高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-

第三章函数的概念与性质
3.4函数的应用(一)
考点1一次、二次函数模型的应用
1.(2019·某某某某中学高一期中考试)一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社。

在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则应该每天从报社买进报纸()。

A.215份
B.350份
C.400份
D.520份
答案：C
解析：设每天从报社买进x(250≤x≤400,x∈N)份报纸时,每月所获利润为y元,具体情况如下表:
数量/份单价/元金额/元
买进30x 2 60x
卖出20x+10×250 3 60x+7500
退回10(x-250) 0.8 8x-2000
y=[(60x+7500)+(8x-2000)]-60x=8x+5500(250≤x≤400,x∈N)。

∵y=8x+5500在[250,400]上是增函数,
∴当x=400时,y取得最大值8700。

即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8700元。

故选C。

2.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数:m=162-3x。

若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为()。

A.40元/件
B.42元/件
C.54元/件
D.60元/件
答案：B
解析：设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件。

3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y=5x+40000。

而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()。

A.2000双
B.4000双
C.6000双
D.8000双
答案：D
解析：由5x +40000≤10x ,得x ≥8000,即至少日产手套8000双才不亏本。

4.一个人以6m/s 的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25m 时,交通灯由红变绿,汽车以1m/s 2
的加速度匀加速开走,那么()。

A.人可在7s 内追上汽车 B.人可在10s 内追上汽车 C.人追不上汽车,其间距最少为5m D.人追不上汽车,其间距最少为7m 答案：D
解析：设汽车经过t s 行驶的路程为s m,则s =
12
t 2,车与人的间距
d =(s +25)-6t =1
2t 2-6t +25=1
2(t -6)2+7,当t =6时,d 取得最小值7,故选D 。

5.(2019·某某冀州中学高一期中)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元。

又知总收入K 是单位产品数Q 的函数,且K (Q )=40Q -1
20Q2,
则总利润L(Q)的最大值是____________万元。

答案：2500
解析：L (Q )=40Q -1
20Q 2
-10Q -2000=-1
20Q 2
+30Q -2000=-1
20(Q -300)2
+2500,当Q =300时,L (Q )取得最大值,最大值为2500万元。

6.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批后方可投入生产。

已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )=1
2n (n +1)(2n +1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环
境造成危害。

为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_________年。

答案：7
解析：由题意知,第一年产量为a 1=1
2×1×2×3=3;以后各年产量分别为
a n =f (n )-f (n -1)=12n (n +1)(2n +1)-1
2n ·(n -1)(2n -1)=3n 2(n ∈N *,n ≥2)。

令3n 2≤150,得2≤n
≤5√2,又n ∈N *
,得2≤n ≤7,故生产期限最长为7年。

7.(2019·某某某某一中高一月考)如图3-4-1所示,建立平面直角坐标系xOy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹在函数
y =kx -1
20(1+k 2)x 2(k >0)表示的曲线上,其中k 与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横
坐标。

图3-4-1
(1)求炮的最大射程。

答案：令y =0,得kx -1
20(1+k 2)x 2
=0, 由实际意义和题设条件,知x >0,k >0, 故x =20k
1+k 2=
20
k+1k
=
20
(√k -√k
)2
+2
≤20
2=10,
当且仅当k =1时取等号。

所以炮的最大射程为10km 。

(2)设在第一象限内有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2km,试问它的横坐标a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由。

答案：因为a >0,所以炮弹可击中目标等价于存在k >0,使3.2=ka -1
20(1+k 2)a 2
成立,即关于k 的方程a 2k 2
-20ak +a 2
+64=0有正根。

所以Δ=(-20a )2
-4a 2
(a 2
+64)≥0⇔a ≤6。

所以当它的横坐标a 不超过6km 时,可击中目标。

8.已知A ,B 两城市相距100km,两地之间距离A 城市x km 的D 处修建一垃圾处理厂来解决A ,B 两城市的生活垃圾和工业垃圾,且垃圾处理厂与城市的距离不得少于10km 。

已知城市的垃圾处理费用和该城市到垃圾处理厂距离的平方与垃圾量之积成正比,比例系数为0.25。

若A 城市每天产生的垃圾量为20t,B 城市每天产生的垃圾量为10t 。

(1)求x 的取值X 围;
答案：x 的取值X 围为[10,90]。

(2)把每天的垃圾处理费用y 表示成x 的函数; 答案：由题意,得y =0.25[20x 2
+10(100-x )2
], 即y =15
2x 2
-500x +25000(10≤x ≤90)。

(3)垃圾处理厂建在距离A 城市多远处,才能使每天的垃圾处理费用最少? 答案：y =15
2x 2
-500x +25000=15
2(x -1003
)2+
500003
(10≤x ≤90),则当x =
1003
时,y 最小。

即当垃圾处
理厂建在距离A 城市
1003
km 处时,才能使每天的垃圾处理费用最少。

考点2 幂函数模型的应用
9.(2019·某某某某二中期末)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正
比。

已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资额x 的函数表达式;
答案：设两类产品的收益与投资额x 的函数关系式分别为f (x )=k 1x (x ≥0),g (x )=k 2√x (x ≥0),
结合已知得f (1)=1
8
=k 1,g (1)=1
2
=k 2,
所以f (x )=18x (x ≥0),g (x )=1
2
√x (x ≥0)。

(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,最大收益是多少万元?
答案：设投资稳健型产品x 万元,则投资风险型产品(20-x )万元,依题意得获得收益为
y =f (x )+g (20-x )=x 8+1
2√20-x (0≤x ≤20),令t =√20-x (0≤t ≤2√5),则x =20-t 2,所以y =
20-t 28
+t 2
=-1
8
(t -2)2
+3,所以当t =2,即x =16时,y 取得最大值,y max =3。

故当投资稳健型产品16万元,风险型产品4万元时,可使投资获得最大收益,最大收益是3万元。

10.(2019·东北师大附中单元检测)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量R 与管道半径r 的四次方成正比。

(1)写出函数解析式;
答案：由题意,得R =kr 4
(k 是大于0的常数)。

(2)假设气体在半径为3cm 的管道中的流量为400cm 3
/s,求该气体通过半径为r cm 的管道时,其流量R 的函数解析式;
答案：由r =3cm,R =400cm 3
/s,得k ·34
=400,
∴k =40081,∴通过半径为r cm 的管道时,流量R 的函数解析式为R =400
81·r 4。

(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量。

答案：∵R =400
81·r 4
,
∴当r =5cm 时,R =400
81×54≈3086(cm 3
/s)。

故该气体的流量约为3086cm 3/s 。

考点3 分段函数模型的应用
11.(2019·某某某某模块统考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。

在一般情况下,大桥上的车流速度v (单位:千米/小时)是车流密度x (单位:辆/千米)的函数。

当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时。

研究表明:当20≤x ≤200时,车流速度v 是车流密度
x 的一次函数。

(1)当0≤x ≤200时,求函数v (x )的表达式; 答案：由题意知当0≤x ≤20时,v (x )=60; 当20<x ≤200时, 设v (x )=ax +b ,再由已知得 {200a +b =0,20a +b =60,解得{a =-1
3
,b =2003。

故当0≤x ≤200时,函数v (x )的表达式为 v (x )={60,0≤x ≤20,13
(200-x ),20<x ≤200。

(2)当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f (x )=x ·v (x )可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/小时)。

答案：依题意及(1)可得
f (x )={60x ,0≤x ≤20,
13
x (200-x ),20<x ≤200。

当0≤x ≤20时,f (x )为增函数,故当x =20时,其最大值为60×20=1200(辆/小时); 当20<x ≤200时,f (x )=1
3
x (200-x )=-1
3
(x 2
-200x )=-1
3
(x -100)2
+
100003。

由此易知,x =100时取最大值
100003。

即当x =100时,f (x )在区间(20,200]上取得最大值100003。

综上,当x =100时,f (x )在区间[0,200]上取得最大值
100003
≈3333>1200,即当车流密度为100
辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时。

12.(2019·某某某某一中高一期中考试)某地发生地质灾害,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质检测后,决定在水中投放一种药剂来净化水质。

已知每投放质量为m (mg)的药剂后,经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (mg ·L -1
)满足y =mf (x ),其中
f (x )={x 2
16
+2,0<x ≤4,x+14
2x -2
,x >4。

当药剂在水中释放的浓度不低于4mg ·L -1
时称为有效净化;当药剂
在水中释放的浓度不低于4mg ·L -1
且不高于10mg ·L -1
时称为最佳净化。

(1)如果投放的药剂质量为4mg,问自来水达到有效净化一共可持续几天? 答案：由题意,得当药剂质量m =4mg 时,
y ={x 24
+8,0<x ≤4,2x+28
x -1
,x >4,
当0<x ≤4时,x 2
4
+8≥4显然成立;当x >4时,由
2x+28x -1
≥4,得2x +28≥
4(x -1),
得4<x ≤16。

综上,0<x ≤16。

所以自来水达到有效净化一共可持续16天。

(2)为了使在7天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m 的最小值。

答案：由题意,知0<x ≤7,
y =mf (x )={mx 2
16
+2m ,0<x ≤4,
mx+14m
2x -2
,x >4。

当0<x ≤4时,y =mx 216
+2m 在区间(0,4]上单调递增,则2m <y ≤3m ; 当x >4时,y =mx+14m 2x -2
=m 2+
15m 2x -2
,其在区间(4,7]上单调递减,则
7m 4
≤y <3m 。

综上,
7m 4
≤y ≤3m 。

为使4≤y ≤10恒成立,只要满足
7m 4
≥4且3m ≤10,即167
≤m ≤103
,
所以应该投放的药剂量m 的最小值为16
7。