沪科九年级数学上相似三角形的判定PPT学习教案
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1
k2 .当且仅当这两个三角形全等时，才有 k=1 =k12.
因此，三角形全等是三角形相似的特例.
第5页/共24页
三.类比猜想
1.两个三角形全等的判定有哪几种方法？ 2.是不是需要所有的对应边和对应角都相等？ 3.猜想：两个三角形相似是不是也有简便的方法？ 简析：1.两个三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、SSS、AAS,直角三角形还有HL.
的过程中，培养学生有条理的分析和推理
能力.
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内容分析
相似三角形的判定是本章的重点内容之 一.本节课是相似三角形的判定的第一课 时， 首先讲述了相似三角形的有关概念，然后 通过探究得出三角形一边的平行线的判定 定理. 三角形一边的平行线的判定定理不仅 可以直接用来证明有关的三角形相似的问 题，而且还是证明其他三个判定定理的主 要依据，所以有时也把它叫做相似三角形 判定定理的预备定理.熟练掌握这一定理对 后面三个定理的证第明19页/至共24页关重要.
沪科九年级数学上相似三角形的判定
会计学
1
一.复习回顾
前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念， 下面请同学们思考以下几个问题：
1.什么样的两个多边形是相似多边形？ 2.辨析
(1)四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？ (2)四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？ 3.什么是相似比（相似系数）？ 简答：1.两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度
AB BC CA . AB BC CA
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相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为 ， 练习 3.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△ DEF的 相似比 和△DEF与△ABC的相似比 是否相等？如果不相等， 和 满足什么关系？如果AB=2，DE=2呢？
学习了哪些思想方法？
类比和转化的思想，作辅助线的方法.
你掌握了哪些知识？还有什么问题？
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八.思考
C
D
E
A
B
图5
如图5，△ABC中BD是角平分线， 过点D作DE∥AB交BC于 E,AB=5cm， BE=3cm，求EC的
长.
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九.作业设计
1.课本中本节练习 2.习题２２.２第4题
求证： △ADE∽△ABC.
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A
分析
D
E
1.根据相似多边形的定义△ADE与 △ABC相似必须满足哪些条件？ B
C
图2
由已知和图2可知△ADE与△ABC相似必须有：
∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠ AED=∠C,
AD AE DE
AB AC BC
2.已经具备哪些条件？为什么？还需要什么条件？
长线），所得对应线段成比例.即可 得
B
AD AE DE
F
C
AB AC BC
到
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证明
过点D作AC的平行线，交BC 于F.
∵DE∥BC,DF∥AC，
∴
因为四边形DFCE是平行四边形，
AD AE , FC AD . AB AC BC AB
∴DE=FC，
DE AD
.
BC AB
又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C，
C
F E
B
图4
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七.目标总结
本节课我们学习了哪些内容？
本节课首先讲述了相似三角形的有关概念，然后通过探究得出“三 角形一边的平行线截三角形两边或其延长线所得的三角形与原三角形 相似”这一判定定理.三角形一边的平行线的判定定理不仅可以直接用 来证明有关的三角形相似的问题，而且是证明其他三个判定定理的主 要依据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的预备定理.熟练掌 握这一定理对后面三个定理的证明至关重要.
AD AE DE . AB AC BC
∴△ADE∽△ABC.
A
D
B F
E C
第10页/共24页
A
D B
E C A
B D
C
E
E
D
A
五.定理归纳
由以上探究过程你能得出什么结论？ 如果这条直线与三角形两边的延长线相交 呢？如图3所示
定 理 平 行 于 三角形 一边的 直线与 其他两 边 （ 或 两 边 的 延长线 ）相交 ，截得 的三角 形与
紧接着提出问题，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心，才能真正掌 握相似三角形中的对应关系和相似比的概念.
通过让学生回忆三角形全等的知识，引导学生类比猜想两个三角形相似的判定也有捷 径可走，即不需要所有的对应角相等，所有的对应边成比例也可相似.培养和提高学生对 类比数学思想的认识和理解.
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K1
,即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=
K1
K2
即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=
K2
K1
K2
K1 K2
简析：k1 =
2，
3
k=2
k=1 =k12
3
，2 ≠k1 ，k2
.k1
1 k2
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归纳
若将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为 ， k1 △A′B′C′∽△ABC的相似比记为 ，一k般2 = k1
原 三 角 形 相 似.
符号语言 在△ABC中,
若 DE∥BC,（如图3所示) 则 △ADE∽△ABC.
B
C
图3
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六.巩固练习
D
C
F
A
E
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图4
如图4，在 ABCD中，DE交 BC于F,交AB的延长线于点E.
（1）请写出图中相似的三角形；
（2）请由其中的一对相似三角形 写出相应的比例式；
C
A
B
C′
A′
B′
图1
两 个 三 角 形 相似 ，用相 似符号 表示时 ，与全 等一样 ，应把 对应顶 点的字 母写在 对应的 位置上 ，这样 便于找 出相似 三角形 的对应 角和对 应边. 即 写 成 △ ABC∽△ A′B′C′， 表 明 对 应 关 系是 唯一确 定的， 即A与 A′、 B与 B′、 C与 C′分 别对应 .如果 仅说“ 这两个 三角形 相似” ,没有用 “∽” 表示的 ，则没 有说明 对应关 系.
内容分析
教学重点 掌握三角形一边的平行线的
判定定理. 教学难点
三角形一边的平行线的判定 定理的探索及证明.
第20页/共24页
设计意图
通过三个问题的思考可使学生理解两个多边形相似条件的苛刻性，对后面相似三角形 判定的探索充满期待.
通过阅读，观察，讲解，使学生基本了解相似三角形的定义、表示方法、对应关系、 相似比.
（3）请说明AE·BF与AD·BE是否 相等？
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简析
（1）△EBF∽△EAD，△CDF∽△BEF ，
△EAD∽△DCF；也可写成
D
△EBF∽△EAD∽△DCF
（2）举一例：在△EBF∽△EAD中有
EB EF B，F
A
EA ED AD
还有两种情形同学们自己解答.
(3) 由（2）中比例式化成乘积式 可得AE·BF=AD·BE.
设计意图
将探究的过程细化分解是为了降低难度，使学生更容易自主探究， 由浅入深，使探究的过程充满乐趣，增强了学生探究的信心.通过系列 的思考学生找到问题的关键所在，突破作辅助线的难关，最终解决问题. 提问过程中学生自主分析已知条件，找出问题的瓶颈所在，适时渗透转 化的数学思想.
培养学生运用数学语言表述问题的能力，规范学生证明的基本步骤 和书写格式
2.不需要所有的对应边和对应角都相等. 3.猜想：两个三角形相似也不需要所有的对应角和对应边长度的比相等.
第6页/共24页
四.探究论证
A
D
E
B
C
图2
在△ABC中，D为AB上 任意一点，如图2所示.过点D 作BC的平行线交AC于点E， 那么△ADE与△ABC相似吗？
已知:在△ABC中，DE ∥BC, DE分别交AB，AC于D，E.
第2页/共24页
相似三角形的对应关系
对 于 △ ABC∽△ A′B′C′， 根 据 相 似 形 的 定义， 应有 ∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∠C=∠C′，
(三 边 对 应 成 比例也 可写成 AB:BC:CA=A′B′:B′C′:C′A′)
练习 1. 已 知 △ ABC∽△ DEF,请 指 出 所 有 的对 应边和 对应角 .并分别 指出它 们的关 系. 2.如 果 将 上 题 中“ △ABC∽△ DEF”改 为 “ △ABC与 △ DEF相 似 ”你 还能指 出它们 的对应 关系吗 ？
已有条件：∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C ，
AD AB
AE AC，还需要条件：
AD AE DE AB AC BC
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分
析
3.解决这个问题的关键在哪里？怎么
解决？
A
转化：将DE平移到BC上（可过
点D作AC的平行线，交BC于F，则
CF=DE）运用定理：平行于三角形
D
E
一边的直线截其他两边（或两边延
的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形. 2.可举反例回答（1）正方形和长方形或长宽之比不相等的两个矩形；
（2）正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形. 3. 相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.
第1页/共24页
二.引入新知 23.2相似三角形的判定（第1课时）
如 图 1， △ ABC与 △ A′B′C′相 似 . 则 图 1中 的 两个三 角形记 作“△ ABC∽△ A′B′C′”， 读 作 “ △ ABC相 似 于 △A′B′C′”， “ ∽” 叫 相似符 号.
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学习任何东西， 最好的途径是自己去发现！
第17页/共24页
教学目标
理解相似三角形概念，能正确地找出相似 三角形的对应角和对应边.
会用三角形一边的平行线的判定定理进行 计算和作比较简单的证明.
通过复习前面所学过的有关知识，加深对 定理的理解，提高学生利用已学知识证明
新命题的能力，并在探索相似三角形条件
第22页/共24页
设计意图
让学生学会正确表述定理，理解定理表
述的严密性，养成严谨的数学学习习惯.
培养学生正确运用所学知识的应用能力，
巩固所学的定理.
注意培养学生的数学思想和归纳概括能
力，教师设疑，激发学生学习的兴趣.
巩固和检验所学知识，使学生得到提高
和发展.
第23页/共24页
k2 .当且仅当这两个三角形全等时，才有 k=1 =k12.
因此，三角形全等是三角形相似的特例.
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三.类比猜想
1.两个三角形全等的判定有哪几种方法？ 2.是不是需要所有的对应边和对应角都相等？ 3.猜想：两个三角形相似是不是也有简便的方法？ 简析：1.两个三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、SSS、AAS,直角三角形还有HL.
的过程中，培养学生有条理的分析和推理
能力.
第18页/共24页
内容分析
相似三角形的判定是本章的重点内容之 一.本节课是相似三角形的判定的第一课 时， 首先讲述了相似三角形的有关概念，然后 通过探究得出三角形一边的平行线的判定 定理. 三角形一边的平行线的判定定理不仅 可以直接用来证明有关的三角形相似的问 题，而且还是证明其他三个判定定理的主 要依据，所以有时也把它叫做相似三角形 判定定理的预备定理.熟练掌握这一定理对 后面三个定理的证第明19页/至共24页关重要.
沪科九年级数学上相似三角形的判定
会计学
1
一.复习回顾
前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念， 下面请同学们思考以下几个问题：
1.什么样的两个多边形是相似多边形？ 2.辨析
(1)四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？ (2)四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？ 3.什么是相似比（相似系数）？ 简答：1.两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度
AB BC CA . AB BC CA
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相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为 ， 练习 3.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△ DEF的 相似比 和△DEF与△ABC的相似比 是否相等？如果不相等， 和 满足什么关系？如果AB=2，DE=2呢？
学习了哪些思想方法？
类比和转化的思想，作辅助线的方法.
你掌握了哪些知识？还有什么问题？
第14页/共24页
八.思考
C
D
E
A
B
图5
如图5，△ABC中BD是角平分线， 过点D作DE∥AB交BC于 E,AB=5cm， BE=3cm，求EC的
长.
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九.作业设计
1.课本中本节练习 2.习题２２.２第4题
求证： △ADE∽△ABC.
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A
分析
D
E
1.根据相似多边形的定义△ADE与 △ABC相似必须满足哪些条件？ B
C
图2
由已知和图2可知△ADE与△ABC相似必须有：
∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠ AED=∠C,
AD AE DE
AB AC BC
2.已经具备哪些条件？为什么？还需要什么条件？
长线），所得对应线段成比例.即可 得
B
AD AE DE
F
C
AB AC BC
到
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证明
过点D作AC的平行线，交BC 于F.
∵DE∥BC,DF∥AC，
∴
因为四边形DFCE是平行四边形，
AD AE , FC AD . AB AC BC AB
∴DE=FC，
DE AD
.
BC AB
又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C，
C
F E
B
图4
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七.目标总结
本节课我们学习了哪些内容？
本节课首先讲述了相似三角形的有关概念，然后通过探究得出“三 角形一边的平行线截三角形两边或其延长线所得的三角形与原三角形 相似”这一判定定理.三角形一边的平行线的判定定理不仅可以直接用 来证明有关的三角形相似的问题，而且是证明其他三个判定定理的主 要依据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的预备定理.熟练掌 握这一定理对后面三个定理的证明至关重要.
AD AE DE . AB AC BC
∴△ADE∽△ABC.
A
D
B F
E C
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A
D B
E C A
B D
C
E
E
D
A
五.定理归纳
由以上探究过程你能得出什么结论？ 如果这条直线与三角形两边的延长线相交 呢？如图3所示
定 理 平 行 于 三角形 一边的 直线与 其他两 边 （ 或 两 边 的 延长线 ）相交 ，截得 的三角 形与
紧接着提出问题，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心，才能真正掌 握相似三角形中的对应关系和相似比的概念.
通过让学生回忆三角形全等的知识，引导学生类比猜想两个三角形相似的判定也有捷 径可走，即不需要所有的对应角相等，所有的对应边成比例也可相似.培养和提高学生对 类比数学思想的认识和理解.
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K1
,即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=
K1
K2
即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=
K2
K1
K2
K1 K2
简析：k1 =
2，
3
k=2
k=1 =k12
3
，2 ≠k1 ，k2
.k1
1 k2
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归纳
若将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为 ， k1 △A′B′C′∽△ABC的相似比记为 ，一k般2 = k1
原 三 角 形 相 似.
符号语言 在△ABC中,
若 DE∥BC,（如图3所示) 则 △ADE∽△ABC.
B
C
图3
第11页/共24页
六.巩固练习
D
C
F
A
E
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图4
如图4，在 ABCD中，DE交 BC于F,交AB的延长线于点E.
（1）请写出图中相似的三角形；
（2）请由其中的一对相似三角形 写出相应的比例式；
C
A
B
C′
A′
B′
图1
两 个 三 角 形 相似 ，用相 似符号 表示时 ，与全 等一样 ，应把 对应顶 点的字 母写在 对应的 位置上 ，这样 便于找 出相似 三角形 的对应 角和对 应边. 即 写 成 △ ABC∽△ A′B′C′， 表 明 对 应 关 系是 唯一确 定的， 即A与 A′、 B与 B′、 C与 C′分 别对应 .如果 仅说“ 这两个 三角形 相似” ,没有用 “∽” 表示的 ，则没 有说明 对应关 系.
内容分析
教学重点 掌握三角形一边的平行线的
判定定理. 教学难点
三角形一边的平行线的判定 定理的探索及证明.
第20页/共24页
设计意图
通过三个问题的思考可使学生理解两个多边形相似条件的苛刻性，对后面相似三角形 判定的探索充满期待.
通过阅读，观察，讲解，使学生基本了解相似三角形的定义、表示方法、对应关系、 相似比.
（3）请说明AE·BF与AD·BE是否 相等？
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简析
（1）△EBF∽△EAD，△CDF∽△BEF ，
△EAD∽△DCF；也可写成
D
△EBF∽△EAD∽△DCF
（2）举一例：在△EBF∽△EAD中有
EB EF B，F
A
EA ED AD
还有两种情形同学们自己解答.
(3) 由（2）中比例式化成乘积式 可得AE·BF=AD·BE.
设计意图
将探究的过程细化分解是为了降低难度，使学生更容易自主探究， 由浅入深，使探究的过程充满乐趣，增强了学生探究的信心.通过系列 的思考学生找到问题的关键所在，突破作辅助线的难关，最终解决问题. 提问过程中学生自主分析已知条件，找出问题的瓶颈所在，适时渗透转 化的数学思想.
培养学生运用数学语言表述问题的能力，规范学生证明的基本步骤 和书写格式
2.不需要所有的对应边和对应角都相等. 3.猜想：两个三角形相似也不需要所有的对应角和对应边长度的比相等.
第6页/共24页
四.探究论证
A
D
E
B
C
图2
在△ABC中，D为AB上 任意一点，如图2所示.过点D 作BC的平行线交AC于点E， 那么△ADE与△ABC相似吗？
已知:在△ABC中，DE ∥BC, DE分别交AB，AC于D，E.
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相似三角形的对应关系
对 于 △ ABC∽△ A′B′C′， 根 据 相 似 形 的 定义， 应有 ∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∠C=∠C′，
(三 边 对 应 成 比例也 可写成 AB:BC:CA=A′B′:B′C′:C′A′)
练习 1. 已 知 △ ABC∽△ DEF,请 指 出 所 有 的对 应边和 对应角 .并分别 指出它 们的关 系. 2.如 果 将 上 题 中“ △ABC∽△ DEF”改 为 “ △ABC与 △ DEF相 似 ”你 还能指 出它们 的对应 关系吗 ？
已有条件：∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C ，
AD AB
AE AC，还需要条件：
AD AE DE AB AC BC
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分
析
3.解决这个问题的关键在哪里？怎么
解决？
A
转化：将DE平移到BC上（可过
点D作AC的平行线，交BC于F，则
CF=DE）运用定理：平行于三角形
D
E
一边的直线截其他两边（或两边延
的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形. 2.可举反例回答（1）正方形和长方形或长宽之比不相等的两个矩形；
（2）正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形. 3. 相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.
第1页/共24页
二.引入新知 23.2相似三角形的判定（第1课时）
如 图 1， △ ABC与 △ A′B′C′相 似 . 则 图 1中 的 两个三 角形记 作“△ ABC∽△ A′B′C′”， 读 作 “ △ ABC相 似 于 △A′B′C′”， “ ∽” 叫 相似符 号.
第16页/共24页
学习任何东西， 最好的途径是自己去发现！
第17页/共24页
教学目标
理解相似三角形概念，能正确地找出相似 三角形的对应角和对应边.
会用三角形一边的平行线的判定定理进行 计算和作比较简单的证明.
通过复习前面所学过的有关知识，加深对 定理的理解，提高学生利用已学知识证明
新命题的能力，并在探索相似三角形条件
第22页/共24页
设计意图
让学生学会正确表述定理，理解定理表
述的严密性，养成严谨的数学学习习惯.
培养学生正确运用所学知识的应用能力，
巩固所学的定理.
注意培养学生的数学思想和归纳概括能
力，教师设疑，激发学生学习的兴趣.
巩固和检验所学知识，使学生得到提高
和发展.
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