最新高职高等数学---函数精讲精品课件

(3) 指数函数： y a x (a 0 , a 1）
(4) (5)
对 三数 角函 函数 数(：duìyshùlohgáan xshù)：(a
0
,a
1)
y sin x , y cos x , y tan x , y cot x , y sec x , y csc x
(6) 反三角函数： y arcsin 10/200//22002211 x , y arccos x , y arctan x , y arc cot x。
-1
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写出下面(xià mian)函数关系的表 达式
例：学校外超市，由于期假货物积压，现物价(wùjià)促销， 可乐原价2.50元/罐，现促销如下：10罐以上（含）8 折，20罐以上（含）7折。请写出此时可乐的销售量 （Q）与销售收入（R）之间的关系函数。
2.5Q R 2.5Q *0.8
等等 。
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六 函数的几种性质(xìngzhì) 1.6.1 函数的单调性
定义(dìngyì) 设函y数 f (x) 定义(dìngyì)在D上：
(1) x1 x2 , x1、x 2 D, 有 f (x1) f (x2 )
则称 f (x)为增函数;
2.5Q *0.7
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0 Q 10 10 Q 20
Q 20
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QZ
四 反函数
定义 设给定y是x的函数， y f (x)， 如果
对其值域R中的任一值y，都可通过关系式
y f (x) 在其定义域D中确定唯一(wéi yī) 的一个x
与之对应，则得到一个定义在R上的以y为
y
y=x
反函数的图形与
y=j(x)
直接(zhíjiē)函数的图
形关于直线y = x对称
Q(b,a)
y=f(x)
。
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P(a,b) O
x
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五 初等函数 1.5.1基本(jīběn)初等函数及其
图形
下列函数称为基本初等函数
常量：y=c （C为常数）
(2) 幂函数： y x a (a为任何实数）
表1.1
x 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均月
y
流量V /亿m
0.32 0.29
0.4 7
0.64
0.3 3
0.7 7
4.1
4.2
3.7
1.9
0.9
0.7 2
这是用表格表示的函数，当自变量x取1～12之 间任意一个整数时，从表格里可得出y的一个对应 值。
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3
3
(2) y ex 4
解：x 10/2200//22002211
ln( y 4),设f (x) y f 1(x) ln(x 4) (x 4)
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什么样的函数(hánshù)存在单值的反函数(hánshù)？
y
y=f(x) y
y y=f(x)
y
-x
O
x
x
O
单调(dāndiào)函数的反函数是单值 函数
将u换成x，得出
例设
f (x) x2 ，x求复1 合(fùhé)函数
f的(u定) 义域9 。 u 2 ,u j (x) x 1
解f [：j 已(x知)] 的定义域为
，即[-3，3]；
的定义f域(u为)
。 u 3
j 由( x)
( , )
得 定义域u为[-4x，21]。 3即 3 x 1 3
3. 求函数定义域时，要注意(zhùyì)：分 式中分母不为0;根式中负数不能开偶次 根；对数中真数大于0…
4. 对于特殊函数——反三角函数(arcsinx 等)，除定义域与法则以外，数学上同时 也规定了它的值域。
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arcsin 1 __6__ 2 ? 2k
y
2 y x3
奇偶(qí ǒu)函数举例 ： y=x3，y=sin x 都是奇函数。
1
0 1x
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-2
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例 判定(pàndìnfg()x函) 数ln 1 x
的奇
偶性
1 x
解： f (x) ln 1 x ln(1 x )1 ln 1 x f (x)
内
M 0
有定x 义(，a , 若b) 存在正数f (x) M使得对于任意f ( x)
的
，恒有
，则称函数f ( x)
(hánshù)
在 （a，b）内是有界的。否则，称函数(hánshù)
在（a，b）内是y 无s界in的x 。 x R
xR
例如 函数(hánshù)
有界的，因为对于任意 10/200//22002211
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注意 1. 函数的定义有两个要素，即定义域 (D)与对应规则(f)。所以，只有 (zhǐyǒu)当两个函数的定义域和对应规 则完全相同时，他们才是同一个函数。 2. 函数的定义域D，要符合客观要求。 如：身高、体重等不能小于0;……
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定义 设在某个变化过程中有两个变量x和y，
变量y随着x的变化而变化，当x在一个非空
数集D上任取一值时，y依照某一对应规则f
总有一个确定的数值(shùzí)与之对应，则称变 量y
是变量x的函数。记为
y f (x) x D
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其中, x叫做自变量，y叫做因变量或函数。
正周期y，简si称n 函2x数
的周期。
例，
就是一个周期函数，它的周期
为。
y Asin(x j),
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T | 2 |
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1.6.4 函数(hánshù)的
有界性
（指函数
(hánshù)值有
定义 设函数(hyánshfù()x) 界） 在区间（a，b）
自y变量f，( xx)为因变量的函数，我们称其为
的反x 函 数f 。1
记为 ( y)
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y f (x) y f 1(x)
定义域 D
定义域 M
值域 M
值域 D
例 求下列函数的反函数
(1) y 3x 5
解：x y 5，设f (x) y f 1(x) x 5 (x R)
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第1讲 函 数
2014-10-9
第一页，共31页。
• 一 函数的概念 • 二 函数的表示方法 • 三 分段函数 • 四 反函数 • 五 初等函数 • 六 函数的几种(jǐ zhǒnɡ)性质
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一 函数的概念 常量(chángliàng)与变量
(2) x1 x2 , x1、x 2 D, 有 f (x1) f (x2 )
则称 f (x)为减函数.
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1.6.2 函数(hánshù)的奇偶性
定义3设函数 y f (x) 在D上有定义，
（1）若对于任意的 x D
恒有 f ( x) f (x) 则称f (x)为偶函数。
u值都大于或等于2，即全部落在 y arcsin u
的定义域之外。
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第二十页，共31页。
例 已知 f (ex 1) e2x ex 求1 f (的x)表达式。
解：令 e x 1 u解出 e x u 1 0
f (ex 1) (ex )2 ex 1
f (u) (u 1)2 (u 1) 1 u2 u 1
1 x 1 x
1 x
f (x) ln 1 x 为奇函数 1 x
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1.6.3 函数(hánshù)的周期性
定义
若存在常数(cTháng0shù)
，对任意的x，
恒f (x T ) f (x)
y f (x)
有
，则称
为周期函数。
使得上述等式成立的y最 小f (正x)数T，称为的最小
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第十五页，共31页。
x
x
反函数的单值分支：
=x2 的反函数(hánshù)是多值函数(háxnshù)y：。
把 x限制在区y 。它称为函数
y=x2 y
y=x2 的反函数的一个单值
分支。
另一个单值分支为
x y 。
-x
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(3)图示法是用直角坐标系x 0 y平面上的 曲线表示(biǎoshì)函数关系
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第十页，共31页。
三 分段(fēn duàn)函数
例
x1 x 0
y
0
x0
y
它们(tāxm1en)的x 图0形如下：
x
x x
x0 x0
1
0
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6
sin_6__
1
2
2k
6
y arcsin x x [1.1], y [ , ]
22
y arccos x x [1.1], y [0, ]
y arctan x
y arc cot x
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x R, y ( , )
22
x R, y (0, )
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偶函数的图形(túxíng)关于y轴对称。
y
yf(x)
f(-x)f(x)
偶函数举例(jǔ lì)： y=x2， y=cos x 都是偶函数
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-x
O
x
x
第二十五页，共31页。
如果(rúguǒ)对于任意的x D，有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。
（2）对于任意的 x D
恒有 f (x) f (x)，则称f (x)为奇函数。
注意
当函数x具 有D 奇偶性 时x ，D其定义域必定是
关于(guānyú)原点对称的，即若
,
则 10/200//22002211
。
偶函数的图象关于第二十四(页g，共3u1页。ānyú)y轴对称，
设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于(duìyú) 任意的x D，有f(-x)= f(x)，则称f(x)为偶函数。
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重点掌握(zhǎngwò)复合函数 的分解
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注意 不是任何两个函数都可以复合(fùhé) 成一个复合(fùhé)函数，例如，
y arcsin u， u 2 x 2 就不能复合
(fùhé)成一个复合(fùhéu)函数2，因x为2
的定义域 ( , )中的任何值x所对应的
第十八页，共31页。
1.5.2 复合(fùhé)函数
定义 y f (u) ，u j (x)
函数 u j (x)的值域的全部或一部分包含在
函数 y f (u) 的定义域内，则对u j (x) 的
定义域内的某些x，有
y f [j (x)]
此函数称函数 u j (x)与函数 y f (u复) 合 而成的复合函数，其中u称为中间(zhōngjiān) 变量。
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1.5.3 初等(chūděng)函数
定义 由基本初等(chūděng)函数经过有限次 的四则运
算及有限次复合过程所构成的函数，叫作
初等(chūděng)函数。 例y 如 lg sin 2 x, y 3 tan x, y 2e x cos x x
二 函数(hánshù)的表示方法
常用(chánɡ yònɡ)的表示方法有三种：解析 法（公式法）、表格法和图示法。
(1) 解析法是指用解析表达式（或公式）去表示 函数关系。
例如
y 2x2 3x 1; y 2cos x ; y a x
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第八页，共31页。
(2)表格法是用列表的方法来表示函数关系，例如 水文(shuǐwén)监测站统计了某河流20年内平均月流量V， 如表1.1所示。
数集D称为这个函数的定义域，记为 D（f）。
当自变量x在其定义域内取某确定值x0时， 因变量 y按照所给的函数关系（对应(duìyìng)法则），求出 的对应(duìyìng)值y0 ，称做当x=x0时的函数值。
记为
y或 x x0
f (x0)
相应地，y值的集合
{y y f (x) , x D}
称为函数 y=f(x）的值域。 10/200//22002211
O
x
x
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第十六页，共31页。
关于(guānyú)反函数的变量符号：
在数学中，习惯上自变量用x表示(biǎoshì)，因变量
用y 表示(biǎoshì)。按此习惯，我们把函数 y=f(x)的反
函数x=j(y)改写成y=j(x)。例如y=x2的反x函数写为y=
。
反函数的图形：