2024届浙江省绍兴市柯桥区六校联盟八年级数学第二学期期末联考试题含解析

2024届浙江省绍兴市柯桥区六校联盟八年级数学第二学期期末联考试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，四边形ABCD 是平行四边形，要使它变成菱形，需要添加的条件是（ ）
A ．AC=BD
B ．AD=B
C C ．AB=BC
D ．AB=CD
2．在平面直角坐标系中，将直线l 1：y ＝－3x －2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到直线l 2，则直线l 2的解析式为( )
A ．y ＝－3x －9
B ．y ＝－3x －2
C ．y ＝－3x ＋2
D ．y ＝－3x ＋9
3．在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A ．对边相等
B ．对边平行
C ．对角互补
D ．内角和为360°
4．二次根式1a -中，字母a 的取值范围是（ ）
A ．a ＜1
B ．a≤1
C ．a≥1
D ．a ＞1
5．如图，在平面直角坐标系中，若点()2,3A 在直线12
y x b =-+与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成的三角形内部，则b 的值可能是（ ）
A ．-3
B ．3
C ．4
D ．5
6．一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至每盒48.6元，则平均每次降价的百分比是（ ） A ．1 % B ．1 0%
C ． 1.9 %
D ． 1 9% 7．关于x 的一元二次方程()212019x k -=-，下列说法错误的是（ ）
A ．2017k =方程无实数解
B ．2018k =方程有一个实数解
C ．2019k =有两个相等的实数解
D ．2020k =方程有两个不相等的实数解
8．若0a <，则下列不等式不成立的是（ ）
A ．56a a +<+
B ．56a a -<-
C ．56a a <
D ．65a a < 9．下列函数中，y 随x 的增大而减小的有（ ）
①y ＝﹣2x+1；②y ＝6﹣x ；③y ＝-
13x +；④y ＝（1﹣2）x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
10．王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示－1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A ”.则数轴上点A 所表示的数是（ ）
A ．2－1
B ．－2＋1
C ．2
D ．－2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax ，②y=bx ，③y=cx ，将a ，b ，c 从小到大排列并用“＜”连接为_____．
12．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要_____cm ．
13．如图，函数y 1=ax 和y 2=-12x+b 的图象交于点P ，则根据图象可得，二元一次方程组12y ax 1y x b 2=⎧⎪⎨=-+⎪⎩
的解是______．
14．如图平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠B =50°时，∠EAF 的度数是______°．
15．函数2(y kx k k =-+为任意实数)的图象必经过定点，则该点坐标为____．
16．如图，在五边形ABCDE 中，330A E D ∠+∠+∠=︒，ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点O ，则BOC ∠的度数
为__________°.
17．如图，在△ABC 中，∠A ＝∠B ，D 是AB 边上任意一点DE ∥BC ，DF ∥AC ，AC ＝5cm ，则四边形DECF 的周长是_____．
18．一组数据：3，5，9，12，6的极差是_________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）阅读下列材料：
在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程
=1的解
为正数，求a 的取值范围．
经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：
小杰说：解这个关于x 的分式方程，得x=a+1．由题意可得a+1＞0，所以a ＞﹣1，问题解决．
小哲说：你考虑的不全面，还必须保证x≠1，即a+1≠1才行．
（1）请回答：的说法是正确的，并简述正确的理由是；
（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：
若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围．
20．（6分）某养猪场要出售200只生猪，现在市场上生猪的价格为11元/kg，为了估计这200只生猪能卖多少钱，该养猪场从中随机抽取5只，每只猪的重量（单位：kg）如下：76，71，72，86，1．
（1）计算这5只生猪的平均重量；
（2）估计这200只生猪能卖多少钱？
21．（6分）某商场销售A,B两种品牌的教学设备,这两种教学设备的进价和售价如表所示
A B
进价(万元/套) 1.5 1.2
售价(万元/套) 1.65 1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套,共需66万元,全部销售后可获毛利润9万元.
(1)该商场计划购进A,B两种品牌的教学设备各多少套?
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少A种设备的购进数量,增加B种设备的购进数量,已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍.若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元,问A种设备购进数量至多减少多少套?
22．（8分）已知关于x的一元二次方程3x2﹣6x+1﹣k=0有实数根，k为负整数．
（1）求k的值；
（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．
23．（8分）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．
（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？
（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B 两种型号的机器可以各安排多少台？
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，E、F分别是AC、CD的中点，AC=8，AD=6，∠BEF=90°，求BF的长．
∆中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，25．（10分）如图，在ABC
=，连接BF.
且AF BD
（1）求证：D是BC的中点；
∆满足什么条件时，四边形AFBD是正方形，并说明理由.
（2）当ABC
26．（10分）如图:BE、CF是锐角△ABC的两条高,M、N分别是BC、EF的中点，若EF=6,BC=24.
(1)证明:∠ABE=∠ACF;
(2)判断EF与MN的位置关系,并证明你的结论;
(3)求MN的长.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解题分析】
根据菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形可得答案．
【题目详解】
A. 添加AC=BD可证明平行四边形ABCD是矩形，不能使它变成菱形，故此选项错误；
B. 添加AD=BC不能证明平行四边形ABCD是菱形，故此选项错误；
C. 添加AB=BC可证明平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；
D. 添加AB=CD不能可证明平行四边形ABCD是变成菱形，故此选项错误；
故选：C.
【题目点拨】
本题考查的是菱形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
2、B
【解题分析】
根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答.
【题目详解】
直线y=-3x-1的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的直线的解析式是：y=-3（x+1）-1+3=-3x-1，即y=-3x-1．
故选B．
【题目点拨】
本题考查了一次函数图象的平移规律，熟练运用一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”是解决问题的关键.
3、C
【解题分析】
A、平行四边形的对边相等，故本选项正确；
B、平行四边形的对边平行，故本选项正确；
C、平行四边形的对角相等不一定互补，故本选项错误；
D、平行四边形的内角和为360°，故本选项正确；故选C
4、C
【解题分析】
由二次根式有意义的条件可知a-1≥0，解不等式即可.
【题目详解】
由题意a-1≥0
解得a≥1
故选C.
【题目点拨】
本题考查了二次根式的意义，掌握被开方数需大于等于0即可解题.
5、D
【解题分析】
先根据点4（2.，3）在直线12
y x b =-+与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成的三角形内部，可知点A （2，3）在直线12y x b =-+的下方，即当x=2时，y>3，再将x=2代入12
y x b =-+，从而得出-1+b>3，即b ＞4. 【题目详解】 解：∵点A （2.3）在直线12y x b =-
+与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成的三角形内部。

∴点A （2，3）在直线12
y x b =-+的下方，即当x=2时，y>3， 又∵当x=2时，1212y b b =-⨯+=+
∴-1+b>3，即b>4.
故选：D.
【题目点拨】
本题主要考查了一次函数的性质，根据点A （2.3）在直线12y x b =-
+与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成的三角形内部，得到点A （2.3）在直线12
y x b =-
+的下方是解题的关键. 6、B
【解题分析】
设平均每次降价的百分比是x ，则第一次降价后的价格为60×（1-x ）元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为60×（1-x ）×（1-x ）元，从而列出方程，然后求解即可．
【题目详解】
解：设平均每次降价的百分比是x ，根据题意得： 260(1)48.6x -=，
解得：10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分比是10%；
故选：B.
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．
7、B
【解题分析】
将各选项的k 带入方程验证，即可得到答案.
【题目详解】
解：A ，当k=2017，k-2019==-2，该方程无实数解，故正确;
B, 当k=2018，k-2019==-1，该方程无实数解，故错误;
C ，当k=2019，k-2019==0，解得x=1，故正确;
D, 当k=2020，k-2019=2020-2019=1，解得x=0或x=2，故正确;
因此答案为B.
【题目点拨】
本题主要考查二元一次方程的特点，把k 值代入方程验证是解答本题的关键.
8、C
【解题分析】
直接根据不等式的性质进行分析判断即可得到答案．
【题目详解】
A ．0a <，则a 是负数，56a a +<+可以看成是5＜6两边同时加上a ，故A 选项成立，不符合题意；
B ．56a a -<-是不等式5＜6两边同时减去a ，不等号不变，故B 选项成立，不符合题意；
C ．5＜6两边同时乘以负数a ，不等号的方向应改变，应为：56a a ＞，故选项C 不成立，符合题意；
D ．65a a
<是不等式5＜6两边同时除以a ，不等号改变，故D 选项成立，不符合题意． 故选C ．
【题目点拨】
本题考查的实际上就是不等式的基本性质：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子）不等号的方向不变；不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9、D
【解题分析】
①中，k=-2<0；②中，k=-1<0；③中，k=-13
<0；④中，<0. 根据一次函数y=kx+b （k≠0）的性质，k<0时，y 随x 的增大而减小．
故①②③④都符合.
故选D.
点睛：本题考查一次函数y=kx+b （k≠0）的性质：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减
小．
10、A
【解题分析】
先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数-较小的数，便可求出-1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．
【题目详解】
=-1和A．
∴点A-1．
故选A．
【题目点拨】
本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、a＜c＜b
【解题分析】
根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案．
【题目详解】
根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，
再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．
则b＞c＞a，
故答案为a＜c＜b．
12、1
【解题分析】
要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【题目详解】
解：将长方体展开，连接A、B′，
∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，
根据两点之间线段最短，．
故答案为1．
考点：平面展开-最短路径问题．
13、x 2y 3=⎧⎨=⎩
【解题分析】
先根据函数图象确定P 点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【题目详解】
解：由图可得，函数y 1=ax 和y 2=-12
x+b 的图象交于点P （2，3）， ∴二元一次方程组12y ax 1y x b 2=⎧⎪⎨=-+⎪⎩
的解是x 2y 3=⎧⎨=⎩， 故答案为：x 2y 3=⎧⎨=⎩
． 【题目点拨】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解题时注意：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 14、1
【解题分析】
先根据平行四边形的性质，求得∠C 的度数，再根据四边形内角和，求得∠EAF 的度数．
【题目详解】
解：∵平行四边形ABCD 中，∠B=1°，
∴∠C=130°，
又∵AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，
∴四边形AECF 中，∠EAF=360°-180°-130°=1°，
故答案为：1．
【题目点拨】
本题主要考查了平行四边形的性质，解题时注意：平行四边形的邻角互补，四边形的内角和等于360°．
15、 (1，2)
【解题分析】
先把函数解析式化为y=k （x-1）+2的形式，再令x=1求出y 的值即可．
【题目详解】
解：函数y kx k 2=-+可化为()y k x 12=-+，
当x 10-=，即x 1=时，y 2=，
∴该定点坐标为()1,2．
故答案为：()1,2．
【题目点拨】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，把原函数的解析式化为y=k （x-1）+2的形式是解答此题的关键． 16、75
【解题分析】
先根据五边形的内角和公式及330A E D ∠+∠+∠=︒求出∠ABC+∠BCD 的度数，再利用角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB 的值，然后利用三角形内角和公式即可求出∠BOC 的值.
【题目详解】
∵330A E D ∠+∠+∠=︒，
∴∠ABC+∠BCD=540°-330°=210°.
∵ ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点O ，
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠BCD ）=12
×210°=105°， ∴∠BOC=180°-105°=75°.
故答案为：75.
【题目点拨】
本题考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟练掌握多边形的内角和公式(n-2) ×180°是解答本题的关键. 17、10cm
【解题分析】
求出BC ，求出BF=DF ，DE=AE ，代入得出四边形DECF 的周长等于BC+AC ，代入求出即可．
【题目详解】
解：∵∠A=∠B ，
∴BC=AC=5cm ，
∵DF ∥AC ，
∴∠A=∠BDF ，
∵∠A=∠B ，
∴∠B=∠BDF，
∴DF=BF，
同理AE=DE，
∴四边形DECF的周长为：CF+DF+DE+CE=CF+BF+AE+CE=BC+AC=5cm+5cm=10cm，
故答案为10cm．
【题目点拨】
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，关键是求出BF=DF，DE=AE．
18、1
【解题分析】
根据极差的定义求解．
【题目详解】
解：数据：3，5，1，12，6，所以极差=12-3=1．
故答案为：1．
【题目点拨】
本题考查了极差的定义，它反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
三、解答题(共66分)
19、（1）小哲；分式的分母不为0；（2）m≥﹣6且m≠﹣2．
【解题分析】
（1）根据分式方程解为正数，且分母不为0判断即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可．
【题目详解】
解：（1）小哲的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为0；
故答案为：小哲；分式的分母不为0；
（2）去分母得：m+x=2x﹣6，
解得：x=m+6，
由分式方程的解为非负数，得到m+6≥0，且m+6≠2，
解得：m≥﹣6且m≠﹣2．
【题目点拨】
本题考查的知识点是解一元一次不等式及解分式方程，解题的关键是熟练的掌握解一元一次不等式及解分式方程.
20、（1）78.4(千克)；（2）172480(元).
【解题分析】
（1）根据平均数的计算可得这5只生猪的平均重量；
（2）根据用样本估计总体的思想可估计这200只生猪每只生猪的平均重量，由（1）中的平均数11200⨯⨯可得．
【题目详解】
解：（1）这5只生猪的平均重量为767172868778.4(5
++++=千克)； （2）根据用样本估计总体的思想可估计这200只生猪每只生猪的平均重量约为78.4千克；
根据题意，生猪的价格为11元/kg ，
故这200只生猪能卖78.411200172480(⨯⨯=元)．
【题目点拨】
本题主要考查的是通过样本估计总体．统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．
21、 (1) A,B 两种品牌的教学设备分别为20套,30套; (2) 至多减少1套.
【解题分析】
（1）设A 品牌的教学设备x 套，B 品牌的教学设备y 套，根据题意可得方程组，解方程组即可求得商场计划购进A ，B 两种品牌的教学设备的套数；
(2)设A 种设备购进数量减少a 套，则B 种设备购进数量增加1.5a 套，由题意得不等式1.5（20-a ）+1.2（30+1.5a ）≤69，解不等式即可求得答案.
【题目详解】
（1）设A 品牌的教学设备x 套，B 品牌的教学设备y 套，由题意，得
1.5 1.2660.150.29x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 解得：2030x y =⎧⎨=⎩
． 答：该商场计划购进A 品牌的教学设备20套，B 品牌的教学设备30套；
（2）设A 种设备购进数量减少a 套，则B 种设备购进数量增加1.5a 套，由题意，得
1.5（20-a ）+1.2（30+1.5a ）≤69，
解得：a≤1．
答：A 种设备购进数量至多减少1套．
22、（2）k=﹣2，﹣2．（2）方程的根为x 2=x 2=2．
【解题分析】
（2）根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的值； （2）将k 的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的k 的值．
【题目详解】
解：（2）根据题意，得△=（﹣6）2﹣4×
3（2﹣k ）≥0， 解得 k≥﹣2．
∵k 为负整数，
∴k=﹣2，﹣2．
（2）当k=﹣2时，不符合题意，舍去；
当k=﹣2时，符合题意，此时方程的根为x 2=x 2=2．
【题目点拨】
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：（2）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．
23、（1）每台A 型机器每小时加工8个零件，每台B 型机器每小时加工6个零件；（2）共有三种安排方案，方案一：A 型机器安排6台，B 型机器安排4台；方案二：A 型机器安排7台，B 型机器安排3台；方案三：A 型机器安排8台，B 型机器安排2台．
【解题分析】
(1)设每台B 型机器每小时加工x 个零件，则每台A 型机器每小时加工(x+2)个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合一台A 型机器加工80个零件与一台B 型机器加工60个零件所用时间相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设A 型机器安排m 台，则B 型机器安排(10m)-台，根据每小时加工零件的总量8A =⨯型机器的数量6B +⨯型机器的数量结合每小时加工的零件不少于72件且不能超过76件，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数即可得出各安排方案．
【题目详解】
(1)设每台B 型机器每小时加工x 个零件，则每台A 型机器每小时加工(x+2)个零件， 依题意，得：
8060x 2x
=+， 解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，且符合题意，
x28
∴+=．
答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件；
(2)设A型机器安排m台，则B型机器安排(10m)
-台，
依题意，得：
()
() 861072 861076
m
m m
π
⎧+-
⎪
⎨
+-
⎪⎩
，
解得：6m8，
m为正整数，
m678
∴=、、，
答：共有三种安排方案，方案一：A型机器安排6台，B型机器安排4台；方案二：A型机器安排7台，B型机器安排3台；方案三：A型机器安排8台，B型机器安排2台．
【题目点拨】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24、2
【解题分析】
根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线推知BE=4，EF=1，再由勾股定理计算BF的长度即可．
【题目详解】
∵E、F分别是AC、CD的中点，
∴EF=1
2 AD，
∵AD=6，
∴EF=1．
∵∠ABC=90°，E是CA的中点，
∴BE=1
2
AC=4，
∵∠BEF=90°，
∴．
【题目点拨】
本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线推知△BEF两直角边的长是解题的关键．
25、 (1)见解析;(2)见解析.
【解题分析】
（1）根据AAS 判定AEF DEC ∆≅∆，即可进行求解；
（2）根据等腰直角三角形的性质及正方形的判定定理即可求解.
【题目详解】
（1）证明：∵AF BC ，∴AFE DCE ∠=∠，
∵点E 为AD 的中点，∴AE DE =，
在AEF ∆和DEC ∆中，AFE DCE ∠=∠，AEF DEC ∠=∠，AE DE =，∴()AEF DEC AAS ∆≅∆， ∴AF CD =，∵AF BD =，∴CD BD =，∴D 是BC 的中点.
（2）解：当ABC ∆是等腰直角三角形时，四边形AFBD 是正方形，
理由如下：∵AEF DEC ∆≅∆，∴AF CD =，
∵AF BD =，∴CD BD =；
∵AF BD ，AF BD =，
∴四边形AFBD 是平行四边形，
∵AB AC =，BD CD =，
∴90ADB ∠=︒，AD BD =，
∴平行四边形AFBD 是正方形.
【题目点拨】
此题主要考查正方形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及正方形的判定定理.
26、（1）证明见解析；（2）MN 垂直平分EF ．（3）.
【解题分析】
（1）依据BE 、CF 是锐角ABC ∆的两条高，可得90ABE A ∠+∠=︒，90ACF A ∠+∠=︒，进而得出ABE ACF ∠=∠；
（2）连接EM 、FM ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12EM FM BC ==
，再根据等腰三角形三线合一的解答；
（3）求出EM 、EN ，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【题目详解】
解：（1）BE 、CF 是锐角ABC ∆的两条高，
90ABE A ∴∠+∠=︒，90ACF A ∠+∠=︒，
ABE ACF ∴∠=∠；
（2）MN 垂直平分EF ．
证明：如图，连接EM 、FM ，
BE 、CF 是锐角ABC ∆的两条高，M 是BC 的中点，
12
EM FM BC ∴==， N 是EF 的中点，
MN ∴垂直平分EF ；
（3）6EF =，24BC =，
11241222EM BC ∴=
=⨯=，116322EN EF ==⨯=， 在Rt △EMN 中，由勾股定理得，2222123315MN EM EN -=-=．
【题目点拨】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记性质并作辅助线构造成等腰三角形是解题的关键．。