解三角形与三角函数题型综合训练 学生版--高考专项练习

解三角形与三角函数题型综合训练
一、梳理必备知识
1.正弦定理
a sin A
=b sin B =c sin C =2R .(其中R 为ΔABC 外接圆的半径)⇔a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ;(边化角)
⇔sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R
;(角化边)2.余弦定理：
cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac
,cos C =a 2+b 2-c 22ab . ⇒a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
3.三角形面积公式：
S ΔABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =12
a +
b +
c r r 为三角形ABC 的内切圆半径 4.三角形内角和定理：
在△ABC 中，有A +B +C =π⇔C =π-(A +B )⇔
C 2=π2-A +B 2⇔2C =2π-2(A +B ).5.二倍角的正弦、余弦、正切公式
①sin2α=2sin αcos α
②cos2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α
升幂公式：1+cos2α=2cos 2α1-cos2α=2sin 2α
降幂公式：
cos 2α=12(1+cos2α)sin 2α=12(1-cos2α) ③tan2α=
2tan α1−tan 2α
.6.辅助角公式
a sin x ±
b cos x =a 2+b 2sin (x ±φ)，(其中tan φ=
b a )；求f (x )=A sin (ωx +φ)+B 解析式
A ,
B 求法方法一：代数法A +B =f (x )max -A +B =f (x )min 方法二：读图法B 表示平衡位置；A 表
示振幅
ω求法方法一：图中读出周期T ，利用T =
2πω
求解；方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取
舍答案.φ求法
方法一：将最高(低)点代入f (x )=A sin (ωx +φ)+B 求解；
方法二：若无最高(低)点，可使用其他特殊点代入f (x )=A sin (ωx +φ)+B
求解；但需注意根据具体题意取舍答案.7.三角形中线问题如图在ΔABC 中，D 为CB 的中点，2AD =AC +AB ，然后再两边平方，转化成数量关系求解！(常用)
8.角平分线
如图，在ΔABC 中，AD 平分∠BAC ，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ①等面积法
S ΔABC =S ΔABD +S ΔADC ⇒
12AB ×AC ×sin A =12AB ×AD ×sin A 2+12AC ×AD ×sin A 2
(常用)②内角平分线定理：
AB BD =AC DC 或AB AC
=BD DC ③边与面积的比值：AB AC
=S △ABD
S △ADC 9.基本不等式(最值问题优先用基本不等式)
①ab ≤a +b 2②a 2+b 2≥2ab
10.利用正弦定理化角(函数角度求值域问题)
利用正弦定理a =2R sin A ，b =2R sin B ，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。

【常用结论】
①在ΔABC 中，a >b ⇔sin A >sin B ⇔A >B ;
②sin2A =sin2B ,则A =B 或A +B =π2
.③在三角函数中，sin A >sin B ⇔A >B 不成立。

但在三角形中，sin A >sin B ⇔A >B 成立
二、三角函数与解三角形题型综合训练
1.(2023春·福建莆田·莆田一中校考阶段练习)已知函数f x =A sin ωx +φ A >0,ω>0,φ <π2
的部分图象如图所示：
(1)求方程f x =2的解集；
(2)求函数g x =f x -π12 -f x +π12 的单调递增区间.
2.(2023春·宁夏吴忠·青铜峡市高级中学校考阶段练习)函数f x =A sin ωx +φ (A ，ω，φ为常数，且A >0，ω>0，ϕ <π2
)的部分图象如图所示．
(1)求函数f x 的解析式及图中b 的值；
(2)将f x 的图象向左平移π6
个单位后得到函数y =g x 的图象，求g x 在0,π2 上的单调减区间.3.(2023春·湖北十堰·校联考阶段练习)已知函数f x =sin x -3cos x ．
(1)若x ∈0,π2 ，且函数f x =23
，求cos 2π3+x 的值；(2)若将函数f x 图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
12，再将所得图像向左平移π4个单位长度，得到g x 的图像，求函数g x 在0,π2
上的最小值．
4.(2023春·浙江宁波·余姚中学校考阶段练习)已知函数f x =sin x cos x-3cos2x，将函数f x 的图
象向左平移π
4个单位长度，可得到函数g x 的图象．
(1)求函数g x 的表达式及单调递增区间；
(2)当x∈π
6,π3
时，af x +g x ≥a2+1
2
-3
2
a+1
恒成立，求正数a的取值范围．
5.(2023春·安徽滁州·安徽省滁州中学校考阶段练习)已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2-ab
(1)求角C
(2)若sin B<sin C，b=4，D为BC的中点，AD=13，求△ABC的面积
6.(2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习)在斜△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin2A-23sin2A=-23，AD平分∠BAC交BC于点D，AD=1．
(1)求A的大小；
(2)若a=25，求△ABC的面积．
7.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)数学试题)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1+sin2A =3tan B +2 cos2A .
(1)若C =3π4
，求tan B 的值；(2)若A =B ，c =2，求△ABC 的面积.
8.(2023·天津和平·统考一模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且b cos C +c cos B tan A =-3a .
(1)求A 的大小：
(2)若a =7,b =1，
(i )求△ABC 的面积；
(ii )求cos 2C -A .
9.(2022·河北衡水·统考二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分到为a ，b ，c ，已知b 2-2bc cos A =a 2-2ac cos B ，c =2.
(1)证明：△ABC 为等腰三角形；
(2)设△ABC 的面积为S ，若，S 的值.在①7cos B =2cos C ；②CA ⋅CB =2S ；③a 2+b 2=8c 2三个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解.
10.(2022·全国·高三专题练习)在①sin A cos B+cos A sin B=3
2；②x=cos C是函数f x =2x
2+x-1
的一个零点；③已知函数f x =sin
1
2
x+π
3
，且f C =1.从三个条件中任选一个，补充在下面的问
题中，并加以解答：
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且∠C为锐角.若，且c=2a cos B，试判断△ABC的形状.
11.(2022·全国·高三专题练习)随着我国房地产行业迅速发展和人们生活水平的不断提高，大家对住宅区
的园林绿化设计提出了更高､更新的要求，设计制“人性化，生态化､自然化”的园林式居住区，以提高现代人的生活质量，成为当今住宅区园林绿化的设计准则.某小区有一片绿化用地，如图所示，区域四周配植修剪整齐的本土植物，中间区域合理配植有层次感的高､中､低植物，BD为鹅卵石健康步道，AD⎳BC，A=π
3，AD=20m，AB=BC=16m.
(1)求鹅卵石健康步道BD的长(单位：m)；
(2)求绿化用地总面积(单位：m2).
12.(2022·高三课时练习)如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=120°，AB=2，AD=22，△ABC的面
积为 3.
(1)求AC；
(2)求∠ACD.
13.(2023·全国·高三专题练习)如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，c=
3，B=30°
(1)求b的值；
(2)求sin C的值；
(3)若D为边BC上一点，且cos∠ADC=-1
3，求BD的长.
14.(2022·高三课时练习)如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电
瓶车专用道，∠BCD=∠BAE=∠CDE=120°，DE=11km，BC=CD=5km．
(1)求BE的长；
(2)若sin∠ABE=53
14，求五边形ABCDE的周长．
15.(2023·全国·模拟预测)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c-b
sin C=
a cos C-b
sin B+a cos B sin C.
(1)求角A；
(2)若H为△ABC的垂心，a=2，求△HBC面积的最大值.
16.(2022·安徽黄山·统考一模)如图,已知△ABC外接圆的圆心O为坐标原点,且O在△ABC内部,
A1,0
,∠BOC=2π3
.
(1)求∠AOB=7π
12,求AO
⋅AB
;
(2)求△ABC面积的最大值.
17.(2023·高三课时练习)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足a2+c2=b2-ac．
(1)求角B的大小；
(2)若b=23，求△ABC的面积的最大值．
18.(2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习)在四边形ABCD中，A,B,C,D四点共圆，
AB=5，BC=3，cos∠ABC=-3
5．
(1)若sin∠ACD=25
5，求AD的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值．
19.(2022春·广东潮州·饶平县第二中学校考阶段练习)在锐角△ABC中，已知a sin B=3b cos A.
(1)求角A；
(2)若a=2，求△ABC周长的取值范围.
20.(2022秋·广东·高三统考阶段练习)在①m =2a -c ,b ，n =cos C ,cos B ，m ⎳n ；②b sin A =
a cos B -π6
；③a +b a -b =a -c c 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足
.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求∠B ；
(2)若b =2，求△ABC 周长的取值范围.
21.(2022春·安徽淮南·淮南市第五中学校考阶段练习)已知在△ABC 中，B =45°,AC =10,cos C =
55
.(1)求BC 边的长；
(2)求AB 边上的中线CD 的长.
22.(2020秋·安徽·高三校联考阶段练习)在△ABC中，AB=3AC，AD为边BC上的中线，记∠CAD=
2∠BAD=2a.
(1)求证：△ABC为直角三角形；
(2)若AD=1，延长BC到点E，使得AE=13CE，求△ABE的面积.
23.(2023·全国·高三专题练习)已知在△ABC中，b3=a2b+bc2-ac2，C=2π
3．
(1)求A的大小；
(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．
①△ABC周长为2+3；②a=1；③△ABC面积为33
4；④c=2a
24.(2023春·湖南衡阳·衡阳市八中校考阶段练习)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，c=2b,
2sin A=3sin2C.
(1)求cos C；
(2)若△ABC的面积为37
2，求AB边上的中线CD的长.
25.(2022·浙江·高三专题练习)已知函数f x =1
2cos4x-sin x cos x-1
2
sin4x．
(1)求f x 的最小正周期及单调减区间；
(2)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f A
2
=-22，BC边上的中线AD=2，求b2 +c2的最大值．
26.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A、B、
C成等差数列，且sin C=3sin A．
(1)求cos C；
(2)若角B的角平分线交AC于点D，BD=2，求△ABC的面积．
27.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=23，sin2A+sin2C+
sin A sin C=sin2B，
(1)求角B的大小；
(2)若AD是ÐBAC的内角平分线，当△ABC面积最大时，求AD的长．
28.(2023春·陕西西安·西北工业大学附属中学校考阶段练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．在
①tan A +tan C -3=-3tan A tan C ；②2S △ABC =-3BA ⋅BC ；
③b cos π2
-C =-3c cos B .这三个条件中任选一个填在横线上，补充完整上面的问题，并进行解答．
(1)求角B 的大小；
(2)若角B 的内角平分线交AC 于D ，且BD =1，求a +4c 的最小值．
29.(2023春·浙江·高三校联考阶段练习)在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题，并给出问题的解答．
①3c sin A -a cos C -2a =0；②cos A +(cos B +3sin B )cos C =0；③tan C tan B =-b -2a b
；已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，D 为AB 边上的一点，
．(1)求角C ；
(2)若CD 为角平分线，且CD =1，求a +b 最小值．
30.(2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第十一中学校联考阶段练习)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别
为a，b，c，满足
sin A
sin B+sin C
+b sin B
b sin A+
c sin B
=1
(1)求角C；
(2)CD是∠ACB的角平分线，若CD=43
3，△ABC的面积为23，求c的值.
31.(2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，且
1 2sin2B cos C+cos2B sin C-sin A
2
cos A
2
=0．
(1)求B；
(2)若△ABC外接圆的半径为3，点D为AC边的中点，证明：BD=2a2+2c2-9
2．
32.(2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若A
+C≤2B．
(1)求证：B≥π
3；
(2)对n∈N*，请你给出一个n的值，使不等式a n+c n≤2b n成立或不成立，并证明你的结论．
33.(2022春·江苏盐城·高三统考期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2B.
(1)若sin B=1
3，求sin A的值；
(2)若a>c，求证：1
2<b
c
<λ.(参考数据：λ=2sinπ
10
=5-1
2
≈0.618)
34.(重庆渝北·重庆市松树桥中学校校考期末)在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A
+sin C=2sin B.
(1)求证：cos B≥1
2；
(2)若A=2C，求cos A.。