(课件1)24.4弧长和扇形面积
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24.4弧长及扇形面积(第1课时)课件
r
例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘 米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14） 解:因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为
nr 2 60 3.14 10 2 S ≈52.33(平方厘米)； 360 360
扇形的周长为
l nr 60 3.14 10 2r 20 180 180
90 图 23.3.2 360
图 23.3.2
45 360 n 360
图 23.3.2
n r 2 360
图 23.3.2
结论：
如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半径 是r，那么扇形面积计算公式为
Q l n° r O
扇形面 积S
n 2 s r 360 nr r 1
180
lr 2 2
D
有水部分的面积 = S扇+ S△
A
E
B
0
0.24 0.09 3
C
4、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心， 以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之 和为 个平方单位．
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
n 1 2 s r 或s lr 360 2
n nr 50 l 2r = 3 cm 360 180
50 答：此圆弧的长度为 cm 3
例2制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长 度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度 L(单 位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB
180
的长
L 100 900 500 1570（mm）
3
2
3
cm
弧长和扇形面积ppt
如何利用几何图形求弧长和扇形面积
对于简单的几何图形，如直角三角形、正方形、矩形等， 可以通过已知的边长或直接测量得到弧长和扇形面积。
对于复杂的几何图形，可以利用相交弦定理、切割线定理 等几何定理来求解。也可以使用三角函数和代数方法进行 求解。
06
总结
本课程的主要内容和重点
弧长和扇形面积的概念及公式应用 计算方法和技巧，包括公式推导和例题解析
通过学习和应用这些概念，学生可以更好地理解 和掌握平面图形和立体图形的计算方法，为进一 步学习几何学和其他数学分支打下坚实的基础
THANKS
课程目标和意义
1
掌握弧长和扇形面积的基本概念和计算方法， 理解其几何意义和物理应用。
2
通过解决实际问题，培养学生的数学思维能力 和几何直观感，提高学生的数学素养。
3
为学习更高级的数学和物理课程打下坚实的基 础。02弧长Fra bibliotek弧长的定义
弧长是圆弧上任意两点间的长度。
圆心角所对的弧长称为弧长。
弧长的计算公式
弧长和扇形面积在 几何中可以相互转 化，从而方便计算 和证明几何问题。
扇形面积在几何中 可以表示平面图形 面积，如圆的面积 、球冠面积等。
05
案例分析
如何计算弧长和扇形面积
弧长公式
$弧长 = 圆周率 \times 直径 \times 角度 / 360$。
扇形面积公式
$扇形面积 = 圆心角度数 / 360 \times 圆的面积$。
弧长和扇形面积在几何学和实际生活中的应用 涉及的数学知识点和思维方法
学习弧长和扇形面积的意义和实际应用
弧长和扇形面积是几何学中非常重要的概念，是 研究平面图形和立体图形的基础
弧长和扇形面积(时)课件
单位圆
在单位圆上选择一段弧， 并计算该弧所对应的中心 角。
三角函数
利用三角函数的知识，将 中心角转换为弧度制，并 与半径相乘得到弧长。
03
CATALOGUE
扇形面积的计算方法
扇形面积公式
总结词
扇形面积公式是计算扇形面积的关键公式，它基于圆的面积 和圆心角。
详细描述
扇形面积公式为 (S = frac{1}{2} r^2 theta)，其中 (S) 是扇 形面积，(r) 是半径，(theta) 是圆心角（以弧度为单位）。 这个公式是计算扇形面积的基础，通过它可以将扇形面积与 圆的半径和圆心角联系起来。
弧长公式的应用
1 2
计算特定圆心角下的弧长
已知圆心角和半径，使用弧长公式计算弧长。
比较不同圆心角下的弧长
通过改变圆心角的大小，比较不同圆心角下的弧 长。
3
分析弧长与圆心角的关系
通过观察弧长与圆心角的变化趋势，理解弧长与 圆心角之间的线性关系。
弧长公式的推导
01
02
03
基础概念
了解弧长的定义和相关的 几何概念，如圆心角、半 径等。
扇形面积 = (弧长 / 2π) × 半 径。
弧长 = 2π × (扇形面积 / 半径 )。
02
CATALOGUE
弧长的计算方法
弧长公式
弧长公式
弧长 = 圆心角（弧度） × 半径
圆心角（弧度）的测量
使用角度计或弧度计测量圆心角的大小，注意要将角度转换为弧度 。
半径的测量
使用测量工具测量圆的半径，确保测量准确。
扇形面积公式的应用
总结词
扇形面积公式的应用广泛，可以用于解决各种与扇形有关的问题。
人教版九年级数学上册课件：24.4弧长和扇形面积(共19张PPT)
－
1353π6×0 152＝375π(cm2)．
9
能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中， 图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
10
12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋 转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章 圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径． 核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个 量． 知识点 2 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径． 【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧 径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角 分 积析，：即先 可用 求形扇 出形 阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面
【课件】24.4弧长和扇形面积
∴AF＝ AB2＋BF2＝ 22＋12＝ 5.由平行四边形的性质，△FEC≌
△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S 阴影＝S 扇形 BAC＋S△ABF＋S△FGC－S 扇形 FAG
＝90×3π60×22＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90×π
×（ 360
5）2＝52－π4
16．(2014·昆明)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使∠A＝2∠1，E 是 BC 上的一点，以 BE 为直径的⊙O 经过点 D.
(1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)若∠A＝60°，⊙O 的半径为 2，求阴影部分的面积．(结果
保留根号和π)
解：(1)连接 OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠BDO，∴∠DOC＝2 ∠1＝∠A.在 Rt△ABC 中，∠A＋∠C＝90°，即∠DOC＋∠C＝90 °，∴∠ODC＝90°，即 OD⊥DC，∴AC 为圆 O 的切线
3．已知扇形的圆心角为 45°，弧长等于π2 ，则该扇形的半径是 ___2__．
4．(2014·兰州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30
°，AB＝2.将△ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60°得△A′B′C，则点
B 转过的路径长为(B )
π A. 3
3π B. 3
2π C. 3
∠FAB＝90°.∵线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90°得线段 FG，∴∠
AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC
∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形 EFGC 是平行四
边形，∴EF∥CG
(2)∵AB＝2，E 是 AB 的中点，∴FB＝BE＝12AB＝12×2＝1，
人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积》圆PPT课件(第1课时)
（2）弧长单位和半径单位一致.
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
弧长公式
：
l=
π
180
1.在半径为24 cm的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 4π cm，
60°的圆心角所对的弧长为 8π cm，120°的圆心角所对的弧
长为
16π cm.
2.半径为6 cm的圆中，75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm；
D．80°
，扇形OAB的面积为15π，则
(
巩固新知
π，半径是6，那么此扇形的
AB 所对的圆心角是（ B ）
课堂小结
布置作业
A．120°
B．72°
C．36°
D．60°
创设情境
随堂练习
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水
探究新知
面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
线，垂足为D，交
于点C，连接
O●
巩固新知
课堂小结
布置作业
AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
A
D
C
B
创设情境
典型例题
【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，
探究新知
圆心角
有关，
创设情境
典型例题
【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，
探究新知
再下料，试计算图所示管道的展直长度L (结果取整数) .
A
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
弧长公式
：
l=
π
180
1.在半径为24 cm的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 4π cm，
60°的圆心角所对的弧长为 8π cm，120°的圆心角所对的弧
长为
16π cm.
2.半径为6 cm的圆中，75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm；
D．80°
，扇形OAB的面积为15π，则
(
巩固新知
π，半径是6，那么此扇形的
AB 所对的圆心角是（ B ）
课堂小结
布置作业
A．120°
B．72°
C．36°
D．60°
创设情境
随堂练习
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水
探究新知
面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
线，垂足为D，交
于点C，连接
O●
巩固新知
课堂小结
布置作业
AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
A
D
C
B
创设情境
典型例题
【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，
探究新知
圆心角
有关，
创设情境
典型例题
【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，
探究新知
再下料，试计算图所示管道的展直长度L (结果取整数) .
A
最新人教版初中数学九年级上册《24.4 弧长和扇形面积 (第2课时)》精品教学课件
巩固练习
如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°，用这
个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)则这个圆锥的底面半径r= 4 ．
(2)这个圆锥的高h=
A
2 21 .
r
R=10
θ
C
O
B
探究新知
素养考点 2
圆锥有关面积的计算
例2 如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm,母线为
50cm.在一块大铁皮上裁剪时，如何画出这个烟囱帽的侧面
2 .一个扇形，半径为30cm，圆心角为120度，用它做成一个
10cm ．
圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____
3.已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积
2
2
是 15πcm ，全面积是 24πcm ．
课堂检测
能力提升题
如图，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求
布 置 作 业
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
总结点评
同学们，我们今天的探索很成
功，但探索远还没有结束，让我们
在今后的学习生涯中一起慢慢去发
现新大陆吧！
再
见
我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，
SB 等叫做圆锥的母线．
圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高
S
圆锥的高
从圆锥的顶点到圆锥底面圆心
之间的距离是圆锥的高．
母线
A
O
r
B
探究新知
要点归纳
如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长,
l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：
弧长和扇形面积-课件
180
9
例1：
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，
求此圆弧的长度。
解： l n R 60 • 50 = 50 (cm)
180 180
3
答：此圆弧的长度为 50 cm
3
例2制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长
度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单
位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB 的长
它的圆心角的度数
3
为1_2_0_°．
例4：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
有水部分的面积 = S扇- S△
0
A
D
B
C
0.12 0.09 3 ≈ 0.22m2
练习：1.如图、水平放置的圆柱形排水管道的
截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截
面上有水部分的面积。(结果保留 )
D
有水部分的面积 = S扇+ S△
A
E
B
0
0.24 0.09 3
C
做一做： 1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则
这个扇形的面积为___4____.
3
2、已知扇形的圆心角为300，面积为3 cm2 ， 则这个扇形的半径R=_6_c__m．
3
25 cm D.
3
50 cm
3
.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木 板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至 B2结束所走过的路径长度__l___4___.
3
B1
B●
B
B2
B1
F'
相关主题
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解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，
垂足为D，交弧AB于点C.
∵OC=0.6，DC=0.3 ∴OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3
在Rt△ OAD中，∵OD=0.5OA ∴∠ OAD=30°
∴∠AOD=60°， ∠ AOB=120°
在Rt△OAD中，OA=0.6，利用勾股定理可得：
AD OA2 OD2 0.62 0.32 0.3 3
有水部分的面积为= S扇形OAB SOAB
0
0.6
D
A
0.3 C
120 0.62 1 AB OD
360 2
B 0.12 1 0.6
2
3 0.3
0.22
做一做：
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则
这个扇形的面积为___4____.
3a2
a2 3a2 a2
S阴影 =S ABC 3S扇形
4
3 12
4
4
l
nR
180
n R2
S扇形 360
S 扇形
1 lR 2
1.扇形的弧长和面积大小与哪些因素有关？
（1）与圆心角的大小有关
（2）与半径的长短有关
2. 扇形面积公式与弧长公式的区别：
l弧＝
n 360
C圆
S扇形＝
n 360
S圆
2、已知半径为2的扇形，面积 为 4 ，则它的圆心角的度数
3
为_12_0_°．
加深拓展
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
提示：要求的面积，可
以通过哪些图形面积的
0
和或差求得
A
D
B
C
弓形的面积 = S扇- S⊿
为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积．
2
解：连接AD，则
AD BC 垂足为D
根据勾股定理，得
AD
AB2 BD2
a2
a 2
2
3a . 2
S ABC 1 BC AD 1 a 3a 3a2 .
2
22 4
S扇形BDF
=
1 12
a2
.
A
F E
B
DC
又知，S扇形BDF=S扇形CDE=S扇形AEF,
l 100900 500 1570mm.
180
因此所要求的展直长度
L 2 700 1570 2970mm.如来自图，由组成圆心角的两条半径和圆心角
所对的弧围成的图形是扇形。
B
B
弧 圆圆心心角角
A
扇形
O A
如果圆的半径为R，则圆的面积为 R 2，
l°的圆心角对应的扇形面积为 R2 ，
360
得： R 180l n
R 180l 18012 8.5m. n 813.14
答：这段圆弧的半径R为8.5m.
颗粒归仓
1.弧长公式：
l nR 180
2.扇形面积公式： S扇形
nR 2 360
1 lR
2
注意： (1)两个公式的联系和区别；
(2)两个公式的逆向应用。
a
2.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、 C 为圆心，以
4. n°的圆心角呢？
半径为R圆的周长为 C 2R
可以看作是360°圆心角所对的弧长
O· 1°
n°
1°的圆心角所对弧长是 1 2R
R
360
n°的圆心角所对的弧长 l 1 2R n nR
360
180
你能根据算出本节开头的弧长吗？
A
700mm
B
100°R=900mm
700mm
C
D
由上面的弧长公式，可得 AB 的长
3
2、已知扇形的圆心角为300，面积为
3
cm
2
，
则这个扇形的半径R=_6_c__m．
3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为 20 cm ，
则扇形的面积为_2_4__0___c_m__2．
练习
1.有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧 所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R （精确到0.1m）.
解：由弧长公式： l nR 180
制造弯形管道时，经常要先按中心线计算 “展直长度”（图中虚线成的长度），再下料， 这就涉及到计算弧长的问题．
A
700mm
R=900mm B
100°
700mm
C
D
如 何 求 AB 长 ？
1. 你还记得圆周长的计算公式吗？ 2. 圆的周长可以看作是多少度的圆 心角所对的弧长？
3. 1°的圆心角所对弧长是多少？
n°的圆心角对应的扇形面积为 n R2 nR2 360 360
那么： 在半径为R 的圆中,n°的圆心角
所对的扇形面积的计算公式为
S扇形
nR 2
360
A
B
O
O
l nR
180
S扇形
nR 2
360
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
S扇形
1 lR 2
1、已知扇形的圆心角为120°， 半径为2，则这个扇形的面积， S扇=__34__．