流体动力学基本方程

Chapter 3 流体动力学基本方程
例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。

本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。

I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出
物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。

质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。

在此假设下，对物质体τ有0d
d dt
τρτ=⎰。

根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有
0CV CS
d v ds t ρ
τρ∂+⋅=∂⎰⎰⎰——质量守恒方程积分形式。

上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。

由奥高公式得
()CS
CV
v ds v d ρρτ⋅=
∇⋅⎰⎰⎰
，于是有
()0CV v d t ρρτ∂⎡⎤
+∇⋅=⎢⎥∂⎣
⎦⎰。

考虑到τ的任意性，故有
()0v t ρ
ρ∂+∇⋅=∂，即 0d v dt
ρ
ρ+∇⋅= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）
dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动
0=∂∂t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ
；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。

2）由
0=dt m
d δ（m δ为微团的质量）知11d d dt dt
ρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ∇⋅=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。

3）不可压缩流体
0d dt
ρ
=，故有 0v ∇⋅=。

由奥高公式有CV
CS
v ds vd τ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0CS
v ds ⋅=⎰⎰。

不可压缩流动满足的0v ∇⋅=或
CS
v ds ⋅=⎰⎰是对速度场的一个约束。

例1、1）定常流场中取一段流管，则由
0CS
v ds ⋅=⎰⎰易知：
222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则
1122V S V S =。

2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）则有2
4(,)()r V r t m t π=，
即2
()V r r -∝，其中()m t 代表点源强度（单位时间发出的流体体积）。

例2、均质不可压缩流体（密度为ρ）从圆管（半径为R ）入口端以
速度0V 流入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即21m r V V R ⎡⎤
⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦。

通
常称这种流动为圆管的入口流。

试求当管内流动发展为抛物型剖面时的最大速度m V 。

解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：0V dS ⋅=⎰⎰
界面
， 由于管壁无渗透故上式
可写为：2
00
2R
V R V rdr ππ=⎰
，可得02V V m =。

II 动量方程
流体团所受合外力 = 该流体团的质量 ⨯ 其加速度
II-1方程的导出
1直角坐标系下推导微分形式的动量定理
t 时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，该流体微团t 时刻所占控制体CV ，其边界CS 。

受力分析： 体力合力=Fd ρτ 面力合力n CS
p dS =
⎰⎰
,,,,22,,,,22,,,,,,,,22,,222x x x x
y x y y
z x z z
x x x x y x x p x y z s p x y z s y y p x y z x x p x y z s p x y z s p x y z s x z p x y z s y p x y s p x y z z s s δδδδδδδδδδδδδδδδδδ---⎛⎫⎛⎫
=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛
⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫
=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎝⎭⎛⎫⎛
⎫+++- + ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,,2,,,,22x y y
z x y x z z z
y p x y z s x z p x y z s p p p p
x z
x y z s y δδδδδττδδτδδ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛
⎫++-∂∂∂=++- ⎪ ⎪⎝∂⎭∂∂⎭⎝
于是有y x z p p p dV
F dt x y z
ρδτ
ρδτδτδτδτ∂∂∂=+++∂∂∂， 即y x z p p p dV
F dt x y z
ρρ∂∂∂=+++∂∂∂。

2
x '
分量形式：yx x xx zx x y
xy yy zy y yx xx zx z
z p dv p p F dt
x y z dv p p p F dt x y z p p p dv F dt x y z ρρρρρρ∂⎧∂∂=+++⎪
∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+++⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂=+++⎪∂∂∂⎪⎩
或写成ji i
i j
p dv F dt x ρ
ρ∂=+
∂， 或dV
F P dt
ρ
ρ=+∇⋅。

P ⋅∇意义：单位体积流体团所受面力的合力。

2积分形式的动量定理的导出
考虑体系τ，该流体团t 时刻所占控制体CV ，其边界CS 。

由动量定理有
n CV CS d
Vd Fd p dS dt τ
ρτρτ=+⎰⎰⎰⎰
利用输运定理可得()CV
CS d V V V V S dt t τρδτρδτρδ∂
=
+⋅∂⎰⎰⎰。

于是得到积分形式动量定理：
()n CV CS CV CS
V V V S Fd p dS t
ρδτρδρτ∂
+⋅=+∂⎰⎰⎰⎰⎰
该定理的应用：经常应用于求流体与边界的相互作用力。

例题1求流体作用于闸门上的力。

（设渠宽w ）
解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的x 方向分量方程。

22
2121wD V wD V x ρρ+-=方向动量通量
[][]12
1220
()()()D D a a a x R w P g D y dy w P g D y dy h D P ρρ=-++--+---⎰⎰方向合外力
闸门受合力＝R h D P R a '=--)(1 代入动量方程方程得
)(2
1
)(2221121222D D gw R D V D V w -+
'-=-ρρ 故
)()(2
1
2211222221D V D V w D D gw R -+-=
'ρρ 注：求R '时可直接设0=a P 。

注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如下：
()()d V d d dV
V V dt dt dt dt
ττττρδτρδτρδτρδτ==+⎰⎰⎰⎰
其中
()0d d m
dt dt
ρδτδ==，因而得到 CV d dV dV
V dt dt dt
ττρδτρδτρδτ==⎰⎰⎰。

上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变化率之和。

另外，
n CS
CS
CV
p dS n PdS Pd τ=
⋅=
∇⋅⎰⎰
⎰⎰
⎰，
综上可得
0CV dV F P dt ρρδτ⎛⎫--∇⋅= ⎪⎝
⎭⎰，再考虑到系统大小形状的任意性可得dV
F P dt ρρ=+∇⋅。

尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求解质点运动一样，流体运动的动
量方程中应力张量等于什么我们还不知道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。

3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
2rot 2V V V V F P t ρρ⎛⎫∂+∇+⨯=+∇⋅ ⎪∂⎝⎭
II-2地转参照系下的动量方程
就很多空间和时间尺度都较小的流动而言，地球参照系通常课近似看作惯性系。

但是对于大尺度的流体运动问题，必须考虑地球自转的影响。

在海洋和大气的大尺度运动问题中，通常把地心看成惯性参照系，地球相对于地心有自转运动。

我们在此介绍地转参照系下的动量方程，为将来学习物理海洋学、地球流体动力学等打基础。

地球上运动质点的绝对速度a r e V V V =+，其中r V 代表质点相对于地球表面的运动速度，牵连速度e V r ω=⨯（牵连速度=地球表面上该质点所在位置绕地心的自转速度），ω为地球自转角速度。

绝对加速度：a r e c w w w w =++， 其中r w 代表相对加速度，牵连加速度()e d w r r dt
ω
ωω=
⨯+⨯⨯，科氏加速度()2c r w V ω=⨯。

动量方程：1
r e c d V F P w w dt ρ
'=+∇⋅--
其中
r r r r d V V V V dt t '∂'=+⋅∇∂，i
i
x ∂'∇='∂ 。

因为真实力与参照系无关，故P P ''∇⋅=∇⋅ 一般情况下可以忽略地球自转角速度的变化，认为
0d dt
ω
=，于是有 ()1
2r r r r V V V F P r V t ωωωρ
∂'+⋅∇=+∇⋅-⨯⨯-⨯∂。

III.能量方程
III －1能量方程的推导：t 时刻流体团τ所占控制体CV ，其边界CS ，能量平衡关系式：
t 时刻()
1系统能量增加率
()
()
()
234=++外力的功率单位时间内通过边界流入的热量单位时间内从外界吸收的其他能量
其中
2
(1)()2d V U dt τρδτ=+⎰，U 代表单位质量流体的内能（分子热运动动能+分子间相互作用势能）
(2)n CS
CV
F V p V s ρδτδ=
⋅+⋅⎰⎰⎰
=)3(CS
f s δ-⋅⎰⎰
CS
k T s δ=
∇⋅⎰⎰
，f 为热流强度，根据付利叶热传导定律对各向同性流体
f k T =-∇
)4(设单位时间内单位质量流体从外界吸收的辐射能为q ，则(4)CV
qd ρτ=⎰
故能量方程积分形式为：
2
()2
n CV CS
CS
CV
d V U F V p V s k T s q dt τρδτρδτδδρδτ+=⋅+⋅+
∇⋅+⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰
因为
()222
2
2
22222d V d V U U dt dt d d V V d V U U U dt dt dt τττ
ττρδτρδτρδτρδτ
ρδτ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰＝＋＝
()()()()n CS
CS
CS CS CS p V s n P V s n P V s P V s P V δδδδδτ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=∇⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰＝
()CS
CS
k T s k T δδτ∇⋅=
∇⋅∇⎰⎰
⎰⎰
所以得到能量方程微分形式：2
()()2d V U F V P V k T q dt ρρρ⎛⎫
+
=⋅+∇⋅⋅+∇⋅∇+ ⎪⎝⎭
， 其中()()ji ji i ji i i ji i ji ji ji ji j j j j
p p V P V p V V p V p s p a x x x x ∂∂∂∂
∇⋅⋅==+=++∂∂∂∂。

由于旋转运动张量A 是反对称张量，而应力张量P 是对称张量，故有0ji ji p a =（因ij p 是对称张量） 记:ji ji ij ji p s p s P S ==。

另外()ji i
j
p V V P x ∂=⋅∇⋅∂，于是有如下形式的能量方程：
2
()
2():()V d U F V V P P S k T q dt
ρρρ+=⋅+⋅∇⋅++∇⋅∇+。

方程中各项意义分析：
2
()
2V d U dt
ρ+代表单位体积流体能量变化率； F V ρ⋅代表作用在单位体积流体微团上的体力的功率；
()V P ⋅∇⋅代表作用在单位体积流体微团表面的面力的合力的功率；
()k T q ρ∇⋅∇+代表单位时间内单位体积流体微团通过热传导和辐射吸收从外界获得的能量。

III －2动能方程 将动量方程dV F P dt ρ
ρ=+∇⋅ 两边同时点积V 得： ()dV
V F V V P dt
ρρ⋅=⋅+⋅∇⋅。

其中21()122dV d V V dV V dt dt dt
⋅⋅==，故有动能定理 2
()2d V F V V P dt ρρ⎛⎫
=⋅+⋅∇⋅ ⎪⎝⎭。

上式表明：单位体积流体微团动能变化率＝作用于该微团上的体力的功率＋作用于该微团上的合面力的功率。

III －3热流量方程：:()dU
P S k T q dt
ρ
ρ=+∇⋅∇+ 面力的功率包含两项()(:)V P P S ⋅∇⋅+，其中合面力的功率()V P ⋅∇⋅转化为系统的宏观运动动能，另一部分():P S 转化为系统的内能。

尽管系统内部的应力是内力，但是粘性应力必然导致机械能的耗散。

如果系统要维持定常状态，必须有外力对系统做功，补充其机械能损耗。

参考本章后面的例题。

IV.本构方程 数学预备：
记V E ∇=，根据二阶张量定义，将坐标系旋转，从原坐标系o-xyz 到旋转后的坐标系o-x y z '''，二阶张量E 的张量元满足变换：
j n
im jn
i m
V V x x ββ'∂∂='
∂∂， 其中变换矩阵i i j i k i i j j j k j i k j k k k β⎛⎫
'
''⋅⋅⋅
⎪
'
''=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪'''⋅⋅⋅⎝
⎭。

逆变换：
j n mi nj
i
m
V V x x ββ∂'
∂='∂∂。

本构方程的导出
1应力张量分解：P p P '=-I +
P '——偏应力张量，代表运动流体的应力张量与各向同性应力张量（记为I -p ）的差异。

记作ij P τ'=；P '是对称二阶张量。

2线性假设（Newton 粘性定律的推广，对于剪切流动12u kx =，1
212
u x τμ
∂=∂） 偏应力产生于速度场的不均匀性。

线性假设：假设偏应力张量各分量与速度梯度张量的各分量成线性关系：
k
ij ijkl
l
u c x τ∂=∂。

ijkl c 是四阶张量，满足变换关系ijkl
im jn kp lq mnpq c c ββββ'=。

ijkl c 是由81个系数组成的一组系数，这组系数确定了偏应力张量各张量元与速度梯度张量各张量元之间
的关系，由于偏应力张量和速度梯度张量都满足二阶张量定义，于是有
q mn mnp ij
im jn im j l kp q n im jn mn lq
pq k
p
u c u x x c τβββββββτβ∂∂'
∂'='∂== 可知ijkl
im jn kp lq mnkl c c ββββ'=。

数学上定义，由81个元素组成的量，若其元素满足该变换的则称之为四阶张量。

3各向同性流体及其四阶张量ijkl c 的表达式
3－1各向同性流体：若在原坐标系o-xyz 和旋转后的坐标系o-x y z '''中偏应力张量分别表示为
l
ij ijkl
k
u c x τ∂=∂和l ij ijkl k u c x τ'∂''='∂，若l l k k u u x x '∂∂='∂∂则应当有ij
ij ττ'=，于是要求ijkl ijkl c c '=。

*****************************************************************************************
考虑一个特例来理解流体粘性的各向同性：水池中插入并移动平板引起的两个纯剪切流动的粘性应力大小与平板放置方向无关。

只要加上一个速度梯度，就对应一个粘性应力，粘性系数与速度梯度的方向无关。

112121212122l kl
k u u u c c x x x τμ∂∂∂===∂∂∂ 112121212122
l kl k u u u c c x x x τμ'''
∂∂∂'''==='''∂∂∂
*****************************************************************************************
3－2对于各向同性流体，可以证明（参见吴书p75）四阶张量ijkl c 可表示为
ijkl ij kl ik jl il jk c λδδαδδβδδ=++，其中,,λαβ是标量，即
,,,,ijkl
i j k l i j k l c i k j l i l j k
λαβλαβ++===⎧⎪=≠=⎪
=⎨
=≠=⎪⎪=≠=⎩ when when when when 。

3－3偏应力张量是对称张量ijkl jikl c c =，于是αβμ==，于是()
ijkl ij kl ik jl il jk c λδδμδδδδ=++。

另外，由上式还可知ijkl ijlk c c =。

4分解
l
kl kl k
u s a x ∂=+∂，于是ij ijkl kl ijkl kl ijkl kl c s c a c s τ=+= 如果流体只有旋转运动而没有变形运动，那么偏应力张量＝0。

偏应力与变形运动相关联。

5将ijkl c 的表达式带入上式，得
()2ij ij kl kl ik jl il jk kl kk ij ij s s s s τλδδμδδδδλδμ=++=+
最后得到：
123123223ij i ij kk ij ij kk i ij ij kk ij ij
kk ij kk i j j
j p p s s p s s s s s s p μδμδδλδμδδδμδλμ⎛
⎫+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫
- ⎪⎝=-++=++=++⎭'-⎭
⎪⎝-
其中13ij kk ij s s δ⎛
⎫
-
⎪⎝⎭
代表无体积变化的纯剪切运动，kk ij s δ代表各向同性膨胀运动。

6Stokes 假设
对于不可压缩流体，kk ij s μδ'＝0。

对于可压缩流体kk ij s μδ'表示流体发生膨胀或收缩时引起的法向应力，
μ'被称为第二粘性系数或膨胀粘性系数。

Stokes 假设：系统处于准热力学平衡状态时，可近似认为0μ'=。

7μ的意义
考虑纯剪切运动，u ky =，粘性应力21212u
s y
ττμμ∂===∂，可知μ为动力学粘性系数。

8p -的意义
设流体满足Stokes 假设，可以证明
p -=作用于球形微团上的法应力的平均值。

So, it ’s a measure of the local intensity of the “squeezing ” of the fluid.
证明：The average value of the normal component of the stress on a surface element at position r over all
directions of the normal n
to the element is
证明：
11
sin 44nn i ij j p n P nd n p n d d θθφππ
=
⋅⋅Ω=⎰⎰. Since (sin cos ,sin sin ,cos )n θφθφθ=,
111
sin 433
nn i ij j ij ij
ii p n p n d d p p p θθφδπ=
===-⎰ 或者在球坐标系下(1,0,0)r n e ==，
1
sin 4nn r r rr p e P e d d p p θθφπ=
⋅⋅==-⎰
Hence ，p - characterizing the fluid pressure in a moving fluid which is analogous to the static fluid pressure in the sense that it ’s a measure of the local intensity of the ‘squeezing ’ of the fluid. （关于p 与热力学压强的关系，建议学生查庄礼贤《流体力学》对应章节。

）
9关于偏应力张量P '
A general relative motion near any point may be represented as the superposition of two simple shearing motion, each of which gives rise to a tangential stress determined by μ and the corresponding velocity gradient, together with a rigid rotation and an isotropic expansion, neither of which has an effect ( in a fluid of isotropic structure ) on the non-isotropic part of the stress ’ tensor and )3
(2ij ij ij s d δμ∆
-
= may of cause be regarded as the only possible linear tensorial relation, involving one scalar parameter, between ij s and a symmetrical tensor ij d whose diagonal elements have zero sum . (以上8和9)引自Batchlor,1994)
本构方程（广义牛顿公式）的适用范围： 1）大多数液体；
2）非高温、非高频振动的气体；
非牛顿流体：油漆、橡胶、蜂蜜、血液、沥青等。

例1写出纯剪切流动偏应力张量各分量 例2吴书p203，23
1） 平板上的切应力021212u u
s y h
τμμ
μ∂===∂，平板所受总阻力02122u bl bl h τμ=⋅=。

2） 3/2y h =处流体内摩擦力为0。

例3 吴书p203，22
柱坐标系下应力张量的表达式见p190。

除rz zr u
p p r
μ
∂==∂外，应力张量其他非对角元均为零。

管壁处的切应力0
02rz r r u
p c r r μ
μ=∂==-∂，单位长圆管对流体的阻力20024rz p r c r ππμ=⋅=-。

与圆管共轴的半径为0/2r r =的单位长流体柱表面的总摩擦力2c r πμ=-。

V 流体力学基本方程组
V-1 完备的微分形式流体力学基本方程组
()()()()0,,:(), 12, (,)3,.V t dV F P dt dU
P S k T q dt P pI S IdivV IdivV T T p p T ρ
ρρρρ
ρμμμμμμρ∂⎧+∇⋅=⎪∂⎪
⎪=+∇⋅⎪⎪
⎪=+∇⋅∇+⎨⎪⎪⎛⎫'''=-+-+== ⎪⎪
⎝⎭⎪
⎪=⎪⎩
内能() ,U U T V =，具体函数形式由热力学理论给出。

对于完全气体 v U C T =。

V-2 N-S 方程 将2()3kk s P pI S I μ=-+-
代入动量方程即得：1Δ
[2()]3
dV p F S I dt μρρ∇=-+∇⋅-，其中Δkk s =。

当流场温度变化不大时，μ近似为常数，故有
()2[2()]233
V S I S V μμμ∇⋅∇⋅-
=∇⋅-∇∇⋅， 其中
()()2212j i i j i i
i i
j i
j u u S u V x x u x x x x V x μμ
μμμ∂⎛⎫∂∂∇∇⋅∂∂⎡⎤⎛⎫
∂
∇⋅==+=+⎢⎥ ⎪ ⎪∂⎢⎥⎝∂∂∇⋅∇∂+ ⎭
⎣⎪ ⎪∂∂⎝∂⎭⎦∂。

最后得到
2()3
dV p F V V dt γγρ∇=-+∇+∇∇⋅。

又，若流体不可压缩，方程化为N —S 方程：
2dV p
F V dt γρ
∇=-+∇。

又，若流体粘性可略，方程化为理想流体Euler 方程：
dV p
F dt ρ
∇=-。

V-3耗散函数
耗散函数Φ——单位时间内粘性导致的单位体积流体机械能转化成的内能。

:23ij ji ij ij ij ji V P S p s p s s δμδ⎡⎤
⎛⎫==-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦div
2)(322ii ji ij ii s s s ps μμ-+-=22
2:()3
p V S S V μμ=-∇⋅+-∇⋅p V Φ=-∇⋅+
其中p V -∇⋅为压缩功，而2
22:()3
S S V μμ-∇⋅为粘性力的功，它将导致机械能转化成内能。

sr Φl l
ds n , sl r r ds n Φ
定义耗散函数22
2:()3S S V Φμμ=-
∇⋅，它等于单位时间内由于粘性应力做功导致的机械能转化成的内能。

它可以化成如下形式：
22222212132311221133223324()[()()()]3
s s s s s s s s s Φμμ=+++-+-+-。

可见，Φ恒大于或等于零。

这说明粘性力做功总是使机械能转化成内能，这个过程不可逆。

例题：拖动上板引起的剪切运动ky u =，常数=k 。

设平板面积∑间距h ，忽略边缘效应， ①写出该流动的耗散函数。

⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡=00
0002020k k
S ，0V ∇⋅=， 22212212()s s k Φμμ=+=
②证明h Φ∑=外力拉动上板的功率
上板受外力＝上板受流体摩擦力＝k μ∑， 力功率＝2
k U k
h h μ∑μ∑Φ∑===，得证。

例题 N —S 方程应用于静止流体
N —S 方程：V p F dt V d
2
∇+∇-=γρ
1）若流体静止，N —S 方程化成什么形式？
2）推导阿基米德定律（Archimeder ） 答：1）F p ρ=∇。

若仅受重力这唯一体力，F gk =-则p gk ρ∇=-，即C gz p +-=ρ（均质流体）。

2）如图物体浸没在静止流体中，求作用于物体上的合面力。

合面力0
0S
pnds pd gkd g k ττ
τρτρτ=
-=-∇==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

注：其中利用了吴书公式18 on page20，该公式的导出如下所示。

grad d i j k d x y z ττττ⎛⎫∂Φ∂Φ∂ΦΦ=++ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎰⎰ 将τ分割成无数个正六面体微元，如图所示：
下面计算 d x τ
τ∂Φ
∂⎰ 对任一个正六面体微元上，
()()(),,,,dxdydz x dx y z x y z dydz x
∂Φ
=Φ+-Φ∂
(2)n P (1)n
P -将上式在给定y 和z 的情况下对x 积分，即对给定y 和z 的一串流体微团积分上式，得到
()sr sl dxdydz dydz x ττ
∂Φ
=Φ-Φ∂⎰⎰ 其中sr Φ和sl Φ分别代表该流体微团串左、右两端的Φ值，即流体团表面上给定y 和z 的两点的Φ值。

在图中，对于流体团右侧表面上的面元r r ds n 有()
cos ,r r dydz ds n i =；同样对于流体团左侧表面上的面元l l ds n 有()()
cos ,cos ,l l l l dydz ds n i ds n i =-=-。

于是
()()()cos ,cos ,cos ,sr r r sl l l
d n i ds n i ds x n i ds
ττ∂Φ
=Φ+Φ∂=
Φ⎰⎰⎰⎰
右半表面左半表面
整个表面
VI 边界条件
流体力学方程组是支配流体运动的普适的方程组。

要确定某个具体的流动，就要找出流体力学方程组的一种确定的解。

为此，就必须给出决定这个解的定解条件。

这通常包括边界条件和初始条件。

本节讨论几种常用的边界条件。

1无穷远边界条件
e.g.飞机在天空飞行，天空边界无穷远，在无穷远处流体的运动状态不受飞机的影响，并且通常是已知的，因此有边界条件：∞∞∞∞====∞=T T p p V V r ,,,,ρρ。

如果无穷远处空气静止，在固定在地球上的参照系中，
000,,,a V p p T T ρρ∞∞∞∞====，
其中a p 代表大气压强。

如果把参照系固定在飞机上（设飞行速度U ），则
00,,,a V U p p T T ρρ∞∞∞∞=-===
在绕流问题中，一般情况下，当流体的空间尺度远大于明显受物体扰动的流动区域的尺度时，即可将扰动可略的区域视为无穷远。

2两种流体分界面上的边界条件 2－1液体的表面张力
表面张力的概念：液体表面上任一面元边界上的线元都要受到与该线元垂直的，沿界面切向的作用力，称为表面张力。

单位长度边界线元上的表面张力设为γ，被称为表面张力系数。

作用于单位面积界面上的表面张力的合力为12
11
(
)n R R γ+，其中，1R ，2R 是任意两个包含n
的正交平面和界面交线的曲率半径（若n
指向曲率中心，曲率半径为正，否则为负）。

2－2应力边界条件：(吴书图3.7.2，以下公式与吴书图3.7.2相协调)
在界面两侧对称的取微元小柱体，柱高<<两底面的尺度，对此微元应用动量定理，由于体力和柱体侧面受力<<两底上的面力，故有
两底上的面力＋作用在柱体侧面与边界面的交线上的表面张力＝0
即 (2)
(1)12
11
()0n
n P P n R R γ-+++= 由此可见，界面两侧切应力连续，法应力在界面平均曲率不为零时有一个突变。

特别地211211()p p R R γ⎧
=++⎪
⎨⎪⎩
当流体静止时有当界面为平面时，法应力与切应力均连续
2－3速度边界条件
假设1）两介质的界面是物质面，即假设界面上不发生蒸发、渗透、凝结和相互融解等的现象，那么，在运动过程中，分界面始终由同一批质点所组成；2）两介质的界面不发生分离。

在以上两个假设下，界面的两侧质点速度必满足连续性条件：(1)2n n V V =。

在流体的分界面上同样有分子的输运效应，它的效果就是减小界面上物理量的法向梯度。

如果界面两侧流体切向速度不连续，那么就会出现动量输运（粘性应力），直至切向速度达到一致。

由此我们假设切向速度连续，(1)(2)t t V V =。

此条件称为无滑移条件，对粘性流体的界面成立。

对于理想流体，没有切向速度边界条件。

2－4热力学边界条件
同样，考虑到在流体分界面上的分子输运效应，假设边界两侧温度连续，)2()
1(T T
=。

再考虑前面提到的界面上的小柱体内的由于热传导引起的能量的变化，有平衡方程：
柱体内内能的增加率=其表面的热通量的负值
由于柱体内的能量和侧面上的热通量的量阶低于两底面上的热通量，因此有
上底面的热通量=-下底面的热通量 即()(1)
(2)1122()k T
n S k T nS -∇⋅-=--∇⋅，
即(1)(2)
12T T k k n n
∂∂=∂∂。

3固壁边界条件和自由表面边界条件（两介质界面边界条件的两个重要特例）
与分界面两边都是求解对象的问题相比，运动方程数就减少了一半。

边界条件的关系式也需相应的减少一半，或者说，此时只能满足一半数目的边界条件。

3－1固壁边界条件
固体边界的运动通常作为已知条件给出，即已知V 固，在不发生渗透和分离的情况下，有n n V V =流固。

若流体有粘性，还有切向速度的无滑移条件t t V V =流固。

无应力边界条件。

事实上，在固壁边界附近存在边界层，在边界层内流体粘性必须考虑，因而在固壁表面实际上是满足无滑移条件。

如果边界层很薄，在求解边界层外部的理想流体流动时，仍将固壁作为理想流体流动的边界，但不加无滑移条件约束。

在固壁边界热力学边界条件仍成立。

3－2自由表面边界条件
液体的自由表面指它与真空或大气的接触面。

很多情况下我们仅关心液体的流动，并且，考虑到大气的密度和粘性系数都很低，有些情况下不会对液体流动产生显著影响，此时忽略大气对液体运动的影
响。

作为近似，气体中的应力张量处处可取为a p I -。

应力边界条件为： 切应力 0n P t ⋅⋅= 法应力
12
111
2()()3a p n S n V p R R μγ-⋅⋅-∇⋅=++
4分界面上的运动学边界条件
若已知界面曲面方程，法向速度连续这一边界条件还可以表述为另一种
形式。

设界面曲面方程为(,,,)0,(,,) F x y z t x y z S =∈，考虑界面上的一质点，t 时刻该质点在
(),,M x y z 点，dt t +时刻运动到(),,M x dx y dy z dz '+++，有
(,,,)0, F x y z t =
和
0),,,(=++++dt t dz z dy y dx x F 。

由以上二式得 0F
F d r d t t
∂∇⋅+=∂， 即
0F dr
F t dt ∂+⋅∇=∂。

而dr dt 为界面上质点的速度，于是得到 ()0i F V F t ∂+⋅∇=∂，（1,2i =），即0=dt
dF 。

考虑到曲面法线方向/n F F =∇∇, 上式还可以表述为
()0i n F
V F t
∂+∇=∂。

例1：椭圆柱以速度u 作垂直于其轴线的直线运动，试写出椭圆柱的曲面方程式。

设该圆柱在无界水中运动，写出柱面边界上的速度应满足的运动学边界条件，设无其他扰动源。

解：此系二维流动),(v u V =
，，取x 轴方向沿椭圆柱运动方向，边界曲面方程为：
(),,,F x y z t =22
2
2()10x ut y a b
-+-= 运动学边界条件：0dF
dt
= 即
02)(2)(22
22=+-+--b y
v a
t u x u a u t u x 或从n n V V =流固出发，利用V F ui
F
⋅∇=⋅∇流 得到与上面相同的结论。