第四十六讲数列求和(二)

第四十六讲 数列求和（二）

一 学习目标

1.掌握三种数列求和的方法：倒序相加法、裂项相消法、错位相减法。

二 知识梳理及拓展

1．倒序相加法

把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． 例：求和2222sin 1sin 2sin 3sin 89︒︒︒︒++++ 2．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 例：求数列1111

261220

，，，，的前n 项和 3．错位相减法（差比数列）

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．

例：2n

n a n =⋅

三 考点梳理

考点1：倒序相加法

【例1】已知函数32()21x f x x -=

-，则122017()()()(1)201820182018

f f f f ++++＝________.

考点2：列项相加法

【例2】（2015新课标1理）S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.

(1) 求{a n }的通项公式；

(2) 设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．

考点3：错位相减法

【例3】（2016山东理）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.

(1) 求数列{b n }的通项公式；

(2) 令c n ＝(a n ＋1)n ＋

1(b n ＋2)n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 四 课后习题

1.(2016·山东)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.

(1)求数列{b n }的通项公式；

(2)令c n ＝a n ＋1n ＋1b n ＋2n ，求数列{c n }的前n 项和T n .

2.在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎪⎭

⎫

⎝⎛21-S n . (1)求S n 的表达式；

(2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 课后习题答案

1.解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，满足上式，所以a n ＝6n ＋5.

设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3

， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得⎩⎪⎨⎪⎧

b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知，

c n ＝6n ＋6n ＋13n ＋3

n ＝3(n ＋1)·2n ＋

1， 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ， 得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋

1]，

2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]．

两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2] ＝3×]2)1(2

1)21(44[2+⨯+---+n n n ＝－3n ·2n ＋2，

所以T n ＝3n ·2n ＋2.

2.解 (1)∵S 2n ＝a n )2

1

(-n S ， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，

∵S 2n ＝(S n －S n －1))21(-n S ，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ， 由题意得S n －1·S n ≠0，

∵式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1

＝2， ∵数列)1(n

S 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列． ∵1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∵S n ＝12n －1

. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)

＝12)1

21121(+--n n ， ∵T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12)1211(+-n ＝n 2n ＋1.