2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题(带答案)

2018-2019学年高二下学期期末考试
一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1
{|24}4x B x =≤≤，则A B I =（） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}-
C ．{2,1,0,1,2}--
D ．{0,1,2}
2.已知i 为虚数单位，若复数11ti
z i
-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-
D ．(1,)+∞
3.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3
D ．－1≤a ≤1
4.已知双曲线1C ：22
12x y -=与双曲线2C ：2212
x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（）
A.它们的焦距相等
B ．它们的焦点在同一个圆上
C.它们的渐近线方程相同
D ．它们的离心率相等
5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6.已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，
3)，则平面α的法向量不可能是( ) A.(1，－4，2)
B.⎝⎛⎭⎫14
，－1，1
2 C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－1
2 D.(0，－1，1)
7.在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π
3
，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )
A.1
4 B.3－34 C.2－34 D.13
8.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 9.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1
展开式的二项式系
数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计
60
50
110
由K 2
＝n ad －bc 2
a ＋b
c ＋
d a ＋c b ＋d
算得，K 2
＝
110×40×30－20×20
2
60×50×60×50≈7.8.
附表：
P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
11.焦点为F 的抛物线C ：2
8y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当
||
||
MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+
D ．22y x =-+
12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，
224,23,()2,34,x x x f x x x x
⎧-+≤≤⎪
=⎨+<≤⎪
⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得
21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（）
A ．11(,)[,)88-∞-+∞U
B ．11[,0)(0,]48
-U C.(0,8]
D ．1
1(,][,)48
-∞-+∞U
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r
，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为．
14.将参数方程⎩⎨⎧
x ＝a
2⎝⎛⎭
⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭
⎫
t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．
15.已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知直线l 的参数方程为2
4,222
x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.
（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；
（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值
18.(12分)设函数()1f x x x =+-的最大值为m .
（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求22
11
a b b a +++的最小值.
19.(12分)点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心. （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；
（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.
20.(12分)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.
方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
21. (12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为2
2，且a 2＝2b .
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在实数m ，使直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆 x 2＋y 2＝5上？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
22. (12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k
2x
2(k≥0)．
(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
参考答案
一、选择题
1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD 二、填空题
13.355
14：x 2a 2－y 2b 2＝1 . 15.0.1 16.[2,4]ππ
三、解答题
17.解：（1）由4cos ρθ=得2
4cos ρρθ=，
所以2
2
40x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为2
2
(2)4x y -+=.
将直线l 的参数方程代入圆:C 22
(2)4x y -+=，并整理得2
220t t +=，
解得10t =，222t =-.
所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||22t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.
圆C 的参数方程为22cos ,
2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数），
可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离
|22cos 2sin 4|2
d θθ+--=
|2cos()2|4πθ=+-，
当cos()14π
θ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为22+. 所以1
22(22)2222
ABP S ∆≤
⨯⨯+=+， 即ABP ∆的面积的最大值为22+.
18.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪
⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1， x ≥1，
由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，
a 2
b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2
a ＋1
)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2
(b ＋1)a ＋1]≥13
(a 2＋b 2＋2
a 2(a ＋1)
b ＋1·b 2(b ＋1)
a ＋1
) ＝13(a ＋b )2＝13．当且仅当a ＝b ＝1
2时取等号． 即a 2b ＋1＋b 2
a ＋1
的最小值为1
3． 19.解：（1）延长OG 交AC 于点M .
因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .
因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I ， 所以OM ⊥平面PAC .
即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .
（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r
方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标
系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，(3,0,0)B ，
31(,,0)22O ，(0,1,2)P ，1
(0,,0)2
M ，则3(,0,0)2OM =-u u u u r ，31
(,,2)22
OP =-u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则3
0,23120,22
n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩r u u u u r r u u u r 令1z =，得(0,4,1)n =-r . 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，
又PA AB A =I ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r
为平面PAO 的一个法向量.
在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，13
22
CH CB =
=
. 所以3cos 4H x CH HCB =∠=
，3
sin 4
H y CH HCB =∠=. 所以33
(,,0)44
CH =u u u r .
设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||
CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u u
r r 2233
|0410|
251441739
411616
⨯
-⨯+⨯=+⨯+. 20.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠
为事件A ，则333101
()120
C P A C ==，
所以两位顾客均享受到免单的概率为1
()()14400
P P A P A =⋅=
.
（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.
333101(0)120C P X C ===，21373
107
(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===
，3
73107
(1000)24
C P X C ===， 故X 的分布列为，
所以17217()06007001000120404024E X =⨯
+⨯+⨯+⨯1
7646
=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，
由已知可得3~(3,
)10Y B ，故39
()31010
E Y =⨯=， 所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）
.
因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.
21.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝
22，
a 2＝2
b ，b 2＝a 2－
c 2，
解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，
故椭圆的方程为x 2＋y
2
2＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0). 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，
即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＞0，即m 2＜3， 且x 0＝
x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m
3， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2m 32
＝5，解得m ＝±3，与m 2＜3矛盾.故实数m 不存在.
22. 解： (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝1
1＋x
－1＋2x .
由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝3
2，
所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为
y －ln 2＝3
2
(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.
(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)
1＋x
，x ∈(－1，＋∞)．
当k ＝0时，f ′(x )＝－x
1＋x .
所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)．
当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)
1＋x
＝0，
得x 1＝0，x 2＝1－k
k
>0.
所以，在区间(－1,0)和(1－k
k
，＋∞)上，f ′(x )>0；
在区间(0，1－k
k
)上，f ′(x )<0.
故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－k
k
，＋∞)，
单调递减区间是(0，1－k
k )．
当k ＝1时，f ′(x )＝x 2
1＋x .
故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．
当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)
1＋x
＝0，
得x 1＝1－k
k
∈(－1,0)，x 2＝0.
所以，在区间(－1，1－k
k
)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；
在区间(1－k
k
，0)上，f ′(x )<0.
故f (x )的单调递增区间是(－1，1－k
k
)和(0，＋∞)，
单调递减区间是(1－k
k ，0)．。