湖北省孝感市2013年高考数学备考资料研究专题7(选修)：高考命题研究报告

2018 年孝感市高中数学高考命题研究报告

——教科书资源的开发与利用之选修 2-1

湖北省安陆市第二高级中学沈辉

课本是学生获取悉识的“范本”，最近几年来改编自课本的基础题

目在历年高考取所占的比重有所加大，观察的知识点及将来的发展趋向

更多的是观察课本上的基础知识和基本技术，所以对课本上的题不可以

小看。

下边特依据自己教课实践并联合孝感教科院下发的【孝教科函[2018]9 号】文件要求，对选修2-1 课本中一些例题、习题进行改编，希望各位同行予以指正 . iAQeJUax6o

1、【素材】原题 <人教版选修2-1第7页例4）证明：若

x 2y 20 ，则 x y0 .

【改编】命题“若 x y0, 则x 填“真”或“假”）

【解答】命题“若 x y 0, 则x 则 x 0或y0 ”,由于其逆否命题“若0

且

且

x

y 0 ”的否命题是命题.<

y 0 ”的否命题是“若x y 0,

0且y0 ，则 x y0 ”明显为

真命题，故填“真” .

2、【素材】<人教版选修2-1第11页

例

4）已知：⊙O 的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d.求证：d r 是直线 l 与⊙ O 相切的充要条件. iAQeJUax6o

【改编】已知直线 l : x y m 0与圆 C : x2y 22x 4 y 10 ，直线与

A．m 1 2 2B． 1 2 2 m 1 22

1 / 8

C．m 1 2 2D． m1 2 2

【解答】由于圆心 C (1,-2)，半径 r 2 ，圆心到直线的距离

1 2 m

1 2 2 ，故直线与圆相切的必需不充足条

d 2 ，解之得m

2

件，应选 B.

3、【素材】( 人教A版选修2－1第107页练

习第 2 题>如图，60o的二面角的棱上有A、B两点，

直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平

面内，且都垂直于AB, 已知 AB=4，AC=6，

BD=8，求 CD 的长 . iAQeJUax6o

【改编】P 是二面角-AB-棱上的一点，分别在、平面上引射线 PM、PN, 假如BPM BPN45o， MPN60o,那么二面角-AB-

的大小为 <）

A．300B． 600C．700D． 900【解答】不如设 PM=a 、PN=b , 如图，作

ME AB于E, NF AB于F ,

BPM BPN 45o,PE

2

a ， PF

2

b ，22

EM FN(PM PE) (PN PF )

PM PN PM PF PN PE PF PE

=ab cos600a202022ab ab ab ab

b cos 45ab cos45a b

2220

22222

，EM FN ,故二面角- AB -的大小为900，应选D.

4、【素材】<人教版选修2-1第80页复习参照题A组第5题）已知直线 y kx 1与双曲线 x 2 y 2 4 没有公共点，求k的取值范

围. iAQeJUax6o

【改编】若直线 mx ny 5 0与圆 x 2y 2 5 没有公共点，则过点

（ m,n）的一条直线与椭圆x

2

y 2 1 的公共点的个数是<）

P

75

A．0B．1C．2D．1或2

【解答】由已知得5

n25 ，即 m 2n 2 5 .又

m2 m2n2m2n2

755

1 ，所以点P在椭圆内，所以过点P的一条直线与椭5

圆有两个公共点 . 应选 C.

5、【素材】<人教 A 版选修 2－1 第 73 页第 6 题）如图，已知直线l ： y x - 2 与抛物线 y 22x 交于A、B两点，O为坐标

原点，求证： OA OB .

【改编 1】若直线l：x ky 2p 与抛物线

y 2 2 px( p 0)

交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，求证：OA OB .

【证明】设 A（ x , y ）B（ x

x ky 2 p , y ）

2 px

11 ，22, 由y

2

,得

y 2 2 pky 4 p 20 ，则 y1y2 2kp, y1 y2 4 p2，

则 x1 x2y1 y2(ky1 2 p)( ky2 2 p)y1 y2= k 2 y1 y 22kp( y1 y2 ) 4 p2y1 y2 4k 2 p 24k 2 p 24p 2 4 p20，∴OA OB.

【改编 2】已知直线l：x ky m ( m0) 与抛物线 y 2 2 px( p0) 交于 A、B 两点， O 为坐标原点，则AOB900建立的充要条件是 m 2 p .

【证明】<充足性已证明，下证必需性）设A（x1, y1），B（x2, y2）,由

x kym

得y2 2 pky 2 pm 0 ，则 y1 y2 2 pk, y1 y2 2 pm ，∵

y 2 2 px

AOB 900，

则 x1 x2 y1 y2 ( ky1 m)(ky 2 m) y1 y20 ，则 m(m 2 p)0 ，又m0故m 2 p .

6、【素材】<人教A版选修2－1第80页复习参照A组第9题）

经过点 M<2，1）作直线l交双曲线x2y 21于，两点，且

M 为

AB

2

A B

的中点，求直线 l 的方程.iAQeJUax6o

【改编】经过点P<0,1）作直线l交抛物线x28 y 于M、N两点，求线段 MN 的中点Q的轨迹方程．

【解答 1】( 点差法 >设M（x1, y1），N（x2, y2）, 代入抛物线方程得

x128 y1，作差，

x228 y2

有 x1x2（ x1x2） 8( y1y2 ) .设 Q( x, y) ，由题意知 x1 x2 2x 且 x1x2，（）

y1y2y 1

，故 8y12x ，即线段MN的中点 Q 的轨迹方程为

x1x2x x

x 24( y 1) .

【解答 2】( 韦达定理法 >设线段 MN 的中点Q ( x, y)，直线l的方程为y＝kx＋1

由y

kx

1

得x28kx80 ，<这里△≥0恒建立），设 M （ x1 , y1），x28 y

N（ x2 , y2）,

由韦达定理得 x1x28k， y1 y2 k(x1 x2 ) 28k 2 2 ，所以

Q(4 k, 4k21) ，

∴x＝4k,y ＝4 k2＋1，消去参数k，获取x24( y1) 为所求轨迹方程．

7、【素材】<人教A版选修2－1第50页习题