课件4：27.2.2 相似三角形的性质

面积发生了
S变化 S原图
3 1
2
9 1
S变化 9S原图
7.某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边 原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地， 由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原 绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是: 被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？
相似三角形的_对___应____角___相____等___, 各对应边__成__比__例___。 3.相似三角形还有哪些性质?
如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？
两个相似多边形呢？
A
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么
AB BC CA k
B
A' B' B'C' C' A'
4.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为60cm和72cm，且
AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、AC、A'B'、A'C'的长．
解： ∵△ABC∽△A′B′C′
A
k 60 15 AB 15
72 18 A' B ' 18
A' B ' 18 AB 18 15 18
B
C
15 15
A
30m
D
E
18m
B
C
8.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别
为4和9，求△ABC的面积。
A
D
E
C
B
F
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（2）如图在等边三角形ABC中，点D、
A
E分别在AB、AC边上，且DE∥BC,
D
E
如果BC=8cm,AD:AB=1:4,那么△ADE
的周长等于_______cm。
B
C
3.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米，
（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是
——————。
（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是 _____________。
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的 面积也扩大为原来的9倍．
解：一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9
S
S原四边形 扩大9倍四边形
＝
1 9
2
边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积
2.把一个三角形变成和它相似的三角形，
（1）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的________倍。
附加结论:相似三角形对应高的比等于相似比
附加结论:相似三角形对应高的比等于相似比
A
A'
BD
C
B' D'
C'
如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD，A'D'分别是边BC、B'C'
上的中线，求证
A
AD A' D'
k
A'
思考：若AD，A'D'改为角
平分线呢
B
D C B'
D'
C'
结论:相似三角形对应中线的比等于相似比
解：两块蛋糕是相似的
相似比是1：2
面积的比为
1
2
2
1: 4
设半径是30cm的蛋糕够x人吃
1：4＝2：x
x= 8 答：半径是30cm的蛋糕够8个人吃．
6. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发 生了怎样的变化？
解：放缩比例为 6 3 21
第二十七章 相似
27.2.2 相似三角形的性质
1.三角形相似的判定方法有那些？ 定义三个对应角相等，三条对应边的比相等。（不常用） 预备定理平行线构成的三角形与原三角形相似。 常 三边对应成比例的两个三角形相似。 用 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 两个角对应相等的两个三角形相似。
2. 相似三角形的有哪些性质?
面积的比等于相似比的平方
练习
1.判断
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长 也扩大为原来的5倍；
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积 也扩大为原来的9倍．
（1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
原周长 ＝1 扩大5倍周长 5
扩大5倍周长＝5原周长
因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'
从而 AB BC CA kA' B'kB'C'kC' A' k A' B'B'C'C' A' A' B'B'C'C' A'
得到： 相似三角形周长的比等于相似比
相似多边形周长的比等于相似比
C A'
B' C'
探究
（1）如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k1，它们的面积比是多少？ 如图，分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'． A
∵ ∠ADB =∠A/D/B/ ∠B＝∠B'
∴ △ABD∽△A'B'D'
AD AB k A' D' A' B'
BD
C
A'
S△ ABC S△A'B'C '
1 BC AD
2 1 B'
C'
A'
D'
1 k B'C'k A' D' 2
1 B'C'A' D'
k2
B' D'
C'
2
2
这样，得到：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
结论:相似三角形对应角平分线的比等于相似比
例题分析
例1如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝
∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．
A D
解：在△ABC和△DEF中，
∵ AB＝2DE，AC＝2DF
B
∴ DE DF 1
C
E
F
AB AC 2
又 ∠D＝∠A ∴ △DEF∽△ABC，相似比为
BC B'C '
15 18
BC
15 24 18
20
A'
AC 60 15 20 25
B'
A'C ' 72 18 24 30
C'
5. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm,一种半径是 30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃，半径是30cm的蛋 糕够多少人吃？（假设两种蛋糕高度相同）
1
L ADE 1 , L ABC 2
L ADE = 1 24 2
2
源自文库L ADE =12
S ADE = 1 S ABC 4
S ADE = 1 48 4
S ADE =12
归纳 相 似 三 角 形 的 性 质
对应角相等 对应边成比例 相似比等于对应边的比 对应高的比，对应中线的比、对应角平分线 的比都等于相似比. 周长的比等于相似比