Stewart平台实时位置正解通用方法

第42卷第3期
2021年3月
哈㊀尔㊀滨㊀工㊀程㊀大㊀学㊀学㊀报Journal of Harbin Engineering University
Vol.42ɴ.3
Mar.2021
Stewart 平台实时位置正解通用方法
朱齐丹,张铮,纪勋
(哈尔滨工程大学智能科学与工程学院,黑龙江哈尔滨150001)
摘㊀要:为了提高Stewart 并联平台位姿正解求解速度,兼顾并联平台位置正解的精确性与实时性,本文结合BP 神经网络㊁雅克比矩阵和牛顿迭代法,设计了并联平台位置正解的混合算法㊂运动学正解的非线性方程组由几何分析法得出;算法初始值由BP 神经网络生成;最后使用提出的速度迭代得出精确结果㊂实验结果表明:在相同环境下,本文方法在相同精度要求下较牛顿迭代法解算时间缩短约50%,并在6-6Stewart 并联平台实物上验证了算法
的有效性㊂该算法用于并联平台轨迹运动中的位姿求解,原理简洁,易于移植到不同构型的平台㊂关键词:机器人;Stewart 平台;轨迹运动;运动学;正解;神经网络;迭代;实时
DOI :10.11990/jheu.201907102
网络出版地址:http :// /kcms /detail /23.1390.u.20210115.1124.004.html 中图分类号:TP242㊀文献标志码:A㊀文章编号:1006-7043(2021)03-0394-06
General approach for real-time forward kinematics
solution of Stewart platform
ZHU Qidan,ZHANG Zheng,JI Xun
(College of Intelligent Systems Science and Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)
Abstract :In order to improve the computational speed of the forward kinematics of a Stewart platform while main-taining accuracy and real-time performance,a hybrid algorithm is proposed in this paper based on BP neural net-work,Jacobian matrix,and the Newtonian iterative method.The nonlinear equations of forward kinematics are ob-tained by geometric analysis.The initial value of the algorithm is generated by BP neural network.Finally,an ac-curate result is obtained by speed iteration.The experimental results show that under the same environment,the method used in this paper reduces the calculation time by about 50%compared with the Newtonian iteration method under the same accuracy requirements.The effectiveness of the algorithm is verified on the 6-6Stewart parallel platform.The proposed method is used to solve the forward kinematic problem of the trajectory motion of a parallel platform and can be easily transferred to platforms of different configurations.
Keywords :robot;Stewart platform;trajectory motion;kinematics;forward kinematics solution;neural network;it-eration;real-time
收稿日期:2019-07-31.网络出版日期:2021-01-15.基金项目:国家自然科学基金项目(U1530119).作者简介:朱齐丹,男,教授,博士生导师;
张铮,男,博士研究生.
通信作者:张铮,E-mail:zhangzheng@.
㊀㊀Stewart 并联机构以其刚度大㊁承载力强等特点弥补了串联机器人的不足,在工业领域具有广阔的应用前景㊂根据执行器的分布不同大致分为3-3㊁5-4㊁6-5和6-6等构型[1]㊂并联机构运动学作为机器人领域的重点问题得到了国内外学者的广泛研究,实时精确的运动学正解算法对于并联机构的控制影响显著㊂
Stewart 并联机构位置正解需要求解一组强耦合非线性方程组,尚无公认正解解法能兼顾计算的高效与精确,而逆解相对容易㊂传统正解方法分为
数值法和解析法,数值法[2-3]核心为迭代计算,计算量较大,计算的结果对初值敏感,迭代初值选取不当则结果可能发散;解析法通过建立约束方程[4-5]㊁消元[6-7]和几何分析[8]等方法建立了几种特定结构并联平台的封闭解,该类算法无需初值且能避免位置奇异,但是公式推导复杂,仅适用于特定结构的并联平台,具有局限性㊂
近年来,学者们开始借鉴智能算法解决位置正解问题,以此弥补传统位置正解算法缺陷,神经网络无需推导输入输出的显性表达式,但是得到精确解需要大量样本数据进行学习训练[9]㊂神经网络算法中,BP 神经网络研究最为普遍,不能同时满足求解的精确性和快速性,众多学者基于该算法进行改进[10-13]㊂此外,Morell 等[14]使用支持向量回归的方法求解,思路新颖,但该方法模型训练时间过长㊂刘
第3期朱齐丹,等:Stewart 平台实时位置正解通用方法
伟锐等[15]基于PSO 算法,吴小勇等[16]㊁谢志江等[17]改进了蚁群算法应用于正解问题,未能验证求解耗时㊂Mahmoodi 等[18]通过安装旋转传感器实时采集位姿数据,摆脱了平台构型的限制,通用性高,但该方法精确度依赖于传感器灵敏度,且信号处理占用了大量运算资源㊂
为了克服以上算法思路的不足,本文提出一种混合算法,结合非线性系统线性化的思路和计算机的计算流程,使用速度迭代减少了总迭代次数,缩短了计算时间,最后通过试验对比验证了本文算法的精确性与实时性㊂
1㊀并联机构正解的混合算法
不同于以往学者孤立地求解单个点的位置正解,本文算法融合传统算法与智能算法的优点,基于轨迹运动过程实时求解㊂由于计算机解算位置正解时以极短的采样周期对运动数据进行采样,之后对此进行解算,根据这一特性将计算过程离散化,利用上一采样点数据进行速度迭代得出当前时刻的位置正解以节约运算资源㊂
混合算法由3个部分组成:BP 神经网络㊁雅克比速度迭代和牛顿迭代法㊂计算机采样点序列为k ,其中,初始采样点(k =1)的位置正解由BP 神经网络和牛顿迭代法处理得出,如图1所示㊂其中,BP 神经网络仅在位姿初始值未知时执行一次,用于提供后续计算的初始估计值㊂若位姿初始值已知,则不启用BP 神经网络㊂k =2和之后的位置正解过程如图2,其中速度迭代的作用是通过线性化计算减少总迭代次数
㊂
图1㊀初始采样点解算过程Fig.1㊀Initial sample point
process
图2㊀k =2之后的计算过程Fig.2㊀Process after k =2
算法可分为4个步骤:
1)建立运动学模型:根据各执行器初始状态时的上下连接点坐标建立运动学反解方程,在此基础上建立非线性方程组作为运动学正解求解公式㊂
2)神经网络训练:获取若干组工作空间内的位姿与对应的执行器长度,交换数据集映射关系作为BP 神经网络的训练样本,使用训练完毕的神经网络
输出估计值作为后续计算的初始值㊂
3)速度迭代:依据运动的线性近似求得位姿变化速度,与前一采样周期累加得到速度迭代的结果,并更新雅可比矩阵㊂
4)速度迭代的结果代入误差判断公式,若不满足精度要求,则继续牛顿迭代直至满足精度要求㊂
2㊀运动学模型
Stewart 平台存在多种构型,本文以6-6构型平台为例建立坐标系并分析其运动学问题,同样的正解思路对其他构型的并联机构也可移植应用㊂2.1㊀坐标系建立与运动学反解
6-6构型Stewart 平台由6个执行器连接基座和上平台,动坐标系与上平台固连,静坐标系建立在基座中心位置㊂运动学反解的基本思路是:根据动静坐标系以及欧拉角旋转变换公式推导出动坐标系中的点到静坐标系的位姿转换矩阵,求出6个执行器上铰点在静坐标系中的坐标,根据空间向量二范数公式求出对应执行器的长度,得到上平台位姿反解公式[19]㊂根据本文并联机构机械参数,为方便矩阵换算,将静坐标系建立在各执行器伸长量为零时对应的动坐标系位置,与该位置动坐标系重合㊂平台坐标系如图
3㊂
图3㊀Stewart 平台坐标系
Fig.3㊀Axis of Stewart platform
执行器上铰点A i (i =1,2, ,6)在动坐标系中的矢量为:
A i =A ix A iy A iz []T
(1)㊀㊀执行器下铰点B i (i =1,2, ,6)在静坐标系中
的矢量为:
B i =B ix B iy B iz []T
(2)㊀㊀动坐标系位姿表示为:
P =[θT O p T ]T =[αβ
γ
x y z ]T
(3)
㊃
593㊃
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式中:O p 为动坐标系原点在静坐标系中的位置矢量;θ为动坐标系绕x ㊁y ㊁z 轴的欧拉角矢量;A i B i 由编号为i 的执行器连接㊂动坐标系相对静坐标系的旋转矩阵为:
R =c βc γ-c βs γs βs αs βc γ+c αs γ
-s αs βc γ+c αc γ-s αc β-c αs βc γ+s αs γc αs βs γ+s αc γc αs βéëêêêùû
úúú(4)
式中s 表示sin 函数,c 表示cos 函数㊂上平台运动时,上铰点在动坐标系中的向量可变换为该点在静坐标系中的向量,各执行器长度,即运动学反解公式可表示为:
L i = RA i +O p -B i =f i (P )(5)
式中L i 为第i 个执行器的长度,i =1,2, ,6㊂2.2㊀运动学正解2.2.1㊀BP 神经网络
BP 神经网络对非线性映射有很好的逼近能力,能实现从平台杆长变量空间到工作变量空间的映射,
从而求得运动学正解[13],6-6构型平台所用神经网络基本结构如图4所示㊂
图4㊀BP 神经网络结构
Fig.4㊀Structure of BP neural network
本文BP 神经网络用于提供初始估计值,精度要求不高,为节约神经网络训练时间,采用三层神经网络㊂输入向量为执行器长度,输出向量为正解位姿向量,输入层㊁输出层各由6个神经元组成㊂根据下式确定隐藏层节点数:
N =io (6)
式中:i ㊁o 分别为输入层㊁输出层节点数㊂
训练神经网络需要合适的训练样本㊂根据平台的运动空间和执行器硬件参数,为保证神经网络的鲁棒性,在6个自由度上随机取值,由式(5)得到平台反解数据的映射为{αβγx y z }ң{L 1L 2L 3L 4L 5L 6},再将2组数据集映射方向逆转即得到位置正解的神经网络学习样本㊂
轨迹运动经采样后得到离散点序列,实时计算位置正解时计算机以采样周期T 采集执行器长度,求解对应时刻位置正解㊂
由于样本数量有限,神经网络输出结果一般不能达到精确度要求,需要用牛顿迭代法得出轨迹运
动初始采样点的位置正解,作为后续速度迭代的初始基准值㊂
2.2.2㊀线性近似与速度迭代
由于计算机采样周期足够短,且轨迹运动时执行器速度不会产生较大突变,执行器瞬时速度计算公式为:
L ㊃
i (k -1)ʈL i (k )-L i (k -1)T
(7)
式中:T 为采样周期;k 为采样点序列㊂
雅克比矩阵将关节空间速度映射到笛卡尔空间速度,可用于求解位姿变化速度㊂式(5)两端求导得到位姿变化速度与执行器速度的关系:
L ㊃
1L ㊃2L ㊃3L ㊃4L ㊃5L ㊃6éëêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúú
=∂f 1∂α∂f 1∂β∂f 1∂γ∂f 1∂x ∂f 1∂y ∂f 1∂z ∂f 2∂α∂f 2∂β∂f 2∂γ∂f 2∂x ∂f 2∂y ∂f 2∂z ∂f 3∂α∂f 3∂β∂f 3∂γ∂f 3∂x ∂f 3∂y ∂f 3∂z ∂f 4
∂α∂f 4∂β∂f 4∂γ∂f 4∂x ∂f 4∂y ∂f 4∂z ∂f 5∂α∂f 5∂β∂f 5∂γ∂f 5∂x ∂f 5∂y ∂f 5∂z ∂f 6∂α∂f 6∂β∂f 6∂γ∂f 6∂x ∂f 6∂y ∂f 6∂z éëêêêêêêêêêêêêêêêêê
ùû
úúúúúúúúúúúúúúúúúα.β㊃γ㊃x ㊃y ㊃z ㊃éëêêêêêêêêêêùû
úú
ú
úúúú
úú
ú=JP ㊃
(8)
式中J 为雅克比矩阵㊂
求解位置正解时,当前时刻与上一时刻执行器长度由计算机采集,为已知变量,式(7)代入式(8)等号左侧,可求得位姿变化速度P ㊃
㊂得出当前时刻的位姿为:
P (k )ʈP (k -1)+P ㊃(k -1)T (9)
㊀㊀由于第k 个点的正解精确度依赖上一周期的正解,且将采样间隔的执行器理想化为匀速运动,此时求得正解有微小偏差,为避免误差累积,式(9)得出的数据需进一步验证㊂2.2.3㊀牛顿迭代法
牛顿迭代法求解精确,但收敛效果依赖初值选取㊂式(9)单次所求结果已经逼近真实值,不会造成迭代的离散㊂
设置允许的误差阈值为ε,将式(9)结果代入式(5),以此求得的执行器长度与实际长度对比:ð6
i =1
L iy (k )-L i (k )<ε(10)
式中L iy 为式(9)求得的位姿经反解得到的各执行器长度㊂
若式(9)结果使式(10)成立,则求得位置正解足够精确,以此次结果计算雅克比矩阵并作为下一
㊃
693㊃
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采样周期的累加值;若不满足精度要求,则用牛顿迭
代法校正㊂为表示方便,将式(3)重写为:
P=[θT O T
p]T=[q1q2q3┊q4q5q6]T(11)
式中:q1㊁q2㊁q3为欧拉角变量;q4㊁q5㊁q6为位置
变量㊂
迭代的目标函数为:
h i(q1q2q3q4q5q6)= f i(P) 2-L i2=0
(12)
用向量符号为:
H=[h1h2 h6]T(13)
㊀㊀将式(9)得到的解代入下式:
P(n+1)=P(n)-Hᶄ(P(n))-1H(P(n))(14)
其中:
Hᶄ=∂h1
∂q1
∂h1
∂q6︙ ︙∂h6
∂q1
∂h6
∂q6é
ë
ê
ê
ê
ê
ê
êê
ù
û
ú
ú
ú
ú
ú
úú
n为牛顿迭代的次数㊂P(0)=P(k);n=0,1, ㊂求得结果代入反解公式,若求得执行器长度与采集长度对比满足式(10),则停止迭代,否则继续迭代直到对应反解满足精度要求[20]㊂轨迹中的位置正解计算流程如图5㊂
图5㊀获得初始值后的处理流程
Fig.5㊀Process after the initial value is obtained 3㊀实例验证
本文以MOOG公司生产的MB-E-6DOF并联机构为验证平台,实物图如图6㊂
3.1㊀BP神经网络训练
由Stewart并联机构机械参数得到执行器伸长量为零时各执行器铰点位置坐标见表1,A为上铰点,B为下铰点,其中上铰点坐标相对于动坐标系,下铰点坐标相对静坐标系
㊂
图6㊀平台实物
Fig.6㊀Picture of the platform
表1㊀铰点位置
Table1㊀Position of hinge points cm
铰点编号
123456 x A-37.36-19.7957.1557.15-19.79-37.36 y A44.4254.5810.16-10.16-54.58-44.42 z A000000 x B-78.8430.5848.1648.1630.58-78.74 y B10.1673.2863.12-63.12-73.28-10.16 z B47.7547.7547.7547.7547.7547.75㊀㊀为使执行器远离正负限位,各执行器在开始运动前伸长量设置为16.23cm㊂
由式(6)可得隐藏层含有6个神经元㊂设定上平台平移范围为ʃ20cm,旋转范围ʃ20rad,在该范围内随机生成1100组映射,其中1000组作为学习样本,其余100组作为测试样本㊂经实验可知,激励函数选为tansig时训练时间最短,误差下降曲线如图7㊂测试样本输出误差如图
8㊂
图7㊀误差下降曲线
Fig.7㊀Error reduction curves
由图7可知,神经网络在经过220次迭代后达到输出误差要求㊂由图8知,BP神经网络输出误差在6%以内,满足作为迭代初值的要求㊂在初始值未知的情况下可由BP神经网络输出正解估计值,再经牛顿迭代得到轨迹运动初始采样点正解的精确值㊂
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图8㊀测试样本误差
Fig.8㊀Error of test samples
该神经网络训练时间为5s,在不同构型的并联平台移植时能节约大量时间㊂
㊀㊀㊀㊀㊀3.2㊀算法对比
为验证混合算法的效果,本文从计算时间和迭代次数2个方面与牛顿迭代法进行对比㊂程序在Windows7,Matlab2012a环境下运行,计算机配置为Intel i3CPU,内存4GB,采用Matlab自带的秒表计时器统计计算时间㊂
使平台1号㊁4号执行器长度按正弦函数变化,幅值5.08cm,频率0.3Hz,其余执行器长度不变,在轨迹运动某一时刻开始每隔10ms采集各执行器实际长度,共采集4666组执行器长度数据㊂设定误差阈值ε为0.001cm,分别使用牛顿迭代法和混合算法解算位置正解,牛顿迭代法初始采样点迭代初值选取为BP神经网络的输出结果,其余点迭代初值选取为上一采样点经牛顿迭代的位置正解㊂每组数据解算时间和迭代次数如图9㊂
图9㊀正解计算耗时与迭代次数对比
Fig.9㊀Comparision of time-consuming and iterative steps
㊀㊀由图9可知,混合算法求取位置正解能有效缩短解算时间,减少迭代次数㊂允许误差上限相同时,新算法较牛顿迭代法减少耗时约50%㊂由于2种算法设定误差阈值相同,故计算精确度相同㊂
值得注意的是,混合算法在初始采样点发生了3次迭代,之后的采样点牛顿迭代次数为零,说明经速度迭代计算后得出的位置正解误差已经符合要求,且速度迭代的收敛速度更快㊂尽管如此,考虑到计算机传输数据失帧等特殊情况,为避免误差累积,混合算法中的牛顿迭代法部分需要保留㊂
平台机械参数已知,即位置反解公式已知,由本文算法可快速得出相应的雅克比矩阵,在不同构型的平台间移植简单易行㊂
4㊀结论
1)本文针对Stewart平台位置正解问题提出了结合传统算法与智能算法的混合算法,以6-6Stew-art平台为例对算法进行了验证㊂在相同精度要求下,新算法较牛顿迭代法耗时更短,具有更强实时性㊂
2)本文算法可应用于并联平台的多线程任务控制,为其他耗时较长的任务,如视觉处理㊁与其他设备的通信节约计算资源㊂
由于条件有限,未在更多构型的并联平台上验证,后续研究将在其他构型的并联平台上应用验证㊂由于姿态矩阵采用欧拉角方式描述,为防止并联平台失控,在轨迹规划阶段避免了奇异情况,该情况有待在后续工作中研究㊂
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