2005考研数一真题及解析

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题：1-6小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(1) 曲线1
22
+=x x y 的斜渐近线方程为
(2) 微分方程x x y y x ln 2=+'满足9
1
)1(-
=y 的解为._____ (3) 设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{3
1
=n ,则 )
3,2,1(n
u
∂∂=_______________.
(4) 设Ω是由锥面z =与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的
整个边界的外侧,则
⎰⎰∑
=++zdxdy ydzdx xdydz ___________________.
(5) 设321,,ααα均为3维列向量,记矩阵
),,(321ααα=A ,)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ,
如果1=A ,那么=B .
(6) 从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则
{2}P Y == ___________ .
二、选择题：7-14小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数n n
n x
x f 31lim )(+=∞
→,则()f x 在(,)-∞+∞内( )
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. (8) 设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”, 则必有( )
(A)()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数. (B)()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数.
(C)()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数. (D)()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数.
(9) 设函数⎰
+-+-++=y
x y
x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ具有
一阶导数,则必有( )
(A) 222
2y u x u ∂∂-=∂∂. (B) 2222y
u x u ∂∂=∂∂. (C) 2
22y u y x u ∂∂=
∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. (10) 设有三元方程1ln =+-xz e y z xy ,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域, 在此邻域内该方程( )
(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =.
(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数和(,)y y x z =和(,)z z x y =. (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y =.
(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =. (11) 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,则1α,
)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是( )
(A)
01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ.
(12) 设A 为n (2≥n )阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵B , *
*,B A 分别为A ,
B 的伴随矩阵,则( )
(A) 交换*
A 的第1列与第2列得*
B . (B) 交换*
A 的第1行与第2行得*
B . (C) 交换*
A 的第1列与第2列得*
B -. (D) 交换*
A 的第1行与第2行得*
B -. (13) 设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为( )
X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1
已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则 (A) 0.2,0.3a b == (B) 0.4,0.1a b ==
(C) 0.3,0.2a b == (D) 0.1,0.4a b ==
(14) 设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2
S 为样本方差,则( )
(A) )1,0(~N X n (B) ).(~
22n nS χ
(C) )1(~)1(--n t S
X
n (D) ).1,1(~)1(2
2
21--∑=n F X X n n i i 三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分11分)
设}0,0,2),{(2
2
≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最
大整数. 计算二重积分⎰⎰++D
dxdy y x xy .]1[2
2
(16)(本题满分12分)
求幂级数
∑∞
=--+-121))
12(1
1()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .
(17)(本题满分11分)
如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4). 设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分
⎰'''+3
2
.)()(dx x f x x
(18)(本题满分12分)
已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明： (I)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；
(II)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f
(19)(本题满分12分)
设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分
⎰
++L
y
x xydy
dx y 4
2
22)(ϕ的值恒为同一常数.
(I)证明：对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线C ,有
022)(42=++⎰C y x xydy
dx y ϕ；
(II)求函数)(y ϕ的表达式.
(20)(本题满分9分)
已知二次型212
32221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.
(I) 求a 的值；
(II) 求正交变换Qy x =,把),,(321x x x f 化成标准形； (III) 求方程),,(321x x x f =0的解.
(21)(本题满分9分)
已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321(k 为常数),且0AB =, 求线性方程组0Ax =的通解.
(22)(本题满分9分)
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 .,
20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩
⎨⎧=
求：(I) (,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； (II)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z
(23)(本题满分9分)
设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记
.,,2,1,n i X X Y i i =-=
求：(I) i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =； (II)1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题 (1)【答案】.4
121-=
x y 【详解】由求斜渐近线公式y ax b =+(其中()
lim
x f x a x
→∞
=,lim[()]x b f x ax →∞=-),得：
a =22()1
lim
lim 22x x f x x x x x →∞→∞==+, []1
lim ()lim
2(21)4
x x x b f x ax x →∞
→∞-=-==-+,
所以所求斜渐近线方程为.4
121-=x y
(2)【答案】.91
ln 31x x x y -=
【详解】求方程()()dy
P x y Q x dx
+=的解,有公式 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦
⎰ (其中C 是常数). 将原方程等价化为 x y x
y ln 2
=+
',于是利用公式得方程的通解 2
2
[ln ]dx dx
x x y e x e dx C -⎰⎰=⋅+⎰
2
21[ln ]x xdx C x =
⋅+⎰=211ln 39C x x x x -+, (其中C 是常数) 由91)1(-=y 得0C =,故所求解为.9
1
ln 31x x x y -=
(3)
【详解】设(,,)f x y z 有连续的一阶偏导数,{}0
cos ,cos ,cos l αβγ=为给定的向量l 的单位
向量,则(,,)f x y z 沿l 方向的方向导数计算公式为
cos cos cos f f f f
l x y z
αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂.
因为18
1261),,(2
22z y x z y x u +++=,所以
3x x u =∂∂,6y y u =∂∂,9z z u =∂∂,且向量n
的cos αβγ=
==
于是所求方向导数为(1,2,3)
u
l
∂∂=.3
3313131313131=⋅+⋅+⋅
(4)
【答案】3(2R π
【详解】如果设函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有：
(
)P Q R
dv Pdydz Qdxdz Rdxdy x y z
Ω
∑
∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰,
其中∑是Ω的整个边界曲面的外侧.
以Ω表示由22y x z +=
与222y x R z --=所围成的有界闭区域,由高斯公式得
⎰⎰∑
=++zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰Ω
dxdydz 3
利用球面坐标得
⎰⎰⎰Ω
dxdydz 3
=22
3
340
3sin 2(1(22
R
d d d R R π
π
ρρϕϕθππ=-
=⎰⎰⎰
(5)【答案】2 【详解】
方法1：因为1231231()(,,)11αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1231231(24)(,,)24αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
, 1231231(39)(,,)39αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
,
故 123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα, 记123(,,)A ααα=,两边取行列式,于是有
.2219
413211
11=⨯=⋅=A B
方法2：利用行列式性质(在行列式中,把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应
元素上,行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)
123123123,24,39B ααααααααα=++++++
[2][1]
1232323[3][1],3,28ααααααα--====++++[3]2[2]
123233====,3,2αααααα-+++
123233=2,3,αααααα+++[1][3]
1223
[2]3[3]
====2,,αααα--+[1][2]
123====2,,ααα-
又因为123,,1A ααα==,故B 2A =2=. (6)【答案】
48
13 【详解】 由全概率公式：
}2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P
+}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P
X 表示从数1,2,3,4中任取一个数,故X 是等可能取到1,2,3,4,所以1
()4
P X i ==,1,2,3,4i =
而Y 表示从X ,,2,1 中任取一个数,也就是说Y 是等可能取到X ,,2,1 也就是说Y X 在的条件下等可能取值,即
{21}0P Y X ===(X 取1的条件下,Y 取2是不可能事件)
1
{22}2P Y X ===
(X 取2的条件下,Y 在1,2等可能取值) 1
{23}3P Y X ===(X 取3的条件下,Y 在1,2,3等可能取值)
1
{24}4P Y X ===(X 取4的条件下,Y 在1,2,3,4等可能取值)
故 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P
+}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P 111113(0).423448
=⨯+++=
二、选择题 (7)【答案】C
【详解】分段讨论,并应用夹逼准则,
当||1x <时,
有≤≤
,命n →∞取极限,
得1n =
,1n =,由夹
逼准则得()1n f x =；
当||1x =时
,()1n n f x ===；
当||1x >时
,33|||x x =<=,命n →∞取极限,
得
3
||n x =,由夹逼准则得1
3
331
()lim ||(1)||.||
n n n f x x x x →∞=+= 所以 3
1,
||1(),
||1
x f x x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩
再讨论()f x 的不可导点. 按导数定义,易知1x =±处()f x 不可导,故应选(C).
(8)【答案】A 【详解】
方法1：应用函数奇偶性的定义判定,
函数()f x 的任一原函数可表示为⎰
+=
x
C dt t f x F 0
)()(,且).()(x f x F ='
当()F x 为偶函数时,有)()(x F x F =-,于是)()1()(x F x F '=-⋅-',即
)()(x f x f =--,亦即)()(x f x f -=-,可见()f x 为奇函数；
反过来,若()f x 为奇函数,则0
()()x
F x f t dt C --=+⎰
,令t k =-,则有dt dk =-,所
以 0
()()()()()x
x
x F x f t dt C f k dk C f k dk C F x --=
+=--+=+=⎰
⎰⎰,
从而 ⎰
+=x
C dt t f x F 0
)()( 为偶函数,可见(A)为正确选项.
方法2：排除法,
令()1f x =, 则取()1F x x =+, 排除(B)、(C); 令()f x x =, 则取2
1()2
F x x =
, 排除(D);
(9)【答案】B 【详解】因为
)()()()(y x y x y x y x x
u
--++-'++'=∂∂ψψϕϕ,
)()()()(y x y x y x y x y
u
-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ,
于是 )()()()(2
2y x y x y x y x x
u
-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ, )()()()(2y x y x y x y x y
x u
-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ,
)()()()(2
2y x y x y x y x y u
-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ, 可见有2
222y
u x u ∂∂=∂∂,应选(B).
(10)【答案】D
【详解】隐函数存在定理：设(,,)F x y z 在点0000(,,)M x y z 的某领域内具有连续的一阶偏导数,且000000(,,)0,(,,)0z F x y z F x y z '=≠.则存在点0M 的某邻域,在此邻域内由方程
(,,)0F x y z =可以确定唯一的连续偏导数的函数(,)z z x y =满足000(,)z x y z =,且
(,,)(,,),(,,)
(,,)
y x M M z z M M F x y z F x y z z
z x y
F x y z F x y z ''∂∂=-=-
∂∂''
同理,如果000000(,,)0,(,,)0y F x y z F x y z '=≠,可确定(,)y y x z =满足000(,)y y x z =;
000000(,,)0,(,,)0x F x y z F x y z '=≠,可确定(,)x x y z =满足000(,)x x y z =.
本题中可令(,,)ln 1xz
F x y z xy z y e =-+-, 则
z e y F xz x +=', y
z x F y -
=',x e y F xz z +-='ln , 所以 (0,1,1)20x F '=≠,(0,1,1)10y F '=-≠,0)1,1,0(='z F .
由于0)1,1,0(='z F ,所以由隐函数存在定理知,不一定能确定具有连续偏导数的函数
(,)z z x y =,所以排除(A)、(B)、(C),而(0,1,1)20x F '=≠和(0,1,1)10y F '=-≠,所以可确定两
个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =,故应选(D).
(11)【答案】B 【详解】
方法1：利用线性无关的定义
12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量,根据特征值、特征向量的定义,有
111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.
设有数12,k k ,使得0)(21211=++αααA k k ,则
022211211=++αλαλαk k k 1211222()0k k k λαλα⇒++=.
因12λλ≠,因不同特征值对应的特征向量必线性无关,故21,αα线性无关,则
⎩⎨
⎧==+.0,
02
2121λλk k k 当
1
22
100λλλ=≠时,方程只有零解,则0,021==k k ,此时1α,)(21αα+A 线性无关；
反过来,若1α,)(21αα+A 线性无关,则必然有02≠λ(否则,1α与)(21αα+A =11αλ线性相关),故应选(B).
方法2：将向量组的表出关系表示成矩阵形式
12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量,根据特征值、特征向量的定义,有
111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.
由于 ()()()1112111221221,(),,0A λααααλαλαααλ⎛⎫
+=+= ⎪⎝⎭
,
因12λλ≠,因不同特征值对应的特征向量必线性无关,知21,αα线性无关. 若
1α,)(21αα+A 线性无关,则()112,()2r A ααα+=,则
()()11112122221112,min ,,2000r r r r λλλααααλλλ⎛⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪
=≤≤≤ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩
⎭,
故121220r λλ⎛⎫≤≤
⎪⎝⎭,从而12120r λλ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭,从而122
100λλλ=≠ 若122100λλλ=≠,则12120r λλ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,又21,αα线性无关,则
()11122211,200r r λλααλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭,
则
()()11121221,(),20r A r λαααααλ⎛⎫
⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
从而1α,)(21αα+A 线性无关的充要条件是.00122
1≠=λλλ故应选(B).
方法3：利用矩阵的秩
12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量,根据特征值、特征向量的定义,有
111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.
因12λλ≠,因不同特征值对应的特征向量必线性无关,故21,αα线性无关,又
121122()A ααλαλα+=+,故1α,)(21αα+A 线性无关112(,())2r A ααα⇔+=
又因为
()
()211122122,,αλαλαλααλα+=
11将的-倍加到第列
则111221222(,)(,)20r r αλαλααλαλ+==⇔≠(若20λ=,与122(,)2r αλα=矛盾) 方法4：利用线性齐次方程组
12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量,根据特征值、特征向量的定义,有
111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.
由12λλ≠,因不同特征值对应的特征向量必线性无关,故21,αα线性无关,
112,()A ααα+线性无关
11122,αλαλα⇔+线性无关
⇔11122,0αλαλα+≠,
⇔()11122,0X αλαλα+=只有零解,又()()1111
221221,,0λαλαλαααλ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
⇔()1112221,00x x λααλ⎛⎫⎛⎫
=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
只有零解 ⇔12,αα线性无关时()12,0Y αα=只有零解,故1122100x Y x λλ⎛⎫⎛⎫
== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,只有零解,
⇔1122100x Y x λλ⎛⎫⎛⎫
== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
的系数矩阵是个可逆矩阵,
⇔
1
22
100λλλ=≠,故应选(B) 方法5：由12λλ≠,21,αα线性无关
12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量,根据特征值、特征向量的定义,有
111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.
向量组()12I :,αα和向量组()1121122II :,()A αααλαλα+=+. 显然向量组()II 可以由向量组()I 线性表出；当20λ≠时,不论1λ的取值如何,向量组()I 可以由向量组()II 线性表出
11αα=,112111*********
11
()()()A λλααλαλααααλλλλ=-
++=-⋅++, 从而()I ,()II 是等价向量组⇒当20λ≠时,()()1211122,,2r r αααλαλα=+=
(12)【答案】(C) 【详解】
方法1：由题设,存在初等矩阵12E (交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得),使得
B A E =12,(A 进行行变换,故A 左乘初等矩阵),于是 ****1212()B E A A E ==,
又初等矩阵都是可逆的,故 *
1
1212
12
E E E -=, 又121E E =-=-(行列式的两行互换,行列式反号),11212E E -=,故
****1*1*1212121212B A E A E E A E A E --==⋅=-=-,
即*
12*
B E A -=,可见应选(C).
方法2：交换A 的第一行与第二行得B ,即12B E A =.
又因为A 是可逆阵,121E E =-=-,故12120B E A E A A ===-≠, 所以B 可逆,且1111212()B E A A E ---==.
又1
1,A B A B A B **--==,故12B A E B A
**
=,又因B A =-,故*12*B E A -=.
(13)【答案】B 【详解】
方法1：由二维离散型随机变量联合概率分布的性质
1ij
i
j
p
=∑∑, 有0.40.11a b +++=,
可知0.5a b +=,又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,于是由独立的定义有：
}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ,
而 {0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====
{1}{0,1}{1,0}0.5P X Y P X Y P X Y a b +====+===+=
由边缘分布的定义：
{0}{0,0}{0,1}0.4P X P X Y P X Y a ====+===+
代入独立等式,得(0.4)0.5a a =+⨯,解得0.4,0.1a b ==,
方法2：如果把独立性理解为：{10}{1}P X Y X P X Y +===+=(因为独立,所以
}1{=+Y X 发生与}0{=X 发不发生没有关系),即
{1|0}{1}0.5;P Y X P X Y a b ===+==+=
所以 {00}1{10}10.50.5P Y X P Y X ===-===-=; 因此 {1|0}{00}0.5P Y X P Y X ======
上式两边同乘以{}0P X =,有{}{}{1|0}0{00}0P Y X P X P Y X P X ======= 由乘法公式：()(|)()P AB P A B P B =,上式即为{0,0}{0,1}P X Y P X Y ===== 即0.4a =. 又因为0.5a b +=,得0.1b =.
(14)【答案】D
【概念】F 分布的定义：若21~()X n χ,22~()Y n χ,则
1122
(,)X n F n n Y n
2χ分布的定义：若1,
,n Z Z 相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N ,则
221
~()n
i
i Z
n χ=∑
正态分布标准化的定义：若2~(,)Z N μσ,则
~(0,1)Z u
N σ
-
【详解】因)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,独立正态分布的线性
组合也服从正态分布,故111~(0,)n i i X X N n n
==∑.
~(0,1)X N =,故(A)错
~(1)X t n =-,故(C)错; 而
2
2222
2
(1)(1)(1)~(1)1
n S n S n S n χσ--==--,不能断定(B)是正确选项. 又 ∑=-n
i i
n X X
2
2
22
21
)1(~),1(~χχ,且∑=-n
i i n X X 2
222
21
)1(~)1(~χχ与相互独立,于
是
22
11222
2
1
(1)~(1,1).(1)
n
n
i
i
i i X n X F n X
n X
==-=
--∑∑ 故应选(D).
三、解答题 (15)【详解】
方法1：令 }0,0,10),{(2
2
1≥≥<+≤=y x y x y x D ,
}0,0,21),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D .
于是有 12
2
2
1,
,)[1]2,
,)x y D x y x y D ∈⎧++=⎨
∈⎩当（当（
从而
⎰⎰++D
dxdy y x
xy ]1[22
=1
2
2D D xydxdy xydxdy +⎰⎰⎰⎰(二重积分对区域的可加性)
1
2
2D D xydxdy xydxdy =+⎰⎰⎰⎰(用极坐标把不同区域上的二重积分化为累次积分
)
1
3
3220
1
sin cos 2sin cos d r dr d dr ππ
θθθθθθ=+⎰⎰⎰(根据牛—莱公式
)
44
1
22000sin cos |2sin cos 44
r r d d π
πθθθθθθ=+⎰⎰
2200
11
sin cos 2sin cos 44d d ππ
θθθθθθ=+⨯⎰⎰ (凑微分) 2222
001111sin |sin |4222
ππ
θθ=⨯+⨯=113.848+=
方法2：用极坐标
⎰⎰
++D
dxdy y x xy ]1[2
2
32
2
0sin cos [1]d r dr π
θθθ=+⎰
322
sin cos [1]d r dr πθθθ=+⎰(根据牛—莱公式
)
23
2
2
00
1sin |[1]2
r dr π
θ=+
3
20
1[1]2r dr =+.
而
2
1
01[1]2
1r r r ≤<⎧⎪+=⎨
≤<⎪⎩
从而 ⎰⎰++D
dxdy y x xy ]1[2
2
133
11()2r dr r dr =+⎰(定积分对区域的可加性
)
44101(|2244r r =+⨯(根据牛—莱公式) 111((21))242=
+-38
=
(16)【详解】因为
22
22121
(1)(1)(1)(21)1(21)(1)(21)
lim
lim 1(1)(21)(21)1(1)(1)(21)
n n n n n n
x n n n n n n x x n n n n x n n +→∞
→∞--++++-++==++-+-+-, 所以,由比值判别法知,当2
1x <时,原级数绝对收敛,当2
1x >时,原级数发散,因此原级数的收敛半径为1,收敛区间为(－1,1). 另外,当1x =±时由于通项极限不为零,故原幂级数在1x =±处为发散的.
21
2121
11
1()(1)(1)(1)(1)
(21)(21)n n n n n n n n x f x x x n n n n ∞
∞
---===-+=-+---∑∑ 1221211
(1)()()()(21)n n
n
n n x x S x S x n n -∞
∞
==-=--+=+-∑∑,(1,1)x ∈-
对1()S x ,由等比级数求和公式
20
1
1,(1,1)1n
n n x
x x x x x
∞
==+++++
=
∈--∑得 1()S x 222
1
11
()1()1n n x x x
∞
=-=--=-
=--+∑, (1,1)x ∈- 对2()S x ,则由幂级数在收敛区间上可导并有逐项求导公式得
1
21
21
2()(1),(1,1)21
n n n S x x x n ∞
--='=-∈--∑，
同理可得
1
22
2122
1
1
1
()(1)
22()21n n n n n S x x
x x ∞
∞
---==''=-=-=⋅
+∑∑,(1,1)x ∈- 可得22(0)0,(0)0,S S '== 所以,由牛—莱公式得
2222
02
()(0)()2arctan ,1x
x
S x S S t dt dt x t ''''=+==+⎰⎰
(1,1)x ∈-
同理得
2220
()(0)()2arctan x
x
S x S S t dt tdt '=+=⎰
⎰
00
2arctan |2arctan x x
t t td t =-⎰ (分部积分)
20=2arctan 21x
t
x x dt t -+⎰
(计算出微分)
2201
=2arctan (1)1x x x d t t
-++⎰ (凑微分) 20
=2arctan ln(1)|x
x x t -+ (基本积分表中的公式) 22arctan ln(1)x x x =-+ (1,1)x ∈-
从而 22122
()()()2arctan ln(1)1x f x S x S x x x x x
=+=+-++ , (1,1)x ∈-.
(17)【详解】由直线1l 过(0,0)和(2,4)两点知直线1l 的斜率为2. 由直线1l 是曲线C 在点(0,0)的切线,由导数的几何意义知(0)2f '=. 同理可得(3)2f '=-. 另外由点(3,2)是曲线C 的一个拐点知(3)0.f ''=
由分部积分公式,
3
3
2
20
0()()()()x x f x dx x x df x '''''+=+⎰
⎰3
320
()()
()(21)x x f x f x x dx ''''=+-+⎰
32
20
(33)(3)(00)(0)()(21)f f f x x dx ''''''=+-+-+⎰
=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-
3
30
30
)(2)
()12()()12(
3
(231)(3)(201)(0)2()f f f x dx '''=-⨯++⨯++⎰
=.20)]0()3([216=-+f f
(18)【详解】
(I) 令x x f x F +-=1)()(,则()F x 在[0,1]上连续,且(0)10F =-<, (1)10F =>,于是由闭区间连续函数的介值定理知,存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ,即ξξ-=1)(f .
(II) 在],0[ξ和]1,[ξ上对()f x 分别应用拉格朗日中值定理,知存在两个不同的点
)1,(),,0(ξζξη∈∈,使得0)0()()(--=
'ξξηf f f ,ξ
ξζ--='1)
()1()(f f f
于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξ
ξ
ξξξξξξζηf f f f
(19)【详解】
(I) 如图,将C 分解为：21l l C +=,另作 一条曲线3l 围绕原点且与C 相接,则
24
()22C
y dx xydy
x y φ++⎰
13
24
()22l l y dx xydy
x y
φ++=
+⎰
23
24
()202l l y dx xydy
x y
φ++-=+⎰
.
(II) 设24
24
()
2,22y xy
P Q x y
x y ϕ=
=++,,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数,
由(I)知,曲线积分24
()22L
y dx xydy
x y ϕ++⎰
在该区域内与路径无关,故当0x >时,总有
Q
P
x y
∂∂=∂∂. 经计算,
2425
2422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++ ① 243243
242242
()(2)4()2()()4()(2)(2)
P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ② 比较①、②两式的右端,得
435()2()4()2 y y
y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩　
由③得2()y y c ϕ=-+,将()y ϕ代入④得 535242,y cy y -= 所以0c =,从而2().y y ϕ=-
(20)【详解】 (I) 二次型对应矩阵为
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ,
由二次型的秩为2,知()23r A =<,所以0A =,
110
110002a a A a a -+=+-33112(1)11a a a a
⨯-+ ⋅-⋅+-按第3行展开
221122[(1)(1)]11a a a a a a
-+==⨯--++-80a =-=,
得0a =.
(II) 当0a =时,⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A , 所以 11011
0110110002002E A λ
λλλ
λλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=--
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ 两边取行列式,
E A λ-1
1
01
1
2
λλλ--=---33
1
1
(2)(1)
1
1
λλλ⨯--=-⋅-⋅
-- 2(2)[(1)1]λλ=--- 22(2)(2)(2)λλλλλ=--=-
③ ④
令
0E A λ-=,解得0,2321===λλλ,故A 有特征值为0,2321===λλλ.
当
122λλ==时,根据特征值的定义,有(2)0E A X -=,即
1231101100000x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,1101101000r -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭
,因为未知数个数为3,故
1231101100000x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
的基础解系中含有2个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解,同解方程组为120x x -=,选23,x x 为自由未知量,分别取231,0x x ==和230,1x x ==,得特征向量为：
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα,
(根据特征向量的定义,12,αα即为特征值12,λλ所对应的特征向量)因为120αα⋅=,故12,αα正交.
当30λ=时,由(0)000E A X AX AX -=⇒-=⇒=,即
1231101100002x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
, 对系数矩阵作初等行变换,
11011011021000002002⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
行行, 故
1101101100002002002r r ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 基础解系中含有1个(未知量的个数—系数矩阵的秩)线性无关的解向量,同解方程组
123
20x x x +=⎧⎨
=⎩, 选1x 为自由未知量,取11x = (选取任意非零常数都可,因为特征向量必须为非零向量,不能选
0) ,得特征向量为：.0113⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=α
由于实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,故21,αα,3α两两正交,将
21,αα,3α单位化,
3121231231011,0,1010αααηηηααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪
======-⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪
⎭⎝⎭⎭
,
其中1α==
21α==
,α 3==取[]1
23Q ηηη=,即为所求的正交变换矩阵,故T Q Q E =,则1Q Q -=,令x Qy =,则
1
12
3220T Q AQ Q AQ diag λλλ-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
, 可化原二次型为标准形：
1232(,,)()20T T T T T f x x x x Ax Qy AQy y Q AQy y y ⎡⎤
⎢⎥====⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
=.222
221y y + (III) 方法1：由),,(321x x x f ==+2
22
122y y 0,得120,0y y ==(因为方程中不含有3y )则3y k =(k 为任意常数). 从而所求解为：
x Qy ==[
]12
312330110001100k k k k ηηηηηηη⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎢⎥'=⋅+⋅+==-=-⎪ ⎪⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎭⎝⎭
,
其中k '=
为任意常数. 方法2：用配方法,方程2222212312312122(,,)22()0f x x x x x x x x x x x =+++=++=,得
123
0x x x +=⎧⎨
=⎩ ,
系数矩阵110001000⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
的秩为2,因为未知数的个数为3,故它的基础解系中含有1个(未知数的个
数—系数矩阵的秩)线性无关的解向量,选13,x x 为自由未知量,取11x =,解得[1,1,0]T -,
所以,0f =的解为[1,1,0]T k -,k 为任意常数.
(21)【详解】 由0AB =知,B 的每一列均为0Ax =的解,且.3)()(≤+B r A r (3是A 的列数或B 的行数)
(1) 若9k ≠,
13,ββ不成比例,12,ββ成比例,则()2r B =, 方程组0Ax =的解向量中
至少有两个线性无关的解向量,故它的基础解系中解向量的个数2≥,又基础解系中解向量的个数=未知数的个数()r A -3()r A =-,于是()1r A ≤.
又矩阵A 的第一行元素(),,a b c 不全为零,显然()1r A ≥, 故()1r A =. 可见此时
0Ax =的基础解系由3()2r A -= 个线性无关解向量组成,13,ββ是方程组的解且线性无
关,可作为其基础解系,故0Ax = 的通解为：
2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.
(2) 若9k =,则
123,,βββ均成比例,故()r B =1, 从而.2)(1≤≤A r 故()1r A =或
()2r A =.
①若()2r A =, 则方程组的基础解系由一个线性无关的解组成,1β是方程组0Ax =的基础
解系, 则0Ax =的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=为任意常数.
②若()1r A =, 则A 的三个行向量成比例,因第1行元素(),,a b c 不全为零,不妨设0a ≠,则
0Ax =的同解方程组为：0321=++cx bx ax , 系数矩阵的秩为1,故基础解系由312-=个
线性无关解向量组成,选23,x x 为自由未知量,分别取231,0x x ==或230,1x x ==,方程组的
基础解系为121,001b c a a ξξ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则其通解为121210,,01b c a a x k k k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
为任意常数.
(22)【详解】(I)由边缘密度函数的定义：()(,)X f x f x y dy +∞
-∞
=⎰
,()(,)Y f y f x y dx +∞
-∞
=⎰
则关于X 的边缘概率密度为：
)(x f X =⎰
+∞
∞
-dy y x f ),(=.,10,
0,20
其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x
=.,
10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x 关于Y 的边缘概率密度
)(y f Y =⎰
+∞
∞
-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y =.,
20,
0,
21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y (因为01,02x y x <<<<,故x 的取值范围为
12
y
x <<) (II)由分布函数的定义： }2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=
(1) 当0<z 时,0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z (由定义域为01x <<,02y x <<,故
20X Y ->,则{20}X Y -≤是不可能事件)
(2) 当20<≤z 时, 如图转换成阴影部分的二重积分
(){2}Z F z P X Y z =-≤
2-(,)x y z
f x y dxdy ≤=
⎰⎰
2-1(,)x y z
f x y dxdy >=-
⎰⎰
=1
2-0
2
1x z
z dx dy -
⎰⎰
=24
1z z -
; (3) 当2≥z 时,.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z (因X 最大取1,Y 最小取0,故2X Y -最大就只能取到2,所以22X Y -≤是必然事件)
所以分布函数为： .2,20,0,
1,41,0)(2
≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z
由密度函数与分布函数的关系：()()f x F x '=
y -
故所求的概率密度为：.,20,
0,
2
11)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z
(23)【详解】由题设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体2(0,)N σ的简单随机样本,知
)2(,,,21>n X X X n 相互独立,且20,(1,2,
,)i i EX DX i n σ===,
11100n
i
n i i i EX n E X E X n n n ==⨯⎛⎫==== ⎪⎝⎭
∑∑
22211111
1()n n
n i i i i i i DX DX D X D X DX n n n n n σ===⎛⎫=====
⎪⎝⎭
∑∑∑ (方差的性质：2()D cX c DX =,()D X Y DX DY +=+(,X Y 独立))
()0,1,2,
,.i i i EY E X X EX EX i n =-=-==
(根据期望的性质：,()EcX cEX E X Y EX EY =+=+)
(I)1
11()[(1)]n
i i i j j j i
DY D X X D X X n n =≠=-=--∑(由于i X X 与不独立,所以把X 中含有
i X 的剔出来,则i X 与剩下的就相互独立)
=221
11(1)n
i j j j i
DX DX n n =≠-+∑=222222
(1)1(1)n n n n n n σσσ--+⋅-= (方差的性质：2
()D cX c DX =,()D X Y DX DY +=+(,X Y 独立))
(II)由协方差的定义：
)])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --==1()n E YY (0i EY = ,1,2,
,i n =)
1[()()]n E X X X X =--=)(211X X X X X X X E n n +-- 211()()()n n E X X E X X E X X EX =--+
又 11()000n n E X X EX EX ==⨯=(因1,n X X 独立)
2
2
22
()0EX DX E X n
n
σσ=+=
+=
22
111111122
11111()[][]n n n j j j j j j E X X E X X E X X X EX EX EX n n n n n =====+=+∑∑∑
22
21111(())0(0)DX EX n n n
σσ=++=+=
同理 2
()n E X X n
σ=
(因1j X X 与独立 2,
j n =)
所以 2
2
2
2
2
111(,)()()()0n n n Cov Y Y E X X E X X E X X EX n
n
n
n
σσσσ=--+=-
-
+
=-。