人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷含答案解析 (14)

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷3
（共22题）
一、选择题（共10题）
1.若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )
A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥
2.两条直线a，b和直线l所成的角相等，则直线a，b( )
A．相交B．异面
C．平行D．可能相交，平行或异面
3.已知在棱锥P−ABC的三条侧棱两两互相垂直，且PA=1，PB=2，PC=√3，则此三棱锥的
外接球的表面积为( )
A．8πB．8√2πC．16πD．32π
4.若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πB．7π
3C．11π
3
D．5π
5.已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，下列四个命题中，正确命
题的个数是( )
① a∥c,
b∥c
}⇒a∥b；
② a∥γ,
b∥γ
}⇒a∥b；
③ a∥γ,
α∥γ
}⇒a∥α；
④ a∥c,
a⊄α
}⇒a∥α．
A．1B．2C．3D．4
6.在斜棱柱的侧面中，矩形最多有( )
A．2个B．3个C．4个D．6个
7.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分
的表面积为( )
A．2
3B．3+√3C．9+√3
2
D．2√3
8.如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在圆柱里，注入水，使水面与球正好
相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是( )
A．2R B．4R
3C．2
3
R D．R
3
9.将图（1）中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图
（2），则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )
A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直
10.在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE:EB=AF:FD=1:4，又H，
G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
二、填空题（共6题）
11. 如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何
体体积的比为 ．
12. 如图所示，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E
为 PA 的中点．则下列四个命题： （1）PC ⊥BD ；
（2）平面 BED 将四棱锥分为两部分，这两部分的体积之比为 1:2； （3）平面PAB ⊥平面PBC ；
（4）四棱锥 P −ABCD 外接球的表面积等于 12π． 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
13. 已知函数 f (x )={x,0≤x ≤12−x,1<x ≤2
，将 f (x ) 的图象与 x 轴围成的封闭图形绕 x 轴旋转一周，
所得旋转体的体积为 ．
14. 已知在三棱锥 A −BCD 中，AB ⊥平面BCD ，∠BDC =90∘，AB =BD =2，CD =1，则三棱锥的
外接球体积为 ．
15. 三条直线相交于一点，则它们最多能确定 个平面．
16. 现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 9 的圆锥和底面半径为 √3，高为 8 的圆柱各一个．若将
它们重新制作成总体积与各自的高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ，若新圆锥的内接正三棱柱表面积取到最大值，则此正三棱柱的底面边长为 ．
三、解答题（共6题）
17. 如图，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G ，过点
G 和 AP 作平面，交平面 BDM 于 GH ．求证：AP ∥GH ．
18.一个圆锥的底面半径为R，高为√3R．
(1) 求圆锥的表面积；
(2) 求圆锥内接正四棱柱的表面积的最大值．
19.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）
视图和侧（左）视图如图所示．
(1) 证明：AD⊥平面PBC；
(2) 求三棱锥D−ABC的体积；
(3) 在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．
20.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长为2，AA1=4，点M在线段CC1上．
(1) 求异面直线A1B与AC所成角的大小（用反三角函数值表示）；
，求多面体ABM−A1B1C1的体积．
(2) 若直线AM、平面ABC所成角大小为π
4
21.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点Oʹ且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OOʹ和较小
的棱锥POʹ．
(1) 求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
(2) 若大棱锥的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积．22.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，B1C1的中点．
(1) 求证：平面AB1E∥平面BD1F；
(2) 求平面AB1E与平面BD1F之间的距离．
答案
一、选择题（共10题） 1. 【答案】D
【解析】若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，则正六棱锥的侧面都是等边三角形，侧面的六个顶角都为 60∘，六个顶角的和为 360∘，这样一来，六条侧棱在同一个平面内，这是不可能的． 【知识点】棱锥的结构特征
2. 【答案】D
【知识点】直线与直线的位置关系
3. 【答案】A
【知识点】组合体、球的表面积与体积
4. 【答案】B
【解析】画出其立体图形：
因为直三棱柱的所有棱长都为 1，且每个顶点都在球 O 的球面上，
设此直三棱柱两底面的中心分别为 O 1，O 2，则球心 O 为线段 O 1O 2 的中点， 设球 O 的半径为 R ，在 △A 1B 1C 1 中 A 1O 1 是其外接圆半径 r ， 由正弦定理可得：2r =
1sin60∘，r =
2
√3
2
=√3
3，即 A 1O 1=
√33
． 在 Rt △A 1O 1O 中，A 1O 2
=
A 1O 1
2+O 1O 2
=
(√33)
2+(12)2
=1
3+1
4=7
12．
所以球 O 的表面积 S =4πR 2=4π×7
12=
7π3
．
【知识点】球的表面积与体积
5. 【答案】A
【知识点】直线与平面平行关系的性质
6. 【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征
7. 【答案】B
【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥D1−ACD 和三棱锥B−A1B1C1后的剩余部分．
其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为√2的等边三角形，
所以其表面积为6×1
2×12+2×√3
4
×(√2)2=3+√3．
【知识点】棱锥的表面积与体积8. 【答案】C
【解析】由题意，水的体积=πR2⋅2R−4
3πR3=2
3
πR3，
所以容器中水的深度ℎ=2
3
πR3
πR2
=2
3
R．
【知识点】球的表面积与体积
9. 【答案】C
【解析】折起前AD⊥BC，折起后有AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，
所以AD⊥BC．
又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直．
【知识点】直线与直线的位置关系
10. 【答案】B
【解析】如图所示，
在平面ABD内，
因为AE:EB=AF:FD=1:4，
所以EF∥BD．
又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，
所以EF∥平面BCD．
因为H，G分别是BC，CD的中点，所以HG∥BD，
所以HG∥EF．
又EF
BD =AE
AB
=1
5
，HG
BD
=CH
BC
=1
2
，
所以EF≠HG．
在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，
所以四边形EFGH为梯形．
【知识点】直线与平面平行关系的判定
二、填空题（共6题）
11. 【答案】1:47
【解析】设长方体长宽高分别为2a，2b，2c，所以长方体体积V1=2a×2b×2c=8abc，
三棱锥体积V2=1
3×1
2
×a×b×c=1
6
abc，
所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：V2
V1−V2=
1
6
abc
(8−1
6
)abc
=1
47
．
【知识点】棱锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积
12. 【答案】（1），（3），（4）
【解析】（1）如图所示，连接AC，
因为四边形ABCD为正方形，
所以AC⊥BD．
所以PA⊥BD．
而PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．故BD⊥PC．（2）由已知，可得S
正方形ABCD
=22=4，
又PA⊥底面ABCD，
所以V P−ABCD=1
3S
正方形ABCD
×PA=8
3
．
而V E−ABD=1
3S△ABD×EA=1
3
×1
2
AB×AD×AE=2
3
，
所以V E−ABD:(V P−ABCD−V E−ABD)=2
3:(8
3
−2
3
)=1:3．
（3）因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABCD．
又平面PAB∩平面ABCD=AB，CB⊥AB，
所以CB⊥平面PAB．
又CB⊂平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC．
（4）由（3），知CB⊥平面PAB，故CB⊥PB．同理CD⊥PD．
取PC的中点O，连接OB，OA，OD，如图所示，则在Rt△PBC中，OB=1
2
PC．
同理，在Rt△PAC中，OA=1
2
PC．
在Rt△PDC中，OD=1
2
PC．
所以O为四棱锥P−ABCD的外接球的球心．
故外接球的半径r=1
2PC=1
2
×√22+(2√2)2=√3，
其表面积为S=4πr2=12π．
综上所述，正确的命题有（1），（3），（4）．
【知识点】棱锥的表面积与体积、球的表面积与体积
13. 【答案】2π
3
【解析】函数f(x)的图象是两条线段构成的折线，线段端点依次为(0,0)，(1,1)，(2,0)，所得旋
转体是同底的两个圆锥拼在一起，其体积为 13π×12×(1+1)=2π3
．
【知识点】圆锥的表面积与体积
14. 【答案】 9
2π
【解析】如图所示，三棱锥可补形为一个长、宽、高分别为 2，1，2 的长方体， 则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，设外接球半径为 R ， 则：(2R )2=22+22+12，则 R 2=9
4，R =3
2， 外接球的体积：V =4
3πR 3=4
3π×
278=9
2π．
【知识点】组合体、球的表面积与体积
15. 【答案】 3
【知识点】平面的概念与基本性质
16. 【答案】 3 ；
9√35
【解析】设新的底面半径为 r ， 由 V 旧圆锥+V 旧圆柱=V 新圆锥+V 新圆柱，
1
3×9×π×52+8×π×(√3)2
=1
3×9⋅πr 2+8πr 2， 解得 r 2=9，r =3， 如图正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 内接于该圆锥，
设 △A 1B 1C 1 边长为 a ，外接圆半径 R =a
2sin60∘=√3
3
a ， 由比例知上半个圆锥高 ℎ1 满足
ℎ1 9=R
3
，
ℎ1=3R=√3a，
AA1=9−ℎ1=9−√3a，正三棱柱ABC−A1B1C1的，
S 表=2S△A
1B1C1
+3S A
1ABB1
,
=2⋅√3
4
a2+3⋅a(9−√3a),
=−√5
2
√3a2+27a,
在a=
−2⋅(−5
2√3)
时取到最大值，
即a=9√3
5
．
【知识点】圆柱的表面积与体积、圆锥的表面积与体积
三、解答题（共6题）
17. 【答案】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO．
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以点O是AC的中点．
又因为点M是PC的中点，
所以OM∥AP．
又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，
所以AP∥平面BDM．
因为平面PAHG∩平面BDM=GH，AP⊂平面PAHG，
所以AP∥GH．
【知识点】直线与平面平行关系的判定
18. 【答案】
(1) 由题意可知，圆锥的母线l长为√R2+(√3R)2=2R，
所以该圆锥的表面积为πR(R+l)=3πR2．
(2) 如图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为x，
易知△PBC∽△PAO，
所以BC
AO =PC
PO
，
即x
R =√3R−OC
√3R
，
解得OC=√3(R−x)，
正四棱柱的底面是一个正方形，其底面边长为√2x，底面积为2x2，
所以正四棱柱的表面积为S=2×2x2+4×√2x×√3(R−x)=(4−4√6)x2+4√6Rx，
由二次函数的基本性质可知，当x=√6R
8(√6−1)=√6R
2(√6−1)
时，正四棱柱的表面积S有最大值，且
S max=6(√6+1)R2
5
．
【知识点】圆锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积
19. 【答案】
(1) 因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC，
又AC⊥BC，
所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD．
由三视图可得，在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，
所以AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC．
(2) 由三视图可得BC=4，由（1）知∠ADC=90∘，BC⊥平面PAC，
又三棱锥D−ABC的体积即为三棱锥B−ADC的体积，
所以所求三棱锥的体积V=1
3×1
2
×4×1
2
×4×4=16
3
．
(3) 取AB的中点O，连接CO并延长至Q，
使得CQ=2CO，点Q即为所求．
因为O为CQ中点，所以PQ∥OD，
因为PQ⊄平面ABD，OD⊂平面ABD，所以PQ∥平面ABD，
连接AQ，BQ，四边形ACBQ的对角线互相平分，
所以ACBQ为平行四边形，所以AQ=4，又PA⊥平面ABC，
所以在直角△PAD中，PQ=√AP2+AQ2=4√2．
【知识点】棱锥的表面积与体积、直线与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定、空间线段的长度
20. 【答案】
(1) 连接BC1，
则由于在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AC∥A1C1，
故异面直线A1B与AC所成角即为直线A1B与A1C1所成的角．
因为正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长为2，AA1=4，
所以BC1=2√5，A1B=2√5，A1C1=2√2．
所以cos∠BA1C1=BA12+A1C12−BC12
2BA1A1C1=√10
10
．
所以异面直线A1B与AC所成角即为arccos√10
10
．(2) 因为正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中MC⊥面ABCD，
直线AM与平面ABC所成角为π
4
，
所以∠MAC=π
4
，
因为BC=2，
所以MC=2√2，
因为V ABM−A
1B1C1=V ABC−A
1B1C1
−V M−ABC，
所以V ABM−A
1B1C1=1
2
×2×2×4−1
3
×1
2
×2×2×2√2=8−4√2
3
，
即多面体ABM−A1B1C1的体积为8−4√2
3
．
【知识点】异面直线所成的角、棱锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积
21. 【答案】
(1) 设小棱锥的底面边长为a，斜高为ℎ，则大棱锥的底面边长为2a，斜高为2ℎ，
所以大棱锥的侧面面积为6×1
2
×2a×2ℎ=12aℎ，
小棱锥的侧面面积为6×1
2
aℎ=3aℎ，
所以棱台的侧面面积为9aℎ，
所以大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比为4:1:3．
(2) 因为小棱锥的底面边长为4cm，
所以大棱锥的底面边长为8cm，
因为大棱锥PO的侧棱长为12cm，
所以斜高为√144−16=8√2，
所以大棱锥的一个侧面面积为1
2
×8×8√2=32√2，
所以棱台的一个侧面面积为24√2，
则棱台的侧面积为6×24√2=144√2，
棱台的上底面积为6×√3
4
×42=24√3，
下底面积为6×√3
4
×82=96√3，
所以棱台的表面120√3+144√2cm2．
【知识点】棱锥的表面积与体积、棱台的表面积与体积
22. 【答案】
(1) 因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，B1C1的中点，
所以D1E∥B1F，D1E=B1F，
所以四边形B1FD1E是平行四边形，
所以B1E∥D1F，
又B1E⊄平面BD1F，D1F⊂平面BD1F，
所以B1E∥平面BD1F，
连接EF，
因为EF∥AB，EF=AB，
所以四边形ABFE是平行四边形，
所以AE∥BF，
又AE⊄平面BD1F，BF⊂平面BD1F，
所以AE∥平面BD1F，
又因为AE∩B1E=E，AE,B1E⊂平面AB1E，
所以平面AB1E∥平面BD1F．
(2) 平面AB1E与平面BD1F之间的距离也就是点B到平面AB1E的距离，设为ℎ，
因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，
所以AE=B1E=√5，AB1=2√2，
所以△AB1E的面积S△AB
1E =1
2
×2√2×√(√5)2−(√2)2=√6，
所以三棱锥B−AB1E的体积V B−AB
1E =1
3
S△AB
1E
⋅ℎ=√6
3
ℎ，
易知三棱锥E−ABB1的体积V E−ABB
1=1
3
S△ABB
1
⋅A1E=1
3
×1
2
×2×2×1=2
3
，
由V B−AB
1E =V E−ABB
1
可得，√6
3
ℎ=2
3
，
解得ℎ=√6
3
，
所以平面AB1E与平面BD1F之间的距离为√6
3
．
【知识点】平面与平面平行关系的判定、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）。