第9讲 平面直角坐标系与函数

数所涉及变量的变化规律,抓住图象中的关键点(如起点、转折点或交点等),以及各线段的倾斜程
度或函数增减性的变化规律.
[变式5] (2022武汉)匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的
变化规律如图所示(图中O-A-B-C为一折线).这个容器的形状可能是(
A
B
C
D
)
A
1
(1)点的对称规律:关于横(或纵)轴对称的点,横(或纵)坐标不变,纵(或横)坐标变号;关于原点对称,
则横、纵坐标都变号.
(2)点的平移规律:左右移,纵不变,横减加;上下移,横不变,纵加减.
(3)有时需要根据点在坐标系中的位置,建立不等式(组)或方程(组),把点的坐标问题转化为不等式
(组)或方程(组)的问题解决.
D.若x-y=0,则点P(x,y)一定在第一、第三象限角平分线上
3.(2022雅安)在平面直角坐标系中,点(a+2,2)关于原点的对称点为(4,-b),则ab的值为(
A.-4
B.4
C.12
D.-12
D)
4.小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间
后到达学校,小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是(
停止.若点 P 的运动速度为 1 cm/s,设点 P 的运动时间为 t(s),AP 的长度为 y(cm),y 与 t 的函数图象
如图②所示.则当 AP 恰好平分∠BAC 时,t 的值为
①
②
2 +2
.
1.(2022常州)在平面直角坐标系xOy中,点A与点A1关于x轴对称,点A与点A2关于y轴对称.已知点
2
A-D-C 向终点 C 运动,设点 Q 的运动时间为 x(s),△APQ 的面积为 y(cm ),若 y 与 x 之间的函数关系的

图象如图②所示,则当 x= 时,y=



.
①
②
考点五
坐标变化规律探索问题
[例 5] (2022 郧西期中)如图所示,在平面直角坐标系中,已知点 M0 的坐标为(1,0),将线段 OM0 绕原点
正方形重叠部分的面积为S2,若S=S1-S2,则S随t变化的函数图象大致为(
A
B
C
D
)A
[变式 8](2022 营口)如图①所示,在四边形 ABCD 中,BC∥AD,∠D=90°,∠A=45°,动点 P,Q 同时从点
A 出发,点 P 以 cm/s 的速度沿 AB 向点 B 运动(运动到 B 点即停止),点 Q 以 2 cm/s 的速度沿折线
)
1 011
)
B.(0,-2
C.(0,-2
D.[(- )
,-( )
2 021
2 021
]
[变式9]如图所示,在单位长度为1的平面直角坐标系中,△A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7,…都是斜边在
x轴上,斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角形.则依图中所示规律,A2 021的坐标为 (1 012,0)
[例1] (1)已知点P(8-2m,m+1)在x轴上,则点A(2m-8,m)关于y轴的对称点B在(D
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
)
(2)在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点,顶点A,B的坐标分别是(-1,1),
(2,1),将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度,则顶点C的对应点C 的坐标是 (4,-1) .
∴快车到达终点所用的时间为480÷100+1=5.8(h);
慢车到达终点所用的时间为480÷60=8(h).
∴点C的坐标为(8,480).
(2)慢车出发多少小时后,两车相距200 km?
思路分析:(2)分两车相遇前与相遇后两种情形分别构建方程求解.
解:(2)设慢车出发 t h 后两车相距 200 km.
(a,b+k)[或(a,b-k)]
知识点三
函数及其图象
函数的概念
一般地,如果在某个变化过程中有两个变量x与y,并且对于变量x的每一个值,变量y都
有唯一确定的值与它对应,那么称y是x的函数
函数的图象
自变量与函数的每对对应值分别作点的横坐标与纵坐标,坐标平面内由这些点组成的
图象
函数的表示
列表法、图象法、关系式法
第三章
第9讲
知识点一
函数
平面直角坐标系与函数
平面直角坐标系
确定位置
平面直角坐标系概念
在平面内确定一个位置一般需要两个数据
在平面内,两条互相 垂直 且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系
有序实数对
对应关系
和坐标平面内的点一一对应
点 P(a,b)到 x 轴的距离为|b|,到 y 轴的距离为
+
|a|

+ -中,自变量 x 的取值范围是
-
x≥2且x≠3
8.(2022泰安)如图所示,四边形ABCD为平行四边形,则点B的坐标为 (-2,-1) .
.
, ≤ < 1,
9.(2021 永州)已知函数 y=
若 y=2,则 x=
-, ≥ ,
2
.
10.(2022 湖北)如图①所示,在△ABC 中,∠B=36°,动点 P 从点 A 出发,沿折线 A-B-C 匀速运动至点 C
平行于
坐标轴
的直线
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同;
上的点
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同
的坐标
特征
点平移
后的坐
标特征
将点P(a,b)向右(或向左)平移k(k>0)个单位长度,得对应点坐标为
(a+k,b)[或(a-k,b)];
将点P(a,b)向上(或向下)平移k(k>0)个单位长度,得对应点坐标为
60 km,根据这些信息可以求出慢车与快车的速度,以及两车先后到达终点的时间,进而确定点C的
坐标;
解:(1)由图象,可知慢车的速度为
60÷(4-3)=60(km/h);
两车3 h相遇,此时慢车行驶的路程为
60×3=180(km),
∴快车的速度为
(480-180)÷3=300÷3=100(km/h),


,

);

(4)任意两点 P1(a1,b1),P2(a2,b2)之间的距离 P1P2= ( - ) + ( - ) .
知识点二
平面直角坐标系内点的坐标特征
象限内点的
坐标特征
坐标轴上点
的坐标特征
象限角平分线上
点的坐标特征
第一象限(+,+);第二象限 (-,+);
第三象限 (-,-) ;第四象限(+,-)
(3)根据如图所示提供的信息,给小斌提一条训练建议.
解:(1)y是关于x的函数.因为在这个变化过程中,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与
之对应.
(2)“加速期”结束时,小斌的速度为10.4 m/s.
(3)答案不唯一.例如:建议增加耐力训练,提高成绩.
考点四
与几何动点问题结合的函数图象
[例4] (2022潍坊)如图所示,在▱ABCD中,∠A=60°,AB=2,AD=1,点E,F在▱ABCD的边上,从点A同
A
B
C
)
C
D
5.(2022齐齐哈尔)如图①所示(图中各角均为直角),动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿
A→B→C→D→E的路线匀速运动,△AFP的面积y与点P运动的时间x(s)之间的函数关系图象如图②
所示,下列说法正确的是( B
)
A.AF=5 B.AB=4
C.DE=3 D.EF=8
①
②
6.在如图所示的平面直角坐标系中,一动点A从点A1(0,1)出发,按箭头所示的方向不断地移动,依次可

+
0
+(x-2) 的自变量 x 的取值范围是( C )
B.x>2
C.x>-1 且 x≠2 D.x≠-1 且 x≠2
[变式 4](2022 恩施)函数 y=
+
-
A.x≠3
B.x≥3
C.x≥-1 且 x≠3
D.x≥-1
的自变量 x 的取值范围是( C )
考点三
与实际问题结合的函数图象
[例3] (2021宿迁)一辆快车从甲地驶往乙地,一辆慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,匀速行驶,两车
①相遇前两车相距 200 km,
则 60t+100t+200=480,

解得 t= ;

②相遇后两车相距 200 km,
则 60t+100(t-1)-480=200,

解得 t= ,





∴慢车出发 h 或
h 时两车相距 200 km.
解答函数图象问题应关注以下几个方面:一是弄清函数图象的横、纵坐标的实际含义;二是观察函
[变式1] (2022广安)若点P(m+1,m)在第四象限,则点Q(-3,m+2)在第二
象限.

[变式 2]如图所示,在 x 轴、y 轴上分别截取 OA,OB,使 OA=OB,再分别以点 A,B 为圆心,以大于 AB 长
为半径画弧,两弧交于点 P.若点 P 的坐标为(a,2a-3),则 a 的值为
3

.
考点二
函数自变量取值范围的确定
[例 2] (2021 牡丹江)在函数 y= -+ -中,自变量 x 的取值范围是
1≤x≤2
.
确定函数自变量的取值范围时,先看表达式是否含有分母、二次根式、零次幂(底数不为0)等,再
求出满足条件的公共部分.
[变式 3](2021 黄石)函数 y=
A.x≥-1
A1(1,2),则点A2的坐标是( D )
x轴上的点的纵坐标为
y轴上的点的横坐标为
0 ;
0 ;
原点坐标为(0,0)
第一、三象限角平分线上的点,横坐标与纵坐标相等;第二、四象限角平分线
上的点,横坐标与纵坐标 互为相反数
点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b);关于y轴对称的点的坐标为
对称点的坐标特征
(-a,b) ;关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)
时出发,分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动,到达点C时停止,线段EF
扫过区域的面积记为y,运动时间记为x,能大致反映y与x之间函数关系的图象是(
A
A
B
C
D
)
[变式7] (2022天门)如图所示,有边长分别为1和2的两个正方形,其中有一条边在同一水平线上,小正
方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为t,大正方形的面积为S1,小正方形与大
.
▶跟踪训练
1.水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是
(
)C
A.2是变量
B.π是变量
C.r是变量
D.C是常量
2.下列说法不正确的是(
C )
A.点A(a2+1,-|b|-1)一定在第四象限
B.点P(2,6)到x轴的距离为6
C.若P(x,y)中xy=0,则点P在x轴上
在途中相遇时,快车恰巧出现故障,慢车继续驶往甲地,快车维修好后按原速继续行驶至乙地,两车到
达各自终点后停止,两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图所示.
(1)快车的速度为
km/h,点C的坐标为
.
思路分析:(1)由图象信息可知甲地与乙地相距480 km,两车3 h相遇,快车维修时慢车1 h行驶了
O 逆时针方向旋转 45°,再将其延长到 M1,使得 M1M0⊥OM0,得到线段 OM1;又将线段 OM1 绕原点 O 逆时针
方向旋转 45°,再将其延长到 M2,使得 M2M1⊥OM1,得到线段 OM2;….如此下去.根据以上规律,知点 M2 022
的坐标为( C )
A.(2
1 011
,0)
2 022
[变式6](2021嘉兴)根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”,前30 m称为“加速期”,30 m～80
m为“中途期”,80 m～100 m为“冲刺期”.市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度
y(m/s)与路程x(m)之间的观测数据绘制成曲线如图所示.
(1)y是关于x的函数吗?为什么?
(2)“加速期”结束时,小斌的速度为多少?
以得到A2(1,0),A3(2,-1),A4(3,0),A5(4,1),A6(5,0),A7(6,-1),A8(7,0),…,按照这样的规律移动下去,
点A2 022的坐标为(
) A
A.(2 021,0)
B.(2 021,1)
C.(2 021,-1)
D.(2 022,0)
7.(2022 莱山一模)在函数 y=
方法
(1)函数表达式是整式型,自变量取全体实数;
不为0
函数自变量 (2)函数表达式是分式型,自变量的取值范围是使分母
的实数;
≥0的实数;
的取值范围 (3)函数表达式是二次根式型,自变量的取值范围是使被开方数
(4)来源于实际问题的函数,自变量取值还要保证实际问题有意义
考点一 平面直角坐标系内点的坐标特征
,到原点的距离为
知识拓展:
(1)在x轴上或在平行于x轴的直线上的两点P1(a1,b),P2(a2,b)间的距离为|a2-a1|;
|b2-b1; |
(2)在y轴上或在平行于y轴的直线上的两点P (a,b ),P (a,b )间的距离为
1
1
2
2
+ +
(3)任意两点 P1(a1,b1),P2(a2,b2)所连线段的中点坐标为(