2011年全国高考试题

课标理数 15.C7[2011·天津卷] 已知函数 f(x)＝tan (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)设α∈ 0， π α 4 ，若 f 2 ＝2cos2α，求α的大小．
2x＋
π 4.
π π π kπ 课标理数 15.C7[2011· 天津卷] 【解答】 (1)由 2x＋ ≠ ＋kπ，k∈Z，得 x≠ ＋ ，k∈Z. 4 2 8 2 π x≠ kπ x∈R 8 ＋ ，k∈Z 所以 f(x)的定义域为 . 2 π f(x)的最小正周期为 . 2 a＋π α π sin 4 α＋ (2)由 f 2 ＝2cos2α，得 tan 4 ＝2cos2α， π ＝2(cos2 α－sin 2α) α＋ cos 4 sinα＋cosα 整理得 ＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)． cosα－sinα π 0， 1 1 因为α∈ 4 ，所以 sinα＋cosα≠0，因此(cosα－sinα)2＝ ，即 sin2α＝ . 2 2 π π 0， 0，
3π (2)由(1)知，B＝ －A，于是 4 π π B＋ A＋ 3sinA－cos 4 ＝ 3sinA－cos( π－A)＝ 3sinA＋cosA＝2sin 6 . π A＋ 3π π π 11π π π π 因为 0<A< ，所以 <A＋ < .从而当 A＋ ＝ ，即 A＝ 时，2sin 6 取最大值 2. 4 6 6 12 6 2 3 π B＋ π 5π 综上所述， 3sinA－cos 4 的最大值为 2，此时 A＝ ，B＝ . 3 12
大纲理数 17.C9[2011·四川卷] 已知函数 f(x)＝sin (1)求 f(x)的最小正周期和最小值；
x＋
7π 3π x－ 4 ＋cos 4 ，x∈R.
4 4 π (2)已知 cos(β－α)＝ ，cos(β＋α)＝－ ，0＜α＜β≤ .求证：[f(β)]2－2＝0. 5 5 2
大纲理数 17.C9[2011· 四川卷] 【解答】 7π 3π π x＋ －2π x－ ＋ (1)∵f(x)＝sin ＋sin 4 4 2 π π x－ x－ ＝sin 4 ＋sin 4 π x－ ＝2sin 4 ， ∴T＝2π，f(x)的最小值为－2. 4 4 (2)证明：由已知得 cosβcosα＋sinβsinα＝ ， cosβcosα－sinβsinα＝－ . 5 5 两式相加得 2cosβcosα＝0. π π ∵0＜α＜β≤ ，∴β＝ . 2 2 π ∴[f(β)]2 －2＝4sin2 －2＝0. 4
课标文数 21.E5，C9[2011·福建卷] 设函数 f(θ)＝ 3sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重 合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点 P(x，y)，且 0≤θ≤π. 1 3 ， (1)若点 P 的坐标为 2 2 ，求 f(θ)的值； x＋y≥1， (2)若点 P(x，y)为平面区域Ω： x≤1， 上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数 y≤1 f(θ)的最小值和最大值．
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课标理数 16.C8[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 a＝1， 1 b＝2，cosC＝ . 4 (1)求△ABC 的周长； (2)求 cos(A－C)的值．
1 课标理数 16.C8[2011· 湖北卷] 【解答】 (1)∵c2 ＝a2＋b2 －2abcosC＝1＋4－4× ＝4， 4 ∴c＝2，∴△ABC 的周长为 a＋b＋c＝1＋2＋2＝5. 1 1 15 (2)∵cosC＝ ，∴sinC＝ 1－cos2C＝ 1－ 4 2＝ ， 4 4 15 asinC 15 ∴sinA＝ ＝ 4 ＝ . c 8 2 ∵a<c，∴A<C，故 A 为锐角， 15 7 ∴cosA＝ 1－sin 2A＝ 1－ 8 2 ＝ . 8 7 1 15 15 11 ∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝ × ＋ × ＝ . 8 4 8 4 16
课标理数 17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满 足 csinA＝acosC. (1)求角 C 的大小； π B＋ (2)求 3sinA－cos 4 的最大值，并求取得最大值时角 A，B 的大小．
课标理数 17.C8，C4[2011· 湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得 sinCsinA＝sinAcosC. 因为 0<A<π，所以 sinA>0. 从而 sinC＝cosC. π 又 cosC≠0，所以 tanC＝1，则 C＝ . 4 3π (2)由 (1)知，B＝ －A，于是 4 π B＋ 3sinA－cos 4 ＝ 3sinA－cos(π－A) π A＋ ＝ 3sinA＋cosA＝2sin 6. π A＋ 3π π π 11π π π π 因为 0<A< ，所以 <A＋ < .从而当 A＋ ＝ ，即 A＝ 时，2sin 6 取最大值 2. 4 6 6 12 6 2 3 π B＋ π 5π 综上所述， 3sinA－cos 4 的最大值为 2，此时 A＝ ，B＝ . 3 12
课标数学 15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. π A＋ (1)若 sin 6 ＝2cosA, 求 A 的值； 1 (2)若 cosA＝ ，b＝3c，求 sinC 的值． 3
课标数学 15.C5， C7[2011·江苏卷] 本题主要考查三角函数的基本关系式、 两角和的正弦 公式、解三角形，考查运算求解能力． π π 【解答】(1)由题设知 sinAcos ＋cosAsin ＝2cosA.从而 sinA＝ 3cosA， 所以 cosA≠0， tanA 6 6 π ＝ 3，因为 0＜A＜π，所以 A＝ . 3 1 (2)由 cosA＝ ，b＝3c 及 a2 ＝b2＋c2 －2bccosA， 3 得 a2 ＝b2 －c2. π 故△ABC 是直角三角形，且 B＝ ， 2 1 所以 sinC＝cosA＝ . 3
13 [2011·福建卷] 已知等比数列{an }的公比 q＝3，前 3 项和 S3 ＝ . 3 (1)求数列{an }的通项公式； π (2)若函数 f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)在 x＝ 处取得最大值，且最大值为 a3，求函数 f(x)的解析式． 6
13 a1 1－33 13 1 【解答】 (1)由 q＝3，S3＝ 得 ＝ ，解得 a1 ＝ . 3 3 3 1－3 1 － － 所以 an ＝ ×3n 1＝3n 2. 3 － (2)由(1)可知 an ＝3n 2 ，所以 a3 ＝3. 因为函数 f(x)的最大值为 3，所以 A＝3； π 因为当 x＝ 时 f(x)取得最大值， 6 π 2× ＋φ 所以 sin 6 ＝1. π 又 0<φ<π，故φ＝ . 6 π 2x＋ 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝3sin 6 .
1 π x－ 课标理数 16.C7[2011·广东卷] 已知函数 f(x)＝2sin 3 6 ，x∈R. 5π (1)求 f 4 的值； π π 0， 3α＋ 10 6 (2)设α，β∈ 2 ，f 2 ＝ ，f(3β＋2π)＝ ，求 cos(α＋β)的值． 13 5
5π 1 5 π × π－ π 课标理数 16.C7[2011· 广东卷] 【解答】 (1)f 4 ＝2sin 3 4 6 ＝2sin ＝ 2. 4 10 π 1 π π (2)∵ ＝f3α＋ ＝2sin ×3α＋ － ＝2sinα， 13 2 3 2 6 1 π π ×3β＋2π－ β＋ 6 ＝f(3β＋2π)＝2sin 3 6 ＝2sin 2 ＝2cosβ， 5 π 0， 5 3 ∴sinα＝ ，cosβ＝ ，又∵α，β∈ 2 ， 13 5 5 3 12 4 ∴cosα＝ 1－sin2 α＝ 1－ 13 2 ＝ ，sinβ＝ 1－cos2β＝ 1－ 5 2＝ ， 13 5 3 12 5 4 16 故 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝ × － × ＝ . 5 13 13 5 65
课标理数 18.C8[2011·浙江卷] 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 1 已知 sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且 ac＝ b2 . 4 5 (1)当 p＝ ，b＝1 时，求 a，c 的值； 4 5 (2)若角 B 为锐角，求 p 的取值范围． a＋c＝ ， 4 课标理数 18.C8[2011· 浙江卷] 【解答】 (1)由题设并利用正弦定理，得 1 ac＝ ， 4 1 a＝1， a＝ ， 4 1 解得 或 c＝ ， c＝1. 4 (2)由余弦定理，b2 ＝a2＋c 2－2accosB ＝(a＋c)2－2ac－2accosB 1 1 3 1 ＝p2 b2－ b2 － b2cosB，即 p2＝ ＋ cosB， 2 2 2 2 3 ，2 6 因为 0＜cosB＜1，得 p2 ∈ 2 ，由题设知 p＞0，所以 ＜p＜ 2. 2
课标理数 17.C8[2011·江西卷] 在△ABC 中， A， C 的对边分别是 a，b， 已知 sinC＋cosC 角 B， c， C ＝1－sin . 2 (1)求 sinC 的值； (2)若 a2＋b2 ＝4(a＋b)－8，求边 c 的值．
C 课 标 理 数 17.C8[2011· 江 西 卷 ] 【 解 答 】 (1) 由 已 知 得 sinC ＋ sin ＝ 1 － cosC ， 即 2 C C 2cos ＋1 C sin 2 ＝2sin2 ， 2 2 C C C C C 1 由 sin ≠0 得 2cos ＋1＝2sin ，即 sin －cos ＝ ， 2 2 2 2 2 2 3 两边平方得：sinC＝ . 4 C C 1 π C π π 3 7 (2)由 sin －cos ＝ ＞0 得 ＜ ＜ ，即 ＜C＜π，则由 sinC＝ 得 cosC＝－ ， 2 2 2 4 2 2 2 4 4 由 a2 ＋b2 ＝4(a＋b)－8 得：(a－2)2＋(b－2)2＝0，则 a＝2，b＝2. 由余弦定理得 c 2＝a2 ＋b2－2abcosC＝8＋2 7，所以 c＝ 7＋1.
课标文数 21.E5，C9[2011· 福建卷] 【解答】 (1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得 3 sinθ＝ ， 2 cosθ＝1. 2 于是 f(θ)＝ 3sinθ＋cosθ＝ 3× 3 1 ＋ ＝2. 2 2
(2)作出平面区域Ω(即三角形区域 ABC)如图 1－7 所示，其中 A(1,0)，B(1,1)，C( 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 csinA＝acosC. (1)求角 C 的大小； π B＋ (2)求 3sinA－cos 4 的最大值，并求取得最大值时角 A，B 的大小．
【解答】 (1)由正弦定理得 sinCsinA＝sinAcosC. 因为 0<A<π，所以 sinA>0.从而 sinC＝cosC. π 又 cosC≠0，所以 tanC＝1，则 C＝ . 4
2011年全国高考试题
三角函数部分
[2011·全国卷] △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 A－C＝90°，a＋c＝ 2b，求 C.
【解答】 由 a＋c＝ 2b 及正弦定理可得 sinA＋sinC＝ 2sinB. 又由于 A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故 cosC＋sinC＝ 2sin(A＋C) ＝ 2sin(90°＋2C) ＝ 2cos2C. 2 2 故 cosC＋ sinC＝cos2C， 2 2 cos(45°－C)＝cos2C. 因为 0°<C<90°， 所以 2C＝45°－C，C＝15°.
图 1－7 π 于是 0≤θ≤ . 2 又 f(θ)＝ 3sinθ＋cosθ＝2sin π π 2π 且 ≤θ＋ ≤ ， 6 6 3 π π π 故当θ＋ ＝ ，即θ＝ 时，f(θ)取得最大值，且最大值等于 2； 6 2 3 π π 当θ＋ ＝ ，即θ＝0 时，f(θ)取得最小值，且最小值等于 1. 6 6 θ＋ π 6 ，