2021年福建省中考数学试卷分析与感悟

2021年福建省中考数学试卷分析与感悟

2021年福建中考数学热门词汇：“田忌赛马”“三线共点”“圆快没了，化简求值/反比例都没了”。热搜、头条、学生此起彼伏的“呐喊”，都说明了2021年福建中考数学带给大家的直观感受。下面我具体分析一下2021年中考数学真题。

一、整体概况

今年中考相对大部分同学来说，难度还是比较大，通过对整个卷子的分析，难度比往年还是增加不少，但是整体的试卷结构和考试内容还是比较较平稳，主要差别是在第16题，由往年的反比例与几何图形变成几何综合；22题其实跟去年的还是比较像，除了考点尺规作图还有用相似证明；23题比较新颖，难度也是相对比较大；24题跟去年一样没有考以圆为主的综合题，而是以四边形综合题型，但里面涉及的模型与其它知识点是相同的。本次25题第一小题难度就相对比较大，不像往年第一小问大部分还能比较轻松的解出来。

二、难度分布与分值表

易错题和中档题占据了非常大的比例，是五年福建中考中最多的，意味着分数差距较大，程度优秀、中等、基础的学生，分数区别将会比较明显的。

三、2017---2021中难题型对比分析表

这里只是对比了有难度的部分，大家就可以看到，同颜色的就是同一种考法。前文说到的“圆综合”、“化简求值”、“反比例综合”都没了的爷青结，再结合表格发现，考了一些“不一样的题目”，四年填空压轴的反比例函数没了，几乎必考的圆内综合和化简求值，也没了。相反，多了第8题的一次函数平移、第15题的代数式整体代入、第22题的闻所未闻“三线共点”，第23题的“田忌赛马”，所以学生做题实际反应就是“卡、卡、卡、卡”。

综合来看，第8的消参/平移，第9的导角，第10的函数图像，第16的矩形综合，第22的尺规作图/三线共点（相似证明），第23题的概率实际应用，第24正方形综合，第25函数几何综合，尤其是第24和第25两题，都需要学生的几何计算能力和函数计算能力。因此，核心能力的培养是学生数学得高分的关键。

四、给教学的一些启示---核心能力的培养

（一）函数（数形结合思想）

10．（4分）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）

A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0

C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0

【解法核心步骤简述】

利用二次函数解析式，作出函数图像，找到四个点，利用四个选项的前提条件，去思考结论的正确性

【学生需要具备的能力】

①二次函数基础知识；②作图的能力与信心；③数形结合思想

（二）函数（代数计算能力）

8．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是（）

【解法核心步骤简述】

解法一：过点（-1,0），没其他想法，直接代入消参就可以解决问题了

解法二：参考二次函数的左右平移，“左加右减”，可以判断出结果

解法三：换元思想

15．（4分）已知非零实数x，y满足y＝，则的值等于．

【解法核心步骤简述】条件整体化简（去分母），代入，即可得到结果

25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．

（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；

（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线的解析式；

②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过

点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．【解法核心步骤简述】

（1）利用题干的只有一个公共点，得到△=0结合过点P（0,1）可以进行消参（2）①数形结合思想，把图画出来，直接找到点，代入计算（如果没想法的，3个点，有两个点在函数图像上，也可以分类代入求解析式）

（3）②（这一问，其实是高中的准线，涉及到准线的性质，可用初中方式解决）利用90°，可以得到一线三等角的相似，联立，利用韦达定理消参，纯计算

从参考答案可以反应出计算是关键

【学生需要具备的能力】

①计算的基本思路（消参思想、数形结合思想等）

②整体代入的计算思维

③计算能力的培养

（三）逻辑推理能力

9．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB＝6，PC＝4，则sin∠CAD等于（）

A．B．C．D．

【解法核心步骤简述】

角的转化，将要求的∠ACD转化为∠COB，结合线段长，可求出结论

16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E 不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论：

①∠GEB与∠GFB一定互补；

②点G到边AB，BC的距离一定相等；

③点G到边AD，DC的距离可能相等；

④点G到边AB的距离的最大值为2．

其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）

【解法核心步骤简述】

①利用四边形两个90°，转换角的关系，可得互补

②利用等腰直角△GEF，可以得到一线三等角的全等，得到结果

③结合②和条件中的线段长，到AD的距离和到CD的距离会差1，不会相等

④由②可以得到，GB的长和G到AB的距离是有倍数关系的，所以要G到AB距离最大，就需要GB最大，因为E、B、F、G共圆（辅助圆），所以GB为直径的时候最大，又因为EF是直径，所以GB=EF=4的时候，距离最大

22．（10分）如图，已知线段MN＝a，AR⊥AK，垂足为A．

（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°，CD∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AD，BC，PQ 相交于同一点．

24．（12分）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G．

（1）求证：DE∥A′F；

（2）求∠GA′B的大小；

（3）求证：A′C＝2A′B．