人教版数学七年级下册导学案：(二元一次方程组)实际问题与二元一次方程组(导学案)

实际问题与二元一次方程组
第1课时实际问题与二元一次方程组(1)
——探究1
一、导学
1.导入课题:
前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的等量关系以及如何解方程组.本节课我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题.
2.学习目标:
（1）会运用二元一次方程组解决一些实际生活中的应用问题，体会数学建模思想.
（2）能根据题目中的已知量与未知量的联系正确设出未知数，列出方程组并求解.
3.学习重、难点:
重点：探究用二元一次方程组解决实际问题的过程.
难点：寻找等量关系，并列出方程组，由方程组的解解释实际问题.
4.自学指导:
（1）自学内容：课本P99探究1.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学要求：同学们可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，然后再互相交流.
（4）探究提纲：
①题目中哪些是已知量，哪些是未知量？有几个等量关系？
②要检验饲养员李大叔的估计正确与否，就要求出每头大牛每天所需饲料和每头小牛每天所需饲料.
③如果设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg，根据你发现的等
量关系，可列方程组
3015675 4220940.
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
④能列一元一次方程解这个问题吗？
⑤请你解③中方程组，并交流一下你是如何解的.
⑥饲养员李大叔的估计正确吗？ 二、自学
同学们可结合探究提纲相互研讨学习. 三、助学 1.师助生：
（1）明了学情：教师深入课堂，了解学生的学习进度和自学中存在的问题.
①能否找出等量关系，列出方程和方程组.②能否正确解出方程组. （2）差异指导：对少数学有困难和学法不当的学生进行点拨引导. 2.生助生：小组内学生相互提出学习疑点，相互帮助. 四、强化
1.列方程组解应用题的基本思路和要注意的问题；列方程组解应用题的一般步骤.
2.练习：某校七年级学生在会议室开会，每排坐12人，则有11人无座位；每排坐14人，则最后一排只有1人独坐.这间会议室共有座位多少排？该校七年级有多少学生？
解：设这间会议室共有座位x 排，该校七年级有y 名学生，根据题意，得
12111413.x y x y +=⎧⎨
-=⎩，
解得12155.x y =⎧⎨=⎩
，
答：这间会议室共有座位12排，该校七年级有155名学生. 五、评价
1.学生学习的自我评价：各小组代表介绍本组学习收获和存在的问题.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法和收效进行点评. （2）纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价（教学反思）:
本节课的重点是让学生经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的等量关系建立方程组模型.教学难点是利用相等关系将实际问题转化为数学问题.教学中，采取了让学生通过独立思考、自主探索、合作交流等方式，在思考、交流等数学活动中，养成严谨的思维方式和良好的学习习惯.
(时间：12分钟 满分：100分)
一、基础巩固（60分）
1.（20分）现用190张铁皮做盒子，每张铁皮8个盒身或22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子.设用x 张铁皮做盒身，y 张铁皮做盒底，则可列方程组为（A ）
2.（20分）解下列方程组：
解：（1）①+②，得4y=11. （2）整理，得
解得11
4
y =
.
89173 2.x y x y +=⎧⎨
-=-⎩，①
② 把11
4
y =
代入①， ①+②×3，得11x=11. 得11
354x -
=. 解得x=1.
解得3112
x =.
把x=1代入②，得1-3y=-2. ∴这个方程组的解为
解得y=1.
3112
11.4
x y ⎧⎪=⎨
⎪=⎪⎪⎩， ∴这个方程组的解为
11.
x y =⎧⎨
=⎩，
3.(20分)一支部队第一天行军4h ，第二天行军5h ，两天共行军98km ，且第一天比第二天少走2km ，第一天和第二天行军的平均速度各是多少？
解：设第一天行军的平均速度为xkm/h，第二天行军的平均速度为ykm/h.
由题意，得
4598 425
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
，
①
②
①+②，得8x=96，
解得x=12，
把x=12代入①，得48+5y=98. 解得y=10.
∴这个方程组的解为
12
10. x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：第一天行军的平均速度为12km/h，第二天行军的平均速度为10km/h.
二、综合运用（20分）
4.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货1
5.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨.求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
解：设大车一次可以运货x吨，小车一次可以运货y吨.
由题意，得
2315.5 5635.
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，①
②
②-①×2，得x=4.
把x=4代入①，得4×2+3y=15.5.解得y=2.5.
∴3x+5y=3×4+5×2.5=24.5.
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨.
三、拓展延伸（20分）
5.某家商店的帐目记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元.这个记录是否有误？如果有误，请说明理由.
解：有误，理由：设一支牙刷的价格为x元，一盒牙膏的价格为y元.
由题意，得
3921396
5228518
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
，
即
137132
137129.5.
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
方程组无解.
∴这个记录有误.
实际问题与二元一次方程组
第2课时实际问题与二元一次方程组(2)
——探究2
一、导学
1.导入课题:
上节课我们学习了运用方程组解决一些实际问题，这节课我们继续学习建立二元一次方程组的数学模型解应用题.
2.学习目标:
（1）在对各类应用题的解答过程中，学会构建二元一次方程组的数学模型.
（2）养成自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯.
3.学习重点、难点:运用二元一次方程组解决有关设计的应
用题.
4.自学指导:
（1）自学内容：课本P99探究2.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学要求：画出示意图，借助图形直观地分析理解题意.
（4）探究提纲：
①这里研究的实际上是长方形的面积的分割问题，你能画出示意图来帮助自己理解吗？
②把一个长方形分成两个小长方形，有哪些分割方式？若保持宽不变，把长分成两段（即竖向分割，如上图所示），左边种植甲种作物，右边种植乙种作物，设AE＝xm，BE＝ym.
(a)根据原长方形的长为200m，可列出方程：x+y=200.
(b)因为长方形宽为100m，所以两小长方形面积分别为100xm2，100ym2，又因为甲、乙两种作物的单位面积产量比为1∶2，所以甲、乙两种作物的总产量比可表示为100x∶200y，于是再由甲、乙两种作物的总产量比为3∶4，列出方程：100x∶200y=3∶4.
③你能求出由②中(a)、(b)的方程联立组成的方程组的解吗？
④根据求出的结果应如何表述你的种植方案？
⑤你还能设计其他种植方案吗（如右图）？
二、自学
同学们结合探究提纲相互研讨学习.
三、助学
1.师助生：
（1）明了学情：教师深入课堂，了解学生的自学进度和自学中存在的问题.
①能否顺利表示出甲、乙两种作物的总产量的比.②能否求出方程组的解并规范作答.
（2）差异指导：对少数学有困难和学法不当的学生进行点拨引导.
2.生助生：小组内学生之间相互交流、研讨、互帮互学.
四、强化
1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤.
2.展示设计出的其他种植方案，并相互交流.
五、评价
1.学生的自我评价：各小组代表介绍本组的学习得与失.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法和收效进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
本课用二元一次方程组解决问题的教学过程充分体现了以学生为主体，让学生积极参与的教学模式，充分发挥了学生的主动意识.在解决问题过程中学生的各种解题方法，扩大了学生的思维能力，通过让学生体验解题的技巧，从而树立了学生学习的信心，激发了学生学习的积极性，让学生真正成为课堂的主人.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（60分）
1.（20分）如图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的2倍少15°，设∠ABD与∠DBC的度数分别为x°、y°。

根据题意，下列的方程组正确的是（B）
2.（20分）一个长方形的周长为26，若它的长减少1，宽增加2，就变成了一个正方形.设长方形长为x，宽为y，则可列方程组为（B）
3.（20分）如图，宽为50cm的长方形图案由10
个相同的小长方形拼成，则每个小长方形的长和宽分
别是多少？
解：设每个小长方形的宽为xcm，长为ycm.
观察图形，得
4
50.
x y
x y
=
⎧
⎨
+=
⎩
，①
②
把①代入②，得x+4x=50.解得x=10. 把x=10代入①，得y=40.
∴这个方程组的解为
10
40. x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：每个小长形的长为40cm，宽为10cm.
二、综合运用（20分）
4.如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为28cm，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm.设演员的身高为x cm，高跷的长度为y cm,求x，y的值.
解：根据题意列方程组得：
2y=x，
y+x-28=224，
解得：x=168，
y=84.
答：x，y的值分别为168，84.
三、拓展延伸（20分）
5.如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍，如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，求能连续搭建正三角形的个数和正六边形的个数.
解：设连续搭建正三角形x个，连续搭建正六边形y个，由题意列方程组得：
2x+1+5y+1=2016，
x-y=6，
解得：x=292，
y=286.
答：能连续搭建正三角形292个，连续搭建正六边形286个.
实际问题与二元一次方程组
第3课时实际问题与二元一次方程组(3)
——探究3
一、导学
1.导入课题:
在上两节课的基础上，这节课我们继续来学习用列表分析的方式设未知数，列方程组来解应用题.
2.学习目标:
（1）巩固列方程组解应用题的一般步骤.
（2）学会用列表的方式分析问题中蕴含的数量关系，并列二元一次方程组.
3.学习重点、难点:借助列表分析问题中蕴含的数量关系，并列二元一次方程组.
4.自学指导:
（1）自学内容：课本P100~P101探究3.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学要求：认真阅读课文，注意探究3中的一些条件是用示意图给出的，能从图中正确获取信息，并会列表整理这些信息.
（4）探究提纲：
①要求的问题是：销售款-（原料费＋运输费）.其中运输费包括公路运费和铁路运费，它们分别为15000元和97200元.因此，需要求出销售额和原料费，又销售款＝产品销售单价×产品数量，原料费＝原料购进单价×原料数量，结合已知条件分析，需先求出产品数量和原料数量.
②设制成xt产品，购买yt原料，根据题中数量关系填写下表：
产品xt（从工厂到B地）原料yt（从A地到工厂）合计
由上表，列方程组
1.5201015000 1.211012097200.
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
（）
（）
③解②中方程组，得
300
400 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
.
因此，销售款为2400000元，原料费为400000元，销售款比原料费与运输费的和多1887800元.
二、自学
同学们结合探究提纲相互交流研讨学习.
三、助学
1.师助生：
（1）明了学情：教师深入课堂，了解学生的自学进度和存在的问题.
①是否弄清解题思路.②能否理顺题中数量关系.
（2）差异指导：对少数学有困难的学生进行引导.
2.生助生：小组内学生之间相互交流研讨，互帮互学.
四、强化
1.从图表获取信息的要点.
2.练习：医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
设每餐甲、乙两种原料各x克，y克恰好满足病人的需要.
(1)填表:
（2）列方程组为
0.50.735
0.440；
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
（3）解方程组得
28
30 x
y
=
⎧
⎨
=⎩；
（4）答：每餐甲、乙两种原料各28克，30克恰好满足病人的需要.
五、评价
1.学生学习的自我评价：各小组长汇报本组的学习收获和不足.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法和收效进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
本节课的重点是让学生抓住实际问题的等量关系建立方程组模型，以此解决行程问题、图文信息问题和方案设计问题等.教学中采取让学生独立思考、合作交流等方式，帮助学生形成严谨的思维方式，养成良好的学习习惯.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（60分）
1.（30分）如图，飞腾公司从A地购进原料若干吨，加工成产品后销往B 地.已知公路运费为1.5元/（t·km），铁路运费为1元/（t·km），飞腾公司共支付公路运费750元，铁路运费4000元.根据以上信息计算：购进原料多少吨？加工后销往B地的产品为多少吨？
设购进原料xt，加工后销往B地的产品为yt.
(1) 填表:
(2) 根据上表中反映的信息列方程组为
3015750 1501004000
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
；
（3）解方程组得
20
10
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；
（4）答：购进原料20t.加工后销往B地的产品为10t.
2.(30分)A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线需13h，求飞机的平均速度与风速.
解：设飞机的平均速度为xkm/h，风速为ykm/h.
由题意，得()12.59750139750.
x y x y +⨯=⎧⎪⎨-⨯=⎪⎩（）， 化简，得780750.x y x y +=-=⎧⎨⎩
，①② ①+②，得2x=1530.解得x=765.
把x=765代入①，得y=15.
∴这个方程组的解为76515.x y =⎧⎨=⎩
， 答：飞机的平均速度为765km/h ，风速为15km/h.
二、综合运用（20分）
3.从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km ，平路每小时走4km ，下坡每小时走5km ，那么从甲地到乙地需54min ，从乙地到甲地需42min.甲地到乙地全程是多少？
解：设从甲地到乙地的上坡路为xkm ，平路为ykm. 由题意，得54346042.5460
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，①②解得 1.5 3.1.1.6x x y y =⎧∴+=⎨=⎩，， 答：甲地到乙地全程是3.1km.
三、拓展延伸（20分）
4.打折前，买60件A 商品和30件B 商品用了1080元，买50件A 商品和10件B 商品用了840元.打折后，买500件A 商品和500件B 商品用了9600元，比不打折少花多少钱？
解：设打折前A 商品每件x 元，B 商品每件y 元.
由题意，得603010805010840.x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 解得164.
x y =⎧⎨=⎩， 500x+500y=500×16+500×4=10000.
10000-9600=400（元）.
答：比不打折少花400元.。