牛顿运动定律中的临界和极值问题

牛顿运动定律中的临界和极值问题

1．动力学中的典型临界问题

(1)接触与脱离的临界条件

两物体相接触或脱离的临界条件是接触但接触面间弹力F N＝0.

(2)相对静止或相对滑动的临界条件

两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．

(3)绳子断裂与松弛的临界条件

绳子断与不断的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力．绳子松弛的临界条件是

F T＝0.

(4)速度最大的临界条件

在变加速运动中，当加速度减小为零时，速度达到最大值．

2．解决临界极值问题常用方法

(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的．

(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题．

(3)数学法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件．

题型一：接触与脱离类的临界问题

例1: 如图所示，在劲度系数为k的弹簧下端挂一质量为m的物体，物体下有一

托盘，用托盘托着物体使弹簧恰好处于原长，然后使托盘以加速度a竖直向下做

匀速直线运动（a

例2: 如图，竖直固定的轻弹簧，其劲度系数为k=800N/m，上端与质量为3.0 kg

的物块B相连接。另一个质量为1.0 kg的物块A放在B上。先用竖直向下的力

F=120N压A，使弹簧被压缩一定量后系统静止，突然撤去力F，A、B共同向上运

动一段距离后将分离，分离后A上升最大高度为0.2 m，取g＝10 m/s2，求刚撤

去F时弹簧的弹性势能？

例3:如图所示，质量均为m 的A 、B 两物体叠放在竖直轻质弹簧上并

保持静止，用大小等于mg 21的恒力F 向上拉A ，当运动距离为h 时A 与B 分离。则下列说法正确的是（ ）

A ．A 和

B 刚分离时，弹簧为原长

B ．弹簧的劲度系数等于h

mg 23 C ．从开始运动到A 和B 刚分离的过程中，两物体的动能先增大后减小

D ．从开始运动到A 和B 刚分离的过程中，A 物体的机械能一直增大

例4:如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k ，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A 连接；两物块A 、B 质量均为m ，初始时均静止。现用平行于斜面向上的力F 拉动物块B ，使B 做加速度为a 的匀加速运动，A 、B 两物块在开始一段时间内的v-t 关系分别对应图乙中A 、B 图线（t 1时刻

A 、

B 的图线相切，t 2时刻对应A 图线的最高点），重力加速度为g ，则（ ）

A ．t 1和t 2时刻弹簧形变量分别为k

ma mg +θsin 和0 B ．A 、B 分离时t 1()ak

ma mg +=θsin 2 C ．拉力F 的最小值ma mg +θsin

D ．从开始到t 2时刻，拉力F 逐渐增大

题型二：相对静止或相对滑动的临界问题

4.如图所示，质量分别为15kg 和5kg 的长方形物体A 和B 静止叠放在水平桌面上。A 与桌面以及A 、B 间动摩擦因数分别为μ1=0.1和μ2=0.6，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。问：

（1）水平作用力F 作用在B 上至少多大时，A 、B 之间能发生相对滑动？（若把

力加在A 上情况又怎样？）

（2）当F=30N 或40N 时，A 、B 加速度分别各为多少？

题型三：绳子断裂与松弛的临界问题

例5．如图所示，在竖直的转动轴上，a 、b 两点间距为40 cm ，细线ac 长50 cm ，

bc 长30 cm ，在c 点系一质量为m 的小球，在转动轴带着小球转动过程中，下列说

法不正确的是( )

A ．转速小时，ac 受拉力，bc 松弛

B ．bc 刚好拉直时，ac 中拉力为1.25mg

C ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力不变

D ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力增大

例6．如图所示，将两物块A 、B 用一轻质细绳（沿水平方向）连接放在粗糙的水平面上，已知两物块A 、B 的质量分别为m 1=8kg,m 2=2kg,滑块与地面间的动摩擦因数均为

μ=0.2,g=10m/s 2

,细绳的最大拉力为T=8N.今在滑块A 上施加一水平向

右的力F,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为使两滑块共同向右运动,则拉力F 多大?

题型四：速度最大的临界问题

例7．如图所示，在磁感应强度为B 的水平匀强磁场中，有一足够长的绝缘细棒OO ′在竖直面内垂直于磁场方向放置，细棒与水平面夹角为α.一质量为m 、带电荷量为＋q 的圆环A 套在OO ′棒上，圆环与棒间的动摩擦因数为μ，且μ＜tan α.现让圆环A 由静止开始下滑．试问圆环在下滑过程中：

(1)圆环A 的最大加速度为多大？获得最大加速度时的速度为多大？

(2)圆环A 能够达到的最大速度为多大？

跟踪练习：

1.如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P 处于静止，

P 的质量m=12kg ，弹簧的劲度系数k=300N/m 。现在给P 施加一个竖直向上的力F ，使P

从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s 内F 是变力，在0.2s 以后F 是恒力，

g=10m/s 2,则F 的最小值是 ，F 的最大值是 。

思维拓展：若上题中秤盘质量m 1=1．5kg ，盘内物体P 质量为m 2=10．5kg ，弹簧的劲度系数 k=800N/m ，其他条件不变，则F 的最小值是 ，F 的最大值是 。

2. 如图所示，细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m

的小球。当滑块至少以多大的加速度a 向左运动时，小球对滑块的压力等于零，当滑块以a=2g 的加速度向左运动时，球此时线中拉力T 大小？

3. 一个带负电荷q ，质量为m 的小球，从光滑绝缘的斜面轨道的A 点由静止

下滑，小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动．现

在竖直方向上加如图所示的匀强电场，若仍从A 点由静止释放该小球，则

( )

A ．小球不能过

B 点 B ．小球仍恰好能过B 点

C ．小球能过B 点，且在B 点与轨道之间压力不为0

D ．以上说法都不对

4.如图所示，质量分别为15kg 和5kg 的长方形物体A 和B 静止叠放在水平桌面上。A 与桌面以及A 、B 间a A P

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