单利与复利

第三节 单利与复利
众所周知，同样的货币在不同的时间点上的价值是不等的，即使是在没有风险和通货膨胀的情况下，现在一元钱的价值也要大于以后的一元钱的价值，这就是货币的时间价值.
利息是货币时间价值的一种表现形式，它有两种计算方法：单利和复利，不同计息方式下的利息有关计算分别以等差数列和等比数列原理为基础.
我们应首先弄清楚“现值”和“终值”两个概念，所谓“现值”就是现在的价值，即通常所说的本金；“终值”就是若干时期后包括本金和利息在内的未来价值，通常称本利和.
例如，现在存款1000元，定期一年，期满后银行支付1080元，其中80元是银行使用你的1000元给的报酬，即利息，这里的1000元本金就是现值，1080元本利和就是1000元本金一年后的终值.
一、单利
仅就本金计算利息的方法.单利是“复利”的对称，它是指计算利息时，上期利息并不计入本金之内，仅按本金计算的利息，其计算公式如下：
单利息=本金×利率×期数
假设下列符号分别表示
S —终值（本利和） P —现值（本金） i —利率 I —利息 n —期数（若i 为年利率则n 为年数，若i 为月利率则n 为月数）
则计算利息公式：n i P I ⋅⋅=
第n 期的终值（本利和） )1(in P n i P P S n +=⋅⋅+=
公式)1(in P S +=称为单利终值公式（或本利和公式）.
由)1(in P S +=易得)
1(in S P +=称为单利现值公式，也称为单利折现公式.将终值换算成现值常称为贴现或折现.
例1某人在银行存款5000元，半年利率为3.05%，求一年后5000元存款的终值
解：这里5000=p %05.3=i 2=n
由终值公式，半年后的终值为
5305)2%05.31(5000=⨯+=S （元）
例2 某企业从银行贷款25万元，两年后需要连本带利还银行28.075万元，试计算银行对企业的贷款利率
解：由已知，货款利息为: 075.325075.28=-=-=p S I （万元）
由n i P I ⋅⋅= 得 %15.60615.02
25075.3==⨯==pn I i 即银行对企业的贷款利率为6.15%.
例3 某人准备在银行存一笔款子，以便在5年后得到10万元，若银行利率为
4.75%，问现值应存款多少？
解：该题已知终值10=S 万元 年利率i =4.75% 期数5=n
求现值的问题 )1(in S P +==5
%75.41100000⨯+=80808.08(元) 例4 某人若每月初在银行存款1000元.储蓄利息按年利率2.85%计算，求一年到期的本利和.
解：这种储蓄形式为零存整取，它的本利和就是每个月存款到年底的终值之和
由单利终值公式)1(in P S n +=
第1个月存款的终值为)121(1i P S +==)12
%85.2121(1000⨯
+=1028.5 第2个月存款的终值为)111(2i P S +==)12%85.2111(1000⨯+=1026.13
第12个月存款的终值为)1(12i P S +=)12
%85.21(1000+==1002.37 以上的1221,,,S S S 是一个以iP 为公差的等差数列，由求和公式 一年到期的本利和为 =⨯+=122
121a a S 6×（1028.5+1002.37）=12185.22（元）
例5 某人贷款购买一辆汽车，首付5万元，剩余款分三年付清，每年付款2万元，若银行贷款利率为6.15%，试求车身总成本价为多少？
解：车身价格即是每期付款的现值之和 由单利现值公式)
1(in S P += 第1年付款的现值为26.18841%
15.61200001=+=
P （元） 第2年付款的现值为44.17809%
15.621200002=⨯+=P （元） 第3年付款的现值为76.16884%15.631200003=⨯+=P （元） 车身总成本 =5+53535.46=103535.46（元）
二、复利
1.复利终值
复利不同于单利，它不仅要计算本金上的利息，也要计算利息所产生的利息，即所谓“利上滚利”.按这种计算方法计息，每期末结息一次，然后将利息加入本金作为下一次计息的基础，复利终值的计算公式推导如下：
)1(1i P i P P S +=⋅+=
21112)1()1(i P i S i S S S +=+=⋅+=
21112)1()1(i P i S i S S S +=+=⋅+=
n n n n n i P i S i S S S )1()1(111+=+=⋅+=---
所以n 期复利终值公式为
n i P S )1(+=
其中n i )1(+表示n 期后1元的复利终值，称为复利终值系数，记作n i F ,，n i F ,的值可以查用复利终值系数表（附录一）,因此复利终值公式也可以写成：
n i F P S ,⋅=
例6 设货币的时间价值为5%.求当n=20，30和40时，1000元现值的各期终值？
解： 这里1000=P ，%5=i .由终值公式当n=20，30和40时，各期终值分别为：
2653653.210001000%)51(100020%,52020=⨯=⋅=+⨯=F S （元）
4322322.410001000%)51(100030%,53030=⨯=⋅=+⨯=F S （元）
4.7038653.2653.210001000%)51(100040%,54040=⨯⨯=⋅=+⨯=F S （元） 现若货币时间价值为10%，那么各期终值为：
6727727.610001000%)101(100020%,102020=⨯=⋅=+⨯=F S （元）
17449449.1710001000%)101(100030%,103030=⨯=⋅=+⨯=F S （元）
5.45252727.6727.610001000%)101(100040%,104040=⨯⨯=⋅=+⨯=F S （元） 例7 某公司现从留存盈余中提出24万元进行投资，准备若干年后建造一价值为48万元的职工宿舍，若投资收益率为8%，试确定多少年才能达到造房所需的款项？
解： 由n i P S )1(+=
有n %)81(2448+=, 2%)81(=+n
所以 92log %)81(≈=+n
也可以通过查表求n ，从附表可以看到939.1%)81(=+n ，接近于2的值，因此9=n ， 即大约需要9年可以达到建房所需的款48万元.
在公式的运用中，有时不能在表中得到所需要的数字，但可以由表上提供的数据为基础，采用“线性插值法”进行测算，进而求得所需的数字.
例8 某人选择了一项开放式基金作为投资工具进行长期投资, 他选择一次性投资策略投资20万元,希望3年后能获得30万元，那投资收益率达到多少时才能实现这一目标呢?
解：由n i P S )1(+=
有3)1(200000300000i += 即 5.1)1(3=+i 所以%46.1415.13≈-=i
也可以通过查表运用插值法进行测算
从表上可以查到，
当%14=i ，482.1,=n i F
当%15=i 时，521.1,=n i F
可见，所求的利率一定是介于14%和15%之间，现用线性插值法进行计算： 利率 复利终值系数
%1%15%%?%14⎪⎭
⎪⎬⎫⎭⎬⎫x 039.0521.1018.05.1482.1⎪⎭⎪⎬⎫⎭⎬⎫ 则有039
.0018.01=x 46.0=x 所以%46.14%46.0%14=+=i
注意插值法是一种近似计算方法，它只在假设利率和终值之间是直线关系下的一种计算方法，因此在查表过程中一定要选择相邻的两个数字，否则会产生较大的误差.
插值法求利率近似值的公式为 121
0)(1210i i i i F F F F i i i i ---+=
其中201i i i <<，210,,i i i F F F 分别为利率210,,i i i 下的复利终值系数
2.复利现值
将复利终值换算成现值，称为复贴现，简称贴现.
由复利终值公式n i P S )1(+=，变形后，可得复利现值公式（或贴现公式） n i S P )
1(+= 公式中n
i )1(1+表示n 期后一元的复利现值，叫做复利现值系数或贴现系数，记作n i P ,，它的值也可在现成的表（附表2）查到.
例9 4期后收到2000元，若货币时间价值为3%，其现值是多少？
解：这里2000=S ，%3=i ，4=n
1776888.020002000%)
31(2000)1(4%,34=⨯=⋅=+=+=∴P i S P n （元） 若上述的题目中，货币时间价值为10%，那么其现值是多少？
1366683.020002000%)
101(2000)1(4%,104=⨯=⋅=+=+=P i S P n （元） 一般地，从现值公式可以看出，当S ，n （或i ）一定时，P 随着n （或i ）的增加而减少.
3.名义利率与实际利率
按惯例，复利计息中如无特殊说明，规定的利率一般都是年利率，但在实际经济活动中，计息期有时可能短于一年，如半年、季、月、日等.例如：某些债券半年计息一次；有的抵押贷款每月计息一次；股利有时每季支付一次；银行之间拆借资金每日计息一次等等.名义利率是指债券、票据的票面利率，实际利率是指按年计息办法计算出的终值所对应的利率.
当利率在一年内复利多次时，相同年利率下每年计算多次的终值会大于每年计息一次的终值.若一年内复利m 次，年利率为i ，则复利终值公式为
mn m
i P S )1(+= 例10 某公司向银行借款5万元,年利率6.15%,分别按年复利和季复利计息,问两年后应向银行偿还多少本利和?
解:按年复利计息，则
5633912678.150000%)15.61(500002=⨯=+=S （元）
按季复利计息,则每年计息4次,即4=m ,2=n
由公式,知两年后的本利和 45.5650213.150000%)54.11(50000)4
%15.61(50000824=⨯=+=+=⨯S (元) 本例中所给出的年利率6.15%就是名义利率,而实际利率则应是按年复利计息办法求出终值56502.45元的利率,它可计算如下:
设实际年利率为0i ,则
20)1(5000045.56502i +=,13.150000
45.56502)1(20==+i 查复利终值系数表, 1236.12%,6=F , 1449.12%,7=F
由插值法计算可得 3.60=i %
也就是说,如果有两家银行,一家按季复利的年利率为6.15%,另一家按年复利的年利率为6.3%,则这两家银行的贷款利息完全相同.
实际利率0i 和名义利率i 可以进行如下换算 由于mn n m i P i P )1()1(0+
=+,两边除以P ,并开n 次方根,得 m m
i i )1(10+=+, ∴ 1)1(0-+=m m
i i 利用上述公式，例10中的实际年利率
%3.61063.1114%,54.1,0=-=-=-=F F i m m i
这与前面的计算结果完全相同.
例11 设名义利率为6%，每半年计息一次，求实际年利率及1万元5年后的终值.
解：10000,5,2%,6====P n m i 1%)31(1)2
%61(220-+=-+=i %1.61061.1=-= 10105%)31(10000)2%61(10000%)1.61(10000+=+
=+=S 134393439.110000=⨯=（元）
三、应收票据贴现
企业持有的应收票据在到期前，如果出现资金短缺，可以持未到期的商业汇票向其开户银行申请贴现，以便获得所需资金.贴现是指票据持有人将未到期的票据背书后送将银行，银行受理后从票据到期值中扣除按银行贴现率计算确定的贴现利息，然后将余额付给持票人，作为银行对企业的短期贷款.票据贴现实质上是企业融资的一种形式.企业的应收票据贴现后则转归银行所有，银行贴现一般采取的是单贴现.
其有关步骤如下：
1. 计算票据的终值S
（1） 无息票据，它的终值就是它的面值P.
（2） 带息票据，它的终值等于它的面值P 加上按票据的利率r 所计算的全部到期利息.即)1(n r P S ⋅+=
2. 计算贴现利息I
贴现利息等于按票据到期值（终值）S ，银行规定的贴现率i 和贴现期n '（贴现日到票据到期日的时间），计算的利息.按贴现天数计算的，贴现天数为贴现日至票据到期日实际天数减1，即“算尾不算头”或“算头不算尾”.
即：n i S I '⋅⋅=
3.计算票据贴现所得金额
票据贴现额就是终值S 减去贴现息I 后的余额，即
(1)(1)(1)S I S S i n S i n P r n i n '''-=-⋅⋅=-⋅=+⋅-⋅
例12 某公司有票面利率不同的三种应收票据，它的面值都是1200元，出票日期均为6月15日，票面利率分别为无息、4%和7%，到期日均为8月14日（60日）到期，由于急需资金周转，于6月27日向银行要求兑现（贴现期为48日）如果贴现率为6%，则三种应收票据的票据贴现所得额分别计算如下表1.3-1： 表1.3-1 应收票据贴现计算表 单位：元。