___2___对面积相等的三角形．
2．(2019·柳州)如图，在▱ABCD 中，全等三角形的对数共有( ) A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对
证明：如图，连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)． ∵四边形EBFD是平行四边形， ∴OE＝OF(平行四边形的对角线互相平分)， ∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF(等式的性质)．
新知小结
本例易受全等三角形思维定式的影响．欲证的两 线段相等且又属于不同的三角形，习惯上就联想到证 这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目的，却 忽视了平行四边形特有的性质，易走弯路．因此在解 决平行四边形的有关问题中，应注意运用平行四边形 的性质．
OB＝OD＝ BD＝ ×14＝7.
所 ∴A以B△＋DBCBC＝的30周，长A∴>B△－ABABCCB＝的8＝周. 长C， D＝19，BC＝AD＝11.
【中考·包头】如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM
的对面角积 线SA2C的，大BD小相关交即系于是点这( O，个) 平行四边形各边长分别为19，11，19，11.
新知小结
求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积 公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高．平 行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平行线 间的距离处处相等．
巩固新知
1 如图，若▱ABCD的周长为36 cm，过点D分别作 AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF ＝5 cm，▱ABCD的面积为( A )cm2. A．40 B．32 C．36 D．50
2
2
所以△AOD的周长为OA＋OD＋AD＝4＋7＋10＝21， △ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋8＋10＝18＋AB， △DBC的周长为BC＋CD＋BD＝10＋CD＋14
＝24＋CD＝24＋AB， 所以△DBC的周长>△ABC的周长， △DBC的周长－△ABC的周长＝24＋AB－(18＋AB) ＝24＋AB－18－AB＝6， 即△DBC的周长比△ABC的周长长，长6.
对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分． 数学表达式：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形，
对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD.
例1 如图，已知▱ABCD的周长是60，对角线AC，
BD相交于点O.若△AOB的周长比△BOC的周 长长8，求这个平行四边形各边的长．
导引：由平行四边形对边相等知， 2AB＋2BC＝60， 所以AB＋BC＝30. 又由△AOB的周长比△BOC的周长长8， 知AB－BC＝8，联立以上两式，即可求出各边长．