2022年高三12月大联考(全国乙卷)文科数学试卷参考答案

2022年高三12月大联考（全国乙卷） 文科数学·全解全析及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1230x x (1)A B ，．故选A ．
2．B 【解析】由()23i 47i z ，得47i (47i)(23i)
12i 23i (23i)(23i)
z ，所以复数z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,2)，故选B ．
3．C 【解析】圆锥底面半径长为24cm,高为18cm ，由勾股定理知母线长为30cm,所以圆锥侧面积为2720cm .S rl 故选C.
4．C 【解析】由题意，知0x ，sin (),||x f x x 又sin()sin ()(),||||
x x f x f x x x 所以()f x 为奇函数，排除A ，B ．当02
x
时，()0f x ，排除D ，故选C. 5．D 【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，由4716a S ，84a a ，
得41847(71)71620
a a d a a
,即1111
372116730a d a d a d a d ，解得151a d ，所以1010(101)1
10(5)5,2S
故选D. 方法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为174
474447()7281622
a a a a S a a a
，所以42a .由840a a 可得60a ，由42,a 60a ，得151a d ，，所以1010(101)1
10(5)5,2
S 故
选D.
6．A 【解析】方法一：由题意，知抛物线C ：24y x 的焦点F 的坐标为(1)0，
，2p ，又直线1y kx 过 抛物线C 的焦点()1,0F ，所以10k ，解得1k ，所以直线的方程为1y x ，由21
4y x y x
，得
2610x x ，设(,),(,),A A B B A x y B x y 所以6A B x x ，所以||628A B AB x x p ．故选A ． 方法二：由题意，知抛物线C ：24y x 的焦点坐标为0(1)F ，，2p ，又直线1y kx 过抛物线的焦点()1,0F ，所以10k ，解得1k ，所以直线1y kx 的倾斜角4
，所以2
2||8sin p
AB
. 故选A ．
8．C 【解析】由题意，知3()22sin f x x x x ，x R ，()()f x f x ，所以()f x 为奇函数，因为
2()322cos 0f x x x ，所以函数()f x 在R 上单调递增．由(21)(5)0f x f x ，得
(21)(5)(5)f x f x f x ，又函数()f x 在R 上单调递增，所以215x x ，解得2x ，所以
不等式(21)(5)0f x f x 的解集为(2,) ，不等式(21)(5)0f x f x 成立的一个充分不必要条件是(2,) 的真子集，分析各个选项可得0x 满足条件，故选C ．
9．A 【解析】因为0.60.50.50.50.50.6 ，所以a b ．因为0.60.64 ，所以0.50.54
0.60.645
b
，又5645lg 5lg 3125log 514lg 6lg1296 ，所以64
log 55
c ，所以b c ，故选A ． 10．B 【解析】如图，过点E 作//EG BF 交AD 于点G ，则GEC 或其补角为异面直线CE 和BF 所成的角．设
9BC ，由条件可知，12AE
，8AG
，18AC ．
由余弦定理得cos BAC cos BAD cos DAC
2221818
97
21818
8
． 所以根据余弦定理，得
EG
，EC
，GC ， 所以在
GEC △中，根据余弦定理，得 1
cos 20
GEC
， 所以异面直线CE 和BF 所成角的余弦值为
1
20
．故选B ．
11．A 【解析】如图，不妨设点00(,)M x y 为右支上的一点，则直线OM 的斜率0
OM y k x
．又双曲线C 在点M 处的切线l 的方程为00221x x y y
a b
，即220200b x b y x a y y ，所以双曲线C 在点M
处的切线l 的斜率
202
0l b x k a y ，所以22002200OM l y b x b k k x a y a ，又双曲线C 的离心率3e ，所以2213b a ，所以
1
3
OM l k k ，故选A.
12．D 【解析】在+12+1+122n n n n n n n n n a a a a a a a a a 中，令n =1，得123122331a a a a a a a a a ，又11a ，
22a ，得333222a a a ，解得32a ．因为数列{}n a 中的各项都不为0，所以将+12+1+122n n n n n n n n n a a a a a a a a a 的两边同时除以+12n n n a a a ，得
+12
111
1n n n a a a ，所以1+211n n a a 311n a ，以上两式相减得3
11n n a a ，所以3n n a a ，所以数列{}n a 是周期数列，3为它的一个周期.
求导，得112()2n n n f 'x a a x na x ，
所以21123(1)2(1)3(1)(1)n n n f a a a na ，
所以23333333
12333(1)(1)2(1)3(1)33(1)b f a a a a (14731)2(25832)2(36933) (135)2(235)2(335) 163436 54 ．故选D.
||||2 a b
a b ，又
22(
4)4x y ，所以圆
心C 的坐标为4)，半径2r .根据题意，画出图形如下，则||4,2,||PC r PA ，所以11
22||422
APBC S AB 四边形,解得||AB .故填.
方法二：由圆22:8240C x y y
，整理，得22((4)4x y ，所以圆心C
的坐标为4)，半径2r .设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则切线,PA PB 的方程分
别11((4)(4)4x x y y
，22((4)(4)4x x y y ，
又(02)P ，，所以,A B 两
点均在直线80y 上，所以直线AB
的方程为80y ，则圆心到直线AB
的距离为||
4812
d
，所以||AB
.
15．(0,2) 【解析】由题意，得0m ，当0m 时，()f x 为图象开口向下的二次函数，若()f x 在x m 处
取到极小值，则有02m ；当0m 时，()f x 为图象开口向上的二次函数，若()f x 在x m 处取到极小值，则有2m ，与0m 矛盾，不符合题意，故m 的取值范围是(0,2).故填(0,2).
16．31
3
【解析】ABC △如图（1），折起后得到空间四边形ABCD 如图（2），将其拓展为三棱柱AEF DBC ，
且为直三棱柱，它们具有相同的外接球O ，其中120BDC ．记DBC △和AEF △的外心分别为1O ，2O ，则点O 为12O O 的中点，且121O O AD ．设DBC △外接圆的半径为r ，球O 的半径为R ．在
DBC △，由余弦定理，
得BC
，由正弦定理，
得
2sin BC
r BDC
，所以3
r
，所以22
21221131(29412O O R r ，故球O 的表面积为
24R 313
．故填31
3
.
说明：
第13题写成45 也正确. 第14
题写成
2
也正确. 第15题写成02m 或{|02}m m 也给分. 第16题写成
626
也正确. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
【解析】（1）由题意知6BC ，在ABC △中，由余弦定理得
2222cos AB BC AC BC AC C ，（1分）
即2123626AC AC
即2240AC ，
解得AC 或AC （2分）
因为AC AB ，所以AC （3分）
在ADC △中由余弦定理得，2222cos AD DC AC DC AC C ，（4分）
即2164824162
AD ，
（5分） 所以4AD ．（6分）
（2）因为6BC ，23
BAC
，所以在ABC △中由正弦定理得sin sin sin AB AC BC
C B BAC （7分）
所以AB C ，)3AC B C
，（8分）
所以1sin 2S CD AC C 14sin()sin 23
C C
（9分）
1
(
cos sin )sin 22
C C C 212sin cos C C C
6sin 2cos 2)C C 6C
（11分） 又AC AB ，则06C
，所以2662C ，所以1sin(2)126
C
，
可得0S ，所以ACD △的面积S 的取值范围为(0,.（12分） 说明：
（1）第（1）问中3分后面这样写也给分：
在ADB △中由余弦定理得，2222cos AB AD BD AD BD ADB ， 即21244cos AD AD ADB ，①（4分）
在ADC △中由余弦定理得，2222cos AC AD CD AD BD ADB ， 即248168cos AD AD ADB ，②（5分） 由①×2得224288cos AD AD ADB ，③ ②+③得216AD ， 即4AD .（6分）
（2）第（2）问另一种解法：即角B ，C 所对的边长分别为b ，c ，在ABC △中由余弦定理得，2222cos BC b c bc BAC ，（7分）
即22222362cos 3
b c bc b c bc
，（8分） 因为23CD BC
，所以2
3
ABC S S △，
又12sin ,23ABC S bc △（9分）
故S
.（10分） 由222b c bc ,b c 得222b c bc ，所以363,012bc bc ，（11分）
所以0S ，
即0S ，所以ACD △的面积S
的取值范围为(0,.（12分） （3）第（1）问：
1.
正确求出AC 为3分，若1分处的余弦定理没有写，直接写第二步代入，此1分可不扣，若没
有求出AC ，正确写出余弦定理，可得1分.
2.
无论是否正确求出AC ，4分段只要正确写出一个余弦定理均得1分；5分段也是要求正确代入即可得1分；但不重复给分.
（4）第（2）问：若答案为
(0,，扣1分. 18．（12分）
【解析】（1）根据题意，得1
(891011121314)117
x
．（1分） 22222227
1
2(811)(911)(1011)(1111)(1211)(1311)(14)1)(128i
i x
x ，（2分）
70.16 ．（3分）
所以相关系数7
()()
70
0.99870.16
i
i x
x y y r
．（5分） 因为||0.998r 很接近1，说明y 与x 的线性相关程度相当高，所以可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（6分）
（2）由（1）得7
1
7
2
1
()(705
282
()ˆi
i i i
i x
x y y b
x
x
，（8分）
5724ˆ1122a y bx ，（9分）
所以y 关于x 的回归方程为57
22
ˆy x ．（10分） 若19x ，则57
19442ˆ2
y
．（11分） 所以预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数为44．（12分） 说明： 第（1）问 ： 1.1分段写成1
(8914)117
x
不扣分； 2.2分段写成227
1
22(811)(9(11)(141))128i i x x 不扣分；
3.求出 0.997r 不扣分；
第（2）问：最后答中，少“预测”，扣掉1分.最多11分. 19．（12分）
【解析】（1）如图，连接1B G ,
由题意，知GD ,1DB ,1B G ,（1分） ∴22211GD DB B G ,∴1B D DG ,（2分）
又易知CG 平面11ABB A ,1B D 平面11ABB A ，（3分） ∴1CG B D ,（4分）
又CG 平面CGD ，DG 平面CGD ，,DG CG G ∴1B D 平面CGD ．（6分）
（2）如图，取11B C 的中点H ，连接1A H ， 在正三角形111A B C 中,111A H B C ,（7分）
则1A H ，（8分）
又平面111A B C 平面11BCC B ,∴1A H 平面11B CC .（9分）
∵1AA ∥平面11BCC B ,∴点1A 与点D 到平面11BCC B 的距离相等．（10分） ∴111111111
3
D B CC A B CC B C C V V S A H △（11分）
11
2332
．（12分） 说明： 第（1）问：
1.求出1B DG △的三边长得1分，或求出1145,45ADG A DB 也是1分.
2.3分段无1B D 平面11ABB A ，不扣分.
3.6分段无CG 平面CGD ，DG 平面CGD ，,DG CG G 不扣分.
第（2）问：11分段若11D B CC V 求错，写出公式有公式分，若求正确，公式不写不扣分. 20．（12分）
【解析】（1）求导，得2
1(),a
f x a x x
（1分） 所以(1)21,f a (1),f b （2分）
故()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为(21)(1)y b a x ,即(12)210a x y b a ，（3分） 所以0.b （4分）
（2）由（1）知 0b ，则()ln a f x ax x x ,1x ．求导，得22
()ax x a
f x x ．（5分）
令2()h x ax x a ,1x ，214a .
当0a 时，()0h x 恒成立，所以()0f x 恒成立，()f x 在[1,) 上单调递减，（6分） 此时()(1)0f x f ，与题意不符.（7分） 当1
2
a
时,0 ,所以()0h x 恒成立,所以()0f x 恒成立,()f x 在[1,) 上单调递增，（8分） 所以()(1)0f x f ,所以1
2
a ，符合题意．（9分） 当102a
时,112a ,因为(1)210h a 且()h x 在1(1,2a 上单调递减,所以1
()02h a ．（10分）
所以1
12x a
时,()0h x ,故()0f x ,
所以()f x 在1(1,
)2a 上单调递减,故1
((1)02f f a
,与题意不符．（11分） 综上,实数a 的取值范围是1
[,)2
．（12分）
说明： 第1问：
1. 2分段必须(1)21,f a (1),f b 都正确求出.
2.3分段如果写成(21)21y a x b a ，不扣分. 第2问：求导1分，三种情况讨论各2分. 21．（12分）
【解析】（1）显然直线1l 的斜率不为0，设直线1l 的方程为x my n . 联立2,4x my n
y x
整理得2440y my n ，（1分）
∴1244,y y n ∴1n ，∴直线1l 恒过点(1,0).（2分） ∴坐标原点O 到直线1l 的距离的最大值为1，（3分）
又直线1l 不经过原点O ，∴坐标原点O 到直线1l 的距离的取值范围为(0,1].（4分） （2）由（1
）可知2||4(1)AB m .（5分） 由题意及（1）可知直线2l 的方程为.y mx m （6分） 设3344(,),(,)M x y N x y ，
联立22
143
(1)x y y m x
，可得2222(34)84(3)0m x m x m ， 则根据根与系数的关系，得2234342284(3)
,.3434m m x x x x m m
（7分）
22
12(1)
||43
m MN m .（8分） 222124(1)||||243
AMBN
m S AB MN m 四边形.（9分） 设243(3)m t t ， 则232131(2)22AMBN
t t S t t t
四边形.（10分） 12y t t 在[3,) 上单调递增，∴31
(32)823
AMBN S 四边形，（11分）
∴四边形AMBN 的面积的最小值为8.（12分） 说明： 第（1）问：
1.正确求出坐标原点O 到直线1l 的距离的取值范围为(0,1]，但没有写出“显然直线1l 的斜率不为0”，不扣分.
2.2分段后面这样解也给分： ∴1:1l x my ，即10x my ， ∴原点(0,0)
到它的距离d
，（3分）
又216160m ，∴m R ，211m
，∴01 ，∴01d .∴坐标原点O 到直线1l 的距离
的取值范围为(0,1].（4分）
第（2）问：若正确求出四边形AMBN 的面积的最小值为8，但第（1）问中没有写出“显然直线1l 的斜率不为0”，扣1分.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
【解析】（1）因为曲线C 1
的参数方程为1,1x t y ①
②
(t 为参数),
则 ①②
1y ，（1分）
所以曲线C 1
10y .（2分）
由(1sin )1 ，得sin 1 ，两边同时平方，得222sin 2sin 1 ，（3分） 将sin y ，222x y 代入上式，（4分） 得22221x y y y ，化简得221x y ， 所以曲线2C 的直角坐标方程为211
.22
y x
（5分） （2）将曲线C 1
的参数方程化为13
13
x y t'
（t'为参数），（7分）
代入21122
y x
得260t't' ,（8分） 设A ，B 两点对应的参数分别为12
,t t ，则126t t .（9分） 所以12|||||||| 6.MA MB t't' （10分）
说明：
第（1）问：
1.4分段如果写成sin y ，cos x ，也给分.
2.曲线2C 的方程正确化为221x y ，没有单独写公式sin y ，cos x ，不扣分.
第（2）问：9分段没有写“设A ，B 两点对应的参数分别为12
,t t ”,不扣分. 23．（10分）[选修4-5：不等式选讲]
【解析】,3()|312||412|724,34,4x x f x x x x x x x
，（1分） （1）①当3x 时，2x ，即23x ；（2分）
②当34x 时，7242x ，解得227x ，即2237x ；（3分） ③当4x 时，2x ，解得2x ，则()2f x 无解.（4分）
综上所述，不等式()2f x 的解集为2227
（，．（5分） （2）①当0x 时，显然成立；（6分）
②当0x 时，不等式()||f x k x 可化为|312||412|1212|3||4|||x x k x x x
.（7分） 又12121212|3||4||(3)(4)|1x x x x
，（8分） 当且仅当1212(3)(4)0x x
且1212|3||4|x x 时等号成立，（9分） 所以实数k 的取值范围为[1,) ．（10分）
说明：
第（1）问：
如果写成“①当3x 时，2x ，
②当34x 时，7242x ，解得227
x
， ③当4x 时，2x ，解得2x ，”
对2个，给1分，即此问最多2分，
对3个，给3分，即此问最多3分. 第（2）问：
“当0
x 时，显然成立”和“当且仅当
1212
(3)(4)0
x x
且1212
|3||4|
x x
时等号成立，”都不写，或只
写一个，总共只扣1分.。