三角函数的诱导公式 课件

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三角函数的诱导公式(一)
1.诱导公式二 (1)角π+α与角α的终边关于_原__点__对称. 如图所示.
(2)公式:sin(π+α)=_-_s_i_n_α__. cos(π+α)=_-_c_o_s_α__. tan(π+α)=__t_a_n_α__.
2.诱导公式三 (1)角-α与角α的终边关于__x_轴对称. 如图所示.
【解析】1. sin(540 )gcos() sin(180 )gcos singcos
tan( 180)
tan
tan
=-cos2α.
答案:-cos2α
2.当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),
sin k cos[k 1 ] sin 2m cos[2m 1 ] sin[k 1 ]cos(k ) sin[2m 1 ]cos(2m )
(C)3+cos2x
(D)3+sin2x
2.已知函数f(x)满足f(cosx)=cos2x,则f(sin15°)=_______.
3.已知函数f(x)满足f(cosx)= 1 x(0≤xπ),求f(cos 4 )的
2
3
值.
【解析】1.选C.因为f(sinx)=3-cos2x=3-(1-2sin2x)=


4
cos(
4n
π1-x)分别化简,结果可能较复杂.4给下面
4

的分情况讨论带来困难甚至解答不出,这在考试中最

多得2分.

在解答过程中,若没有对n的取值进行分情况讨论,
② 则化简的结果会出现-2cos( +x)或2cos( +x),
4
4
从而结果不全面,这在考试中最多得8分.
失 分 警 示
在解答过程中,若上面的情况都考虑到时,而在最 ③ 后没有下结论,没有写出③,此时最多得10分,这
【解析】1.cos( 16)= cos(-6π+ )2=cos 2
3
3
3
=cos(π- )=-cos = .1
3
32
答案: 1
2
2.sin585°cos1 290°+cos(-30°)sin210°+tan135°
=sin(360°+225°)cos(3×360°+210°)+cos30°sin210°
sincos sin cos
sin cos
sincos
1.
当k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),
原式= sin sin[ 2m
2m cos2m 2 ]cos[2m
1

sin cos
sincos( )
= sinco=s-1.
sin(cos)
【归纳】三角函数式化简的思路以及含有kπ±α形式的处理 方法. 提示:(1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α的三角函数 转化. (2)含有kπ±α形式的化简时,需对k分是偶数还是奇数来确定 选用的公式.
1.诱导公式中的角α只能是锐角吗? 提示:角α不仅仅是锐角,可以是任意角. 2.诱导公式二~四主要有什么作用? 提示:诱导公式二的作用:把第三象限角的三角函数化为第一 象限角的三角函数. 诱导公式三的作用:把负角的三角函数化为正角的三角函数. 诱导公式四的作用:把第二象限角的三角函数化为第一象限角 的三角函数.
在考试中失分是非常可惜的.
解 题 启 示
(1)在化简三角函数式时,首先要细心观察所要化简的角 之间有何联系,找出它们的内在关系,由此转化为利用公 式进行化简. (2)若含有参数时,要注意是否需进行分情况讨论. (3)在解答题中要注意答题的规范性和完整性.
【规范训练】(12分)化简:sin n sin n (n∈Z). sin ncos( n)
(2)公式:sin(-α)=_-_s_i_n_α__. cos(-α)=_c_o_s_α__. tan(-α)=_-_t_a_n_α__.
3.诱导公式四 (1)角π-α与角α的终边关于_y_轴对称. 如图所示.
(2)公式:sin(π-α)=_s_i_n_α_. cos(π-α)=_-_c_o_s_α_. tan(π-α)=_-_t_a_n_α_.
给角求值问题 【技法点拨】
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
“负化正”
用公式一或三来转化;
“大化小”
用公式一将角化为0°到360°间的角;
“小化锐”
用公式二或四将大于90°的角转化为锐角;
“锐求值”
得到锐角的三角函数后求值.
【典例训练】
1.cos( 16 )的值为________.
3
2.求sin585°cos1 290°+cos(-30°)sin210°+tan135°的值.
(2)记忆诱导公式一~四的口诀是“函数名不变,符号看象限”, 其含义是公式两边的函数名称不变,符号则是将角α看成锐角 时原角所在象限的三角函数值的符号.
2.诱导公式的实质 诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之 间的关系.换句话说,诱导公式实质是将终边对称的图形关系 “翻译”成三角函数之间的代数关系.
2 2 22
4
【想一想】已知角求值的关键是什么?解决题2时易出现什么 样的失误? 提示:(1)关键是利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角 (一般为特殊角)的三角函数. (2)易出现将特殊角的三角函数值记错或者出现符号错的失误.
给值(式)求值问题 【技法点拨】
解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、 函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形 向已知式转化.
【解题设问】(1)本题需要分情况讨论吗?_需__要__.
(2)若需要应对n分为_奇__数__和_偶__数__进行化简.
【规范答题】当n=2k,k∈Z时,
原式=ssinin22kkcosisn.2…2kk…… …co2s… …………5分
当n=2k[ sin[
2k 2k
3
三角函数式的化简问题 【技法点拨】
三角函数式化简的常用方法 (1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化 为角α的三角函数. (2)切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. (3)注意“1”的应用:1=sin2α+cos2α=tan .
4
【典例训练】
1.化简 sin 540 gcos =___________. 2.化简:设kta为n(整 数18,0化) 简:ssiinn[kk1cos[]kcos1k] .

4 2cos(
4
x),
4③ n是奇数,
故原式=2cos(
4
x),
n是…偶…数……. ………………………………………12分
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析,对解答本题的失分警示和解
题启示总结如下:(注:此处的①②③见规范解答过程)
在解答过程中,若没有观察出( 4nπ+1 x)+
( 4n π1-x)的值,则在过程中对cos(4 π4+n x1)和
4.化简sin 13·cos( 7 )=_________.
3
6
【解析】sin 13 ·cos( 7 )=sin(4π+ )cos 7
3
6
3
6
=sin cos(π+ )=sin ·(-cos )= 3 ( 3 ) 3.
3
6
3
6
2
2
4
答案: 3
4
1.解读诱导公式 (1)学习诱导公式要抓住一个“诱”字.诱什么?怎样诱?为什么 这么诱?若能清楚这些问题,自然就会循循善“诱”了.诱什么, 就是诱角,即把α+k·360°(k∈Z),-α, 180°±α中的任意 角α看作锐角;怎样诱,就是变角,角的变换为使用诱导公式创 造了条件;为什么这么诱,就是为了得到我们所需要的角,或所 需要的名,或最简的式.
复合函数的求值问题 【技法点拨】
复合函数求值的一般思路 三角函数是特殊的函数,函数f(外函数)与三角函数(内函数) 的复合函数,需注意自变量是角,解题的关键是利用诱导公式 将所求的角转化到定义域中.
【典例训练】
1.若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)=( )
(A)3-cos2x
(B)3-sin2x
2+2sin2x , 则 f(x)=2+2x2 , 所 以
f(cosx)=2+2cos2x=3+cos2x.
2.f(sin15°)=f(3cos75°)=cos150°=cos(180°-30°)
2
=-cos30°3=- .
2
答案:- 4
3
2
3
3
3
3.f(cos )=f[cos(π+ )]=f(-cos )=f(cos )
4
4
=2cos(4n π1 +x)=2cos(nπ+ +x)①.
4
4
(1)当n为奇数②,即n=2k+1(k∈Z)时,
原式=2cos(2kπ+π+ +x)=-2cos( +x).………………………9分
4
4
(2)当n为偶数②,即n=2k(k∈Z)时,原式
=2cos(2kπ+ +x)=2cos( +x).…………………………………11
3.在下列各式中: ①sin(α+π)=-sinα, ②cos(-α+β)=-cos(α-β), ③sin(-α-2π)=-sinα, ④cos(-α-β)=cos(α+β). 正确的序号是_________. 【解析】对于②式,cos(-α+β)=cos[-(α-β)]=cos(α-β), 故②错误,而①③④由诱导公式可判定正确. 答案:①③④
则α+2β=(α+β)+β=2kπ+π+β(k∈Z),
∴sin(α+2β)=sin(2kπ+π+β)=sin(π+β)=-sinβ=- . 1
3
2.解题流程:
判断
∵cos(α-55°)=- 1<0,且α是第四
3
象限角,∴α- 55°是第三象限角.
计算
sin(α-55°)= 1 cos(2 55) 2 2 .
1 2 . 23 3
【规范解答】含参数的三角函数式的化简
【典例】(12分)化简:cos( 4n 1π+x)+cos( 4n 1π-x)(n∈Z).
4
4
【解题指导】
【规范解答】∵( 4nπ+1x)+( π4n-x)1=2nπ①,………4分
4
4
∴原式=cos( 4n π1+x)+cos[2nπ-( 4πn+1x)]
【典例训练】
1.已知sinβ= 1 ,cos(α+β)=-1,则sin(α+2β)的值为( )
3
(A)1
(B)-1
(C) 1
(D)-1
3
3
2.已知cos(α-55°)=- 1 ,且α为第四象限角,求sin(α+125°)
3
的值.
【解析】1.选D.由cos(α+β)=-1得,α+β=2kπ+π(k∈Z),
+tan(180°-45°)=sin225°cos210°+cos30°sin210°-tan45°
=sin(180°+45°)cos(180°+30°)+cos30°sin(180°+30°)
-tan45°=sin45°cos30°-cos30°sin30°-tan45°
= 2 3 3 1 1 . 6 3 4
3
转化 结论
∵α+125°=180°+(α-55°), ∴sin(α+125°) =sin[180°+(α-55°)] =-sin(α-55°).
sin(α+125°)=-sin(α-55°)= 2 2 .
3
【思考】解决给值(式)求值问题的关键是什么?以及在求解题2 时的突破口在哪里? 提示:(1)设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题 的关键. (2)首先必须正确地判断出α-55°是第三象限角.由 cos(α-55°)=- 正1 确地解出sin(α-55°)的值是解决此题的突破口.
1] sin[ 1 ]cos[
,…22kk…11…1]]0分 co2s
所以原式= coc2so2sn为n为偶…奇数…数…,.…………………………12分
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