2021年九年级数学中考专题冲刺训练：锐角三角函数及其应用(含答案)

2021 中考专题冲刺训练：锐角三角函数及其应
用
一、选择题
1. (2019•天津) 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2
C ．3
D ．2
2. 如图，有一斜坡
AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30 m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，
若tan ∠BAC=，则此斜坡的水平距离AC 为
( )
A .75 m
B .50 m
C .30 m
D .12 m
3. (2019·湖北宜昌)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，
△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为
A ．43
B ．34
C ．35
D ．45
4. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆
AB 的长为
( )
A .米
B .
米
C .
米
D .
米
5. （2020·扬州）如图，由边长为
1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D .则sin ∠ADC 的值为 （ ）
A. 213
13 B. 31313 C. 23 D. 32
6. (2019•湖南湘西州)如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，AB 的垂直平分线
EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC=5
7
，则BC 的长是
A ．10
B ．8
C ．43
D ．26
7. 如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝3
5
，AC ＝5，则△ABC 的面积是( )
A.21
2 B ．12 C ．14 D ．21
8.
小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C ＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )
A . 11－sin α
B . 11＋sin α
C . 11－cos α
D . 1
1＋cos α
二、填空题 9. 【题目】（2020·黔东南州）cos60°＝ ．
10.
如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．
11. (2019•湖北随州)计算：(π–2019)0–2cos60°=__________．
12.
如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)
13.
（2020·杭州）如图，已知AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点B ，连接AC ，OC ．若1sin 3
BAC ∠=
，则tan BOC ∠=________．
C
B
O
A
14. (2019·浙江宁波)如图，某海防哨所
O 发现在它的西北方向，距离哨所400
米的A 处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B 处，则此时这艘船与哨所的距离OB 约为__________米．(精确到1米，参考2≈1.4143≈1.732)
15. (2019·浙江舟山)如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC2
5
5
AB2，则
tanC=__________．
16.
如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝________．
三、解答题
17. 图①是一辆在平地上滑行的滑板车，图②是其示意图，已知车杆AB长92 cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°，前后轮子的半径均为6 cm，求把手A离地面的高度.(结果保留小数点后一位;参考数据:sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)
18. 如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行
走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=1∶(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度.(结果精确到0.1米)(参考数据:≈1.73，≈1.41)
19. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．
(1)b＝10，∠A＝60°；
(2)a＝25，b＝2 15.
20. (2019•山东潍坊)自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1：3；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．(结果保留根号)
21. (2019•江苏宿迁)宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图
①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD
都与地面l 平行，车轮半径为32cm ，∠BCD=64°，BC=60cm ，坐垫E 与点B 的距离BE 为15cm ． (1)求坐垫E 到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫E 到CD 的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm ，现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE ′的长． (结果精确到0.1cm ，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)
2021 中考专题冲刺训练：锐角三角函数及其应
用-答案
一、选择题 1. 【答案】B
【解析】锐角三角函数计算，︒60sin 2=2×2
3
=3，故选A ．
2. 【答案】A
[解析]∵∠BCA=90°，tan ∠BAC=，BC=30 m ，∴tan ∠BAC===，
解得AC=75，故选A .
3. 【答案】D
【解析】如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC=90°，
∴AC=22AD CD +=2234+=5．∴sin ∠BAC=CD AC =4
5
．故选D ．
4. 【答案】B
[解析]如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ，则BD=1.5+0.3=1.8(米).
在Rt △ABD 中，∠ADB=90°，cos B=
，所以AB=
=
=
.故选B .
5. 【答案】
B
【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC 的正弦值转化成求∠ABC 的正弦值.连接AC 、BC ，∵∠ADC 和∠ABC 所对的弧长都是AC ，∴根据圆周角定理知，∠ADC ＝∠ABC ，
∴在Rt △ACB 中，根据锐角三角函数的定义知，sin ∠ABC AC
BC
=，∵AC ＝2，CB
＝3，∴AB 13=，∴sin ∠ABC 3
131313
==，∴∠ADC 的正弦值等于31313，因此本题选B ．
6. 【答案】D
【解析】∵∠C=90°，cos ∠BDC=5
7
，设CD=5x ，BD=7x ，∴6，
∵AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，∴AD=BD=7x ，∴AC=12x ， ∵AC=12，∴x=1，∴6D ．
7. 【答案】A
[解析] 如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D.
∵在△ABC 中，cosB ＝2
2， ∴∠B ＝45°，∴BD ＝AD. ∵sinC ＝AD AC ，sinC ＝3
5，AC ＝5， ∴AD 5＝35，
∴AD ＝3，∴CD ＝4，BD ＝3，
则△ABC 的面积是12·AD·BC ＝12×3×(3＋4)＝21
2.
8.
【
答
案
】
A
【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PC
PB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝1
1－sin α.
二、填空题 9. 【答案】【答案】
10. 【答案】14.1
【解析】如解图 ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．
11. 【答案】0
【解析】原式=1–2×=1–1=0，故答案为：0．
12.
【
答
案
】
103＋1
【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3
＝10
3
m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m .
13. 【答案】
2 【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC 与⊙O 相切于点B ，所以AB ⊥BC ，所以∠ABC ＝
90°．在Rt △ABC 中，因为sin ∠BAC ＝1
3
，所以
BC AC ＝1
3
．设BC ＝x ，则AC ＝3x ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得直径AB ＝22AC BC -＝22
(3)x x -＝22x ，
所以半径OB ＝2x ．在Rt △OBC 中，tan ∠BOC ＝BC OB ＝2x
＝2，因此本题答案为2
． 14. 【答案】【解析】如图，设线段AB 交y 轴于C ，
在直角△OAC 中，∠ACO=∠CAO=45°，则AC=OC ． ∵OA=400米，∴OC=OA •cos45°
=4002
2
⨯=2002(米)． ∵在直角△OBC 中，∠COB=60°，OC=2002米， ∴
2002
1cos 602
OC OB =
==
︒
4002≈567(米) 故答案为：567．
15. 5【解析】如图，过B 作BD ⊥AC 于D ，
∵∠A=45°，∴∠ABD=∠A=45°，∴AD=BD．
∵∠ADB=∠CDB=90°，∴AB2=AD2+DB2=2BD2，BC2=DC2+BD2，∴AC2–BC2=(AD+DC)2–(DC2+BD2)
=AD2+DC2+2AD•DC–DC2–BD2
=2AD•DC
=2BD•DC，
∵AC2–BC2
5
5
=AB2，∴2BD•DC
5
5
=⨯2BD2，
∴DC
5
5
=BD，∴
tan5
5
5
BD BD
C
DC
BD
===
．
故答案为:5．
16. 【答案】3或3 3 或37
【解析】如解图，∵点O是AB的中点，AB＝6，∴AO＝BO＝3.①当点P为直角顶点，且P在AB上方时，∵∠1＝120°，∴∠AOP1＝60°，∴△AOP1是等边三角形，∴AP1＝OA＝3；②当点P为直角顶点，且P在AB下方时，AP2＝BP1＝62－32＝33；③当点A为直角顶点时，AP3＝AO·tan∠AOP3＝3×3＝33；④当点B为直角顶点时，AP4＝BP3＝62＋（33）2＝37.综上，当△APB为直角三角形时，AP的值为3或3 3 或37.
三、解答题
17. 【答案】
解:过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，AB=92，∠B=70°，
∴AD=AB sin B≈92×0.94=86.48，
∴A离地面高度为86.48+6≈92.5(cm).
答:把手A离地面的高度约为92.5 cm.
18. 【答案】
解:过点D作DH⊥AB于点H，交AE于点F.作DG⊥BC于点G，则DG=BH，DH=GB.
设楼房AB的高为x米，则EB=x米，
∵坡度i=1∶，CD=10米，
∴坡面CD的铅直高度DG为5米，坡面的水平宽度CG为5米，
在Rt△ADH中，tan∠ADH=，
∴DH=(x-5).
∴5+10+x=(x-5)，
解得x=15+5≈23.7(米).
所以楼房AB的高度约为23.7米.
19. 【答案】
解：(1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∵cosA＝b
c，∴c＝
b
cosA＝
10
cos60°＝
10
1
2
＝20，
∴a＝c2－b2＝202－102＝10 3.
(2)c＝a2＋b2＝（2 5）2＋（215）2＝4 5.
∵tanA＝a
b＝2 5
215＝
3
3，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
20. 【答案】
∵∠AEB=90°，AB=200，坡度为13
∴tan∠
3
3
∴∠ABE=30°，∴AE=
1
2
AB=100，
∵AC=20，∴CE=80，
∵∠CED=90°，斜坡CD的坡度为1：4，
∴
1
4
CE
DE
=，即
801
4
ED
=，解得ED=320，
∴CD=22
80320=8017
+米，
答：斜坡CD的长是8017米．
21. 【答案】
(1)如图1，过点E作EM⊥CD于点M，
由题意知∠BCM=64°、EC=BC+BE=60+15=75cm，∴EM=ECsin∠BCM=75sin64°≈67.5(cm)，
则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5(cm)；
(2)如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，
由题意知E′H=80×0.8=64，
则E′C=
sin E H
ECH
'
∠
=
64
sin64︒
≈71，1，
∴EE′=CE﹣CE′=75﹣71.1=3.9(cm)．。