简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
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解析 答案
3.已知命题p：若平面α⊥ 平面β，平面γ⊥ 平面β，则有平面 α∥平面γ.命 题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 对以上两个命题，有以下命题： ①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假. ② 其中，正确的是______.( 填序号) 解析 命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；
基础自测 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题“3≥2”是真命题.( √ ) (2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ ) (3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题.( √ ) (4)“全等三角形的面积相等”是存在性命题.( × ) (5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.( × )
解析
→ ，b＝ → ，c＝ → ，则a· 如图所示，若a＝A c≠0，命题p为假命题； B1B AB 1A
显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题.
解析
答案
2.(2017· 山东改编 ) 已知命题 p ： ∀x ＞ 0 ， ln(x＋ 1) ＞ 0 ；命题 q ：若 a ＞ b ， ② 则a2＞b2.下列命题为真命题的是_____.( 填序号) ①p∧q；②p∧(綈q)；③(綈p)∧q；④(綈p)∧(綈q). 解析 ∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p为真命题，∴綈p为假命题. ∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题. ∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q) 为假命题.
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答案
题型分类
深度剖析
题型一
含有逻辑联结词的命题的真假判断
自主演练
1.设a，b，c是非零向量.已知命题p：若a· b ＝ 0 ， b· c＝0，则a· c＝0；命 ① 题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是______.( 填序号) ①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④p∨(綈q).
命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交.
解析
答案
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式.
(2)判断其中命题p，q的真假.
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.
题型二
含有一个量词的命题
多维探究
命题点1 全称命题、存在性命题的真假
典例 下列四个命题：
1 x 1 x ①：∃x∈(0，＋∞)，( ) ( ) ； 2 3
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6ห้องสมุดไป่ตู้
答案
题组三 易错自纠 充分不必要 条件. 4.已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的____________
解析 由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；
反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，
故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.
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③ 填序号) 5.下列命题中的假命题是_____.( ①∃x∈R，lg x＝1； ②∃x∈R，sin x＝0； ③∀x∈R，x3＞0； ④∀x∈R，2x＞0. 解析 当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题； 当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题； 当x＜0时，x3＜0，则③为假命题； 由指数函数的性质知，∀x∈R，2x＞0，则④为真命题.
真
真
真
假
真
真
假
假 真 ___ 真 ___
假
假
真
假
假
假
真
假 ___
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”等表示全体的量
词在逻辑中称为全称量词，用符号“ ∀ ”表示.
(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量
词在逻辑中称为存在量词，用符号“ ∃ ”表示.
∀x∈M，綈p(x) ______________
【知识拓展】
1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真. (2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假. (3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反. 2.含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”. 3.命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则 綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”.
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答案
6.已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若 (－∞，－2] 命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________.
解析 由已知条件，知p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤0， 由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0， 即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
3.全称命题、存在性命题及含有一个量词的命题的否定 命题名称 全称命题 语言表示 对M中任意一个x， 有p(x)成立 存在M中的一个x， 符号表示 ∀x∈M，p(x) _____________ 命题的否定 ∃x∈M，綈p(x) ______________
存在性命题
使p(x)成立
∃x∈M，p(x) _____________
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的 且 、 或 、 非 叫做逻辑联结词. (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p 且q 真 ___ 假 ___ p或q 非p
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题组二 教材改编 2.[P13 习题 T3]已知 p ： 2 是偶数， q ： 2 是质数，则命题 綈 p ， 綈 q ， p∨q ， 2 p∧q中真命题的个数为_____.
解析
p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q 都是假命题，p∨q ，p∧q
都是真命题.
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存在一个正方形， 3.[P18习题T4]命题“正方形都是矩形”的否定是_________________ 这个正方形不是矩形 ___________________.
3.已知命题p：若平面α⊥ 平面β，平面γ⊥ 平面β，则有平面 α∥平面γ.命 题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 对以上两个命题，有以下命题： ①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假. ② 其中，正确的是______.( 填序号) 解析 命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；
基础自测 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题“3≥2”是真命题.( √ ) (2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ ) (3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题.( √ ) (4)“全等三角形的面积相等”是存在性命题.( × ) (5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.( × )
解析
→ ，b＝ → ，c＝ → ，则a· 如图所示，若a＝A c≠0，命题p为假命题； B1B AB 1A
显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题.
解析
答案
2.(2017· 山东改编 ) 已知命题 p ： ∀x ＞ 0 ， ln(x＋ 1) ＞ 0 ；命题 q ：若 a ＞ b ， ② 则a2＞b2.下列命题为真命题的是_____.( 填序号) ①p∧q；②p∧(綈q)；③(綈p)∧q；④(綈p)∧(綈q). 解析 ∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p为真命题，∴綈p为假命题. ∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题. ∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q) 为假命题.
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题型分类
深度剖析
题型一
含有逻辑联结词的命题的真假判断
自主演练
1.设a，b，c是非零向量.已知命题p：若a· b ＝ 0 ， b· c＝0，则a· c＝0；命 ① 题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是______.( 填序号) ①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④p∨(綈q).
命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交.
解析
答案
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式.
(2)判断其中命题p，q的真假.
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.
题型二
含有一个量词的命题
多维探究
命题点1 全称命题、存在性命题的真假
典例 下列四个命题：
1 x 1 x ①：∃x∈(0，＋∞)，( ) ( ) ； 2 3
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答案
题组三 易错自纠 充分不必要 条件. 4.已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的____________
解析 由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；
反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，
故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.
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答案
③ 填序号) 5.下列命题中的假命题是_____.( ①∃x∈R，lg x＝1； ②∃x∈R，sin x＝0； ③∀x∈R，x3＞0； ④∀x∈R，2x＞0. 解析 当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题； 当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题； 当x＜0时，x3＜0，则③为假命题； 由指数函数的性质知，∀x∈R，2x＞0，则④为真命题.
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2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”等表示全体的量
词在逻辑中称为全称量词，用符号“ ∀ ”表示.
(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量
词在逻辑中称为存在量词，用符号“ ∃ ”表示.
∀x∈M，綈p(x) ______________
【知识拓展】
1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真. (2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假. (3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反. 2.含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”. 3.命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则 綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”.
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答案
6.已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若 (－∞，－2] 命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________.
解析 由已知条件，知p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤0， 由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0， 即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
3.全称命题、存在性命题及含有一个量词的命题的否定 命题名称 全称命题 语言表示 对M中任意一个x， 有p(x)成立 存在M中的一个x， 符号表示 ∀x∈M，p(x) _____________ 命题的否定 ∃x∈M，綈p(x) ______________
存在性命题
使p(x)成立
∃x∈M，p(x) _____________
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
内容索引
基础知识
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题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的 且 、 或 、 非 叫做逻辑联结词. (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p 且q 真 ___ 假 ___ p或q 非p
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题组二 教材改编 2.[P13 习题 T3]已知 p ： 2 是偶数， q ： 2 是质数，则命题 綈 p ， 綈 q ， p∨q ， 2 p∧q中真命题的个数为_____.
解析
p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q 都是假命题，p∨q ，p∧q
都是真命题.
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存在一个正方形， 3.[P18习题T4]命题“正方形都是矩形”的否定是_________________ 这个正方形不是矩形 ___________________.