微积分(上)期末考试试题A卷(附答案)

一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)
1．10
lim 2x
x -→=_________。

（A ） -∞ （B ） +∞ （C ） 0 （D ） 不存在 2．当0x →时，()x x
f x x
+=
的极限为 _________。

（A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D ） 不存在 ３． 下列极限存在，则成立的是_________。

0()()
()lim ()
x f a x f a A f a x
-∆→+∆-'=∆0
()(0)
()lim
(0)
x f tx f B tf x
→-'=0000
()()
()lim
2()t f x t f x t C f x t
→+--'=0
()()
()
lim
()x f x f a D f a a x
→-'=-
４． 设f （x ）有二阶连续导数，且()0
()
(0)0,lim
1,0()_______x f x f f f x x
→'''==则是的。

（A ） 极小值 （B ）极大值（ C ）拐点 （D ） 不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。

()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=()
()()
C d f x d x φ=⎰⎰()
()()d d
D f x dx x dx dx dx φ=⎰⎰
二、 填空题（每小题3分，共18分）
1. 设0
(2)
()0(0)0,lim
1sin x f x f x x f x
→===-在处可导，且，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。

２．函数()f x =[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的ξ=。

3．设1
(),()ln f x f x dx x
'=⎰的一个原函数是
那么 。

4．设(),x
f x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。

5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数5Q =-，那么在Ｐ＝４的水平上，若价格 下降1％，需求量将。

6．若,1
1
),(+-=
=x x u u f y 且,1)('u u f =dy dx =。

三、计算题（每小题6分，共42分）：
1、 求
11ln (ln )
lim x
x e
x -→
2、
1[(1)]lim x
x x e
x →∞
+-
3、设2
11
~,21x ax x c bx
→∞-++时，无穷小量求常数a 、b 、c. 4
、
5、ln(2)
x x
e dx e +⎰ 6、
3cos sin x x dx x ⎰
7、设函数f(x)具有二阶导数，且f （0）=0, 又(0)0()()0f x g x f x x x
'=⎧⎪
=⎨≠⎪⎩ ，求()g x '。

四、（8分）假设某种商品的需求量Q 是单价P （单位元）的函数：Q=1200-8P ；商品的总成本C
是需求量Q 的函数：C=2500+5Q 。

（1） 求边际收益函数和边际成本函数； （2） 求使销售利润最大的商品单价。

五、（12分）作函数2
21
(1)
x y x -=
-的图形 六、证明题（每题5分，共计10分）
1、 设函数)(x f 在[,]a b 上连续，且()f x '在(,)a b 内是常数，证明)(x f 在[,]a b 上的表达式
为
(),f x Ax B A B =+其中、为常数。

2、设函数)(x f 在[0,)+∞上可导，且()0,(0)0.f x k f '>><证明)(x f 在(0,)+∞内仅有一个零点。

《微积分》（上）期末考试试卷答案(A)
一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)
1．C ； 2． D ； 3.B C; 4.A; 5.B C.
二、 填空题（每小题3分，共18分）
1.12y x =- ２．23．2
1
ln C x x
-+ 4．X=2,极小值 5．上升2% 6．
2
2
1
dy dx x =- 三、计算题（每小题6分，共42分）： 1、求
1
1ln (ln )
lim x
x e
x -→
解：令1
1l n (ln )
x
y x -=，则1
ln ln(ln )______21ln y x x
=
-分
0001
1
ln limln lim ln(ln lim 1
1ln x x x x x y x x x
→→→==--）=-1-----3分 10
lim x y e -→=-----1分
3、
1[(1)]lim x
x x e
x →∞
+-
解：原式= 1
1[(1)1]2lim x x x e x →∞
+------分 11
1
1
1lim(1)241lim x
x x x x e e x e x
→∞→∞
-+==+=-----分
3、设2
11
~,21x ax x c bx
→∞-++时，无穷小量求常数a 、b 、c. 解：由
2211
ax x c
bx -+=+3分 得a=0，b=-2，c 取任意实数。

3分 4
解：
1
2==分
1
arc 2
C =
3分 5、解ln(2)1ln(2)ln(2)2x x x x x
x
x e dx e de e e dx e e --+=-+=-+++⎰⎰⎰2分 12ln(2)22
x x x
x
x
e e e e dx e -+-=-+++⎰ 2分 11
ln(2)ln(2)22
11
()ln(2)22x x x x x e e x e C e e x C
--=-++
-++=-++++2分
6、解：32cos 11sin 2sin x x dx xd x x
=-⎰⎰ 2分
221[csc ]2sin x
xdx x
=--⎰2分
211
2sin 2
x ctgx C x =-
-+2分
7、设函数f(x)具有二阶连续导数，且f （0）=0, 又(0)0()()0f x g x f x x x
'=⎧⎪
=⎨≠⎪⎩ ，
求()g x '
解：2
()()
0()xf x f x x x x
'-'≠=
当时，g ，这时()g x '连续 2分 200()(0)()(0)1
0(0)lim lim (0)22
x x f x xf f x f x f x x →→'''--'''====当时，g 3分 所以2()()
,0,()1(0),0.2
xf x f x x x
g x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩1分
四、（8分）假设某种商品的需求量Q 是单价P （单位元）的函数：Q=1200-8P ；商品的总成本C
是需求量Q 的函数：C=2500+5Q 。

（3） 求边际收益函数MR 和边际成本函数MC ； （4） 求使销售利润最大的商品单价。

解：（1）2
12008,5;MR PQ P P MC ==-=3分 （2）利润函数
2()812408500,L P PQ C P P =-=-+-1分
155
()1612400,2
L P P '=-+=令得P=
()160,L p ''=-<唯一驻点，又2分
P=155/2时利润最大。

2分
五、（12分）作函数2
21
(1)
x y x -=
-的图形 答案： （1）定义域是()()1,,11,=+∞⋃∞-x 是间断点1分 （2）渐近线
因
,0)
1(1
22
lim
=--∞
→x x x 故y=0为水平渐近线 因
,)1(1
22
1
lim
∞=--→x x x 故x=1为垂直渐近线2分
(3)单调性、极值、凹凸及拐点
,)
1(23
'--=
x x y 令,0'
=y 得x=0 ,)1(244
''-+=
x x y 令,
0'
'=y 得21-=x 再列表
1)0(-=f 是极小值；拐点是)8
9
,21(--.6分
(4)选点当21=
x 时，y=0;当23=x 时,y=8;当x=2时,y=3；当x=3时，4
5=y 1分 (5)描点作图 略2分
六、证明题（每题5分，共计10分）
1、设函数)(x f 在[,]a b 上连续，且()f x '在(,)a b 内是常数，证明)(x f 在[,]a b 上的表达式为
(),f x Ax B A B =+其中、为常数。

证明：设(),f x k '=在（a ，b ）内任取一点x ，在区间[a ，x]上由拉格朗日中值定理有：
()()()()()f x f a f a x k a x a x ξξ'-=-=-<<2分
则()()(,())f x kx ka f a Ax B A k B ka f a =-++=+=-=+其中2分
当x=a 时，上式也成立。

1分
2、设函数)(x f 在[0,)+∞上可导，且()0,(0)0.f x k f '>><证明)(x f 在(0,)+∞内仅有一个零点。

证明：在0,)+∞（内任取一点x ，则()[0]f x x 在，上满足拉格朗日中值定理条件，
1()(0)(),f x f f x kx ξ'-=>()(0),f x kx f >+即3分
令11(0)
0,()0f x f x k
=->>且，由f （x ）的单调性和零值定理知原命题成立。

2分。