中考数学几何模型重点突破讲练：专题04 三角形中的8字模型和燕尾模型(教师版)
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【分析】由 ABC≌ ADE ，可得 DAE BAC 1 EAB CAD ，根据三角形外角性质可得
2 DFB FAB B ，因为 FAB CAD CAB ，即可求得 DFB 的度数；根据三角形外角的性质可得 DGB DFB D ，即可得 DGB 的度数． 【解析】解：∵ ABC≌ ADE ， ∴ BAC DAE ， B D ， ∵ EAB 120 ， CAD 10 ， B 25 ， ∴ D B 25 ，
2 ③解： B D 2P 理由如下： ∵ AP 平分 DAB ，CP 平分 BCD 21 OAD, 23 OCB 由（1）中的结论得： 1 D 3 P, 21 D 23 B 整理得： B D 2P ④解： 2B D 3P 理由如下： 由（1）中的结论得： 2 P 4 B 32 D 34 B 整理得： 2B D 3P
DAE BAC 1 EAB CAD
2
1 120 10
2 55， ∴ DFB FAB B CAD CAB B 10 55 25 90 ， ∴ DGB DFB D 90 25 65 ． ∴ DFB 90 ， DGB 65 ． 【例 2】如图 1，已知线段 AB 、CD 相交于点 O，连接 AD 、CB ，我们把形如图 1 的图形称之为“8 字形”．试
解答下列问题：
(1)在图 1 中，请直接写出 A 、ÐB 、 C 、 D 之间的数量关系：________________； (2)如图 2，在图 1 的条件下， DAB 和 BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P，并且与 CD 、 AB 分别相交于 M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题： ①仔细观察，在图 2 中“8 字形”的个数：___________个； ②若 D 40,B 50 ，试求 P 的度数； ③若 D 和ÐB 为任意角，其他条件不变，试问 P 与 D 、ÐB 之间是否存在一定的数量关系？若存在，请 写出推理过程；若不存在，请说明理由； ④若 D 和ÐB ∠为任意角，DAB 32,DCB 34 ，试问 P 与 D 、ÐB 之间是否存在一定的数量关系？ 若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) A D C B (2)①6② P 45 ③存在（理由见解析）④存在， 2B D 3P 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论． （2）①分别找到以交点 M、O、N 为顶点的能构成“8 字形”的三角形，避免漏数． ②利用“8 字形”的数量关系并结合角平分线的定义，可求出 P 的度数． ③和②同理 ④利用“8 字形”的数量关系并结合“ DAB 32 ， DCB 34 ”即可得出结论． 【解析】(1)解：∵ 在△AOD 中， A D AOD 180 在△COB 中， C B COB 180 ∵ AOD COB （对顶角相等）
一、单选题 1．如图， AD, BC 是 O 的直径，点 P 在 BC 的延长线上， PA 与 O 相切于点 A，连接 BD ，若 P 40 ， 则 ADB 的度数为（ ）
A． 65
B． 60
C． 50
D． 25
【答案】A
【分析】由切线性质得出 PAO 90 ，根据三角形的内角和是180 、对顶角相等求出 BOD AOP 50 ，
CP CE
SAOB : SAOC BE : CE
同理可证： SAOB : SBOC AF : CF ； SBOC : SAOC BD : AD
【例 1】如图， ABC≌ADE ， CAD 10 ， B 25 ， EAB 120 ，求 DFB 和 DGB 的度数．
【答案】 DFB 90 ， DGB 65
【模型变式 1】 如图已知 BD 与 AC 相交于点 O，点 E 在 OA 上，连接 AD，DE，BC；根据三角形内角和定理和对顶角相等
可得 A ADO B C DEO EDO。
【模型变式 2】 如图 DB 与 DG 分别交 AF 于 C 点，E 点，连接 AB，GF；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得
A B G F D 180 。
【模型 2】“燕尾”型
如图在四边形 ABOC 中，可根据外角定理：三角形的一个外角等于不与它相邻的两个内角的和，可得
BOC A B C 。
【模型变式 1】
如图在 ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 上，AE，BF，CD 相交于点 O。可得： ① SAOB : SAOC BE : CE ： ② SAOB : SBOC AF : CF ③ SBOC : SAOC BD : AD
专题 04 三角形中的 8 字模型和燕尾模型
【模型 1】“8 字”模型 如 图 ， 已 知 AC 与 BD 相 交 于 点 O ， 连 接 AD ， BC ； 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 和 对 顶 角 相 等 可 得
A D B C ；根据三角形两边之和大于第三边，可得 AD BC AC BD 。
【证明】如图，分别过点 B，点 C 作 BG 垂直于 AE 于 G 点，作 CP 垂直于 AG 的延长线于 P 点。
在 ABC 中，∵ SAOB
1 2
AO BG
； SAOC
1 2
AO CP
SAOB
: SAOC
1 2
AO Biblioteka BG : 1 2AO CP
BG：CP
在 BGE 和 CPE 中, BGE CPE 90； BEG CEP ； BGE ∽ CPE BG BE
A D C B
(2)①解：以 M 为交点的有 1 个，即为 AMD 和 ! CMP 以 O 为交点的有 4 个，即为△AOD 和 △COB ， AOM 和 BOC ， AOM 和 CON ，△AOD 和 CON
②解：∵ AP 平分 DAB ，CP 平分 BCD 21 OAD, 23 OCB 由（1）中的结论得： 1 D 3 P, 21 D 23 B 整理得： B D 2P P 50 40 45
2 DFB FAB B ，因为 FAB CAD CAB ，即可求得 DFB 的度数；根据三角形外角的性质可得 DGB DFB D ，即可得 DGB 的度数． 【解析】解：∵ ABC≌ ADE ， ∴ BAC DAE ， B D ， ∵ EAB 120 ， CAD 10 ， B 25 ， ∴ D B 25 ，
2 ③解： B D 2P 理由如下： ∵ AP 平分 DAB ，CP 平分 BCD 21 OAD, 23 OCB 由（1）中的结论得： 1 D 3 P, 21 D 23 B 整理得： B D 2P ④解： 2B D 3P 理由如下： 由（1）中的结论得： 2 P 4 B 32 D 34 B 整理得： 2B D 3P
DAE BAC 1 EAB CAD
2
1 120 10
2 55， ∴ DFB FAB B CAD CAB B 10 55 25 90 ， ∴ DGB DFB D 90 25 65 ． ∴ DFB 90 ， DGB 65 ． 【例 2】如图 1，已知线段 AB 、CD 相交于点 O，连接 AD 、CB ，我们把形如图 1 的图形称之为“8 字形”．试
解答下列问题：
(1)在图 1 中，请直接写出 A 、ÐB 、 C 、 D 之间的数量关系：________________； (2)如图 2，在图 1 的条件下， DAB 和 BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P，并且与 CD 、 AB 分别相交于 M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题： ①仔细观察，在图 2 中“8 字形”的个数：___________个； ②若 D 40,B 50 ，试求 P 的度数； ③若 D 和ÐB 为任意角，其他条件不变，试问 P 与 D 、ÐB 之间是否存在一定的数量关系？若存在，请 写出推理过程；若不存在，请说明理由； ④若 D 和ÐB ∠为任意角，DAB 32,DCB 34 ，试问 P 与 D 、ÐB 之间是否存在一定的数量关系？ 若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) A D C B (2)①6② P 45 ③存在（理由见解析）④存在， 2B D 3P 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论． （2）①分别找到以交点 M、O、N 为顶点的能构成“8 字形”的三角形，避免漏数． ②利用“8 字形”的数量关系并结合角平分线的定义，可求出 P 的度数． ③和②同理 ④利用“8 字形”的数量关系并结合“ DAB 32 ， DCB 34 ”即可得出结论． 【解析】(1)解：∵ 在△AOD 中， A D AOD 180 在△COB 中， C B COB 180 ∵ AOD COB （对顶角相等）
一、单选题 1．如图， AD, BC 是 O 的直径，点 P 在 BC 的延长线上， PA 与 O 相切于点 A，连接 BD ，若 P 40 ， 则 ADB 的度数为（ ）
A． 65
B． 60
C． 50
D． 25
【答案】A
【分析】由切线性质得出 PAO 90 ，根据三角形的内角和是180 、对顶角相等求出 BOD AOP 50 ，
CP CE
SAOB : SAOC BE : CE
同理可证： SAOB : SBOC AF : CF ； SBOC : SAOC BD : AD
【例 1】如图， ABC≌ADE ， CAD 10 ， B 25 ， EAB 120 ，求 DFB 和 DGB 的度数．
【答案】 DFB 90 ， DGB 65
【模型变式 1】 如图已知 BD 与 AC 相交于点 O，点 E 在 OA 上，连接 AD，DE，BC；根据三角形内角和定理和对顶角相等
可得 A ADO B C DEO EDO。
【模型变式 2】 如图 DB 与 DG 分别交 AF 于 C 点，E 点，连接 AB，GF；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得
A B G F D 180 。
【模型 2】“燕尾”型
如图在四边形 ABOC 中，可根据外角定理：三角形的一个外角等于不与它相邻的两个内角的和，可得
BOC A B C 。
【模型变式 1】
如图在 ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 上，AE，BF，CD 相交于点 O。可得： ① SAOB : SAOC BE : CE ： ② SAOB : SBOC AF : CF ③ SBOC : SAOC BD : AD
专题 04 三角形中的 8 字模型和燕尾模型
【模型 1】“8 字”模型 如 图 ， 已 知 AC 与 BD 相 交 于 点 O ， 连 接 AD ， BC ； 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 和 对 顶 角 相 等 可 得
A D B C ；根据三角形两边之和大于第三边，可得 AD BC AC BD 。
【证明】如图，分别过点 B，点 C 作 BG 垂直于 AE 于 G 点，作 CP 垂直于 AG 的延长线于 P 点。
在 ABC 中，∵ SAOB
1 2
AO BG
； SAOC
1 2
AO CP
SAOB
: SAOC
1 2
AO Biblioteka BG : 1 2AO CP
BG：CP
在 BGE 和 CPE 中, BGE CPE 90； BEG CEP ； BGE ∽ CPE BG BE
A D C B
(2)①解：以 M 为交点的有 1 个，即为 AMD 和 ! CMP 以 O 为交点的有 4 个，即为△AOD 和 △COB ， AOM 和 BOC ， AOM 和 CON ，△AOD 和 CON
②解：∵ AP 平分 DAB ，CP 平分 BCD 21 OAD, 23 OCB 由（1）中的结论得： 1 D 3 P, 21 D 23 B 整理得： B D 2P P 50 40 45