课件16：2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)

ax22＋by22＝1(a>b>0)
bx22＋ay22＝1(a>b>0)
____F_1(_－__c,_0_)，__F_2(_c_,0_)_______ ___F_1_(0_，__－__c)_，__F_2(_0_，_c_)_____
|F1F2|＝2c(c＝ a2－b2) _____|_x|_≤_a_，_|_y|_≤_b________
规律总结 1.由椭圆方程讨论其几何性质的步骤： (1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上． (2)由标准形式求a、b、c，写出其几何性质．
2．椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置； (2)椭圆的范围决定椭圆的大小； (3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度； (4)对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与 对称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图时 应先确定这些点．
∴e＝ac< 22.
又∵0<e<1，∴0<e<
2 2.
故选 B．
规律总结 求椭圆离心率的值或取值范围问题， 先将已知条件转化为 a、b、c 的方程或不等式，再求解． (1)若已知 a、c 可直接代入 e＝ac求得； (2)若已知 a、b 则使用 e＝ 1－ba22求解；
(3)若已知 b、c，则求 a，再利用(1)求解； (4)若已知 a、b、c 的关系，可转化为关于离心率 e 的方程 (不等式)求值(范围)； (5)给出图形的问题，先由图形和条件找到 a、b、c 的关系， 再列方程(不等式)求解． 由于 a、b、c 之间是平方关系，所以在求 e 时，常常先平 方再求解．
跟踪练习3 已知 F1，F2 分别是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦
点，椭圆 C 上不存在点 P 使∠F1PF2≥120°，则椭圆 C 的
离心率的取值范围是( C )
A．0，12
B．21，1
C．0，
3
2
D．
23，1
【解析】由题意，椭圆 C 上不存在点 P 使∠F1PF2≥120°， 即在椭圆 C 上任意点 P 使∠F1PF2＜120°.根据焦点三角形 的性质，当 P(0，±b)时，∠F1PF2 最大，取 P(0，b)，又 F1(－c，0)，F2(c,0)，PF1＝a，所以 sin∠F1PO＝ac＜sin 60° ＝ 23，即椭圆的离心率为：0＜e＜ 23.故选 C．
长轴长__2_a__，短轴长__2b___
c e＝___a__ (0<e<1)
2．离心率对椭圆扁圆程度的影响 如图所示，在 Rt△BF2O 中，cos∠BF2O＝ac，记 e＝ac， 则 0<e<1，e 越大，∠BF2O 越小，椭圆越扁；e 越小， ∠BF2O 越大，椭圆越圆．
3．椭圆性质分类 根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它 的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆 的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一 类是与坐标系无关的本身固有性质，如__长__短__轴__长___、 __焦__距___、__离__心__率___；一类是与坐标系有关的性质，如 __顶__点___、__焦__点___.
已知椭圆的长轴长 2a＝100，短轴长 2b＝60， 则椭圆的方程为5x022＋3y022＝1. 设顶点 A 的坐标为(x0，y0)，x0>0，y0>0， 则5x0202＋3y0202＝1，得 y20＝350022(502－x20)． 根据矩形 ABCD 的对称性，可知它的面积 S＝4x0y0. 由于 x20y20＝x20·350022(502－x20)＝(3500)2[－(x20－5202)2＋5404]，
命题方向3 椭圆的离心率
典例 3 设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一
点M都满足∠F1MF2为锐角，则椭圆离心率的取值范
围是( B )
A．(0，12]
B．(0，
2 2)
C．(0,1)
D．[ 22，1)
【解析】由题可知，当点 P 位于(0，b)或(0，－b)处时，
∠F1PF2 最大， 此时 cos∠F1PF2＝a2＋2aa2－2 4c2＝a2－a22c2>0，∴a> 2c.
预习自测
1．椭圆 25x2＋9y2＝225 的长轴长、短轴长、离心率依次
是( B )
A．5,3，45
B．10,6，45
C．5,3，35
D．10,6，35
预习自测
【解析】变形x92＋2y52 ＝1，∵焦点在 y 轴上， ∴a＝5，b＝3， ∴长轴长 10，短轴长 6，e＝54.
2．椭圆x62＋1y12 ＝1 的焦距为( A )
命题方向2 由椭圆的几何性质求标准方程 典例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过点(3,0)，离心率 e＝ 36； (2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直， 且焦距为 8.
解：(1)若焦点在 x 轴上，则 a＝3，∵e＝ac＝ 36， ∴c＝ 6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为x92＋y32＝1. 若焦点在 y 轴上，则 b＝3，
命题方向4 与椭圆相关的应用问题
典例 4 有一个椭圆形溜冰场，长轴长100 m，短轴长60 m， 现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的 矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶 点定位在何处？这时矩形的周长是多少？
解：分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴和y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设矩形ABCD的 各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而 矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直于其一 边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD关于 原点O及x轴，y轴都对称．
∵e＝ac＝ 1－ba22＝ 1－a92＝ 36， 解得 a2＝27. ∴椭圆的方程为2y72 ＋x92＝1. 综上可知椭圆方程为x92＋y32＝1 或2y72 ＋x92＝1.
(2)设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． 如图所示，△A1FA2 为等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2 的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， 故所求椭圆的方程为3x22 ＋1y62 ＝1.
学科核心素养 椭圆中的最值问题 典例 5 设 P 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上任意一点， F1 为它的一个焦点，求|PF1|的最大值和最小值．
学科核心素养 椭圆中的最值问题
解：设 F2 为椭圆的另一焦点， 则由椭圆定义得：|PF1|＋|PF2|＝2a， ∵||PF1|－|PF2||≤2c，∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，即 a－c≤|PF1|≤a＋c， ∴|PF1|的最大值为 a＋c，最小值为 a－c.
规律总结 1.已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法， 解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程 的形式；(2)确立关于a、b、c的方程(组)，求出参数a、b、c； (3)写出标准方程． 2．注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论， 分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不 能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．
跟踪练习1 求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴长、短轴长、离心率、 焦点坐标和顶点坐标．
解：将方程变形为2y52 ＋1x62 ＝1，得 a＝5，b＝4，所以 c ＝3，故椭圆的长轴和短轴的长分别为 2a＝10,2b＝8， 离心率 e＝ac＝53，焦点坐标 F1(0，－3)、F2(0,3)，顶点 坐标为 A1(0，－5)、A2(0,5)、B1(－4,0)、B2(4,0)．
跟踪练习2
已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为 12，
则椭圆方程为( C ) A．1x424＋1y228＝1 或1x228＋1y424＝1 B．x62＋y42＝1
C．3x62 ＋3y22 ＝1 或3x22 ＋3y62 ＝1
D．x42＋y62＝1 或x62＋y42＝1
跟踪练习2
【解析】由条件知 a＝6，e＝ac＝13，∴c＝2， ∴b2＝a2－c2＝32，故选 C．
因此当 x20＝5202时，x20y20取得最大值，此时 S 也取得最大值． 这时 x0＝25 2，y0＝15 2. 矩形 ABCD 的周长为 4(x0＋y0)＝4(25 2＋15 2)＝160 2(m)． 因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且短轴 相距 25 2 m 的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定 的矩形区域的顶点；这个矩形区域的周长为 160 2 m.
2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
情景引入 “天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的 生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？
新知导学
椭圆的几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
bx22＋ay22＝1(a>b>0)
图形
标准方程
性质
焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴 离 心率
|F1F2|＝2c(c＝ a2－b2) _____|x_|≤_b_，__|y_|≤_a_________
关于_____x轴__、__y轴__和__原__点__对称
____(_±_a_,_0)_，__(0_，__±_b_)_____ _____(0_，__±__a)_，__(±__b_,0_)____
互动探究解疑 命题方向1 椭圆的主要几何量
典例 1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、 离心率、焦点和顶点坐标．
解：把已知方程化成标准方程1x62 ＋y92＝1， 于是 a＝4，b＝3，c＝ 16－9＝ 7， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8 和 2b＝6， 离心率 e＝ac＝ 47， 两个焦点坐标分别是(－ 7，0)、( 7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)、(4,0)、(0，－3)、(0,3)．
C．x62＋y42＝1
D．y62＋x42＝1
【解析】设椭圆方程ax22＋by22＝1(a>b>0)，
a＋b＝10
2c＝4 5 a2＝b2＋c2
⇒ab＝＝64 ，
∴椭圆方程3x62 ＋1y62 ＝1.
4．已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为12，则( B )
A．a2＝2b2
B．3a2＝4b2
规律总结 椭圆几何性质的拓展 (1)设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上的任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时，|PO|有最小值，这时 P 在短轴端点处；当 x＝a 时，|PO| 有最大值，这时 P 在长轴端点处． (2)椭圆上任意一点 P(x，y)(y≠0)与两焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) 构成的△PF1F2 称为焦点三角形，其周长为 2(a＋c)．
规律总结 (1)解决与椭圆相关的应用题的基本策略：①通过求解 椭圆的方程来研究它们的性质；②应用椭圆的定义、 方程及性质把有关几何知识转化为数量关系，再结合 代数知识来求解． (2)利用椭圆解决实际问题的基本步骤：①建立适当的 坐标系；②求出椭圆的标准方程(待定系数法)；③根据 椭圆的方程及性质解决实际问题．
A．2 5
B．2 6
C． 5
D．2 17
【解析】结合椭圆的性质可知， a2＝11，b2＝6， 故 c2＝a2－b2＝11－6＝5，故焦距为 2 5，故选 A．
3．焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，
则椭圆的方程为( A )
A．3x62 ＋1y62 ＝1
B．1x62 ＋3y62 ＝1
C．a＝2b
D．3a＝4b
【解析】因为椭圆的离心率 e＝故选 B．
5．若焦点在 y 轴上的椭圆xm2＋y22＝1 的离心率为12， 3
则 m 的值为__2___.
【解析】∵焦点在 y 轴上，∴0<m<2，e＝ 2－2 m＝12， ∴m＝32.
跟踪练习4
某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地
点 A 距地面 m km，远地点 B 距离地面 n km，地球半径为
k km，则飞船运行轨道的短轴长为( A )
A．2 m＋kn＋k
B． m＋kn＋k
C．m·n
D．2mn
【解析】由题意可得 a－c＝m＋k，a＋c＝n＋k，故(a－c)(a ＋c)＝(m＋k)(n＋k)．即 a2－c2＝b2＝(m＋k)(n＋k)，所以 b ＝ (m＋k)(n＋k)，所以椭圆的短轴长为 2 (m＋k)(n＋k)， 故选 A．