2022-2023人教版八年级数学上册《第11章三角形》期末综合复习题(附答案)

2022-2023学年人教版八年级数学上册《第11章三角形》期末综合复习题（附答案）一．选择题
1．下列说法中，正确的个数是（）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条
高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．
A．1B．2C．3D．4
2．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是（）
A．2B．3C．6D．不能确定
3．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．
C．D．
4．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）
A．120°B．105°C．60°D．45°
5．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于（）
A．180°B．210°C．360°D．270°
6．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC．其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）
A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β8．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
二．填空题
9．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝cm．
10．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为cm2．
11．如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，如果BC＝10cm，那么BE＝；
∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BAD＝，∠DAF＝．
12．如图，△ABC的中线AD与高CE交于点F，AE＝EF，FD＝2，S△ACF＝24，则AB的长为．
13．如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝．
14．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝度，若∠AIB＝155°，则∠C＝度．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，AF平分外角∠BAD，BE与F A交于点E，则∠E的度数为．
16．如图，将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为．
三．解答题
17．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
18．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．
（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．
19．如图，已知△ABC．
（1）画中线AD；
（2）画△ABD的高BE及△ACD的高CF．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．
21．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
22．已知点A在射线CE上，∠BDA＝∠C．
（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；
（2）如图2，若BD⊥BC，请证明∠DAE+2∠C＝90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠BAC＝∠BAD，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．（直接写出结果）
23．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定
交于一点，高线指的是线段，故错误．
所以正确的有1个．
故选：A．
2．解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC＝5﹣3＝2．
故选：A．
3．解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
4．解：如图，∠2＝90°﹣45°＝45°，
由三角形的外角性质得，∠1＝∠2+60°，
＝45°+60°，
＝105°．
故选：B．
5．解：∠α＝∠1+∠D，
∠β＝∠4+∠F，
∴∠α+∠β＝∠1+∠D+∠4+∠F
＝∠2+∠D+∠3+∠F
＝∠2+∠3+30°+90°
＝210°，
故选：B．
6．解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，即①正确；
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACF
∴∠DCF＝∠ACF，∠DBC＝∠ABC，
∵∠DCF是△BCD的外角，
∴∠BDC＝∠DCF﹣∠DBC＝∠ACF﹣∠ABC＝（∠ACF﹣∠ABC）＝∠BAC，即②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠ACF，
∵∠EAC＝∠ACB+∠ABC，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）
＝180°﹣（∠EAC+∠ACF）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
＝180°﹣（180°+∠ABC）
＝90°﹣∠ABC
＝90°﹣∠ABD，即③正确；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠DBC＝∠ABC，而∠BDC＝∠BAC≠∠ACB，∴∠ADB≠∠CDB，即④错误；
∴正确的有3个，
故选：C．
7．解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：A．
8．解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
＝（∠ACD﹣∠ABC）
＝∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠1）
＝90°+∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，
∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；
故选：C．
二．填空题
9．解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE＝BE，
又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，
∴AC﹣AB＝2cm，
即AC﹣8＝2cm，
∴AC＝10cm，
故答案为：10；
10．解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．
故答案为1．
11．解：∵在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，BC＝10cm，∴BE＝5cm，
∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∴∠BAD＝40°，
∵AF是高，
∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAF＝40°﹣30°＝10°，
故答案为：5cm；40°；10°．
12．解：延长AD至点M，使MD＝FD，连接MB，
在△BDM和△CDF中，
，
∴△BDM≌△CDF（SAS）．
∴MB＝CF，∠M＝∠CFD．
∴EC∥BM，
∵EA＝EF，CE是△ABC的高，
∴∠EAF＝∠EF A＝45°，
∵EC∥BM，
∴∠ABM＝∠AEF＝90°，
∴∠M＝∠MAB＝45°，
∴AB＝MB，
∴AB＝CF，
∵CE是△ABC的高，S△ACF＝24，
∴CF•AE＝24，即AB•AE＝24，
作FN⊥BM于N，
则四边形EFNB是矩形，△FMN是等腰直角三角形，
∴BE＝FN＝FM＝×2FD＝FD＝2，∴AE＝AB﹣2，
∴AB•AE＝AB（AB﹣2）＝24，
∴AB＝6（负数舍去），
故答案为6．
方法二：
解：连接BF，作DM⊥CE于M，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD，S△BFD＝S△CFD，
∴S△ABF＝S△ACF＝24，
∵AE＝EF，CE⊥AB，
∴∠AFE＝45°，
∴∠DFM＝∠AFE＝45°，
∵FD＝2，
∴DM＝FM＝，
∵DM∥BE，BD＝CD，
∴BE＝2DM＝2，
设AE＝EF＝x，则AB＝2+x，
∴S△ABF＝AB•EF＝（2+x）•x＝24，
解得x＝4，
∴AB＝2+x＝6．
故答案为：6．
13．解：由三角形的外角性质得，∠1＝∠B+∠F+∠C+∠G，∠2＝∠A+∠D，
由三角形的内角和定理得，∠1+∠2+∠E＝180°，
所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝180°．
故答案为：180°．
14．解：连接CI并延长交AB于P．
∵AI平分∠CAP，
∴∠1＝∠2．
∵BI平分∠CBP，
∴∠3＝∠4，
∴∠1+∠3＝（∠CAB+∠CBA）＝×（180°﹣70°）＝55°，∴∠7+∠8＝∠1+∠3+∠5+∠6＝55°+70°＝125°．
∵∠AIB＝155°，
∴∠2+∠4＝180°﹣155°＝25°，
又∵∠CAP、∠CBP的平分线，相交于点I，
∴∠CAP+∠CBP＝2×25°＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣50°＝130°．
15．解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝．
∵AF平分外角∠BAD，
∴∠F AB＝．
又∵∠BAD＝∠C+∠ABC＝90°+∠ABC，
∴∠F AB＝．
又∵∠F AB＝∠E+∠ABE，
∴∠E＝∠F AB﹣∠ABE＝45°+﹣＝45°．故答案为：45°．
16．
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠MCD＝90°，
∵∠D＝60°，
∴∠DMC＝30°，
∴∠AMF＝∠DMC＝30°，
∵∠A＝45°，
∴∠1＝∠A+∠AMF＝45°+30°＝75°，
故答案为75°．
三．解答题
17．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
18．解：（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，
又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点，
∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE，
即BE＝AE+AC，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴10﹣AE＝AE+6，
∴AE＝2cm．
（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程
①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．
解①得AE＝1cm，解②得AE＝3cm．
故AE长为1cm或3cm．
19．解：（1）中线AD如图所示；
（2）△ABD的高BE及△ACD的高CF如图所示．
20．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．
又∵∠F＝25°，
∴∠F＝∠CEB＝25°，
∴DF∥BE．
21．解：（1）作射线AO，
∵∠3是△ABO的外角，
∴∠1+∠B＝∠3，①
∵∠4是△AOC的外角，
∴∠2+∠C＝∠4，②
①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，
即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；
（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，
③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，
即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F＝230°．
22．（1）证明：∵AC∥BD，
∴∠DAE＝∠BDA，
∵∠BDA＝∠C，
∴∠DAE＝∠C，
∴AD∥BC；
（2）证明：如图2，设CE与BD相交于点G，∠BGA＝∠BDA+DAE，
∵BD⊥BC，
∴∠BGA+∠C＝90°，
∴∠BDA+∠DAE+∠C＝90°，
∵∠BDA＝∠C，
∴∠DAE+2∠C＝90°；
（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，
∵∠DFE+∠AFD＝180°，
∴∠AFD＝180°﹣8α，
∵DF∥BC，
∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，
又∵2∠C+∠DAE＝90°，
∴2（180°﹣8α）+α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，
又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝45°，
△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．
答：∠BAD的度数是99°．
23．解：（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝55°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；
（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，
∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，
∴∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+A，∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣A；
（3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠BCF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠BC+2∠E，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，
即∠E＝A，
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）
＝90°，
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，
综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．。